Cohomologie galoisienne modulo 2

Ici, on désigne par $F$ un corps commutatif de caractéristique différente de 2, et par $G_F$ le groupe $\mathop{\rm Gal}\nolimits (F_s/F)$, où $F_s$ est une clôture séparable de $F$.

Soit $I = \{$    Sous-groupes ouverts normaux $$H     de $G_F\}$. Cet ensemble est ordonné par

$$H \leq H' \stackrel{def}{\Longleftrightarrow} H' \subset H \,.$$

Lorsque $H \leq H'$, on a donc un diagramme commutatif

$$\diagram G_F/H' \drto^{s_{H,H'}} & \\ G_F \uto^{\pi_{H'}} \rto^{\pi_H} & G_F/H \\ \enddiagram \,,$$

où $\pi_H$ et $\pi_{H'}$ désignent les surjections canoniques. En particulier $s_{H,H'}$, donc $G_F/H$ est un quotient de $G_F/H'$. On a donc une application d'inflation

$$f_{H,H'} : H^q(G_F/H) \longrightarrow H^q(G_F/H') \,.$$

Définition 1   La cohomologie galoisienne modulo 2 de $G_F$ est

$$H^q(G_F) = \lim\limits_{\stackrel{\longrightarrow}{H \in I}} (H^q(G_F/H),f_{H,H'}) = \coprod_{H \in I} H^q(G_F/H) / \equiv \,,$$

où $c_H \equiv c_{H'}$ si $\exists H'' \in I,$    , $H'' \geq H$    , $H'' \geq H'$ avec $f_{H',H''}(c_{H'}) = f_{H,H''}(c_{H})$. La flèche

$$f_H : H^q(G_F/H) \longrightarrow H^q(G_F)$$

est l'inflation.

Remarque 1   Un $H''$ comme dans la définition précédente existe toujours : on peut prendre $H \cap H'$.