QUELQUES PROBLÈMES DU FOLKLORE

Henri Cohen

Les problèmes qui suivent font partie du “folklore” mathématique, et ont été regroupés par D. Zagier à l’occasion d’une semaine à St. Andrews en 1996. Je me suis contenté de traduire les énoncés, et d’ajouter des indications pour rendre certains des problèmes un peu moins infaisables. L’indication “pas difficile” ne signifie pas que la résolution est immédiate, mais qu’il est inutile de donner une indication. Il est à noter que ces problèmes ont tous un aspect esthétique frappant, et sont pour la plupart assez difficiles. Toutefois, à de rares exceptions près (signalées dans les indications), leur résolution ne nécessite pas de connaissances mathématiques particulières, mais une bonne dose d’ingéniosité.

Je conseille au lecteur de ces problèmes de passer au moins un quart d’heure sur chaque problème avant de regarder l’indication. C’est pourquoi j’ai regroupé les indications sur une feuille séparée.

Premier Jour : Théorie des Nombres

1. Quelqu’un a cru se souvenir, à tort, que le petit théorème de Fermat affirme que la congruence a^{n+1} ≡ a (mod n) est vraie pour tout a dès que n est un nombre premier. Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels cette affirmation est effectivement vraie.

2. Vrai ou faux : pour tout entier impair k, il existe un nombre premier de la forme 2^{n}k + 1.

3. Montrer que si a et b sont deux entiers positifs tels que (a^{2} + b^{2})/(ab + 1) est un entier, alors cet entier est un carré parfait.

Deuxième Jour : Algèbre

1. Montrer qu’il n’existe pas d’anneau (commutatif et unitaire) avec exactement 5 éléments inversibles.

2. Montrer que si un groupe n’a qu’un nombre fini d’éléments d’ordre fini, ceux-ci forment un sous-groupe.

3. Soient P = ℤ^{ℕ} l’ensemble des suite d’entiers, et S = ℤ^{(ℕ)} l’ensemble des suites d’entiers nulles à partir d’un certain rang. Ces ensembles sont munis d’une structure naturelle de groupes Abeliens. Montrer que Hom_{ℤ}(P, ℤ) ≃ S.

Troisième Jour : Polynômes

1. Associons à tout nombre premier le polynôme dont les coefficients sont les chiffres décimaux du nombre (par exemple 9X^{3} + 4X^{2} + 3 pour le nombre premier 9403). Montrer que ce polynôme est toujours irréductible.

2. Soit ∑_{n≥0} b_{n}X^{n} ∈ ℝ[X] un polynôme n’ayant que des racines réelles. Montrer qu’il en va de même pour le polynôme ∑_{n≥0} b_{n}X^{n}/n!.

3. Soit p = 2m − 1 un nombre premier impair. Montrer que le polynôme (1 − X)^{m} + 1 + X^{m} est égal à deux fois un carré dans 𝔽_{p}[X].

Quatrième Jour : Géométrie

1. Soient A et B deux sommets adjacents d’un polygone dont tous les cotés sont de longueurs égales. Si on sait que les angles en tous les autres sommets sont rationnels (quand on les mesure en degrés), montrer que les angles en A et en B le sont aussi. Donner un contre-exemple quand on ne suppose plus que A et B sont adjacents.

2. Un rectangle R est égal à la réunion d’un nombre fini de plus petits rectangles qui ne se recouvrent pas, sauf sur leur frontière. On suppose qu’au moins l’un des cotés de tous les petits rectangles est rationnel. Montrer qu’il en va de même pour R.

3. Sur une assiette à gateaux, on marque un angle α (0 < α < 2π), et on choisit un autre angle β (0 < β < 2π). On définit une opération sur un gateau comme suit: on coupe une tranche sur l’angle marqué, on la soulève, on la retourne, on la remet en place, puis on fait tourner le gateau tout entier dans l’assiette de l’angle β. Montrer que, quelles que soient les valeurs de α et β, cette opération est d’ordre fini (c’est à dire qu’après un nombre fini d’itérations chaque morceau du gateau est revenu à sa position initiale).

Cinquième Jour : Suites

1. Soit {t_{n}}_{n≥1} la suite définie par t_{1} = t_{2} = t_{3} = t_{4} = t_{5} = 1 et la relation de récurrence t_{n+5} = (t_{n+4}t_{n+1} + t_{n+3}t_{n+2})/t_{n}. Montrer que tous les t_{n} sont entiers.

2. Soit \{u_{n}\}_{n≥1} la suite définie par la formule u_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{(2n + k)!}{(2n − 2k)!(3k + 1)!} .

Montrer que l’énoncé “aucun u_{n} est entier” est faux, mais que le plus petit contreexemple est de l’ordre de 10^{2019025}.

3. Soit {v_{n}}_{n≥1} la suite définie par la récurrence v_{n} = (2 + v_{1}^{2} + ⋯ + v_{n−1}^{2})/n. Montrer que l’énoncé “tous les v_{n} sont entiers” est faux, mais que le plus petit contre-exemple est de l’ordre de 10^{178485291567}.

Indications

Premier Jour : Théorie des Nombres

1. Pas difficile.

2. Utiliser le fait que le nombre de Fermat F_{5} = 2^{2^{5}} + 1 = 641 · 6700417 est composé.

3. Utiliser une technique de descente (considerer le plus petit, et en construire un plus petit).

Deuxième Jour : Algèbre

1. Pas difficile.

2. Si les (t_{i})_{1≤i≤N} sont les éléments d’ordre fini, montrer que tout produit t_{i_{1}} ⋯ t_{i_{r}} est égal à un produit de la forme t_{j_{1}} ⋯ t_{j_{r}} de la même longueur, avec de plus j_{1} ≤ ⋯ ≤ j_{r}.

3. Soit ϕ l’application naturelle de Hom(P, ℤ) dans P. Montrer que ϕ est injective en utilisant (implicitement) simultanément les nombres 2-adiques et 3adiques, et que l’image de ϕ est égale à S en utilisant une technique similaire.

Troisième Jour : Polynômes

1. Si f(X) est le polynôme en question, montrer d’abord que les racines de f dans ℂ sont soit de partie réelle négative, soit dans le disque centré en 0 et de rayon 4.

2. Montrer d’abord que si D est un opérateur différentiel linéaire d’ordre 1 (D = a(d/dx) + b) et si un polynôme P ∈ ℝ[X] a toutes ses racines réelles, il en va de même de DP.

3. Considérer aussi le polynôme 1 + X^{m} − (1 − X)^{m}.

Quatrième Jour : Géométrie

1. Démontrer tout d’abord le théorème de Kronecker : si α est un entier algébrique dont tous les conjugués sont de module 1, alors α est une racine de l’unité.

2. Plusieurs possibilités. Par exemple, utiliser (après normalisation) l’intégrale double de e^{2iπ(x+y)}. On peut aussi trouver une preuve purement combinatoire sans calcul intégral.

3. Montrer tout d’abord que tout point est d’ordre fini, puis que cet ordre est borné.

Cinquième Jour : Suites

1. Soit E la courbe elliptique d’équation y(x + y) = x(x − 1)(x + 2), T = (0, 0) un point de 2-torsion, et P = (2, 2) qui est d’ordre infini. Montrer que nP + T = (a_{n}/t_{n}^{2}, b_{n}/t_{n}^{3}) avec a_{n}, b_{n} entiers et premiers à t_{n}. Noter que l’on peut trouver sans aide que cette récurrence est liée à une courbe elliptique.

2. Montrer tout d’abord que U_{n} = (6n + 2)u_{n} satisfait la relation de récurrence U_{n+3} = 5U_{n+2} + 2U_{n+1} + U_{n}. Puis montrer que U_{n} ≡ 0 (mod 6n + 2) est vérifié pour n_{0} = 2755452 et pour aucune valeur de n < n_{0}.

3. Poser s_{n} = nv_{n}. Trouver une relation de récurrence pour s_{n}, puis montrer d’abord que s_{p} ≡ 0 (mod p) pour tout p premier tel que p < 43 mais pas pour p = 43.

Laboratoire d’Algorithmique Arithmétique et Expérimentale (A2X), U.M.R. 9936 du C.N.R.S., U.F.R. de Mathématiques et Informatique, Université Bordeaux I, 351 Cours de la Libération, 33405 TALENCE Cedex, FRANCE

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