Limites inductives

Définition 1   On note $X = \coprod_{i \in I} X_i$ la réunion disjointe de la famille $(X_i)_{i \in I}$. Elle vérifie la propriété : $\forall x \in X$    , $\exists ! i \in I$    , $x \in X_i$.

Définition 1   Un ensemble $I$ est filtrant à droite s'il est ordonné, et si
$\forall (i,j) \in I^2$    , $\exists k \in I$    , $k \geq i, k \geq j$.

Définition 1   Un système inductif consiste en les données :
(i) Un ensemble $I$ filtrant à droite ;
(ii) Pour chaque $i \in I$, un ensemble $X_i$ ;
(iii) Pour chaque $i \leq j$, une application $f_{i,j}: X_i \rightarrow X_j$, avec les propriétés :

$$f_{i,i} = Id_{X_i}$$    pour tout $$i \in I$$    et $$f_{i,k} = f_{j,k} \circ f_{i,j}$$    pour tous $$i \leq j \leq k \,.$$

Définition 1   Soit $(X_i, f_{i,j})$ un système inductif. La limite inductive $X = \lim\limits_{\stackrel{\longrightarrow}{\scriptstyle i \in I}} X_i$ est l'ensemble $\coprod_{i \in I} X_i/\equiv$, avec

$$x \equiv y \Leftrightarrow \exists k \in I$$    , $$k \geq i, k \geq j, f_{i,k}(x) = f_{j,k}(y)$$    lorsque $$x \in X_i$$    et $$y \in X_j \,.$$

Remarque 1   On a un diagramme commutatif

$$\diagram E= \coprod_{i \in I} X_i \rto^f & X = \lim\limits_{\sta... ...row}{\scriptstyle i \in I}} X_i \\ X_i \uto \urto_{f_i} & \\ \enddiagram \,,$$

où $f_i := f_{\vert X_i}$. De plus $f_i = f_j \circ f_{i,j}$ pour $i \leq j$.

Proposition 1   Soient $(X_i, f_{i,j})$ un système inductif, $Y$ un ensemble avec $g_i : X_i \rightarrow Y$ des applications telles que le diagramme suivant commute pour $i \leq j$ :

$$\diagram X_i \rto^{g_i} \dto_{f_{i,j}} & Y \\ X_j \urto_{g_j} & \\ \enddiagram \,.$$

Alors il existe une unique application $g : \lim\limits_{\stackrel{\longrightarrow}{\scriptstyle i \in I}} X_i \rightarrow Y$ telle que $g_i = g \circ f_i$ pour $i \in I$.

Proposition 1   Soient $(X_i, f_{i,j})$ et $(Y_i, h_{i,j})$ deux systèmes inductifs et pour $i \in I$ des applications $g_i : X_i \rightarrow Y_i$ telles que le diagramme suivant commute pour $i \leq j$ :

$$\diagram X_i \rto^{f_{i,j}} \dto_{g_i} & X_j \dto^{g_j} \\ Y_i \rto_{h_{i,j}} & Y_j \\ \enddiagram \,.$$

Alors il existe une unique application $g : \lim\limits_{\stackrel{\longrightarrow}{\scriptstyle i \in I}} X_i \rightarrow \lim\limits_{\stackrel{\longrightarrow}{\scriptstyle i \in I}} Y_i$ avec $g \circ f_i = h_i \circ g_i$ pour tout $i \in I$.