Jean-Yves DEGOS  Université Bordeaux I Année 1995-1996

Le théorème des sous-espaces

Mémoire de D.E.A. effectué sous la direction de Laurent HABSIEGER

Remerciements

Je souhaite remercier en premier lieu Laurent Habsieger qui a accepté de m’encadrer pour la réalisation de ce travail, et qui a porté à ma connaissance le théorème des sous-espaces, qui se révèle être un beau joyau mathématique.

Je remercie aussi Michel Langevin qui a accepté d’être le rapporteur de ce mémoire, et Boas Erez qui a fait partie du jury de soutenance.

Enfin, je souhaite exprimer ma gratitude à Nicolas Brisebarre, qui a bien voulu relire les dernières épreuves de ce mémoire.

Jean-Yves DEGOS

Sommaire

Remerciements 1

Introduction 3

1 Géométrie des nombres et Algèbre de Grassmann 5

1.1 Géométrie des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Parallélépipèdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Algèbre de Grassmann et parallélépipèdes composés de Mahler . . . . . . . . . . 12 1.2.1 L’Algèbre de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Les parallélépipèdes composés de Mahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Lemmes polynomiaux et théorie de l’indice 17 2.1 Un lemme d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Deux notions d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 L’indice de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 L’indice de Roth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Minoration de l’indice de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Majoration de l’indice de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Preuves des théorèmes des sous-espaces et des sous-espaces fort 34 3.1 Preuve du théorème des sous-espaces fort dans le cas d = n − 1 . . . . . . . . . . 35 3.2 Preuve du théorème des sous-espaces fort dans le cas général . . . . . . . . . . . 48 3.3 Preuve du théorème des sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Applications 54 4.1 Caractérisation des systèmes de Roth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 Le théorème de Roth dans les corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Appendice : quelques lemmes techniques 68

Bibliographie 70

Introduction

Un des objectifs de l’approximation diophantienne est d’étudier la manière dont on peut approcher les nombres réels par des nombres rationnels. C’est ainsi qu’en 1955, Roth obtint la médaille Fields pour avoir démontré le théorème suivant (cf. [Rot]).

Pour tout nombre algébrique α de degré d ≥ 2, et tout δ > 0, l’inéquation

|α − \frac{p}{q}| < \frac{1}{q^{2+δ}} ⟺ |q||αq − p| < |q|^{−δ}

n’a qu’un nombre fini de solutions (p, q) ∈ ℤ × (ℕ \ {0}).

Ce travail, qui s’articule principalement autour du chapitre 6 du livre de W. M. Schmidt intitulé “Diophantine Approximations” (Lecture Notes in Mathematics n^{∘} 785), présente une généralisation de ce dernier résultat : le théorème des sous-espaces. Ce résultat s’énonce ainsi :

Soient L_{1}, …, L_{n} des formes linéaires sur ℝ^{n} à coefficients algébriques, indépendantes sur ℝ et soit δ > 0. Il existe alors un nombre fini de sous-espaces vectoriels non triviaux de ℚ^{n}, disons T_{1}, …, T_{k} tels que toute solution x ∈ ℤ^{n} \ {0} de l’inéquation

|L_{1}(x) … L_{n}(x)| < ∥x∥_{∞}^{−δ}

soit dans la réunion T_{1} ∪ ⋯ ∪ T_{k}.

Dans le chapitre 4 de ce mémoire, nous montrons que le théorème des sous-espaces implique le théorème de Roth, et permet même d’en prouver une version plus générale dans les corps de nombres, à savoir

Pour tout entier k ≥ 1, tout nombre algébrique réel α et tout δ > 0, il existe un nombre fini de nombres algébriques réels β de degré inférieur ou égal à k tels que :

|α − β| < H(β)^{−k−1−δ} .

(H(β) désignant ici le maximum des valeurs absolues des coefficients d’un polynôme de degré minimal à coefficients entiers premiers entre eux qu’annule β).

Le chapitre 3 traite de la preuve du théorème des sous-espaces proprement dite. En fait, ce dernier résulte du théorème des sous-espaces fort, qui s’énonce ainsi :

Soient L_{1}, …, L_{n} des formes linéaires sur ℝ^{n}, indépendantes sur ℝ à coefficients algébriques réels, et soient c_{1}, …, c_{n} des nombres réels de somme nulle. Pour Q > 1, soit Π(Q) le parallélépipède de ℝ^{n} défini par

∀i ∈ {1, …, n}, |L_{i}(x)| ≤ Q^{c_{i}}, x ∈ ℝ^{n} .

Notons λ_{1}(Q), …, λ_{n}(Q) ses minima successifs. On suppose qu’il existe δ > 0, un entier d compris entre 1 et n − 1, et une partie D ⊂]1, +∞[ non bornée telle que

Q ∈ D ⟹ λ_{d}(Q) < λ_{d+1}(Q)Q^{−δ} .

Alors il existe un sous-espace S de ℚ^{n} de dimension d, et une partie D′ ⊂ D telles que pour tout Q ∈ D′, les d premiers minima successifs soient réalisés par des points g_{1}, …, g_{d} de S.

En gros, la preuve se déroule ainsi ; on traite d’abord le cas d = n − 1 en se ramenant, via un lemme de Davenport, à l’hypothèse plus agréable λ_{d}(Q) < Q^{−δ}. Pour traiter ce cas-là, on procède par l’absurde en construisant un polynôme auxiliaire qui possède des propriétés contradictoires relatives à ses zéros. Il est nécessaire pour cela de définir et d’étudier deux notions d’indice, notions qui généralisent la notion d’ordre d’une racine. Nous présentons ces outils dans le chapitre 2.

Quant au cas général (1 ≤ d ≤ n − 1), il se traite en faisant appel à une construction due à Mahler qui à un parallélépipède Π(Q) de ℝ^{n} possédant la propriété λ_{d}(Q) < λ_{d+1}(Q)Q^{−δ} permet d’associer un parallélépipède Π^{(l)}(Q) de ℝ^{l} qui satisfait une hypothèse du type λ_{l−1}(Q) < λ_{l}(Q)Q^{−δ′} pour l et δ′ convenables.

Les différents outils permettant cette construction, à savoir l’Algèbre de Grassmann et des résultats de Géométrie des nombres, sont introduits dans le chapitre 1.

Chapitre 1

Géométrie des nombres et Algèbre de Grassmann

Le but de ce chapitre est de rappeler certains résultats relatifs à la Géométrie des nombres et à l’Algèbre de Grassmann, deux notions qui interviennent de façon décisive dans la preuve du théorème des sous-espaces, qui sera étudiée au chapitre 3.

1.1 Géométrie des nombres

1.1.1 Généralités

Dans tout ce qui suit, la lettre K désigne une partie convexe bornée, contenant 0 dans son intérieur, et symétrique par rapport à 0 (i.e. x ∈ K ⇒ −x ∈ K) de l’espace euclidien ℝ^{n} usuel (n ≥ 1). Pour λ ∈ ℝ, λK = {λx, x ∈ K}. La convexité de K entraîne que si 0 ≤ λ ≤ λ′, alors λK ⊂ λ′K. La Géométrie des nombres, dont le but est d’étudier la présence de points de ℤ^{n} (ou d’un autre réseau) dans des régions de l’espace euclidien, a son origine dans le théorème fondamental suivant.

Théorème 1.1.1 (Premier théorème de Minkowski) Supposons que l’une des deux conditions soit satisfaite :

(i) Vol K > 2^{n} , (ii) Vol K ≥ 2^{n} et K est compact . Alors K ∩ ℤ^{n} contient un autre point que 0.

Preuve : Plaçons-nous sous l’hypothèse (i), et posons K′ = \frac{1}{2}K, de sorte que Vol K′ > 1. Il existe alors (x, y) ∈ K′^{2} avec x − y ∈ ℤ^{n}. En effet, ℤ^{n} opère sur ℝ^{n} par translation et un système de représentants des orbites est C = [0, 1[^{n}, ce qui permet d’écrire

Vol K′ = ∑_{z∈ℤ^{n}} μ(K′ ∩ (z + C)) = ∑_{z∈ℤ^{n}} μ((K′ − z) ∩ C) ,

par invariance par translation de la mesure de Lebesgue μ. Il suit que les ensembles ((K′ − z) ∩ C)_{z∈ℤ^{n}} ne sauraient être deux-à-deux disjoints, sinon nous aurions

1 = Vol C ≥ ∑_{z∈ℤ^{n}} μ((K′ − z) ∩ C) = Vol K′ > 1 ,

entraînant une contradiction avec l’hypothèse. Il existe donc bien (z, z′) ∈ ℤ^{n} × ℤ^{n} distincts, et (x, y) ∈ K′^{2} tels que −z + x = −z′ + y, aussi le couple (x, y) répond-il aux exigences ci-dessus. En posant a = x − y, nous obtenons un point de K ∩ (ℤ^{n} \ {0}). Plaçons-nous maintenant sous l’hypothèse (ii), et prenons une suite (ϵ_{k})_{k∈ℕ} de réels strictement positifs tendant vers 0. L’ensemble K_{k} = (1+ϵ_{k})K satisfait alors (i) pour tout entier k, de sorte qu’il existe x_{k} ∈ ℤ^{n}\{0} et y_{k} ∈ K_{k} tels que x_{k} = y_{k}(1 + ϵ_{k}). Par compacité de K, la suite (y_{k})_{k∈ℕ} peut être supposée convergente vers y ∈ K. Mais alors (x_{k})_{k∈ℕ} converge aussi vers y. Comme c’est une suite d’entiers non nuls, nous concluons que y ∈ K ∩ (ℤ^{n} \ {0}).

La réciproque de ce théorème est bien sûr fausse et c’est là une des difficultés principales de l’approximation diophantienne. Cela dit, rappelons une autre définition due à Minkowski.

Définition 1.1.2 On appelle minima successifs de K les n quantités λ_{1}(K), …, λ_{n}(K) définies pour i = 1, …, n par :

λ_{i}(K) = inf {λ > 0 | dim_{ℝ}(Vect (λK ∩ ℤ^{n})) ≥ i} .

Il est facile de voir qu’on a les inégalités :

0 < λ_{1}(K) ≤ ⋯ ≤ λ_{n}(K) < +∞ ,

mais un fait particulièrement intéressant que nous admettrons est que l’on peut contrôler le produit λ_{1}(K) … λ_{n}(K) en fonction uniquement de la dimension n et du volume de K.

Théorème 1.1.3 (Second théorème de Minkowski) Si K est compact, l’inégalité suivante a lieu :

\frac{2^{n}}{n!} ≤ λ_{1}(K) … λ_{n}(K) Vol K ≤ 2^{n} .

Au sous-ensemble K de ℝ^{n} on peut attacher certains vecteurs à composantes entières particuliers grâce au lemme suivant.

Lemme 1.1.4 Il existe des vecteurs g_{1}(K), …, g_{n}(K) tels que :

(i) g_{i}(K) ∈ λ_{i}(K)K ∩ ℤ^{n} pour i = 1, …, n et (ii) g_{1}(K), …, g_{n}(K) sont indépendants sur ℝ.

Preuve : L’existence de g_{1}(K) est assurée par le Premier théorème de Minkowski, et celle de g_{2}(K), …, g_{n}(K) par le fait que pour i ≥ 2, λ_{i}(K)K doit contenir i vecteurs entiers indépendants, et qu’il contient déjà g_{1}(K), …, g_{i−1}(K).

Remarque 1.1.5 Les g_{1}(K), …, g_{n}(K) ne sont pas uniques. Dans la suite, g_{1}(K), …, g_{n}(K) désignera donc un choix de tels vecteurs, qu’on notera aussi parfois g_{1}, …, g_{n} lorsqu’aucune confusion n’est possible.

Leur introduction est justifiée par la proposition suivante.

Proposition 1.1.6 Soit K compact et λ_{1}(K), …, λ_{n}(K) les minima successifs de K, et g_{1}(K), …, g_{n}(K) des vecteurs satisfaisant les conditions (i) et (ii) du Lemme 1.1.4. Supposons que 2 ≤ j ≤ n, λ < λ_{j}(K) et enfin que g ∈ λK ∩ ℤ^{n}. Alors g ∈ ℝg_{1} ⊕ ⋯ ⊕ ℝg_{j−1}.

Preuve : Si λ < λ_{1}(K), on a λK ∩ ℤ^{n} = 0 par définition de λ_{1}(K) donc g = 0 et le résultat est vrai. Sinon, il existe un entier l ≥ 2 avec λ_{l−1}(K) ≤ λ < λ_{l}(K) ; les vecteurs g_{1}(K), …, g_{l−1}(K) et g sont dans λK (observer que λ_{i}(K)K ⊂ λK pour i = 1, …, l − 1). Comme g_{1}(K), …, g_{l−1}(K) sont indépendants et λ < λ_{l}(K), le vecteur g est combinaison linéaire de g_{1}(K), …, g_{l−1}(K) donc de g_{1}(K), …, g_{j−1}(K), ce qu’il fallait démontrer.

1.1.2 Parallélépipèdes

Commençons par donner une définition.

Définition 1.1.7 Un parallélépipède est une partie Π de ℝ^{n} défini par

Π = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} | |L_{i}(x_{1}, …, x_{n})| ≤ A_{i} pour i = 1, …, n}

où A_{1}, …, A_{n} sont des réels positifs, et L_{1}, …, L_{n} des formes linéaires indépendantes sur ℝ^{n}.

Remarque 1.1.8 Un tel parallélépipède sera souvent noté Π(L_{1}, …, L_{n}; A_{1}, …, A_{n}) et sera dit fermé ; le parallélépipède ouvert correspond au même objet défini avec des inégalités strictes.

Nous devons savoir calculer le volume d’un parallélépipède (il faut signaler un erreur à ce sujet dans [EdE], p. 42). C’est l’objet du lemme qui suit.

Lemme 1.1.9 Soit Π(L_{1}, …, L_{n}; A_{1}, …, A_{n}) un parallélépipède de ℝ^{n}. Alors :

Vol Π(L_{1}, …, L_{n}; A_{1}, …, A_{n}) = \frac{2^{n}A_{1} × ⋯ × A_{n}}{| det (L_{1}, …, L_{n})|} .

Preuve : Nous reconnaissons en 2^{n} le volume de l’ensemble U =^{def} {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} | |x_{i}| < 1 pour i = 1, …, n}, et nous observons qu’il y a un C^{1}-difféomorphisme :

\begin{matrix}ϕ : Π^{∘} & ⟹ & U \\ x & ⟼ & y = (\frac{L_{1}(x)}{A_{1}}, …, \frac{L_{n}(x)}{A_{n}}) . \end{matrix}

Comme ϕ est linéaire, la matrice jacobienne M_{ϕ} est constante et égale à :

( \begin{matrix}\frac{L_{1}(e_{1})}{A_{1}} & … & \frac{L_{n}(e_{1})}{A_{n}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{L_{1}(e_{n})}{A_{1}} & … & \frac{L_{n}(e_{n})}{A_{n}} \end{matrix} )

dont le déterminant vaut | det (L_{1}, …, L_{n})|/A_{1} × ⋯ × A_{n}. Le théorème de changement de variable en intégration fournit alors les égalités :

Vol U = ∫_{U} dμ = ∫_{Π^{∘}} \frac{| det (L_{1}, …, L_{n})|}{A_{1} × ⋯ × A_{n}}dμ = Vol Π × \frac{| det (L_{1}, …, L_{n})|}{A_{1} × ⋯ × A_{n}} ,

d’où le résultat (μ désigne bien sûr la mesure de Lebesgue sur ℝ^{n}).

Munis de ces résultats on peut déduire le théorème des formes linéaires de Minkowski et une forme du Théorème 1.1.3 pour les parallélépipèdes fermés.

Théorème 1.1.10 Soit L_{1}, …, L_{n} des formes linéaires sur ℝ^{n} telles que det (L_{1}, …, L_{n}) = 1, et A_{1}, …, A_{n} des réels positifs tels que A_{1} … A_{n} = 1. Alors il existe (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℤ^{n} \ {0} tel que :

\{ \begin{matrix}|L_{i}(x_{1}, …, x_{n})| & < & A_{i} pour i = 1, …, n − 1 , \\ |L_{n}(x_{1}, …, x_{n})| & ≤ & A_{n} . \end{matrix}

Preuve : Quitte à diviser L_{i} par A_{i} pour i = 1, …, n, nous pouvons supposer que A_{i} = 1 pour i = 1, …, n. Pour ϵ > 0, introduisons le parallélépipède ouvert Π_{ϵ} = Π(L_{1}, …, L_{n}; 1, …, 1, 1 + ϵ). C’est une partie convexe, contenant 0 dans son intérieur, symétrique par rapport à 0, et de volume 2^{n}(1 + ϵ) > 2^{n} donc il existe (Théorème 1.1.1) x_{ϵ} ∈ Π_{ϵ} ∩ (ℤ^{n} \ {0}). Prenons maintenant une suite (ϵ_{k})_{k∈ℕ} qui tend vers 0 ; comme la famille de parallélépipèdes (Π_{ϵ_{k}})_{k∈ℕ} est uniformément bornée, on peut supposer que (x_{ϵ_{k}})_{k∈ℕ} converge vers x ∈ ℝ^{n}. Mais puisque les x_{ϵ_{k}} sont des vecteurs entiers cela signifie qu’il existe k_{0} ∈ ℕ tel que pour k ≥ k_{0} nous ayons x = x_{ϵ_{k}}. Alors x ∈ Π_{ϵ_{k}} ∩ (ℤ^{n} \ {0}), ce qui prouve le théorème par passage à la limite sur l’inégalité |L_{n}(x)| < 1 + ϵ_{k} lorsque k tend vers +∞.

Théorème 1.1.11 Soient Π un parallélépipède fermé symétrique par rapport à 0, et λ_{1}(Π), …, λ_{n}(Π) ses minima successifs. Alors :

\frac{2^{n}}{n!} ≤ λ_{1}(Π) … λ_{n}(Π) Vol Π ≤ 2^{n}n! .

Théorème 1.1.12 (Lemme de Davenport) Soient L_{1}, …, L_{n} des formes linéaires sur ℝ^{n}, de déterminant 1. Etant donnés Π le parallélépipède Π(L_{1}, …, L_{n}; 1, …, 1), et ses minima successifs notés λ_{1}, …, λ_{n}, supposons disposer de réels ρ_{1}, …, ρ_{n} tels que :

ρ_{1} > ⋯ > ρ_{n} > 0 , (1.1) ρ_{1}λ_{1} ≤ ⋯ ≤ ρ_{n}λ_{n} , (1.2) ρ_{1} … ρ_{n} = 1 . (1.3)

Alors il existe une permutation σ de {1, …, n} telle que le parallélépipède

Π′ = Π(ρ_{1}L_{σ(1)}, …, ρ_{n}L_{σ(n)}; 1, …, 1)

ait des minima successifs λ′_{1}, …, λ′_{n} satisfaisant :

2^{−n}λ_{i}ρ_{i} ≤ λ′_{i} ≤ 2^{n^{2}}(n!)^{2}λ_{i}ρ_{i}, i = 1, …, n . (1.4)

De plus si g_{i} =^{not} g_{i}(Π) et S_{i} =^{def} ⊕_{k=1}^{i}ℝg_{k}, alors :

∀x ∈ ℤ^{n} \ S_{i−1}, max {|ρ_{1}L_{σ(1)}(x)|, …, |ρ_{n}L_{σ(n)}(x)|} ≥ 2^{−n}λ_{i}ρ_{i}, pour i = 1, …, n , (1.5)

avec la convention S_{0} = {0}.

Preuve : Posons pour x ∈ ℝ^{n}, N(x) = max {|L_{1}(x)|, …, |L_{n}(x)|}. Par définition de g_{1}, …, g_{n} nous avons N(g_{j}) = λ_{j} pour j = 1, …, n. Nous allons montrer qu’il existe σ ∈ 𝔖_{n} (groupe symétrique d’ordre n) tel que pour chaque j = n, …, 1 il existe des réels α_{1}^{j}, …, α_{n−j+1}^{j} non tous nuls tels que :

α_{1}^{j}L_{σ(1)} + ⋯ + α_{n−j+1}^{j}L_{σ(n−j+1)} ≡ 0 sur S_{n−j} et (1.6)

|α_{n−j+1}^{j}| = max_{1≤k≤n−j+1} |α_{k}^{j}| (1.7)

En fait σ est construite grâce à l’algorithme suivant :

1. j ← n et σ ← Id.

2. Si j = 0, c’est terminé.

3. Les formes linéaires L_{σ(1)}, …, L_{σ(j)} sont indépendantes, donc il existe des réels non tous nuls b_{σ(1)}, …, b_{σ(j)} tels que b_{σ(1)}L_{σ(1)} + ⋯ + b_{σ(j)}L_{σ(j)} vaut 0 sur S_{j−1}, et il existe une permutation τ de {σ(1), …, σ(j)} telle que b_{τ(σ(j))} = max_{1≤k≤j} |b_{τ(σ(k))}|. Il suffit alors de poser α_{k}^{j} = b_{τ(σ(k))} pour k = 1, …, j, et de remplacer σ par la permutation définie par

k ⟼ \{ \begin{matrix}τ(σ(k)) & si k = 1, …, j , \\ σ(k) & sinon . \end{matrix}

4. j ← j − 1 et aller en 2.

Une fois cette construction faite, nous pouvons en déduire que

∀j = 1, …, n, ∀x ∈ S_{j}, |L_{σ(1)}(x)| + ⋯ + |L_{σ(j)}(x)| ≥ 2^{j−n}(|L_{σ(1)}(x)| + ⋯ + |L_{σ(n)}(x)|) (1.8)

En vue de montrer (1.5), considérons un x ∈ ℤ^{n} \ S_{i−1} ; il existe alors un entier j tel que i ≤ j ≤ n, avec x ∈ S_{j} et x ∉ S_{j−1}. D’après la Proposition 1.1.6 cela entraîne N(x) > λ_{j}, mais comme x ∈ S_{j}, nous avons :

max {|ρ_{1}L_{σ(1)}(x)|, …, |ρ_{n}L_{σ(n)}(x)|} ≥ ρ_{j} max {|L_{σ(1)}(x)|, …, |L_{σ(j)}(x)|} par (1.1)
≥ \frac{2^{j−n}}{j} ρ_{j}(|L_{σ(1)}(x)| + ⋯ + |L_{σ(n)}(x)|) par (1.8)
≥ 2^{−n}ρ_{j}N(x) ≥ 2^{−n}ρ_{j}λ_{j} ≥ 2^{−n}ρ_{i}λ_{i} par (1.1)

ce qui montre (1.5), et il suit que λ′_{i} ≥ 2^{−n}ρ_{i}λ_{i} pour i = 1, …, n, ce qui est la première inégalité de (1.4). Pour montrer l’autre inégalité, nous observons que l’hypothèse (1.2) et le Lemme 1.1.9 montrent que Vol Π = Vol Π′ = 2^{n}, donc le Théorème 1.1.11 permet d’obtenir les deux inégalités :

\frac{1}{n!} ≤ λ_{1} … λ_{n} ≤ n! et \frac{1}{n!} ≤ λ′_{1} … λ′_{n} ≤ n! .

Donc pour i = 1, …, n :

λ′_{i} ≤ \frac{n!}{λ′_{1} … λ̂′_{i} … λ′_{n}} ≤ \frac{2^{n(n−1)}n!}{ρ_{1}λ_{1} … ρ̂_{i}λ_{i} … ρ_{n}λ_{n}} < 2^{n^{2}}(n!)^{2}ρ_{i}λ_{i}

(la notation x̂ signifiant qu’il ne faut pas tenir compte du facteur x dans les produits).

Parallélépipèdes réciproques et théorème de Mahler

Si Π(L_{1}, …, L_{n}; 1, …, 1) est un parallélépipède au sens de la Définition 1.1.7, et si pour i = 1, …, n nous appelons a_{i} le vecteur des composantes de la forme linéaire L_{i} sur la base canonique de (ℝ^{n})^{∗}, nous obtenons clairement que :

\begin{aligned}Π(L_{1}, …, L_{n}; 1, …, 1) & = & \{x ∈ ℝ^{n} | |a_{i}.x| ≤ 1 pour i = 1, …, n\} , \\ & =^{not} & Π(a_{1}, …, a_{n}) . \end{aligned}

Ceci permet d’introduire une notion naturelle de dualité sur les parallélépipèdes.

Définition 1.1.13 Les parallélépipèdes Π(a_{1}, …, a_{n}) et Π(a′_{1}, …, a′_{n}) sont dits duaux (ou réciproques) si (a_{1}, …, a_{n}) et (a′_{1}, …, a′_{n}) sont des bases de ℝ^{n} duales l’une de l’autre.

Le théorème de Mahler qui suit répond à la question naturelle suivante : si Π et Π′ sont deux parallélépipèdes duaux, que pouvons-nous dire de λ_{1}(Π′), …, λ_{n}(Π′) et g_{1}(Π′), …, g_{n}(Π′) par rapport à λ_{1}(Π), …, λ_{n}(Π) et g_{1}(Π), …, g_{n}(Π) ?

Théorème 1.1.14 Si Π(a_{1}, …, a_{n}) et Π(a_{1}^{∗}, …, a_{n}^{∗}) sont des parallélépipèdes duaux de minima successifs λ_{1}, …, λ_{n} et λ_{1}^{∗}, …, λ_{n}^{∗} respectivement. Alors :

∀i ∈ {1, …, n}, λ_{i}^{∗} ≪ λ_{n+1−i}^{−1} ≪ λ_{i}^{∗} , (1.9)

où les constantes induites par (1.9) ne dépendent que de n. De plus si g_{i} = g_{i}(Π) pour i = 1, …, n sont comme dans le Lemme 1.1.4, et si (g_{i}^{∗})_{1≤i≤n} est la base duale (g_{i})_{1≤i≤n}, alors

∀i ∈ {1, …, n}, ∀j ∈ {1, …, n}, |a_{i}^{∗}.g_{j}^{∗}| ≪ λ_{j}^{−1} . (1.10)

Preuve : Comme g_{j} ∈ λ_{j}Π, il existe x_{j} ∈ Π avec g_{j} = λ_{j}x_{j} d’où a_{i}.g_{j} = λ_{i}a_{i}.x_{j} et ∀i, j, |a_{i}.g_{j}| ≤ λ_{j}. Posons E = | det (g_{1}, …, g_{n})| ; nous avons alors 1 ≤ E ≤ n!^{2}. En effet g_{1}, …, g_{n} sont indépendants et entiers donc E ≥ 1 est clair ; l’autre inégalité vient de :

E = λ_{1} … λ_{n}| det (x_{1}, …, x_{n})| ≤ λ_{1} … λ_{n} n! 2^{−n} Vol Π ≤ n!^{2} .

La dernière inégalité résulte du Théorème 1.1.11, tandis que l’avant-dernière résulte de l’observation suivante : comme Π est convexe il contient {∑_{i=1}^{n} t_{i}x_{i}, |t_{1}| + … + |t_{n}| ≤ 1}, ensemble de volume 2^{n}/n!| det (x_{1}, …, x_{n})|. Considérons la matrice A = (a_{l}.g_{m})_{1≤l,m≤n}. En écrivant les g_{k} sur les a_{j}^{∗} et les g_{j}^{∗} sur les a_{i}, on vérifie que :

∑_{i=1}^{n} a_{i}.g_{k} a_{i}^{∗}.g_{j}^{∗} = g_{k}.g_{j}^{∗} = δ_{kj} .

La matrice B = (a_{i}^{∗}.g_{j}^{∗})_{1≤i,j≤n} est alors l’inverse de la matrice ^{t}A. D’où a_{i}^{∗}.g_{j}^{∗} = A_{ij}/ det A, A_{ij} étant le cofacteur de a_{ij}. Ceci va nous permettre de déduire l’inégalité (1.10). En effet, en écrivant les a_{l} et les g_{m} sur la base canonique de ℝ^{n} et en utilisant det^{t}MN = det M det N il vient | det A| = DE. D’où les inégalités, pour 1 ≤ i, j ≤ n :

|a_{i}^{∗}.g_{j}^{∗}| = \frac{|A_{ij}|}{| det A|}
≤ \frac{(n − 1)!λ_{1} … λ_{j−1}λ_{j+1} … λ_{n}}{DE} (car |a_{i}.g_{j}| ≤ λ_{j})
≤ (n − 1)!λ_{1} … λ_{n}D^{−1}λ_{j}^{−1} (car E ≥ 1)
≪ λ_{j}^{−1} (avec une constante dépendant de n) .

En effet D = 2^{n}/ Vol Π et nous savons que 2^{−n}λ_{1} … λ_{n} Vol(Π) ≪ 1 (Théorème 1.1.11).

Montrons maintenant les inégalités de (1.9) ; il s’agit de trouver une constante C ≥ 1 telle que C/λ_{j}Π^{∗} ∩ ℤ^{n} contienne n + 1 − j vecteurs entiers linéairement indépendants. Pour cela il suffit de noter que les vecteurs Eg_{1}^{∗}, …, Eg_{n}^{∗} sont indépendants et entiers : si (ϵ_{k})_{1≤k≤n} désigne la base canonique de ℝ^{n} et G la matrice de (g_{i})_{1≤i≤n} dans cette base, la matrice de (Eg_{i}^{∗})_{1≤i≤n} dans cette base est E ^{t}(G^{−1}) = ±comG qui est entière.

Les inégalités (1.10) fournissent une constante C ≥ 1 (ne dépendant que de n) telle que

|a_{i}^{∗}.Eg_{j}^{∗}| ≤ C/λ_{j}, 1 ≤ i, j ≤ n .

Il suit que pour j = 1, …, n, les vecteurs Eg_{n}^{∗}, …, Eg_{j}^{∗} sont contenus dans C/λ_{j}Π^{∗} ∩ ℤ^{n} et sont au nombre de n + 1 − j, donc λ_{n+1−j}^{∗} ≤ Cλ_{j}^{−1}, ce qui prouve le premier membre de (1.10) modulo le changement d’indice j ↦ n + 1 − j. Le second membre s’obtient en remarquant que :

Vol Π Vol Π^{∗} = \frac{2^{n}}{| det (a_{1}, …, a_{n})|} \frac{2^{n}}{| det (a_{1}^{∗}, …, a_{n}^{∗})|} = 4^{n} ,

d’où les inégalités :

λ_{1} … λ_{n}λ_{1}^{∗} … λ_{n}^{∗} = 4^{−n} λ_{1} … λ_{n} Vol Π λ_{1}^{∗} … λ_{n}^{∗} Vol Π^{∗}
≥ \frac{1}{n!^{2}} (Théorème 1.1.11) ,

dont nous déduisons finalement :

1 ≪ λ_{1} … λ_{n}λ_{1}^{∗} … λ_{n}^{∗} = (∏_{j≠i} λ_{j}^{∗}λ_{n+1−j}) λ_{i}^{∗}λ_{n+1−i} ≪ λ_{i}^{∗}λ_{n+1−i}

pour i = 1, …, n, ce qui achève la preuve du théorème de Mahler.

Dans la preuve du théorème des sous-espaces fort, nous aurons besoin à partir d’un parallélépipède Π de ℝ^{n} pour lequel λ_{n−1} ne possède pas une certaine propriété de construire un parallélépipède de ℝ^{N} (N à déterminer) pour lequel λ_{N−1} possède cette propriété. Cette construction utilise l’Algèbre de Grassmann et les parallélépipèdes composés de Mahler.

1.2 Algèbre de Grassmann et parallélépipèdes composés de Mahler

Dans toute cette section C(n, p) désigne l’ensemble des p-uplets d’entiers (i_{1}, …, i_{p}) qui satisfont 1 ≤ i_{1} < ⋯ < i_{p} ≤ n, de sorte que C(n, p) contient l = C_{n}^{p} éléments. La base canonique de ℝ^{n} est notée (e_{1}, …, e_{n}).

1.2.1 L’Algèbre de Grassmann

Définition 1.2.1 On note ℝ_{p}^{n} le ℝ-espace vectoriel engendré par les symboles e_{i_{1}}∧⋯∧e_{i_{p}} = E_{σ} où σ = (i_{1}, …, i_{p}) ∈ C(n, p), et on définit pour un multi-indice 1 ≤ j_{1}, …, j_{p} ≤ n

e_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{j_{p}} = \{ \begin{matrix}0 & si & ∃k ≠ k′ avec j_{k} = j_{k′} , \\ ϵ(σ)e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{p}} & si & σ envoie 1 ≤ i_{1} < ⋯ < i_{p} ≤ n sur (j_{1}, …, j_{p}) . \end{matrix}

Lemme 1.2.2 On fait de ℝ_{p}^{n} un espace euclidien de dimension l en posant pour (σ, τ) ∈ C(n, p) :

E_{σ}.E_{τ} = δ_{στ} = \{ \begin{matrix}1 & si σ = τ , \\ 0 & sinon . \end{matrix}

Définition 1.2.3 On appelle Algèbre de Grassmann de ℝ^{n}, le ℝ-espace vectoriel

G_{n} = ⨁_{p=0}^{n} ℝ_{p}^{n}

muni du produit extérieur noté ∧, défini par les formules

(1.11)  1 ∧ 1 = 1 ,
1 ∧ (e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{p}}) = (e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{p}}) ∧ 1 = e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{p}} ,
(1.12) (e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{p}}) ∧ (e_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{j_{p}}) = e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{p}} ∧ e_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{j_{p}} ,

qu’on prolonge par ℝ-linéarité. On obtient ainsi une ℝ-algèbre associative.

Nous poursuivons maintenant par une série de lemmes techniques mais utiles pour calculer dans (G_{n}, +, ∧). Nous devons tout d’abord savoir développer un élément de ℝ_{p}^{n} sur la base canonique.

Lemme 1.2.4 Supposons que x_{i} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{ij}e_{j} pour 1 ≤ i ≤ p. Nous avons alors l’écriture

x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{p} = ∑_{σ∈C(n,p)} ξ_{σ}E_{σ}

où par définition ξ_{σ} = det (ξ_{ij_{k}})_{1≤i,k≤p} si σ = (j_{1}, …, j_{p}) .

Preuve : Les deux termes de la formule à démontrer sont des fonctions linéaires de x_{i}, 1 ≤ i ≤ p de sorte qu’il suffit de la démontrer lorsque x_{i} = e_{j_{i}}, 1 ≤ i ≤ p, avec 1 ≤ j_{1}, …, j_{p} ≤ n. S’il existe deux entiers l et l′ pour lesquels j_{l} = j_{l′}, on a x_{j_{1}}∧⋯∧x_{j_{p}} = 0 par définition, et ξ_{σ} = 0. Sinon puisque les deux membres se comportent de façon identique quand on permute les x_{i}, on peut supposer que 1 ≤ j_{1} < ⋯ < j_{p} ≤ n. Alors d’après la Définition 1.2.1, e_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{j_{p}} = E_{σ} pour σ = (j_{1}, …, j_{p}). Il suffit donc de vérifier que ξ_{τ} = 1 si τ = σ et ξ_{τ} = 0 sinon, ce qui est clair.

Lemme 1.2.5 Pour (x_{1}, …, x_{p}) ∈ (ℝ^{n})^{p}, nous avons l’équivalence :

x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{p} = 0 ⟺ x_{1}, …, x_{p} sont linéairement dépendants .

Preuve : Par le lemme précédent, dont on garde les notations, x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{p} = 0 signifie que ξ_{σ} = 0 pour tout σ ∈ C(n, p), c’est-à-dire que tous les mineurs d’ordre p de la matrice (ξ_{ij})_{1≤i≤p,1≤j≤n} sont nuls, ce qui équivaut finalement à dire que le système de vecteurs (x_{1}, …, x_{p}) est de rang strictement inférieur à p, ce que nous voulions.

Lemme 1.2.6 Soient (x_{1}, …, x_{p}) et (y_{1}, …, y_{p}) deux p-uplets de vecteurs linéairement indépendants de ℝ^{n}. Alors

ℝx_{1} ⊕ ⋯ ⊕ ℝx_{p} = ℝy_{1} ⊕ ⋯ ⊕ ℝy_{p} ⟺ ℝy_{1} ∧ ⋯ ∧ y_{p} = ℝx_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{p} .

Preuve : Si ℝy_{1} ⊕ ⋯ ⊕ ℝy_{p} = ℝx_{1} ⊕ ⋯ ⊕ ℝx_{p}, nous pouvons écrire y_{j} = ∑_{i=1}^{p} a_{ij}x_{i}, A = (a_{ij})_{1≤i,j≤p} étant inversible. Or pour toute permutation σ ∈ S_{p}, nous avons :

x_{σ(1)} ∧ ⋯ ∧ x_{σ(p)} = ϵ(σ)x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{p} ,

ce qui permet d’obtenir que y_{1} ∧ ⋯ ∧ y_{p} = (det A)x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{p}, et le second membre de l’équivalence. Réciproquement supposons y_{1} ∧ ⋯ ∧ y_{p} = λx_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{p}, λ ∈ ℝ^{∗}. Alors nous avons y_{1} ∧ ⋯ ∧ y_{p} ∧ x_{i} = 0 pour i = 1, …, p donc par le Lemme 1.2.5, x_{i} ∈ ℝy_{1} ⊕ ⋯ ⊕ ℝy_{p}, d’où le premier membre de l’équivalence.

Lemme 1.2.7 (Identité de Laplace) Soient (x_{1}, …, x_{p}) et (y_{1}, …, y_{p}) deux p-uplets de vecteurs de ℝ^{n}. Alors

x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{p}.y_{1} ∧ ⋯ ∧ y_{p} = det (x_{i}.y_{j})_{1≤i,j≤p} .

Preuve : Le lemme résulte des trois observations suivantes :

– les deux membres sont des fonctions linéaires de x_{1}, …, x_{p}, y_{1}, …, y_{p} ;

– si σ et τ sont deux permutations et (i_{1}, …, i_{p}) ∈ C(n, p), (j_{1}, …, j_{p}) ∈ C(n, p), alors

1. e_{σ(i_{1})} ∧ ⋯ ∧ e_{σ(i_{p})}.e_{τ(j_{1})} ∧ ⋯ ∧ e_{τ(j_{p})} = ϵ(σ)ϵ(τ)e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{p}}.e_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{j_{p}}

2. det (x_{σ(i_{k})}.y_{τ(j_{l})})_{1≤k,l≤p} = ϵ(σ)ϵ(τ) det (x_{i_{k}}.y_{j_{l}})_{1≤k,l≤p} ;

– d’après la Définition 1.2.10, e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{p}}.e_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{j_{p}} = E_{σ}.E_{τ} = δ_{στ}, et

det (e_{i_{k}}.e_{j_{l}})_{1≤k,l≤p} = ∑_{s∈𝔖_{p}} ∏_{k=1}^{p} e_{i_{k}}.e_{j_{s(k)}} .

Un terme de ce dernier déterminant est non nul lorsque i_{k} = j_{s(k)} pour tout k = 1, …, p. Ceci n’a lieu que pour s = Id, c’est-à-dire σ = τ.

Lemme 1.2.8 Soient (x_{1}, …, x_{n}) ∈ (ℝ^{n})^{n}. Pour τ = (j_{1}, …, j_{p}) ∈ C(n, p), posons X_{τ} = x_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ x_{j_{p}}. Alors

det (X_{τ})_{τ∈C(n,p)} = (det (x_{1}, …, x_{n}))^{lp/n} .

Preuve : Si (x_{1}, …, x_{n}) = (e_{1}, …, e_{n}), les deux membres de la formule valent 1. Si x_{1}, …, x_{n} sont dépendants, le membre de droite vaut 0, et il existe τ ∈ C(n, p) tel que X_{τ} = 0, donc les deux membres sont égaux. Reste le cas où (x_{1}, …, x_{n}) est une base. Dans ce cas c’est l’image de (e_{1}, …, e_{n}) par une composée d’applications du type :

D_{i}(λ) :  (ℝ^{n})^{n}  ⟶  (ℝ^{n})^{n}
(x_{1}, …, x_{n}) ⟼  (x_{1}, …, λx_{i}, …, x_{n}) ,
B_{ij}(λ) :  (ℝ^{n})^{n}  ⟶  (ℝ^{n})^{n}
(x_{1}, …, x_{n}) ⟼ (x_{1}, …, x_{i}, …, \underbrace{x_{j} + λx_{i}}_{j}, …, x_{n}) .

Sous l’effet de D_{i}(λ), le second membre est multiplié par λ^{lp/n}, et sous l’effet de B_{ij}(λ), il est inchangé. D’autre part, sous l’effet de D_{i}(λ), un vecteur X_{τ} est inchangé sauf si lorsque τ = (j_{1}, …, j_{p}), il existe l compris entre 1 et p tel que j_{l} = i. Le nombre de tels τ étant C_{n−1}^{p−1} = lp/n, le premier membre est multiplié par λ^{lp/n} tout comme le second. Enfin, sous l’effet de B_{ij}(λ), regardons ce que devient X_{τ} = x_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ x_{j_{p}}.

– Si j ∉ {j_{1}, …, j_{p}}, X_{τ} est inchangé ,

– si j ∈ {j_{1}, …, j_{p}} et i ∈ {j_{1}, …, j_{p}}, X_{τ} est encore inchangé ,

– si j ∈ {j_{1}, …, j_{p}} et i ∉ {j_{1}, …, j_{p}}, X_{τ} devient X_{τ} ± λX_{τ′} pour un τ′ ∈ C(n, p) convenable, donc globablement le premier membre est inchangé. Nous concluons que la formule est toujours vraie.

Le lemme suivant nous donne un moyen simple de déduire des bases duales de ℝ_{p}^{n} à partir de bases duales de ℝ^{n}.

Lemme 1.2.9 Soient (a_{1}, …, a_{n}) une base de ℝ^{n} et 1 ≤ p ≤ n. Pour σ = (i_{1}, …, i_{p}) ∈ C(n, p), posons A_{σ} = a_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ a_{i_{p}}. Alors

(i) (A_{σ})_{σ∈C(n,p)} est une base de ℝ_{p}^{n} , (ii) Si det (a_{1}, …, a_{n}) = 1 alors det (A_{σ})_{σ∈C(n,p)} = 1 , (iii) Si (a_{1}^{∗}, …, a_{n}^{∗}) est la base duale de (a_{1}, …, a_{n}), et si pour σ = (i_{1}, …, i_{p}) ∈ C(n, p), nous posons A_{σ}^{∗} = a_{i_{1}}^{∗} ∧ ⋯ ∧ a_{i_{p}}^{∗}, alors (A_{σ}^{∗})_{σ∈C(n,p)} est la base duale de (A_{σ})_{σ∈C(n,p)} .

Preuve : Les points (i) et (ii) sont une conséquence immédiate du Lemme 1.2.8. Quant au point (iii), il résulte de l’identité de Laplace (Lemme 1.2.7).

Nous avons à ce stade tous les outils nécessaires pour expliciter la construction dont nous parlions en introduisant cette section.

1.2.2 Les parallélépipèdes composés de Mahler

Nous conservons ici toutes les notations du dernier lemme de la section précédente, et de la remarque précédant la Définition 1.1.13.

Définition 1.2.10 Au parallélépipède Π(a_{1}, …, a_{n}) de ℝ^{n} on associe le p-ième parallélépipède composé de Mahler Π^{(p)} = Π((A_{σ})_{σ∈C(n,p)}), à savoir l’ensemble

{X ∈ ℝ_{p}^{n} | |A_{σ}.X| ≤ 1, pour σ ∈ C(n, p)} .

Si nous connaissons λ_{1}(Π), …, λ_{n}(Π) et g_{1}(Π), …, g_{n}(Π), que pouvons-nous dire des quantités correspondantes pour Π^{(p)} ? La réponse est l’objet du théorème de Mahler qui suit. Toutefois nous avons besoin de quelques notations préalables.

Définition 1.2.11 Si λ_{1}, …, λ_{n} sont les minima successifs de Π = Π(a_{1}, …, a_{n}), nous définissons pour σ ∈ C(n, p),

λ_{σ} = ∏_{k=1}^{p} λ_{i_{k}} .

En outre nous supposons que C(n, p) est ordonné de sorte que l’application τ ↦ λ_{τ} est croissante. Ses éléments peuvent alors s’écrire λ_{τ_{i}}, 1 ≤ i ≤ l (rappelons que l = C_{n}^{p}). Si g_{i} = g_{i}(Π) pour i = 1, …, n, nous définissons enfin pour σ = (i_{1}, …, i_{p}) ∈ C(n, p),

G_{σ} = g_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ g_{i_{p}} .

Remarquons qu’un ordre sur C(n, p) satisfaisant les exigences de la définition ci-dessus n’est pas forcément unique, puisqu’en général l’application τ ↦ λ_{τ} n’est pas injective. Nous pouvons maintenant énoncer le théorème.

Théorème 1.2.12 (Mahler) Soit Π = Π(a_{1}, …, a_{n}) un parallélépipède de minima successifs λ_{1} < ⋯ < λ_{n} avec g_{i} = g_{i}(Π) pour i = 1, …, n (cf. Lemme 1.1.4). Considérons le p-ième parallélépipède composé de Mahler Π^{(p)} = Π((A_{σ})_{σ∈C(n,p)}), et notons ν_{1}, …, ν_{l} ses minima successifs. Avec les notations de la Définition 1.2.11, nous avons

∀(σ, τ) ∈ C(n, p) × C(n, p), |A_{σ}.G_{τ}| ≤ p!λ_{τ} , (1.13)

et

∀i = 1, …, l, λ_{τ_{i}} ≪ ν_{i} ≪ λ_{τ_{i}} , (1.14)

où les constantes ne dépendent que de n.

Preuve : L’identité de Laplace nous montre que pour (σ, τ) ∈ C(n, p) × C(n, p) :

|A_{σ}.G_{τ}| = | det (a_{i_{k}}.g_{j_{l}})_{1≤k,l≤p}|
≤ ∑_{s∈𝔖_{p}} |∏_{k=1}^{p} a_{i_{k}}.g_{j_{l}}|
≤ ∑_{s∈𝔖_{p}} λ_{i_{1}} … λ_{i_{p}} car |a_{i_{k}}.g_{j_{l}}| ≤ λ_{j_{l}}
≤ p!λ_{τ} .

Cela prouve l’assertion (1.13). Observons qu’alors les (G_{τ})_{τ∈C(n,p)} constituent l vecteurs entiers indépendants contenus dans le parallélépipède p!λ_{τ_{i}}Π^{(p)} d’après (1.13). Nous en concluons que ν_{i} ≤ p!λ_{τ_{i}} pour i = 1, …, l. Puisque d’autre part nous avons ∏_{i=1}^{l} λ_{τ_{i}} = (λ_{1} … λ_{n})^{t} ≪ 1, où t = C_{n−1}^{p−1}, ainsi que ν_{1} … ν_{l} ≫ 1, nous pouvons en déduire que λ_{τ_{i}} ≪ ν_{i} pour i = 1, …, l. Ceci achève de prouver l’assertion (1.14).

Lemmes polynomiaux et théorie de l’indice

Nous avons regroupé dans ce chapitre la plupart des outils polynomiaux utilisés dans la preuve du théorème des sous-espaces. Dans la première section, nous donnons des conditions pour qu’un polynôme s’annule sur un produit de sous-espaces vectoriels, puis quelques lemmes et définitions qui seront utiles dans la section suivante, où nous présentons deux notions d’indice (qui généralisent la notion bien connue d’ordre d’une racine). Les deux dernières sections donnent des résultats de majoration, puis de minoration de ces indices.

2.1 Un lemme d’annulation

Commençons par introduire une notation commode.

Définition 2.1.1 Soit n ≥ 1 et s ≥ 1 deux entiers, ainsi que 1 ≤ q ≤ n − 1. Soient également (w_{1}, …, w_{q}) ∈ (ℝ^{n})^{q}. Le grillage de taille s et de base (w_{1}, …, w_{q}) est l’ensemble :

Γ(s, w_{1}, …, w_{q}) = {∑_{i=1}^{q} h_{i}w_{i} | 1 ≤ h_{i} ≤ s pour i = 1, …, q} .

Γ(s, w_{1}, …, w_{q}) est un grillage sur un sous-espace vectoriel H de ℝ^{n} si de plus H = ℝw_{1} ⊕ ⋯ ⊕ ℝw_{q}.

Nous allons montrer en deux étapes le résultat suivant : un polynôme de degré convenable en m blocs de n variables s’annule sur un produit de m sous-espaces vectoriels de ℝ^{n} dès que lui et ses dérivées d’ordre suffisamment grand s’annulent sur un produit de grillages sur ces sous-espaces. Pour cela, nous commençons par traiter le cas d’un seul bloc. Dans la suite, nous identifions polynômes et fonctions polynômes chaque fois que cela est nécessaire.

Lemme 2.1.2 Soit P (X_{1}, …, X_{n}) ∈ ℝ[X_{1}, …, X_{n}], r un entier avec deg P ≤ r, s ∈ ℕ^{∗}, Γ un grillage de taille s sur un sous-espace vectoriel de dimension 1 ≤ q ≤ n − 1 et t ∈ ℕ tel que s(t + 1) > r. Supposons que

\frac{∂^{t_{1}+···+t_{n}}}{∂X_{1}^{t_{1}} … ∂X_{n}^{t_{n}}} P ≡ 0 sur Γ pour t_{1} + ⋯ + t_{n} ≤ t .

Alors P ≡ 0 sur H.

Preuve : Notons (e_{1}, …, e_{n}) la base canonique de ℝ^{n}. Nous commençons par nous ramener au cas où Γ̃ = Γ(s, e_{1}, …, e_{q}) et H = ℝe_{1} ⊕ ⋯ ⊕ ℝe_{q}.

Soit Γ(s, w_{1}, …, w_{q}) le grillage donné sur H. Comme ℝ^{n} = H ⊕ H^{⊥}, si (w_{q+1}, …, w_{n}) est une base de H^{⊥}, (w_{1}, …, w_{n}) est une base de ℝ^{n}. Soit u l’élément de Gl_{n}(ℝ) tel que u(w_{i}) = e_{i} pour i = 1, …, n. Le groupe Gl_{n}(ℝ) agit sur ℝ[X_{1}, …, X_{n}] par :

\begin{matrix}Gl_{n}(ℝ) × ℝ[X_{1}, …, X_{n}] & ⟶ & ℝ[X_{1}, …, X_{n}] \\ (v, P) & ⟼ & v ∗ P = P ∘ v^{−1} , \end{matrix}

et u envoie Γ sur Γ̃ = Γ(s, e_{1}, …, e_{q}) et H sur (ℝe_{q+1} ⊕ ⋯ ⊕ ℝe_{n})^{⊥}. Les deux faits suivants

(2.1) P s’annule sur Γ ⟺ u ∗ P s’annule sur u(Γ) ,

u ∗ \frac{∂^{t_{1}+···+t_{n}}}{∂X_{1}^{t_{1}} … ∂X_{n}^{t_{n}}} P = \frac{∂^{t_{1}+···+t_{n}}}{∂X_{1}^{t_{1}} … ∂X_{n}^{t_{n}}} (u ∗ P) , (2.2)

montrent que si le lemme est vrai avec Γ̃ et ℝe_{1} ⊕ ⋯ ⊕ ℝe_{q}, il est alors vrai pour Γ et H.

Nous supposons donc dans la suite que Γ = Γ̃ et H = ℝe_{1} ⊕ ⋯ ⊕ ℝe_{q}. Nous devons donc prouver que Q(X_{1}, …, X_{q}) = P (X_{1}, …, X_{q}, 0, …, 0), de degré au plus r, est nul si ses dérivées d’ordre au plus t avec s(t + 1) > r s’annulent sur les s^{q} points entiers (h_{1}, …, h_{q}), 1 ≤ h_{i} ≤ s. Procédons par récurrence sur q. Si q = 1, le polynôme Q^{(l)}(X_{1}) s’annulant en 1, …, s pour 0 ≤ l ≤ t, on en déduit que Q(X_{1}) a au moins s(t + 1) > r zéros, compte tenu des multiplicités. Donc Q(X_{1}) = 0 puisque Q est de degré au plus r. Supposons maintenant le résultat vrai jusqu’à q − 1 et montrons-le pour q ≥ 2. Pour 1 ≤ h ≤ s, désignons par e_{h} le plus grand entier tel que (X_{1} − h)^{e_{h}} divise Q. Nous pouvons alors écrire

Q(X_{1}, …, X_{q}) = R(X_{1}, …, X_{q}) ∏_{h=1}^{s}(X_{1} − h)^{e_{h}} . (2.3)

Il s’agit alors de prouver que e =^{def} min {e_{1}, …, e_{s}} ≥ t + 1, et le cas déjà traité d’une variable donnera la conclusion. Supposons donc au contraire que e ≤ t, par exemple e = e_{1}. En dérivant (2.3) e_{1} fois par rapport à X_{1} et en évaluant en (1, X_{2}, …, X_{q}), nous trouvons

\frac{∂^{e_{1}}}{∂X_{1}^{e_{1}}} Q(X_{1}, …, X_{q})_{|X_{1}=1} = e!R(1, X_{2}, …, X_{q}) ∏_{h=2}^{s}(1 − h)^{e_{h}} . (2.4)

R(1, X_{2}, …, X_{q}) est proportionnel à \frac{∂^{e_{1}}}{∂X_{1}^{e_{1}}} Q(X_{1}, …, X_{q})_{|X_{1}=1}, de degré total inférieur à r − se à q − 1 variables, et (2.4) dit que ses dérivées d’ordre au plus t − e s’annulent sur les s^{q−1} points entiers (h_{2}, …, h_{s}), 1 ≤ h_{i} ≤ s.

Par hypothèse de récurrence, puisque s(t − e + 1) = s(t + 1) − se > r − se, le polynôme R(1, X_{2}, …, X_{q}) est nul, donc (X_{1}−1)^{e+1} divise Q(X_{1}, …, X_{q}). C’est impossible par définition de e = e_{1}, et ce dernier est donc nul, ce qui montre le lemme.

Nous pouvons maintenant traiter le cas de m blocs.

Lemme 2.1.3 Soit P ∈ ℝ[(X_{h1}, …, X_{hn})_{h=1,... ,m}] de degré au plus r_{h} en les variables X_{h1}, …, X_{hn} pour h = 1, …, m. Soient Γ_{1}, …, Γ_{m} des grillages sur des sous-espaces vectoriels H_{1}, …, H_{m} de ℝ^{n} de dimensions respectives q_{1}, …, q_{m} comprises entre 1 et n − 1, c’est-à-dire :

Γ_{h} = Γ(s_{h}, w_{1}^{(h)}, …, w_{q_{h}}^{(h)}) si H_{h} = ℝw_{1}^{(h)} ⊕ ⋯ ⊕ ℝw_{q_{h}}^{(h)}, s_{h} ∈ ℕ^{∗} .

Soient t_{1}, …, t_{m} des entiers avec s_{h}(t_{h} + 1) > r_{h}, h = 1, …, m, et posons enfin

H = ∏_{h=1}^{m} H_{h} et Γ = ∏_{h=1}^{m} Γ_{h} .

Supposons que pour

I = (t_{11}, …, t_{1n}; ⋯; t_{m1}, …, t_{mn}) avec ∑_{i=1}^{n} t_{hi} ≤ t_{h}, h = 1, …, m ,

nous ayons

P^{I} =^{def} \frac{∂^{t_{11}+···+t_{mn}}}{∂X_{11}^{t_{11}} … ∂X_{mn}^{t_{mn}}} P ≡ 0 sur Γ .

Alors P ≡ 0 sur H.

Preuve : Lorsque m = 1, c’est le lemme précédent. Supposons le résultat vrai jusqu’au rang m − 1 et montrons-le pour m ≥ 2. Pour (\underline{x}_{1}, …, \underline{x}_{m−1}) arbitraire dans Γ_{1} × ⋯ × Γ_{m−1}, le Lemme 2.1.2 dit que :

Q(X_{m1}, …, X_{mn}) = P (\underline{x}_{1}, …, \underline{x}_{m−1}; X_{m1}, …, X_{mn})

s’annule sur H_{m}. Pour \underline{x} ∈ H_{m}, l’hypothèse de récurrence dit que :

Q\underline{x}(\underline{X}_{1}, …, \underline{X}_{m−1}) = P (\underline{X}_{1}, …, \underline{X}_{m−1}, \underline{x})

s’annule sur H_{1} × ⋯ × H_{m−1} donc P ≡ 0 sur H (\underline{X}_{h} désigne bien sûr le bloc de variables (X_{h1}, …, X_{hn})).

Dans les sections suivantes nous travaillerons constamment avec des polynômes en m blocs de n variables. Pour rendre plus concis les énoncés, il est utile d’introduire des notations efficaces.

Définition 2.1.4 Nous désignerons toujours par A la ℝ-algèbre des polynômes en les nm variables (n ≥ 1, m ≥ 1)

X_{11}, …, X_{1n}; X_{21}, …, X_{2n}; ⋯; X_{m1}, …, X_{mn} .

Nous écrirons souvent un élément P de A sous la forme

P (\underline{X}_{1}, …, \underline{X}_{m}) = ∑ a(\underline{I}_{1}, …, \underline{I}_{m})\underline{X}_{1}^{\underline{I}^{1}} … \underline{X}_{m}^{\underline{I}^{m}}

où \underline{I}_{k} est un multi-indice de longueur n, et \underline{X}_{k}^{\underline{I}^{k}} a le sens habituel. Pour P ∈ A, H(P) désigne le maximum des valeurs absolues des coefficients de P. Par I, nous entendrons toujours un multi-indice du type (i_{11}, …, i_{1n}; ⋯; i_{m1}, …, i_{mn}) que nous écrirons parfois (\underline{I}_{1}, …, \underline{I}_{m}). Avec ces notations, nous posons

P^{I} = \frac{1}{i_{11}! … i_{mn}!} \frac{∂^{i_{11}+···+i_{mn}}}{∂X_{11}^{i_{11}} … ∂X_{mn}^{i_{mn}}} P . (2.5)

La notation \underline{r} désignera toujours le m-uplets d’entiers strictement positifs r_{1}, …, r_{m}, et, I et \underline{r} étant donnés,

(I/\underline{r}) = ∑_{h=1}^{m} \frac{i_{h1} + ⋯ + i_{hn}}{r_{h}} . (2.6)

Le lemme suivant nous donne une estimation de H(P^{I}) en fonction de H(P) lorsque P a des coefficients entiers.

Lemme 2.1.5 Soit P ∈ ℤ[\underline{X}_{1}, …, \underline{X}_{m}] homogène en \underline{X}_{h} de degré r_{h} pour 1 ≤ h ≤ m. Alors pour tout I,

(i) P^{I} ∈ ℤ[\underline{X}_{1}, …, \underline{X}_{m}] , (ii) H(P^{I}) ≤ 2^{r_{1}+···+r_{m}}H(P) .

Preuve : Pour (i), il suffit de vérifier que \frac{1}{i_{hk}!} \frac{∂^{i_{hk}}}{∂X_{hk}^{i_{hk}}} P ∈ ℤ[\underline{X}_{1}, …, \underline{X}_{m}] car les dérivations sont linéaires et commutent. Pour (ii), il suffit, par linéarité, de vérifier le résultat pour les monômes. Or si J = (\underline{J}_{1}, …, \underline{J}_{m}),

(\underline{X}_{1}^{\underline{J}^{1}} … \underline{X}_{m}^{\underline{J}^{m}})^{I} = \binom{j_{11}}{i_{11}} … \binom{j_{mn}}{i_{mn}}\underline{X}_{1}^{(\underline{J}−\underline{I})^{1}} … \underline{X}_{m}^{(\underline{J}−\underline{I})^{m}} ,

et le produit de coefficients binomiaux se majore par 2^{r_{1}+···+r_{m}} grâce à l’homogénéité de P.

Nous aurons besoin d’une notion de hauteur pour les éléments du corps ℚ(α_{1}, …, α_{n}) où α_{1}, …, α_{n} sont des entiers algébriques réels.

Définition 2.1.6 Soient α_{1}, …, α_{n} des entiers algébriques réels, K = ℚ(α_{1}, …, α_{n}) et d = [K : ℚ]. Il existe une base d’entiers β_{1}, …, β_{d} de K/ℚ, et sa table de multiplication β_{i}β_{j} = ∑_{k=1}^{d} c_{ijk}β_{k}. Posons C = max_{1≤i,j,k≤d} |c_{ijk}|. Pour γ ∈ K, il existe (x_{1}, …, x_{d}) ∈ ℚ^{d} tels que γ = x_{1}β_{1} + ⋯ + x_{d}β_{d}. Nous posons alors :

H(γ) = Cd^{2} max_{1≤j≤q} |x_{j}| .

La constante Cd^{2} a été placée devant le max pour que le lemme suivant soit vrai.

Lemme 2.1.7 Avec les notations de la Définition 2.1.6, pour (γ, δ) ∈ K^{2},

(i) H(γ + δ) ≤ H(γ) + H(δ) , (ii) H(γ δ) ≤ H(γ) H(δ) .

Pour certains I, nous associons maintenant aux polynômes P^{I} et aux entiers algébriques α_{1}, …, α_{n}, des polynômes P_{I}^{∗} qui nous serviront dans la section 2.3.

Définition 2.1.8 Soit P ∈ A homogène de degré r_{h} en \underline{X}_{h} pour 1 ≤ h ≤ m. Avec les notations de la Définition 2.1.6, nous posons :

P_{I}^{∗}(X_{12}, …, X_{1n}; ⋯; X_{m2}, …, X_{mn}) =
P^{I}(−α_{2}X_{12} − ⋯ − α_{n}X_{1n}; α_{1}X_{12}, …, α_{1}X_{1n}; ⋯;
−α_{2}X_{m2} − ⋯ − α_{n}X_{mn}; α_{1}X_{m2}, …, α_{1}X_{mn}) si
I = (i_{1}, 0, …, 0; ⋯; i_{m}, 0, …, 0) .

Ces polynômes possèdent les sympathiques propriétés suivantes.

Lemme 2.1.9 Avec les notations de la Définition 2.1.8,

(i) les coefficients de P_{I}^{∗} sont des formes linéaires en les coefficients de P ; (ii) les coefficients γ de ces formes linéaires sont des entiers algébriques de K ; (iii) ces coefficients γ satisfont :

H(γ) ≤ (4^{n}B)^{r_{1}+···+r_{m}} où B = max_{1≤i≤n} |α_{i}| .

Preuve : Il s’agit du Lemme 5B de [Sch1], p. 174. Justifions rapidement (i) et (ii). Q = P^{I} a des coefficients qui sont des mutiples entiers des coefficients de P. Si nous écrivons Q sous la forme indiquée dans la Définition 2.1.4, nous constatons que le passage de Q à P_{I}^{∗} se fait en remplaçant \underline{X}_{1}, …, \underline{X}_{m} par \underline{Y}_{1}, …, \underline{Y}_{m} où les \underline{Y}_{h} sont linéaires en les composantes de \underline{X}_{h} pour h = 1, …, m. Montrons maintenant (iii). Par homogénéité de P, le nombre de termes de P_{I}^{∗} est au plus le produit des nombres de n-uplets d’entiers positifs de somme r_{h} pour h = 1, …, m, à savoir, d’après le Lemme B de l’Appendice :

\binom{r_{1} + n − 1}{n − 1} … \binom{r_{m} + n − 1}{n − 1} ≤ 2^{n(r_{1}+···+r_{m})} .

Une analyse attentive montre que ces termes sont du type

±c(J)\binom{j_{11}}{i_{1}} … \binom{j_{m1}}{i_{m}}S_{1} … S_{m}, où

S_{h} = (α_{2}X_{h2} + ⋯ + α_{n}X_{hn})^{j_{h1}−i_{h}}(α_{1}X_{h2})^{j_{h2}} … (α_{1}X_{hn})^{j_{hn}}, pour h = 1, …, m .

La formule du multinôme montre que chaque coefficient de S_{h} est formé d’un produit de factorielles qui se majore par

(n − 1)^{j_{h1}−i_{h}} < n^{r_{h}} ,

et d’un monôme en α_{1}, …, α_{n} qui se majore par B^{r_{h}}. Comme le produit de coefficients binomiaux en facteur de S_{1} … S_{m} se majore par 2^{r_{1}+···+r_{m}}, au total H(γ) est borné par

2^{n(r_{1}+···+r_{m})}2^{r_{1}+···+r_{m}} ∏_{h=1}^{m} n^{r_{h}}B^{r_{h}} = (4^{n}B)^{r_{1}+···+r_{m}} ,

ce qu’il fallait démontrer.

2.2 Deux notions d’indice

Lorsqu’il a démontré son théorème en 1955 (cf. [Rot]), Roth a introduit la notion d’indice d’un polynôme par rapport à un point, puis Schmidt l’a généralisée en une notion d’indice par rapport à un ensemble de formes linéaires. Nous commencerons par présenter la dernière citée qui est plus agréable à manipuler, puis la première qui demeure tout de même fondamentalement utile comme nous le verrons dans la dernière section de ce chapitre.

2.2.1 L’indice de Schmidt

Définition 2.2.1 Donnons-nous m formes linéaires

L_{h} = α_{h1}X_{h1} + ⋯ + α_{hn}X_{hn}, 1 ≤ h ≤ m

à coefficients dans ℝ, non identiquement nulles, et \underline{r} ∈ ℕ^{m}. Pour c réel positif, désignons par I(c) l’ideal de A engendré par les polynômes

L_{1}^{i_{1}} … L_{m}^{i_{m}}, où \frac{i_{1}}{r_{1}} + ⋯ + \frac{i_{m}}{r_{m}} ≥ c,

de sorte que I(0) = A, et que l’application c ↦ I(c) est décroissante. Nous pouvons donc poser, pour P ∈ A \ {0},

Ind (P, L_{1}, …, L_{m}, r_{1}, …, r_{m}) = Ind (P, \underline{L}, \underline{r}) = max \{c ≥ 0 | P ∈ I(c)\} .

Remarque 2.2.2 La définition a un sens car si P ∈ I(c), le degré de P est minoré par c, donc c est majoré. On convient que Ind (0, \underline{L}, \underline{r}) = +∞.

Il existe une définition équivalente qui est souvent utile. Puisque les formes linéaires sont non identiquement nulles, nous pouvons supposer que

L_{1}, X_{12}, …, X_{1n}; ⋯; L_{m}, X_{m2}, …, X_{mn}

sont algébriquement libres sur ℝ.

Lemme 2.2.3 Soit P ∈ A \ {0}. Ecrivons (de façon unique)

P = ∑_{\underline{j}} a\underline{j}\underline{L}\underline{j} ,

où a\underline{j} est un polynôme en les variables X_{12}, …, X_{1n}; ⋯; X_{m2}, …, X_{mn} nul pour presque tout \underline{j}. Alors

Ind (P, \underline{L}, \underline{r}) = min \{c ∈ ℕ | ∃\underline{j} ∈ ℕ^{m} avec a\underline{j} ≠ 0 et ∑_{h=1}^{m} \frac{j_{h}}{r_{h}} = c\} .

Preuve : Soit γ = Ind (P, \underline{L}, \underline{r}). Par définition, il est possible d’écrire

P = ∑_{\underline{j}} a′ ; \underline{j}\underline{L}\underline{j} , où ∑_{h=1}^{m} \frac{j_{h}}{r_{h}} ≥ γ .

Par unicité de la décomposition énoncée dans le lemme précédent, a\underline{j} est nul dans celle-ci pour tout \underline{j} tel que ∑_{h=1}^{m} \frac{j_{h}}{r_{h}} < γ. Donc le minimum du membre de droite est au moins γ. Par ailleurs, soit c_{0} réalisant ce minimum, alors P ∈ I(c_{0}), donc c_{0} ≤ γ, ce qui prouve le lemme.

Une fois ce lemme montré, il n’est pas difficile de voir que l’indice se comporte bien avec la somme et le produit de polynômes.

Lemme 2.2.4 Soient (P, Q) ∈ A \ {0} × A \ {0}. Alors

(i) Ind (P + Q, \underline{L}, \underline{r}) ≥ min \{Ind (P, \underline{L}, \underline{r}), Ind (Q, \underline{L}, \underline{r})\} , (ii) Ind (P Q, \underline{L}, \underline{r}) = Ind (P, \underline{L}, \underline{r}) + Ind (Q, \underline{L}, \underline{r}) .

Preuve : (i) résulte de la décroissance de c ↦ I(c) que nous évoquions plus haut. (ii) s’obtient en écrivant P = P_{1} + P_{2} et Q = Q_{1} + Q_{2} où

P_{1} = ∑_{\underline{j}∈E_{1}} a\underline{j}\underline{L}\underline{j}, , Q_{1} = ∑_{\underline{j}∈E_{2}} b\underline{j}\underline{L}\underline{j}, P_{2} = P − P_{1}, Q_{2} = Q − Q_{1} et

E_{1} = \{\underline{j} ∈ ℕ^{m} | ∑_{h=1}^{m} \frac{j_{h}}{r_{h}} = Ind (P, \underline{L}, \underline{r})\} , E_{2} = \{\underline{j} ∈ ℕ^{m} | ∑_{h=1}^{m} \frac{j_{h}}{r_{h}} = Ind (Q, \underline{L}, \underline{r})\} .

En effet, il vient alors P Q = P_{1}Q_{1} + P_{1}Q_{2} + P_{2}Q_{1} + P_{2}Q_{2} et le Lemme 2.2.3 montre que P_{1}Q_{1} a pour indice Ind (P, \underline{L}, \underline{r})+Ind (Q, \underline{L}, \underline{r}), alors que les autres termes ont un indice strictement supérieur à Ind (P, \underline{L}, \underline{r}) + Ind (Q, \underline{L}, \underline{r}). L’assertion (i) montre donc que Ind (P Q, \underline{L}, \underline{r}) = Ind (P_{1}Q_{1}, \underline{L}, \underline{r}) = Ind (P, \underline{L}, \underline{r}) + Ind (Q, \underline{L}, \underline{r}).

Nous terminons cette section par deux applications utiles de la notion d’indice.

Lemme 2.2.5 Soient P ∈ A \ {0} et I un multi-indice (voir Définition 2.1.4). Alors

(i) Ind (P^{I}, \underline{L}, \underline{r}) ≥ Ind (P, \underline{L}, \underline{r}) − (I/\underline{r}) , (ii) si (I/\underline{r}) < Ind (P, \underline{L}, \underline{r}), P^{I} est identiquement nul sur le sous-espace de ℝ^{mn} formé des zéros communs à L_{1}, …, L_{m}.

Preuve : Nous écrivons

P = ∑_{J} c(J)L_{1}^{j_{11}}X_{12}^{j_{12}} … X_{1n}^{j_{1n}} … L_{m}^{j_{m1}}X_{m2}^{j_{m2}} … X_{mn}^{j_{mn}}, ∑_{h=1}^{m} \frac{j_{h1}}{r_{h}} ≥ Ind (P, \underline{L}, \underline{r}) ,

pour constater que P^{I} appartient à l’idéal engendré par les polynômes

L_{1}^{j_{11}−i_{11}−···−i_{1n}} … L_{m}^{j_{m1}−i_{m1}−···−i_{mn}}, avec

\frac{j_{11} − i_{11} − ⋯ − i_{1n}}{r_{1}} + ⋯ + \frac{j_{m1} − i_{m1} − ⋯ − i_{mn}}{r_{m}} ≥ Ind (P, \underline{L}, \underline{r}) − (I/\underline{r}) .

Cela montre que Ind (P^{I}, \underline{L}, \underline{r}) ≥ Ind (P, \underline{L}, \underline{r}) − (I/\underline{r}) donc (i) est vrai. Supposons que (I/\underline{r}) < Ind (P, \underline{L}, \underline{r}). Alors Ind (P^{I}, \underline{L}, \underline{r}) > 0 d’après (i), et il résulte alors du Lemme 2.2.3 que chaque terme de P^{I} est nul ou divisible par l’une des formes L_{1}, …, L_{m}. Donc P^{I} est identiquement nul sur l’ensemble des zéros communs à ces formes, comme demandé en (ii).

Lemme 2.2.6 Soit Z le sous-espace des zéros communs à L_{1}, …, L_{m}, et P ∈ A \ {0}.

(i) Il existe I avec (I/\underline{r}) = Ind (P, \underline{L}, \underline{r}) tel que P^{I} n’est pas identiquement nul sur Z, (ii) si l’hypothèse précédant le Lemme 2.2.3 est satisfaite, c’est-à-dire α_{h1} ≠ 0 pour h = 1, …, m, il existe un tel I du type

I = (i_{1}, 0, …, 0; ⋯; i_{m}, 0, …, 0) .

Preuve : Nous montrons simultanément (i) et (ii) en supposant directement que α_{h1} ≠ 0 pour h = 1, …, m, et en écrivant

P = ∑_{\underline{j′}} a\underline{j′} \underline{L}\underline{j′} .

Choisissons \underline{j} = (j_{1}, …, j_{m}) tel que \frac{j_{1}}{r_{1}} + ⋯ + \frac{j_{m}}{r_{m}} = Ind (P, \underline{L}, \underline{r}) et a\underline{j} ≠ 0, ce qui est toujours possible d’après le Lemme 2.2.3. Si nous posons maintenant

I = (j_{1}, 0, …, 0; ⋯; j_{m}, 0, …, 0) ,

alors P^{I} n’est pas identiquement nul sur Z, car a\underline{j′} ne comporte pas la variable X_{h1} pour h = 1, …, m donc

P^{I} = ∑_{\underline{j′}} a\underline{j′}(\underline{L}\underline{j′})^{I} .

Or a\underline{j} ≠ 0 par choix de \underline{j}, et (\underline{L}\underline{j})^{I} est une constante non nulle.

2.2.2 L’indice de Roth

Il s’agit simplement ici de donner la définition et un lemme qui montre le lien avec l’indice de Schmidt.

Définition 2.2.7 Pour P (X_{1}, …, X_{m}) ∈ ℤ[X_{1}, …, X_{m}] et I = (i_{1}, …, i_{m}) ∈ ℕ^{m}, nous posons à nouveau

P^{I} = \frac{1}{i_{1}! … i_{m}!} \frac{∂^{i_{1}+···+i_{m}}}{∂X_{1}^{i_{1}} … ∂X_{m}^{i_{m}}} P

L’indice de Roth de P en \underline{α} = (α_{1}, …, α_{m}) ∈ ℝ^{m} par rapport à \underline{r} est

i(P, \underline{α}, \underline{r}) = inf \{\frac{i_{1}}{r_{1}} + ⋯ + \frac{i_{m}}{r_{m}} | I = (i_{1}, …, i_{m}) et P_{I}(\underline{α}) ≠ 0\}

Remarquons que si m = 1, P ∈ ℝ[X_{1}], r_{1} = 1, α_{1} ∈ ℝ alors i(P, α_{1}, r_{1}) n’est autre que l’ordre de α_{1} comme racine de P. Le lemme qui suit montre le lien entre l’indice de Roth et l’indice de Schmidt.

Lemme 2.2.8 Soit P (X_{1}, …, X_{m}) un polynôme de degré au plus r_{h} en X_{h} pour 1 ≤ h ≤ m, et (α_{1}, …, α_{m}) ∈ ℝ^{m}. Alors

i(P, \underline{α}, \underline{r}) = Ind (P̂, \underline{L}, \underline{r}) ,

où L_{h} = X_{h1} − α_{h}X_{h2} pour h = 1, …, m et P̂ est le polynôme obtenu à partir de P en remplaçant formellement X_{h}^{i_{h}} par X_{h1}^{i_{h}}X_{h2}^{r_{h}−i_{h}} pour 0 ≤ i_{h} ≤ r_{h} et 1 ≤ h ≤ m.

Preuve : En écrivant la formule de Taylor au point (α_{1}, …, α_{m}), soit :

P (X_{1}, …, X_{m}) = ∑_{\underline{j}} c(j_{1}, …, j_{m})(X_{1} − α_{1})^{j_{1}} … (X_{m} − α_{m})^{j_{m}} ,

nous nous apercevons que

i(P, \underline{α}, \underline{r}) = min \{\frac{j_{1}}{r_{1}} + ⋯ + \frac{j_{m}}{r_{m}} | c(j_{1}, …, j_{m}) ≠ 0\}

car c(j_{1}, …, j_{m}) = P^{(j_{1},... ,j_{m})}(α_{1}, …, α_{m}). Or, avec la formule du binôme, nous obtenons

P̂(X_{11}, X_{12}; ⋯; X_{m1}, X_{m2}) = ∑_{\underline{j}} c(j_{1}, …, j_{m})X_{12}^{r_{1}−j_{1}} … X_{m2}^{r_{m}−j_{m}}L_{1}^{j_{1}} … L_{m}^{j_{m}} .

Cette dernière inégalité et le Lemme 2.2.3 nous montrent que

Ind (P̂, \underline{L}, \underline{r}) = min \{\frac{j_{1}}{r_{1}} + ⋯ + \frac{j_{m}}{r_{m}} | c(j_{1}, …, j_{m}) ≠ 0\} .

Donc

i(P, \underline{α}, \underline{r}) = Ind (P̂, \underline{L}, \underline{r}) ,

comme annoncé.

2.3 Minoration de l’indice de Schmidt

Cette section comporte deux théorèmes classiquement appelés théorème de l’indice et théorème polynomial. Le premier, étant données des formes linéaires à coefficients algébri- ques, assure, sous certaines conditions, l’existence d’un polynôme P d’indice pas trop petit, et le second nous donne des renseignements sur la taille des P^{I} correspondants.

Nous commençons par une définition.

Définition 2.3.1 Etant donnés P ∈ A\{0}, et une forme linéaire L = α_{1}X_{1}+⋯+α_{n}X_{n}, α_{i} ∈ ℝ pour i = 1, …, n non tous nuls, Ind (P, L, \underline{r}) désigne l’indice Ind (P, \underline{L}, \underline{r}) où L_{1}, …, L_{m} sont les formes linéaires suivantes associées à L

L_{h} = α_{1}X_{h1} + ⋯ + α_{n}X_{hn}, pour h = 1, …, m .

Théorème 2.3.2 Soient n et t deux entiers supérieurs à 1, et (α_{ij})_{1≤i≤t,1≤j≤n} une famille d’entiers algébriques réels telle que les formes linéaires

L^{(i)} = α_{i1}X_{1} + ⋯ + α_{in}X_{n}, pour i = 1, …, t .

soient non identiquement nulles. Nous posons

K_{i} = ℚ(α_{i1}, …, α_{in}), Δ_{i} = [K_{i} : ℚ], et Δ = max {Δ_{1}, …, Δ_{t}} .

Nous nous donnons

ϵ > 0, m > 4e^{−2} log (2tΔ) entier, \underline{r} comme d’habitude.

Alors il existe P ∈ A \ {0} à coefficients entiers satisfaisant les conditions suivantes.

(i) P est homogène de degré r_{h} en \underline{X}_{h} pour 1 ≤ h ≤ m , (ii) Pour i = 1, …, t, Ind (P, L^{(i)}, \underline{r}) ≥ (\frac{1}{n} − ϵ) m , (iii) H(P) ≤ D^{r_{1}+···+r_{m}} où D ne dépend que de (α_{ij})_{1≤i≤t,1≤j≤n} .

Preuve : Nous devons construire un polynôme à coefficients entiers dont les valeurs absolues sont bornées par une certaine constante. Nous allons donc chercher à appliquer le lemme de Siegel (Lemme A de l’Appendice). Il nous faut pour cela estimer le nombre M d’équations liant les coefficients cherchés qui seront les inconnues, au nombre de N, et montrer que N > M. Si nous montrons ensuite que la borne donnée par le Lemme A est inférieure à une quantité du type de celle demandée dans le point (iii), le théorème sera montré.

Remarquons tout d’abord que nous voulons P homogène de degré r_{h} en \underline{X}_{h} à coefficients dans ℤ, donc P est à chercher sous la forme

P = ∑_{{(j_{h1},... ,j_{hn})∈ℕ^{n} \atop j_{h1}+···+j_{hn}=r_{h}} ; 1≤h≤n} c(j_{11}, …, j_{mn})X_{11}^{j_{11}} … X_{mn}^{j_{mn}} avec c(j_{11}, …, j_{mn}) ∈ ℤ .

Nous déterminons maintenant le nombre d’équations que doivent satisfaire les coefficients, en analysant le sens des conditions (ii). Ainsi, moyennant l’hypothèse (non restrictive) que α_{11} ≠ 0, le Lemme 2.2.6 montre que (ii) est satisfaite pour i = 1 dès que pour

I = (i_{1}, 0, …, 0; ⋯; i_{m}, 0, …, 0), ∑_{h=1}^{m} \frac{i_{h}}{r_{h}} < (\frac{1}{n} − ϵ) m et 0 ≤ i_{h} ≤ r_{h}, 1 ≤ h ≤ m ,

P^{I} est identiquement nul sur le sous-espace de ℝ^{mn} formé par l’intersection des zéros des polynômes L_{1}^{(1)}, …, L_{m}^{(1)} définis dans la Définition 2.3.1. En nous reportant à la Définition 2.1.8, nous constatons que cela signifie que P_{I}^{∗} est identiquement nul. Mais, P étant homogène de degré r_{h} en \underline{X}_{h} pour h = 1, …, m, une étude attentive montre que P^{I} est homogène de degré r_{h} − i_{h} en \underline{X}_{h}, donc que P_{I}^{∗} est homogène de degré r_{h} − i_{h} en X_{h2}, …, X_{hn} pour h = 1, …, m. D’après les lemmes B et C de l’Appendice dont nous utilisons les notations, P_{I}^{∗} a donc au plus

f_{1}(i_{1}) … f_{m}(i_{m})

coefficients. Mais d’après le Lemme 2.1.9, chaque coefficient de P_{I}^{∗} est une forme linéaire en les coefficients de P, dont les coefficients sont des entiers algébriques du corps K_{1} satisfaisant

H(γ) ≤ (4^{n}B_{1})^{r_{1}+···+r_{m}}, où B_{1} = max_{1≤k≤n} |α_{1k}| ,

chacun des γ étant lui-même la donnée de Δ_{1} éléments de ℤ de valeurs absolues inférieures à (4^{n}B_{1})^{r_{1}+···+r_{m}}. Ainsi pour que (ii) soit satisfaite pour i = 1, les coefficients ont à satisfaire au plus Δ_{1}M^{−} (cf. Lemme C de l’Appendice) équations linéaires homogènes à coefficients entiers bornés par (4^{n}B_{1})^{r_{1}+···+r_{m}}. Toujours d’après le Lemme C,

Δ_{1}M^{−} ≤ \binom{r_{1} + n − 1}{n − 1} … \binom{r_{m} + n − 1}{n − 1}e^{−ϵ^{2}m/4}
≤ Δ_{1}\binom{r_{1} + n − 1}{n − 1} … \binom{r_{m} + n − 1}{n − 1}\frac{1}{2tΔ} par choix de m
≤ \frac{N}{2t} si N = \binom{r_{1} + n − 1}{n − 1} … \binom{r_{m} + n − 1}{n − 1} ,

N étant aussi égal à \binom{r_{1}−i_{1}+n−2}{n−2} … \binom{r_{m}−i_{m}+n−2}{n−2}, qui est le nombre de coefficients de P_{I}^{∗}. Le nombre M d’équations à satisfaire par ces N inconnues est au plus

t × \frac{N}{2t} ≤ \frac{N}{2} ,

donc N > M et le Lemme A de l’Appendice s’applique, et fournit un polynôme P ≠ 0 satisfaisant (i), (ii) et dont les coefficients sont bornés par

(NA)^{M/(N−M)} ≤ NA = \binom{r_{1} + n − 1}{n − 1} … \binom{r_{m} + n − 1}{n − 1}A ≤ 2^{n(r_{1}+···+r_{m})}A

sachant qu’une borne pour les coefficients des M équations est

A = (4^{n} max_{1≤i≤t} B_{i})^{r_{1}+···+r_{m}} .

Ainsi nous pouvons conclure que

H(P) ≤ 2^{n(r_{1}+···+r_{m})}A = D^{r_{1}+···+r_{m}} où nous posons D = 8^{n} max_{1≤i≤t} B_{i} .

Cela montre que P ainsi construit satisfait aussi (iii) puisque les B_{i} ne dépendent que de (α_{ij})_{1≤i≤t,1≤j≤n}.

Théorème 2.3.3 Nous reprenons toutes les hypothèses du Théorème 2.3.2, mais nous supposons de plus que

n = t et det (L^{(1)}, …, L^{(n)}) ≠ 0 .

Soit P le polynôme fourni dans ces conditions par le Théorème 2.3.2. Alors pour tout I nous pouvons écrire

P^{I} = ∑_{J} d^{I}(j_{11}, …, j_{mn})L_{1}^{(1)}^{j_{11}} … L_{1}^{(n)}^{j_{1n}} … L_{m}^{(1)}^{j_{m1}} … L_{m}^{(n)}^{j_{mn}} . (2.7)

De plus, nous avons les résultats suivants :

(i) Il existe une constante E ne dépendant que de (α_{ij})_{1≤i,j≤n} telle que

∀I, ∀J |d^{I}(j_{11}, …, j_{mn})| ≤ E^{r_{1}+···+r_{m}} ,

(ii) Si (I/\underline{r}) ≤ 2ϵm, d^{I}(j_{11}, …, j_{mn}) = 0 dans (2.7) sauf si

|(∑_{h=1}^{m} \frac{j_{hk}}{r_{h}} ) − \frac{m}{n}| ≤ 3mnϵ pour 1 ≤ k ≤ n .

Preuve : L’hypothèse det (L^{(1)}, …, L^{(m)}) ≠ 0 permet de montrer que les éléments (L_{h}^{(k)})_{1≤h≤m,1≤k≤n} sont algébriquement libres, sinon (X_{hk})_{1≤h≤m,1≤k≤n} ne le seraient pas. Si nous développons P^{I} sur cette dernière famille, nous obtenons que c(j_{11}, …, j_{mn}) sont bornés par (2D)^{r_{1}+···+r_{m}} grâce aux conditions (i) et (ii) du Théorème 2.3.2 et au Lemme 2.1.5. Lorsque nous passons de cette écriture, à l’écriture (2.7), il faut tenir compte d’une “matrice de passage” des (X_{hk}) aux (L_{h}^{(k)}). Si nous désignons par G le maximum de 1 et des valeurs absolues des coefficients de cette matrice, nous constatons après quelques calculs que chaque terme

c^{I}(j_{11}, …, j_{mn})X_{11}^{j_{11}} … X_{mn}^{j_{mn}}

a, comme polynôme en les (L_{h}^{(k)}), des coefficients bornés par (2DnG)^{r_{1}+···+r_{m}}. Mais d’après le Lemme B de l’Appendice, il y a au plus

\binom{r_{1} + n − 1}{r_{1}} … \binom{r_{m} + n − 1}{r_{m}} ≤ 2^{n(r_{1}+···+r_{m})}

tels termes dans l’écriture (2.7), donc

|d^{I}(j_{11}, …, j_{mn})| ≤ (2^{n}2DnG)^{r_{1}+···+r_{m}} =^{def} E^{r_{1}+···+r_{m}} .

Cela prouve (i). Vérifions maintenant le (ii). Le théorème de l’indice (Théorème 2.3.2) nous dit que :

Ind (P, L^{(k)}, \underline{r}) ≥ (\frac{1}{n} − ϵ) m pour 1 ≤ k ≤ n ,

et le Lemme 2.2.5 assure que

Ind (P^{I}, \underline{L}^{(k)}, \underline{r}) ≥ Ind (P, \underline{L}^{(k)}, \underline{r}) − (I/\underline{r}) ≥ (\frac{1}{n} − ϵ) m − 2ϵm = (\frac{1}{n} − 3ϵ) m .

Donc la définition de l’indice montre que si d^{I}(j_{11}, …, j_{mn}) ≠ 0, alors c’est que ∑_{h=1}^{m} \frac{j_{hk}}{r_{h}} ≥ (\frac{1}{n} − 3ϵ) m, ce qui conduit à l’une des deux inégalités induites par (ii). Pour obtenir l’autre, il suffit d’observer que P est homogène de degré r_{h} en \underline{X}_{h}, donc P^{I} est homogène de degré au plus r_{h} en \underline{X}_{h} pour h = 1, …, m, ce qui implique :

∑_{k=1}^{n} \frac{j_{hk}}{r_{h}} ≤ 1 pour h = 1, …, m ,

d’où

∑_{k=1}^{n} ∑_{h=1}^{m} \frac{j_{hk}}{r_{h}} = ∑_{h=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} \frac{j_{hk}}{r_{h}} ≤ m soit ∑_{k=1}^{n} ((∑_{h=1}^{m} \frac{j_{hk}}{r_{h}} ) − \frac{m}{n}) ≤ 0 .

Cette dernière inégalité, jointe à la partie de (ii) que nous avons déjà prouvée, montre que

(∑_{h=1}^{m} \frac{j_{hk}}{r_{h}} ) − \frac{m}{n} ≤ 3mϵ(n − 1) ≤ 3mϵn .

C’est précisément l’autre inégalité que nous voulions, donc (ii) est prouvé.

2.4 Majoration de l’indice de Schmidt

Dans cette section, nous donnons des conditions suffisantes sous lesquelles un polynôme P de A non nul a un indice de Schmidt petit. L’idée consiste à majorer l’indice de Schmidt par l’indice de Roth d’un polynôme P̃ convenablement construit, puis d’invoquer le lemme de Roth classique, que nous énonçons ci-après.

Lemme 2.4.1 (Lemme de Roth) Soient 0 < ϵ < \frac{1}{12}, ω = 24.2^{−m} (\frac{ϵ}{12})^{2^{m−1}} , \underline{r} ∈ ℕ^{m} tels que

ωr_{h} ≥ r_{h+1}, pour 1 ≤ h ≤ m . (2.8)

Soient aussi 0 < γ ≤ 1 et p_{1}/q_{1}, …, p_{m}/q_{m} des rationnels écrits sous forme irréductible, avec dénominateur positif satisfaisant

q_{h}^{r_{h}} ≥ q_{1}^{γr_{1}}, 1 ≤ h ≤ m , (2.9)

q_{h}^{ωγ} ≥ 2^{3m}, 1 ≤ h ≤ m . (2.10)

Si P (X_{1}, …, X_{m}) ∈ ℤ[X_{1}, …, X_{m}] \ {0} est de degré au plus r_{h} en X_{h} pour 1 ≤ h ≤ m et

H(P) ≥ q_{1}^{ωγr_{1}} . (2.11)

Alors :

i(P, (\frac{p_{1}}{q_{1}} , …, \frac{p_{m}}{q_{m}} ), \underline{r}) ≤ ϵ .

Preuve : Elle se trouve par exemple dans [Rot], dans le chapitre 5 de [Sch1], ou encore dans [Hab] (Théorème 8 du chapitre 2).

Remarque 2.4.2 La constante ω intervenant dans le Lemme 2.4.1 est petite ; en uti- lisant des méthodes faisant appel à la géométrie algébrique décrites dans [EdE], J.-H. Evertse est parvenu à l’augmenter sensiblement (cf. [Eve]) et a montré :

Lemme Soit P (X_{1}, …, X_{m}) de degré en X_{h} inférieur à r_{h} tel que

r_{h} ≥ ω_{1}(m, ϵ)r_{h+1}, où ω_{1}(m, ϵ) = \frac{2m^{3}}{ϵ} .

Soient \frac{p_{1}}{q_{1}} , …, \frac{p_{m}}{q_{m}} des points de ℚ avec (p_{i}, q_{i}) = 1 et q_{i} > 0 pour i = 1, …, m, tels que

q_{h}^{r_{h}} ≥ (5^{r_{1}+···+r_{m}}H(P))^{ω_{2}(m,ϵ)} où ω_{2}(m, ϵ) = (\frac{3m^{3}}{ϵ} )^{m} .

Alors

i(P, (\frac{p_{1}}{q_{1}} , …, \frac{p_{m}}{q_{m}} ), \underline{r}) ≤ ϵ .

Cette remarque étant faite, voici le théorème annoncé ci-dessus. Théorème 2.4.3 Soient 0 < ϵ < \frac{1}{12}, m ≥ 1 un entier, et

ω = 24.2^{−m} (\frac{ϵ}{12})^{2^{m−1}} ≤ 1 .

Soient r_{1}, …, r_{m} des entiers strictement positifs tels que r_{h}ω ≥ r_{h+1}, pour h = 1, …, m . (2.12) Soit n ≥ 2 un entier et supposons disposer de polynômes linéaires non nuls en n variables, M_{1}, …, M_{m}, à coefficients premiers entre eux. Supposons que 0 < Γ ≤ q (où q =^{def} n − 1), et que H(M_{h})^{r_{h}} ≥ H(M_{1})^{r_{1}Γ}, pour h = 1, …, m , (2.13)

H(M_{h})^{ωΓ} ≥ 2^{3mq^{2}}, pour h = 1, …, m . (2.14) Soit enfin P ∈ A \ \{0\}, à coefficients entiers, homogène en \underline{X}_{h} de degré r_{h} pour h = 1, …, m satisfaisant de plus H(P)^{q^{2}} ≥ H(M_{1})^{ωr_{1}Γ}, pour h = 1, …, m . (2.15) Alors

Ind (P, \underline{M}, \underline{r}) ≤ ϵ .

Preuve : Désignons par A = (a_{hk})_{{1≤h≤m \atop 1≤k≤n}} la matrice des coefficients de M_{1}, …, M_{m}, c’est-à-dire que

M_{h} = a_{h1}X_{h1} + ⋯ + a_{hn}X_{hn}, pour h = 1, …, m .

Nous pouvons supposer sans perte de généralité que H(M_{h}) = |a_{h1}| pour h = 1, …, m, et d’après le Lemme D de l’Appendice, nous pouvons aussi supposer que (a_{h1}, a_{h2}) ≤ |a_{h1}|^{(q−1)/q} pour h = 1, …, m . (2.16) Si nous désignons par η l’indice de P par rapport à \underline{M} et \underline{r}, nous savons que P appartient à l’idéal de A engendré par les polynômes :

M_{1}^{i_{1}} … M_{m}^{i_{m}}, pour lesquels ∑_{h=1}^{m} \frac{i_{h}}{r_{h}} ≥ η .

Nous construisons maintenant le polynôme P̃ que nous évoquions au début de cette section. Nous passons par un intermédiaire P̂. Si n = 2, nous posons P̂ = P, sinon nous obtenons P̂ grâce l’algorithme suivant.

1. [Initialisation]

P̂ ← P

2. [Boucle sur les variables]

Pour i = 1, …, m faire

Pour j = 3, …, n faire

α_{ij} ← v_{X_{ij}}(P̂)

P̂ ← P̂/X_{ij}^{α_{ij}}

P̂ ← P̂(\underline{X}_{1}; …; X_{i1}, …, X_{i(j−1)}, 0, X_{i(j+1)}, …, X_{in}; …; \underline{X}_{m})

Il est clair que cet algorithme fournit pour résultat un polynôme

(i) à coefficients entiers ; (ii) en les 2m variables X_{11}, X_{12}, …, X_{m1}, X_{m2} ; (iii) non nul ; (iv) homogène de degré au plus r_{h} en X_{h1}, X_{h2} pour h = 1, …, m ;

(v) satisfaisant H(P̂) ≤ H(P) ; (vi) appartenant à l’idéal de ℝ[X_{11}, X_{12}, …, X_{m1}, X_{m2}] engendré par les polynômes

(a_{11}X_{11} + a_{12}X_{12})^{i_{1}} … (a_{m1}X_{m1} + a_{m2}X_{m2})^{i_{m}} pour lesquels ∑_{h=1}^{m} \frac{i_{h}}{r_{h}} ≥ η .

P̂ étant construit, nous posons P̃(X_{1}, …, X_{m}) = P̂(X_{1}, 1; …; X_{m}, 1) qui est par conséquent un polynôme non nul, satisfaisant H(P̃) ≤ H(P), et appartenant à l’idéal de ℝ[X_{1}, …, X_{m}] engendré par les polynômes

(X_{1} + \frac{a_{12}}{a_{11}} )^{i_{1}} … (X_{m} + \frac{a_{m2}}{a_{m1}} )^{i_{m}} où ∑_{h=1}^{m} \frac{i_{h}}{r_{h}} ≥ η .

Il en résulte que nous avons i(P, (\frac{p_{1}}{q_{1}} , …, \frac{p_{m}}{q_{m}} ) , \underline{r}) ≥ η = Ind (P, \underline{M}, \underline{r}) si nous posons

q_{h} = \frac{|a_{h1}|}{(a_{h1}, a_{h2})} et p_{h} = \frac{−|a_{h1}|a_{h2}}{(a_{h1}, a_{h2})a_{h1}} pour h = 1, …, m .

Il reste pour conclure, à vérifier que P̃ satisfait les hypothèses du lemme de Roth (2.4.1). La condition (2.8) est satisfaite puisque c’est la condition (2.12) du théorème. Les conditions (2.9), (2.10) et (2.11) vont résulter quant à elles des hypothèses (2.13), (2.14) et (2.15) du théorème : en effet, posons γ = Γ/q, de sorte que 0 < γ ≤ 1. Nous observons d’après (2.16), que pour h = 1, …, m,

H(M_{h})^{1/q} = |a_{h1}|^{1/q} = |a_{h1}|^{(1−q)/q+q/q} = \frac{|a_{h1}|}{|a_{h1}|^{(1−q)/q}} ≤ \frac{|a_{h1}|}{(a_{h1}, a_{h2})} = q_{h} ≤ H(M_{h}) .

Donc, d’après (2.13),

q_{h}^{r_{h}} ≥ H(M_{h})^{r_{h}/q} ≥ H(M_{1})^{Γr_{1}/q} = H(M_{1})^{γr_{1}} ≥ q_{1}^{r_{1}γ} ,

qui est exactement (2.9). De même, (2.14) nous donne

q_{h}^{ωγ} = q_{h}^{ωΓ/q} ≥ H(M_{h})^{ωΓ/q^{2}} ≥ 2^{3m} ,

qui est exactement (2.10). Et finalement, grâce à (2.15), nous obtenons

H(P̃) ≤ H(P) ≤ H(M_{1})^{ωr_{1}γ/q} ≤ q_{1}^{ωr_{1}γ} ,

qui est exactement (2.11) pour le polynôme P̃. Donc le Lemme de Roth s’applique bien et assure que

Ind (P, \underline{M}, \underline{r}) ≤ Ind (P̃, (\frac{p_{1}}{q_{1}} , …, \frac{p_{m}}{q_{m}} ), \underline{r}) ≤ ϵ .

Cette section termine la description des outils utilisés dans la preuve du théorème des sousespaces, qui est l’objet du chapitre suivant.

Preuves des théorèmes des sous-espaces et des sous-espaces fort

Ce chapitre est consacré à la démonstration du théorème des sous-espaces et du théorème des sous-espaces fort. Avant d’énoncer ces deux théorèmes, mettons en place quelques notations.

Définition 3.0.1 L_{1}, …, L_{n} désignent des formes linéaires indépendantes sur ℝ^{n} à coefficients algébriques réels, que nous pouvons donc écrire

L_{i}(x) = L_{i}(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{j=1}^{n} a_{i}^{(j)}x_{j} = a_{i}.x, a_{i}^{(j)} ∈ \overline{ℚ} ∩ ℝ .

(a_{1}^{∗}, …, a_{n}^{∗}) désigne la base duale de (a_{1}, …, a_{n}), et \underline{c} = (c_{1}, …, c_{n}) est un vecteur de nombres réels tels que

c_{1} + ⋯ + c_{n} = 0 , (3.1)

avec, en plus, lorsqu’il n’est pas précisé que seule (3.1) est satisfaite,

∀i ∈ {1, …, n}, |c_{i}| ≤ 1 , (3.2)

Pour Q > 0, Π(Q) désigne le parallélépipède Π(L_{1}, …, L_{n}; Q^{c_{1}}, …, Q^{c_{n}}) (voir Définition 1.2.1) ; ses minima successifs sont notés λ_{1}(Q), …, λ_{n}(Q), et g_{1}(Q), …, g_{n}(Q) désignent des vecteurs entiers indépendants de Π(Q)λ_{i}(Q)∩ℤ^{n}, i = 1, …, n. La notation M(Q) désigne l’unique forme linéaire à coefficients entiers premiers entre eux dont la première composante est positive, qui s’annule sur g_{1}(Q), …, g_{n−1}(Q). Si Q est de la forme Q_{h} (h ∈ ℕ), M_{h} désigne le polynôme linéaire en le bloc de variables \underline{X}_{h}, à coefficients entiers premiers entre eux dont le premier est positif, qui s’annule sur g_{1}(Q_{h}), …, g_{n−1}(Q_{h}). Enfin pour δ > 0 nous posons

Σ(\underline{c}, δ) = \{i ∈ \{1, …, n\} | c_{i} + δ/2 ≥ 0\} .

C’est un ensemble non vide à cause des hypothèses sur \underline{c}.

Nous pouvons maintenant énoncer les deux théorèmes.

Théorème 3.0.2 (des sous-espaces fort) Soit \underline{c} satisfaisant (3.1). Supposons qu’il existe un entier 1 ≤ d ≤ n − 1 et une partie D ⊂]1, +∞[ non bornée telle que la famille de parallélépipèdes Π(Q)_{Q∈D} possède la propriété :

∀Q ∈ D, λ_{d}(Q) < λ_{d+1}(Q)Q^{−δ} .

Il existe alors une partie D′ ⊂ D non bornée, et un sous-espace vectoriel S de ℚ^{n} de dimension d, telle que la famille de parallélépipèdes Π(Q)_{Q∈D′} satisfasse

∀Q ∈ D′, ℚg_{1}(Q) ⊕ ⋯ ⊕ ℚg_{d}(Q) = S .

Théorème 3.0.3 (des sous-espaces) Supposons que L_{1}, …, L_{n} soient à coefficients algébriques. Alors si \underline{c} satisfait (3.1), il existe un nombre fini de sous-espaces non triviaux de ℚ^{n}, à savoir T_{1}, …, T_{k}, tels que l’inéquation

|L_{1}(x) … L_{n}(x)| < ∥x∥_{∞}^{−δ}, x ∈ ℤ^{n} \ {0} (3.3)

ait ses solutions dans T_{1} ∪ ⋯ ∪ T_{k}.

3.1 Preuve du théorème des sous-espaces fort dans le cas d = n − 1

Reprenons les notations du Théorème 3.0.2. Nous constatons qu’il s’agit de prouver que g_{n}^{∗}(Q) est constant sur D′ sous l’hypothèse λ_{n−1}(Q) < λ_{n}(Q)Q^{−δ}, Q ∈ D. En utilisant le lemme de Davenport (Théorème 1.1.12), il est possible de se ramener à l’hypothèse λ_{n−1}(Q) < Q^{−δ}, Q ∈ D (nous le faisons dans le Lemme 3.1.6) qui est plus facile à manipuler car elle signifie que Π(Q)Q^{−δ} contient g_{1}(Q), …, g_{n−1}(Q). Pour montrer que g_{n}^{∗}(Q) est constant sur D′ (Lemme 3.1.5), nous extrayons de D une partie D_{1} ⊂ D non bornée sur laquelle g_{n}^{∗}(Q) vaut en fait un certain h ∈ Π^{∗}(Q). L’existence de ce vecteur h est assurée par le Théorème 3.1.4, où nous montrerons que sous l’hypothèse λ_{n−1}(Q) < Q^{−δ}, nous avons le fait suivant :

∀i ∈ Σ(\underline{c}, δ), a_{i}^{∗}.g_{n}^{∗}(Q) = 0 ,

pour Q assez grand. La preuve de ce résultat s’effectue par l’absurde, en supposant non borné l’ensemble des Q > 1 tels que λ_{n−1}(Q) < Q^{−δ} et l’énoncé contraire à celui ci-dessus. Nous sommes alors capables de trouver

– un réel ϵ > 0 ,

– des entiers m, r_{1}, …, r_{m} ,

– des réels Q_{1}, …, Q_{m} , tels que les données L_{1}, …, L_{n}, r_{1}, …, r_{m}, ϵ, m satisfassent les hypothèses du théorème polynomial (Théorème 2.3.3). Cela permet d’exhiber un polynôme P ∈ A \ {0} dont nous saurons montrer grâce aux outils développés dans le chapitre 2 que son indice par rapport à (\underline{M}, \underline{r}) (cf.

Définition 3.0.1) est au moins mϵ (Théorème 3.1.2). Par ailleurs l’hypothèse de départ nous permet d’obtenir des informations sur la taille de g_{n}^{∗}(Q_{h}) donc sur H(M_{h}) (Lemme 3.1.3) qui impliquent que les hypothèses du Thèorème 2.4.3 sont également satisfaites, donc Ind (P, \underline{M}, \underline{r}) ≤ ϵ, ce qui est absurde et montre le Théorème 3.1.4.

Une fois la stratégie mise en place, il n’y a plus qu’à la mettre à exécution.

Commençons tout d’abord par formaliser une remarque que nous avons déjà implicitement utilisée ci-dessus, et qui est omniprésente dans beaucoup des raisonnements qui sui- vront.

Remarque 3.1.1 Les notations étant celles de la Définition 3.0.1, nous pouvons écrire pour tout Q > 0

g_{n}^{∗}(Q) = \frac{M(Q)}{F (Q)}, F (Q) ∈ ℤ, 1 ≤ |F (Q)| ≤ n!^{2} .

En effet, g_{n}^{∗}(Q) et M(Q) sont ℚ-proportionnels puisque tous deux s’annulent sur le sousespace ℚg_{1}(Q)⊕⋯⊕ℚg_{n−1}(Q). Si E(Q) = det (g_{1}(Q), …, g_{n}(Q)), il existe d’après le Théorème 1.1.14, un entier t(Q) ∈ ℤ avec |E(Q)|g_{n}^{∗}(Q) = t(Q)M(Q), de sorte que t(Q) divise F (Q). Si nous posons F (Q) = ±E(Q) t(Q), nous avons la relation énoncée. Il suit que toute information sur la taille de g_{n}^{∗}(Q) en fonction de Q se traduit en une information sur la taille de M(Q), et que de toute famille non bornée de réels Q > 1, nous pouvons extraire une famille pour laquelle F (Q) ne dépende pas de Q appartenant à cette famille.

Théorème 3.1.2 Soient ϵ > 0, 0 < δ < 1 tels que 16n^{2}ϵ < δ, L^{(i)} = L_{i} (i = 1, …, n) des formes linéaires m, \underline{r} satisfaisant les hypothèses du Théorème 2.3.3. Continuons à noter E la constante et P le polynôme mentionnés dans ce même théorème. Supposons que Q_{1}, …, Q_{m} soient des réels satisfaisant

Q_{h}^{ϵ} > 2^{n}E et Q_{h}^{ϵ} > n(1 + ϵ^{−1}) pour 1 ≤ h ≤ m , (3.4)

(3.5) r_{1} log Q_{1} ≤ r_{h} log Q_{h} ≤ (1 + ϵ)r_{1} log Q_{1} pour 1 ≤ h ≤ m ,

λ_{n−1}(Q_{h}) < Q_{h}^{−δ} pour 1 ≤ h ≤ m . (3.6)

Alors Ind (P, \underline{M}, \underline{r}) ≥ mϵ.

Preuve : Ecrivons g_{ht} = g_{t}(Q_{h}) pour h = 1, …, m et t = 1, …, q =^{def} n − 1. La formule (3.6) s’écrit alors

|L_{k}(g_{ht})| ≤ Q_{h}^{c_{k}−δ} pour 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ h ≤ m, 1 ≤ t ≤ q . (3.7)

Le Lemme 2.2.6 nous dit que pour avoir la conclusion du présent théorème, il suffit de prouver que P^{J} est nul sur le sous-espace de l’intersection des zéros de M_{1}, …, M_{m} dès que (J /\underline{r}) < ϵm. Or cette intersection est le produit de m sous-espaces vectoriels de dimension q, à savoir

ℝg_{1}(Q_{h}) ⊕ ⋯ ⊕ ℝg_{q}(Q_{h}) pour 1 ≤ h ≤ m ,

sur lesquels nous disposons des grillages

Γ_{h} = Γ(s_{h}, g_{h1}, …, g_{hq}), s_{h} = [ϵ^{−1}] + 1, 1 ≤ h ≤ m .

Nous appliquons alors le Lemme 2.1.3 qui nous dit qu’il suffit de prouver que

(P^{J})^{I}(γ_{1}, …, γ_{m}) = 0 pour \{ \begin{matrix}(γ_{1}, …, γ_{m}) ∈ Γ_{1} × ⋯ × Γ_{m} et \\ I = (t_{11}, …, t_{1n}; ⋯; t_{m1}, …, t_{mn}) tel que \\ t_{h1} + ⋯ + t_{hn} ≤ t_{h} =^{def} [r_{h}ϵ] pour h = 1, …, m , \end{matrix}

car s_{h}(t_{h} + 1) = ([ϵ^{−1}] + 1)([r_{h}ϵ] + 1) > ϵ^{−1}r_{h}ϵ = r_{h}. En fait, il suffit même de prouver

(J /\underline{r}) < 2ϵm ⟹ ∀(γ_{1}, …, γ_{m}) ∈ Γ_{1} × ⋯ × Γ_{m}, P^{J} (γ_{1}, …, γ_{m}) = 0

puisque

(I + J /\underline{r}) = (I/\underline{r}) + (J /\underline{r})
< ϵm + \frac{[r_{1}ϵ]}{r_{1}} + ⋯ + \frac{[r_{m}ϵ]}{r_{m}} = 2ϵm .

Or nous avons alors l’écriture

P^{J} (γ_{1}, …, γ_{m}) = ∑_{\underline{j}} d^{J} (j_{11}, …, j_{mn})L_{1}(γ_{1})^{j_{11}} … L_{n}(γ_{1})^{j_{1n}} … L_{1}(γ_{m})^{j_{m1}} … L_{n}(γ_{m})^{j_{mn}} . (3.8)

En écrivant γ_{h} sur la base du grillage Γ_{h}, nous obtenons les inégalités suivantes pour 1 ≤ h ≤ m et 1 ≤ k ≤ n :

|L_{k}(γ_{h})| ≤ (1 + \frac{1}{ϵ}) Q_{h}^{c_{k}−δ} … (1 + \frac{1}{ϵ}) Q_{h}^{c_{k}−δ} d’après (3.7)
< Q_{h}^{c_{k}−δ+ϵ} d’après (3.4)
≤ Q_{h}^{c_{k}−15n^{2}ϵ} puisque 16n^{2}ϵ < δ .

En faisant le produit sur h de ces inégalités, nous obtenons

|L_{k}(γ_{1})^{j_{1k}} … L_{k}(γ_{1})^{j_{1k}}| ≤ exp (∑_{h=1}^{m}(c_{k} − 15n^{2}ϵ)j_{hk} log Q_{h})

(3.9)  ≤ exp ((c_{k} − 15n^{2}ϵ) ∑_{h=1}^{m} j_{hk} log Q_{h})

car c_{k} ne dépend pas de h. Maintenant, le point (ii) du Théorème 2.3.3 nous dit que d^{J} (j_{11}, …, j_{mn}) = 0, sauf peut-être si

|∑_{h=1}^{m} \frac{j_{hk}}{r_{h}} − \frac{m}{n}| ≤ 3mnϵ .

Comme le membre de gauche de (3.8) est entier, montrer qu’il est nul, c’est montrer qu’il est strictement inférieur à 1. Or

∑_{h=1}^{m} j_{hk} log Q_{h} ≥ r_{1} log Q_{1} ∑_{h=1}^{m} \frac{j_{hk}}{r_{h}} ≥ r_{1} log Q_{1} (\frac{1}{n} − 3nϵ) m d’après (3.5) ,

et

∑_{h=1}^{m} j_{hk} log Q_{h} ≤ (1 + ϵ)r_{1} log Q_{1} ∑_{h=1}^{m} \frac{j_{hk}}{r_{h}}

≤ r_{1} log Q_{1}(1 + ϵ) (\frac{1}{n} + 3nϵ) m
≤ r_{1} log Q_{1} (\frac{1}{n} + 7nϵ) m d’après (3.5) ,

conduisent à

|∑_{h=1}^{m} j_{hk} log Q_{h} − r_{1} log Q_{1} \frac{m}{n}| ≤ r_{1} log Q_{1}7mnϵ, d’après (3.5) .

Nous disposons également de |c_{k} −15n^{2}ϵ| ≤ 2 (d’après la Définition 3.0.1, et le fait que 16n^{2}ϵ < δ < 1). En ajoutant et retranchant r_{1} log Q_{1}m/n à l’argument de exp dans (3.9) et en utilisant les deux majorations que nous venons d’établir, nous trouvons pour le membre de gauche de (3.9) une borne du type

Q_{1}^{r_{1} \frac{m}{n} (c_{k}−15n^{2}ϵ)} exp (αβ), α ≤ 2, β ≤ r_{1} log Q_{1}.7nmϵ ,

qui peut encore être majorée par

Q_{1}^{r_{1} \frac{m}{n} (c_{k}−15n^{2}ϵ)+2r_{1}.7mnϵ} = Q_{1}^{r_{1} \frac{m}{n} (c_{k}−nmϵ)} .

En faisant le produit sur k de ces bornes, et en tenant compte de la borne E^{r_{1}+···+r_{m}} pour d^{J} (j_{11}, …, j_{mn}) donnée par le Théorème 2.3.3, nous constatons que chaque terme de (3.8) est majoré par

E^{r_{1}+···+r_{m}}Q_{1}^{r_{1} \frac{m}{n} (c_{1}+···+c_{n})−r_{1}n^{2}mϵ} = E^{r_{1}+···+r_{m}}Q_{1}^{−r_{1}n^{2}mϵ} (car c_{1} + ⋯ + c_{n} = 0)
≤ E^{r_{1}+···+r_{m}}(Q_{1}^{−r_{1}ϵ} … Q_{m}^{−r_{m}ϵ})^{\frac{n^{2}}{1+ϵ}} d’après (3.5)
≤ E^{r_{1}+···+r_{m}}Q_{1}^{−r_{1}ϵ} … Q_{m}^{−r_{m}ϵ} .

Sachant que le nombre de ces termes est majoré par 2^{n(r_{1}+···+r_{m})} (Lemme B de l’Appendice), le membre de gauche de (3.8) se trouve borné par

∏_{h=1}^{m} (2^{n}EQ_{h}^{ϵ})^{r_{h}} < 1 d’après (3.4) ,

ce qu’il fallait démontrer.

Nous réglons maintenant la question de la taille de g_{n}^{∗}(Q) (ou de M(Q)). Lemme 3.1.3 Supposons que la famille de parallélépipèdes Π(Q)_{Q>1} satisfasse ∀Q > 1, λ_{n−1}(Q) < Q^{−δ} , (3.10)

∀Q > 1, ∃i(Q) ∈ Σ(\underline{c}, δ) | a_{i(Q)}^{∗}.g_{n}^{∗}(Q) ≠ 0 . (3.11) Alors il existe six constantes strictement positives C_{1}, …, C_{6} ne dépendant que des formes linéaires L_{1}, …, L_{n}, δ et \underline{c} telles que ∀Q ≥ C_{3}, Q^{C_{1}} ≤ H(g_{n}^{∗}(Q)) ≤ Q^{C_{2}} , (3.12)

∀Q ≥ C_{6}, Q^{C_{4}} ≤ H(M(Q)) ≤ Q^{C_{5}} avec C_{4} ≤ C_{5}(n − 1) . (3.13)

Preuve : Nous allons faire usage de théorème de Mahler sur les parallélépipèdes réciproques (Théorème 1.1.14) pour obtenir la borne supérieure. La borne inférieure viendra pour sa part d’un argument de type Liouville. Posons

a′_{i}(Q) = Q^{−c_{i}}a_{i} d’où a′_{i}^{∗}(Q) = Q^{c_{i}}a_{i}^{∗} pour i = 1, …, n .

Par le théorème de Mahler appliqué aux parallélépipèdes duaux Π(a′_{1}(Q), …, a′_{n}(Q)) = Π(Q) et Π^{∗}(a′_{1}^{∗}(Q), …, a′_{n}^{∗}(Q)) = Π^{∗}(Q), nous trouvons une constante K_{1} > 0 telle que

∀(i, j) ∈ {1, …, n}^{2}, |a′^{∗}_{i}(Q).g_{j}^{∗}(Q)| ≤ K_{1}λ_{j}(Q)^{−1} ,

d’où ∀i ∈ {1, …, n}, |a_{i}^{∗}.g_{n}^{∗}(Q)| ≤ K_{1}λ_{n}(Q)^{−1}Q^{−c_{i}} ≤ K_{2}Q^{−δ(n−1)−c_{i}} , (3.14) car en posant K_{2} = K_{1}n!/| det (L_{1}, …, L_{n})|, le Théorème 1.1.11, le Lemme 1.1.9, et (3.10) nous montrent que

λ_{n}(Q)^{−1} ≤ λ_{1}(Q) … λ_{n−1}(Q)\frac{n!}{2^{n}} Vol Π(Q) ≤ Q^{−δ(n−1)} \frac{n!}{det (L_{1}, …, L_{n})} .

En écrivant la base canonique sur les a_{i}^{∗}, nous obtenons que H(g_{n}^{∗}(Q)) ≤ K_{3}Q^{1−δ(n−1)}, donc pour

C_{2} > 0 et Q > K_{3}^{−C_{2}+δn}, H(g_{n}^{∗}(Q)) ≤ Q^{C_{2}} ,

et nous avons alors la deuxième inégalité. Ecrivons (3.14) pour i ∈ Σ. Il vient alors ∀i ∈ Σ, |a_{i}^{∗}.g_{n}^{∗}(Q)| ≤ K_{2}Q^{−δ(n−1)+δ/2} ≤ Q^{−δ/2}K_{2} . (3.15)

Utilisons maintenant la propriété (3.11), en appelant Δ_{i(Q)}^{∗} le degré du corps de nombres K_{i(Q)}^{∗} engendré par les composantes de a_{i(Q)}^{∗}. La Remarque 3.1.1 montre que g_{n}^{∗}(Q) a des coordonnées dans ℚ, avec un dénominateur au plus égal à n!^{2}. Comme a_{i(Q)}^{∗}.g_{n}^{∗}(Q)n!^{2} det (L_{1}, …, L_{n}) est un entier algébrique non nul, sa norme est au moins 1, mais si σ est l’un des plongements de K_{i}^{∗} dans ℂ, l’égalité

|σ(a_{i(Q)}^{∗}.g_{n}^{∗}(Q))| = |∑_{k=1}^{n} σ(a_{i(Q),k}^{∗}).σ(g_{n,k}^{∗}(Q))| = |∑_{k=1}^{n} σ(a_{i(Q),k}^{∗}).g_{n,k}^{∗}(Q)|

montre qu’il existe une constante K_{4} telle que

(3.16) |σ(a_{i(Q)}^{∗}.g_{n}^{∗}(Q))| ≥ K_{4}H(g_{n}^{∗}(Q))^{1−Δ_{i(Q)}^{∗}} ≥ H(g_{n}^{∗}(Q))^{1−Δ^{∗}}, où Δ^{∗} = max_{1≤i≤n} {Δ_{i}^{∗}} .

En confrontant (3.15) et (3.16) nous obtenons Δ^{∗} > 1 et

H(g_{n}^{∗}(Q)) ≥ K_{4}K_{2}^{−1}Q^{δ/(2(Δ^{∗}−1))} .

En posant alors C_{1} = δ/(3(Δ^{∗} − 1)) nous en déduisons que

Q > (K_{4}^{−1}K_{2})^{6(Δ^{∗}−1)/δ} ⟹ H(g_{n}^{∗}(Q)) ≥ Q^{C_{1}} .

Il suffit donc de prendre

C_{3} > max {(K_{4}^{−1}K_{2})^{6(Δ^{∗}−1)/δ}, K_{3}^{−C_{2}+δn}}

pour obtenir l’assertion (3.12), car les constantes K_{1} à K_{4} ne dépendent que de L_{1}, …, L_{n} et c_{1}, …, c_{n}. L’assertion (3.13) résulte pour sa part de (3.12), de la Remarque 3.1.1 et du fait que la constante C_{2} peut être choisie arbitrairement grande, comme le montre la preuve de (3.12).

Théorème 3.1.4 Supposons que la famille de parallélépipèdes Π(Q)_{Q>1} satisfasse

∀Q > 1, λ_{n−1}(Q) < Q^{−δ} . (3.17)

Alors il existe Q_{1} > 0 ne dépendant que de δ, \underline{L}, \underline{c} telle que

∀Q > Q_{1}, ∀i ∈ Σ(\underline{c}, δ), a_{i}^{∗}.g_{n}^{∗}(Q) = 0 . (3.18)

Preuve : Nous procédons comme annoncé dans l’introduction de cette section. Appelons

P = {Q ∈]1, +∞[ | λ_{n−1}(Q) < Q^{−δ}, et ∃i tel que a_{i}^{∗}.g_{n}^{∗}(Q) ≠ 0} ,

et supposons que P soit non bornée. Nous nous ramenons d’abord au cas où L_{1}, …, L_{n} ont des coefficients entiers algébriques réels. Appelons pour cela d le plus petit commun multiple des coefficients dominants des polynômes minimaux des composantes de a_{i}^{∗} (i = 1, …, n). Les formes linéaires L′_{i} = dL_{i} (i = 1, …, n) répondent à cette exigence. Si Π′(Q) =^{def} Π(L′_{1}, …, L′_{n}; Q^{c_{1}}, …, Q^{c_{n}}), l’application x ↦ d^{−1}x est une bijection de Π(Q) sur Π′(Q), et il suit que a′_{i} = da_{i}, g′_{i}(Q) = dg_{i}(Q), λ′_{i}(Q) = dλ_{i}(Q) pour i = 1, …, n. Donc si le théorème est vrai pour Π′(Q)_{Q>1} il est vrai pour Π(Q)_{Q>1}. Nous posons maintenant q = n − 1 et faisons un certain nombre de choix en vue d’appliquer les théorèmes 2.3.3 et 3.1.2. Choisissons d’abord 0 < δ_{1} < δ tel que δ_{1} < δ et ϵ tel que 16n^{2}ϵ < δ_{1}, puis Δ, m, ω comme dans les hypothèses des théorèmes 2.3.2, 2.3.3 et 2.4.3 en prenant L^{(i)} = L_{i} pour i = 1, …, n. La partie P étant non bornée, il est possible de trouver Q_{1} ∈ P tel que

Q_{1} > C_{6}, Q_{1}^{ωC_{4}^{2}/C_{5}} ≥ 2^{3mq^{2}}, Q_{1}^{ωC_{4}^{2}/C_{5}} ≥ D^{mq^{2}}, Q_{1}^{ϵ} > max {2^{n}E, n(1 + ϵ^{−1})} ,

(où les constantes D, E, C_{4}, C_{5}, C_{6} sont celles qui ont été introduites dans le Théorème 2.3.3 et le Lemme 3.1.3), puis Q_{2}, …, Q_{m} satisfaisant

ω log Q_{h+1} ≥ 2 log Q_{h}, h = 1, …, m − 1 .

Puisque Q_{m} > ⋯ > Q_{1}, il en résulte que l’hypothèse (3.4) du Théorème 3.1.2 : Q_{h}^{ϵ} > 2^{n}E pour h = 1, …, m est satisfaite, de même que

Q_{h}^{ωC_{4}^{2}/C_{5}} ≥ 2^{3mq^{2}}, h = 1, …, m ,

qui nous permettra de vérifier l’hypothèse (2.14) du Théorème 2.4.3. Ayant choisi les nombres réels Q_{1}, …, Q_{m} de cette manière, nous choisissons r_{1}, …, r_{m} de façon à pouvoir satisfaire les hypothèses (3.5) du Théorème 3.1.2. Pour cela, nous prenons successivement

r_{1} ≥ \frac{log Q_{m}}{ϵ log Q_{1}} entier et r_{h} = [\frac{r_{1} log Q_{1}}{log Q_{h}} ] + 1, h = 2, …, m .

Nous avons alors bien

r_{1} log Q_{1} ≤ r_{h} log Q_{h} ≤ (1 + ϵ)r_{1} log Q_{1} puisque log Q_{m} > log Q_{h}, h = 1, …, m ,

ce qui est (3.5). Appliquons le Théorème 2.3.3 à ϵ, m, L^{(i)} = L_{i}, i = 1, …, m et \underline{r}. Nous trouvons un polynôme P ∈ A\{0} satisfaisant les conclusions de ce théorème. Mais par le choix judicieux de Q_{1}, …, Q_{m}, r_{1}, …, r_{m}, les hypothèses du Théorème 3.1.2 sont aussi satisfaites. Ainsi

Ind (P, M_{1}, …, M_{m}, r_{1}, …, r_{m}) ≥ mϵ .

En vue d’obtenir une contradiction, nous vérifions maintenant les conditions d’applications du Théorème 2.4.3. De (3.5) et du choix de Q_{h+1} en fonction de Q_{h}, nous déduisons

ωr_{h} ≥ \frac{r_{h}}{1 + ϵ} \frac{ω log Q_{h+1}}{log Q_{h}} ≥ \frac{2}{1 + ϵ} ≥ r_{h+1}, h = 1, …, m − 1 ,

car ϵ < 16n^{2}ϵ < δ_{1} < 1, et (2.12) est donc satisfaite. Pour vérifier (2.13) nous notons que pour h = 1, …, m, Q_{h} ∈ P et Q_{h} > C_{6} donc

Q_{h}^{C_{4}} ≤ H(M_{h}) ≤ Q_{h}^{C_{5}} .

Mais nous avons judicieusement choisi C_{4}/C_{5} ≤ n − 1. En posant Γ = C_{4}/C_{5}, nous aurons donc 0 < Γ ≤ q (où nous posons q = n − 1) et

H(M_{h})^{r_{h}} ≥ Q_{h}^{C_{4}r_{h}} ≥ Q_{1}^{C_{4}r_{1}} ≥ H(M_{1})^{r_{1}C_{4}/C_{5}} = H(M_{1})^{r_{1}Γ} ,

ce qu’il fallait ; il faut noter que la dernière inégalité provient de la chaîne d’implication

H(M_{1}) ≤ Q_{1}^{C_{5}} ⇒ H(M_{1})^{r_{1}C_{4}} ≤ Q_{1}^{r_{1}C_{4}C_{5}} ⇒ Q_{1}^{C_{4}r_{1}} ≥ H(M_{1})^{r_{1}C_{4}/C_{5}} .

Nous avons également

H(M_{h})^{ωΓ} ≥ Q_{h}^{ωΓC_{4}} = Q_{h}^{ωC_{4}^{2}/C_{5}} ≥ 2^{3mq^{2}}, h = 1, …, m ,

ce qui est exactement (2.14). Enfin nous devons vérifier l’hypothèse relative à la hauteur de P (i.e. (2.15)). Or

H(P)^{q^{2}} ≤ D^{q^{2}(r_{1}+···+r_{m})} (Théorème 2.3.3))
≤ D^{q^{2}mr_{1}} (car r_{1} + ⋯ + r_{m} ≤ r_{1}(1 + ω + ⋯ + ω^{m−1}) et ω ≤ 1)
≤ (Q_{1}^{ωC_{4}^{2}/C_{5}})^{r_{1}}
≤ H(M_{1})^{ωr_{1}C_{4}/C_{5}} (car Q_{1}^{C_{4}} ≤ H(M_{1}))
= H(M_{1})^{ωr_{1}Γ}

Ainsi toutes les hypothèses du Théorème 2.3.3 sont-elles bien satisfaites, ce qui nous permet de conclure que

Ind (P, M_{1}, …, M_{m}, r_{1}, …, r_{m}) ≤ ϵ .

Mais ceci est en contradiction avec un résultat antérieur. Nous en déduisons que la partie P est bornée. Le théorème est donc vrai.

Voici maintenant l’un des lemmes les plus esthétiques de cette preuve.

Lemme 3.1.5 Supposons D ⊂]1, +∞[ non bornée telle que la famille de parallélépipèdes Π(Q)_{Q∈D} satisfasse

∀Q ∈ D, λ_{n−1}(Q) < Q^{−δ} .

Alors il existe D′ ⊂ D non bornée et h ∈ ℝ^{n} tels que

∀Q ∈ D′, g_{n}^{∗}(Q) = h .

Plus généralement, pour Q ∈ D, soit donné (A_{1}(Q), …, A_{n}(Q)) ∈ ℝ^{n} satisfaisant

A_{i}(Q) > 0 pour i = 1, …, m , (3.19)

A_{1}(Q) … A_{n}(Q) = 1 , (3.20) max {A_{1}(Q), …, A_{n}(Q), A_{1}(Q)^{−1}, …, A_{n}(Q)^{−1}} ≤ Q (3.21)

et soit Π̃(Q) = Π(L_{1}, …, L_{n}; A_{1}(Q), …, A_{n}(Q)). Si la famille Π̃(Q)_{Q∈D} satisfait

∀Q ∈ D, λ̃_{n−1}(Q) < Q^{−δ} .

Alors il existe D′ ⊂ D non bornée et h̃ ∈ ℝ^{n} tels que

∀Q ∈ D′, g̃_{n}^{∗}(Q) = h̃ .

Preuve : Commençons par la première assertion. D’après le Théorème 3.1.4, il existe \overline{Q} ∈ D tel que pour Q ≥ \overline{Q} et Q ∈ D, nous ayons

a_{i}^{∗}.g_{n}^{∗}(Q) = 0 pour i ∈ Σ(\underline{c}, δ) .

Posons \overline{g}_{n}^{∗}(Q) = g_{n}^{∗}(\overline{Q}). En multipliant \overline{g}_{n}^{∗}(Q) par un rationnel non nul convenable, nous obtenons \overline{h} ∈ ℤ^{n} (désormais fixé) à composantes entières premières entre elles, tel que

a_{i}^{∗}.\overline{h} = 0 pour i ∈ Σ(\underline{c}, δ) .

Nous allons extraire de D une partie D′ sur laquelle g_{n}^{∗} est constamment égal à un multiple rationnel de \overline{h} : nous montrerons que pour Q assez grand dans D, nous avons à la fois

\overline{h} ∈ Π^{∗}(Q) = Π(Q^{c_{1}}a_{1}^{∗}(Q), …, Q^{c_{n}}a_{n}^{∗}(Q)) (dual de Π(Q)) ,
λ_{2}^{∗}(Q) > 1 ,
M(Q) = F (Q)g_{n}^{∗}(Q) ∈ Π^{∗}(Q), F (Q) ∈ ℤ, 1 ≤ |F (Q)| ≤ n!^{2}(cf. Remarque 3.1.1) .

Donc M(Q) et \overline{h} sont égaux ou opposés, et comme D est non bornée, F (Q) prend une valeur une infinité de fois.

Pour cela, posons C = max_{1≤i≤n} |a_{i}^{∗}.\overline{h}|. Les deux faits suivants

– pour i ∉ Σ(\underline{c}, δ), c_{i} + δ/2 ≥ 0 donc |a_{i}^{∗}.\overline{h}| ≤ CQ^{−δ/2}Q^{−c_{i}} ,

– pour i ∈ Σ(\underline{c}, δ), |a_{i}^{∗}.\overline{h}| = 0 ≤ Q^{−c_{i}} , montrent que pour Q ≥ Q_{0} = max \{Q^{2/δ}, \overline{Q}\}, \overline{h} ∈ Π^{∗}(Q). Mais nous avons de plus λ_{n−1}(Q) < Q^{−δ}, et le théorème des parallélépipèdes duaux de Mahler (Théorème 1.1.14) nous dit donc que

λ_{2}^{∗}(Q) ≫ \frac{1}{λ_{n+1−2}(Q)} = \frac{1}{λ_{n−1}(Q)} > Q^{δ} .

Ainsi il existe Q_{1} > 0 pour lequel Q ≥ Q_{1} ⇒ λ_{2}^{∗}(Q) > 1 (nous voyons ici pourquoi l’hypothèse λ_{n−1}(Q) < Q^{−δ} est si agréable). Par définition de λ_{2}^{∗}(Q), nous avons

Q ∈ D et Q ≥ max \{Q_{0}, Q_{1}\} ⇒ Π^{∗}(Q) ∩ ℝ^{n} ⊂ ℝ\overline{h} .

D’après la Remarque 3.1.1, nous pouvons écrire g_{n}^{∗}(Q) = M(Q)/F (Q) avec les conventions de cette remarque. Les mêmes arguments que ceux utilisés dans le Lemme 3.1.3 montrent qu’il existe C′ > 0 tel que :

|a_{i}^{∗}.g_{n}^{∗}(Q)| ≤ C′Q^{−δ(n−1)}Q^{−c_{i}}, pour i = 1, …, n .

Il suit de cela que

|a_{i}^{∗}.M(Q)| = |a_{i}^{∗}.F (Q)g_{n}^{∗}(Q)| ≤ C′n!^{2}Q^{−δ(n−1)}Q^{−c_{i}}, pour i = 1, …, n .

Ainsi pour Q ≥ Q_{2} = (C′n!^{2})^{1/(δ(n−1))}, M(Q) ∈ Π^{∗}(Q), et nous avons donc établi

Q ∈ D et Q ≥ max \{Q_{0}, Q_{1}, Q_{2}\} ⟹ \{ \begin{matrix}\overline{h} ∈ Π^{∗}(Q) , \\ Π^{∗}(Q) ∩ ℤ^{n} ⊂ ℝ\overline{h} , \\ F (Q)g_{n}^{∗}(Q) = M(Q) ∈ Π^{∗}(Q) . \end{matrix}

Définissons maintenant D_{0} = {Q ∈ D, Q ≥ max {Q_{0}, Q_{1}, Q_{2}}}. C’est une partie de D non bornée. De plus pour Q ∈ D_{0}, M(Q) = ±\overline{h} car ce sont deux vecteurs de Π^{∗}(Q) ∩ ℤ^{n}, qui sont ℚ-proportionnels et à composantes premières entre elles. Il suffit pour conclure d’extraire de D_{0} une partie D_{1} dénombrable discrète (donc non bornée), et de remarquer que Q ↦ F (Q) est à valeurs dans l’ensemble fini {−n!^{2}, …, n!^{2}} \ {0}, ce qui assure l’existence de D′ ⊂ D_{1} infinie (donc non bornée car D_{1} est discrète) sur laquelle cette fonction vaut, disons, a. Alors

∀Q ∈ D′, g_{n}^{∗}(Q) = \frac{±\overline{h}}{a} ,

et en posant h = ±a^{−1}\overline{h}, nous avons montré la première partie du lemme.

Passons à la généralisation. Il est naturel de poser c_{i}(Q) = log A_{i}(Q)/ log Q pour i = 1, …, n, ce qui est possible d’après (3.19), après quoi nous avons

\{ \begin{matrix}c_{1}(Q) + ⋯ + c_{n}(Q) = 0 & d’après (3.20) , \\ |c_{i}(Q)| ≤ 1 pour i = 1, …, n & d’après (3.21) . \end{matrix}

La difficulté par rapport à la précédente partie vient de ce que les c_{i} dépendent de Q, et nous ne pouvons donc pas utiliser directement le Théorème 3.1.4 (à cause de la remarque faite au cours de la preuve du Théorème 3.1.2). Toutefois nous observons que

K = {(c_{1}, …, c_{n}) ∈ ℝ^{n} | c_{1} + ⋯ + c_{n} = 0 et |c_{i}| ≤ 1 pour i = 1, …, n}

est un compact de ℝ^{n}. Nous pouvons donc trouver un élément \underline{γ} = (γ_{1}, …, γ_{n}) de K, et une partie D_{1} de D non bornée telle que :

∀Q ∈ D_{1}, ∀i = 1, …, n, |c_{i}(Q) − γ_{i}| < \frac{δ}{8} (< \frac{δ}{2}) .

Si nous appelons Π^{#}(Q) = Π(L_{1}, …, L_{n}; Q^{γ_{1}}, …, Q^{γ_{n}}), nous obtenons alors que pour Q ∈ D_{1}, λ_{n−1}^{#}(Q) < Q^{−δ/2}. D’après la première partie du lemme, il existe alors D_{2} ⊂ D_{1} non bornée, telle que g_{n}^{#∗}(Q) soit indépendant de Q ∈ D_{2}. Plus précisément, en remplaçant Σ(\underline{c}, δ) par Σ(\underline{γ}, δ/2), et en reprenant la preuve déjà faite, nous obtiendrons

g_{n}^{#∗}(Q) = \frac{m}{F} avec \{ \begin{matrix}F ∈ [−n!^{2}, n!^{2}] ∩ (ℤ \ \{0\}) , \\ m ∈ Π^{#∗}(Q) pour Q ∈ D_{2} , \\ m ∈ ℤ^{n} à composantes premières entre elles. \end{matrix}

Si nous exhibons D_{3} ⊂ D_{2} non bornée telle que m ∈ Π̃^{∗}(Q) pour Q ∈ D_{3}, nous aurons terminé car cela nous fournira l’équivalent du \overline{h} précédent. Or si i est tel que

– a_{i}^{∗}.m = 0, clairement |a_{i}^{∗}.m| ≤ Q^{−c_{i}(Q)} ,

– a_{i}^{∗}.m ≠ 0, le Théorème 3.1.4 utilisé avec \underline{γ} au lieu de \underline{c} et Σ(\underline{γ}, δ/2) au lieu de Σ(\underline{c}, δ) montre que γ_{i} + δ/4 < 0. Donc pour Q ∈ D_{2},

γ_{i}(Q) − \frac{δ}{8} < c_{i}(Q) < γ_{i}(Q) + \frac{δ}{8} < −\frac{δ}{4} + \frac{δ}{8} = −\frac{δ}{8} ,

et pour Q ∈ D_{2} assez grand |a_{i}^{∗}.m| ≤ Q^{−c_{i}(Q)}. Ainsi nous pouvons trouver D_{3} répondant aux exigences formulées ci-dessus.

Maintenant, comme dans la première partie, en extrayant de D_{3} une partie D_{4} non bornée pour laquelle nous ayons λ̃_{2}^{∗}(Q) > 1 pour Q ∈ D_{4} puis une partie D_{5} ⊂ D_{4} non bornée telle que pour Q ∈ D_{5}, on ait F̃(Q)g̃_{n}^{∗}(Q) = M̃(Q) ∈ Π̃^{∗}(Q) ∩ ℤ^{n}, nous constatons que les vecteurs m et M̃(Q) sont alors égaux pour Q ∈ D_{5} et nous pouvons extraire de D_{5} une partie D′ sur laquelle

g̃_{n}^{∗}(Q) = \frac{m}{a′}, a′ ∈ [−n!^{2}, n^{2}] ∩ ℤ \ \{0\} ,

et poser h̃ = a′^{−1}m pour avoir la conclusion.

Nous pouvons alors enfin achever la preuve du théorème des sous-espaces fort dans le cas d = n − 1.

Lemme 3.1.6 Supposons D ⊂]1, +∞[ non bornée telle que la famille de parallélépipèdes Π(Q)_{Q∈D} satisfasse

∀Q ∈ D, λ_{n−1}(Q) < λ_{n}(Q)Q^{−δ} . (3.22)

Alors il existe D′ ⊂ D non bornée et h ∈ ℝ^{n}, tels que la famille de parallélépipèdes Π(Q)_{Q∈D′} satisfasse

∀Q ∈ D′, g_{n}^{∗}(Q) = h .

Preuve : Nous allons utiliser le lemme de Davenport (Théorème 1.1.12) pour associer aux Π(Q) des parallélépipèdes Π′(Q) qui satisferont les hypothèses de la deuxième partie du Lemme 3.1.5, donc g′_{n}^{∗} sera constant sur une certaine partie non bornée de D, mais le lemme de Davenport nous dira aussi que g_{n}^{∗} et g′_{n}^{∗} sont proportionnels, de sorte que le même type d’arguments que dans le Lemme 3.1.5 fonctionnera encore.

Pour Q ∈ D, définissons

ρ_{0}(Q) = (λ_{1}(Q) … λ_{n−2}(Q)λ_{n−1}(Q)^{2})^{1/n} ,
(3.23)  ρ_{i}(Q) = ρ_{0}(Q)/λ_{i}(Q), i = 1, …, n − 1 ,
ρ_{n}(Q) = ρ_{0}(Q)/λ_{n−1}(Q) .

Les hypothèses (1.1), (1.1) et (1.2) du lemme de Davenport sont alors satisfaites par les nombres réels ρ_{1}(Q), …, ρ_{n}(Q). Il existe donc une permutation σ(Q) de {1, …, n} telle que le parallélépipède

Π′(Q) =^{def} Π(ρ_{1}(Q)Q^{−c_{σ(Q)(1)}}L_{σ(Q)(1)}, …, ρ_{n}(Q)Q^{−c_{σ(Q)(n)}}L_{σ(Q)(n)}; 1, …, 1)

ait des minima successifs λ′_{1}(Q), …, λ′_{n}(Q) satisfaisant

2^{−n}λ_{i}(Q)ρ_{i}(Q) ≤ λ′_{i}(Q) ≤ 2^{n^{2}}n!^{2}λ_{i}(Q)ρ_{i}(Q), pour i = 1, …, n . (3.24)

Comme le groupe symétrique d’ordre n est fini et D est non bornée, nous pouvons supposer quitte à diminuer D que σ(Q) = σ, indépendante de Q. Nous avons alors

Π′(Q) = Π(ρ_{1}(Q)Q^{−c_{σ(1)}}L_{σ(1)}, …, ρ_{n}(Q)Q^{−c_{σ(n)}}L_{σ(n)}; 1, …, 1)
= Π(L_{σ(1)}, …, L_{σ(n)}; ρ_{1}(Q)^{−1}Q^{c_{σ(1)}}, …, ρ_{n}(Q)^{−1}Q^{c_{σ(n)}})
= Π(L′_{1}, …, L′_{n}; A′_{1}(Q), …, A′_{n}(Q)) ,

en posant L′_{i} = L_{σ_{i}} et A′_{i}(Q) = ρ_{i}(Q)^{−1}Q^{c_{σ(i)}} pour i = 1, …, n. Il nous reste à montrer que les hypothèses de la seconde partie du Lemme 3.1.5 sont satisfaites. La somme des c_{i} étant nulle et le produit des ρ_{i}(Q) valant l’unité, nous avons clairement A′_{1}(Q) … A′_{n}(Q) = 1. De même A′_{i}(Q) > 0 pour i = 1, …, n est évidente. Nous avons alors à estimer

λ′_{n−1}(Q) et max {A′_{1}(Q), …, A′_{n}(Q), A′_{1}(Q)^{−1}, …, A′_{n}(Q)^{−1}} . (3.25)

D’après (3.24), nous avons

λ′_{n−1}(Q) ≪ λ_{n−1}(Q)ρ_{n−1}(Q)
= ρ_{0}(Q) d’après (3.23)
= (λ_{1}(Q) … λ_{n}(Q))^{1/n}(\frac{λ_{n−1}(Q)}{λ_{n}(Q)})^{1/n} d’après (3.23)
≪ (\frac{λ_{n−1}(Q)}{λ_{n}(Q)})^{1/n} d’après le Théorème 1.1.11
≪ Q^{−δ/n} d’après (3.22)

Pour estimer le maximum de (3.25), nous avons besoin d’établir d’abord

λ_{1}(Q) ≫ Q^{−1} et λ_{n}(Q) ≪ Q . (3.26)

Pour cela, notons que si y ∈ λΠ(Q) ∩ ℤ^{n}, y ≠ 0, alors max_{1≤i≤n} |Q^{−c_{i}}L_{i}(y)| ≤ λ. Mais pour tout vecteur y ∈ ℤ^{n} \ {0}, nous avons

max_{1≤i≤n} |Q^{−c_{i}}L_{i}(y)| ≥ Q^{−1} max_{1≤i≤n} |L_{i}(y)| ≫ Q^{−1}∥y∥_{∞} ≥ Q^{−1} ,

en observant que −1 ≤ c_{i} ≤ 1 et que y ↦ ∥y∥_{∞} et y ↦ max_{1≤i≤n} |L_{i}(y)| sont deux normes équivalentes sur ℝ^{n}. Cela prouve que λ_{1}(Q) ≫ Q^{−1}. D’autre part si (e_{1}, …, e_{n}) est la base canonique de ℝ^{n}, nous avons |L_{i}(e_{j})| ≤ Q^{c_{i}+1} pour 1 ≤ i, j ≤ n. Cela assure que λ_{n}(Q) ≪ Q (noter qu’il existe C > 0 telle que CQΠ(Q)∩ℤ^{n} contienne e_{1}, …, e_{n}). Donc les deux assertions de (3.26) sont valables. Nous en déduisons d’après (3.22)

ρ_{1}(Q) = λ_{1}(Q)^{−1}ρ_{0}(Q) ≪ λ_{1}(Q)^{−1} (\frac{λ_{n−1}(Q)}{λ_{n}(Q)})^{1/n} ≤ λ_{1}(Q)^{−1} ≪ Q , (3.27)

et

ρ_{n}(Q) = λ_{n−1}(Q)^{−1}ρ_{0}(Q) ≫ λ_{n−1}(Q)^{−1} (\frac{λ_{n−1}(Q)}{λ_{n}(Q)})^{1/n} ≥ λ_{n}(Q)^{−1} ≫ Q^{−1} . (3.28)

L’avant dernière égalité vient de ce que x^{1/n−1} ≥ 1 pour 0 < x < 1, et de ce que d’après le Théorème 1.1.11,

ρ_{0}(Q) = (λ_{1}(Q) … λ_{n}(Q))^{1/n} ≫ (\frac{λ_{n−1}(Q)}{λ_{n}(Q)})^{1/n} .

En regroupant (3.27), (3.28) et (1.1) du lemme de Davenport, nous obtenons :

Q^{−1} ≪ ρ_{n}(Q) ≤ ⋯ ≤ ρ_{1}(Q) ≪ Q d’où Q^{−2} ≪ A′_{i}(Q) ≪ Q^{2} pour i = 1, …, n .

Il existe donc D_{1} ⊂ D non borné tel que pour Q ∈ D_{1}

λ′_{n−1}(Q) < (Q^{3})^{−δ_{2}}, avec δ_{2} = δ/(4n) ,
max {A′_{1}(Q), …, A′_{n}(Q), A′_{1}(Q)^{−1}, …, A′_{n}(Q)^{−1}} ≤ Q^{3} ,
A′_{1}(Q) … A′_{n}(Q) = 1 ,
A′_{i}(Q) > 0 pour i = 1, …, n .

Nous avons bien les hypothèses du Lemme 3.1.5 modulo la présence de Q^{3} au lieu de Q. Mais il suffit de faire intervenir

P_{1} = {Q′ > 1 | ∃Q ∈ D_{1} et Q′ = Q^{3}} et A′′_{i}(Q′) = A′_{i}(Q) pour i = 1, …, n si Q′ = Q^{3} ,

pour pouvoir appliquer la deuxième partie du Lemme 3.1.5 à la famille de parallélépipèdes Π′′(Q′)_{Q′∈P_{1}} où

Π′′(Q′) = Π(L′_{1}, …, L′_{n}; A′′_{1}(Q′), …, A′′_{n}(Q′))

avec δ_{2} à la place de δ. Si g′′_{1}(Q′), …, g′′_{n}(Q′) sont comme dans le Lemme 1.1.4 pour le parallélépipède Π′′(Q′), et si (g′′_{1}^{∗}(Q′), …, g′′_{n}^{∗}(Q′)) est la base duale de (g′′_{1}(Q′), …, g′′_{n}(Q′)), le Lemme 3.1.5 dit qu’il existe P_{2} ⊂ P_{1} non bornée telle que

∀Q′ ∈ P_{2}, g′′_{n}^{∗}(Q′) = h′′, h′′ ∈ ℝ^{n} .

Notons T (Q) = ℝg_{1}(Q) ⊕ ⋯ ⊕ ℝg_{n−1}(Q). D’après l’inégalité (1.5) du lemme de Davenport,

∀g ∈ ℤ^{n} \ T (Q), max |L′_{i}(g)A′_{i}(Q)| = max |ρ_{i}(Q)Q^{−c_{σ_{i}}}L_{σ(i)}(g)|
≫ λ_{n}(Q)ρ_{n}(Q) ≫ λ′_{n}(Q) ≫ 1 d’après (3.24) .

Donc g′_{1}(Q), …, g′_{n−1}(Q) doivent appartenir à T (Q), sinon il existerait une constante C > 0 indépendante de Q telle que

g′_{i}(Q) ∉ CΠ′(Q) d’où C < λ′_{i}(Q) ≤ λ′_{n−1}(Q) < Q^{−3δ/4n} ,

ce qui est impossible. Ainsi

\begin{aligned}& ∀Q ∈ D_{1}, ℝg′_{1}(Q) ⊕ ⋯ ⊕ ℝg′_{n−1}(Q) = ℝg_{1}(Q) ⊕ ⋯ ⊕ ℝg_{n−1}(Q) \\ ⟺ & ∀Q ∈ D_{1}, ℝg′_{n}^{∗}(Q) = ℝg_{n}^{∗}(Q) . \end{aligned}

Si nous écrivons maintenant avec les notations de la Remarque 3.1.1

g_{n}^{∗}(Q) = \frac{M(Q)}{F (Q)} et g′_{n}^{∗}(Q) = \frac{M′(Q)}{F′(Q)} ,

nous avons M(Q) = M′(Q) pour Q ∈ D_{1}. Or, posons maintenant

D_{2} =^{def} {Q ∈ D_{1} | Q^{3} ∈ P_{1}} ,

qui est non borné et contenu dans D_{1}. Pour Q ∈ D_{2}, g′_{n}^{∗}(Q) = g′′_{n}^{∗}(Q^{3}) = h′′ = M(Q)/F′(Q). Comme F (Q) et F′(Q) ne prennent qu’un nombre fini de valeurs sur D_{2}, il en est de même de M(Q) = F′(Q)h′′ et de g_{n}^{∗}(Q) = M(Q)/F (Q). Nous pouvons donc trouver une partie D′ ⊂ D_{2} ⊂ D_{1} ⊂ D non bornée telle g_{n}^{∗} est constant sur D′. Ceci achève la preuve du lemme, et donc du théorème des sous-espaces fort dans le cas d = n − 1, car en fait nous pouvons supposer que (3.1) et (3.2) sont satisfaites.

Passons alors au cas général.

3.2 Preuve du théorème des sous-espaces fort dans le cas général

Compte tenu de ce qui a déjà éte fait jusqu’ici, le passage du cas d = n − 1 au cas quelconque est essentiellement formel mais astucieux. L’idée consiste à écrire p = n − d, et à montrer que le p-ième composé de Mahler du parallélépipède Π(Q), Q ∈ D, qui est un parallélépipède de ℝ_{p}^{n} ≃ ℝ^{l} où l = \binom{n}{p}, a ses l minima successifs ν_{1}(Q), …, ν_{l}(Q) qui satisfont les hypothèses du Lemme 3.1.6. Si donc V_{i}(Q) ∈ ν_{i}(Q)Π^{(p)}(Q) sont entiers et indépendants, V_{l}^{∗}(Q) sera constant pour Q ∈ D assez grand, et en utilisant les propriétés de la section 1.2, il ne sera plus difficile de conclure. Précisons maintenant tout cela.

Nous gardons bien sûr les notations du Théorème 3.0.2 et de la Définition 3.0.1. Cela dit, nous pouvons supposer que les formes L_{1}, …, L_{n} sont de déterminant 1 ; si elles ne l’étaient pas, nous poserions Δ = | det (L_{1}, …, L_{n})|^{1/n} (qui est un nombre algébrique réel), et nous remplacerions L_{i} par ±L_{i}/Δ pour i = 1, …, n, qui sont encore des formes linéaires indépendantes sur ℝ^{n}. Ce faisant nous changerions Π(Q) en Π^{Δ}(Q) défini par

Π^{Δ}(Q) = Π(L_{1}/Δ, …, L_{n}/Δ; Q^{c_{1}}, …, Q^{c_{n}})

image de Π(Q) par l’homothétie de rapport Δ, et Π^{Δ}(Q) remplit par conséquent la condition λ_{n−1}^{Δ}(Q) < λ_{n}^{Δ}(Q)Q^{−δ} (avec des notations évidentes).

De plus nous pouvons aussi supposer

|c_{i}| ≤ 1/n pour i = 1, …, n . (3.29)

En effet, si nous remplaçons c_{i} par ρc_{i} pour i = 1, …, n, où ρ > 0, nous transformons Π(Q) en Π_{ρ}(Q) = Π(Q^{ρ}) et Q ↦ Q^{ρ} est une bijection de ]1, +∞[.

Nous considérons maintenant la famille de parallélépipèdes Π(Q)_{Q∈D} avec les hypothèses supplémentaires ci-dessus. Nous posons p = n−d, et allons construire Π^{(p)}(Q) comme annoncé. Pour σ = (i_{1}, …, i_{p}) ∈ C(n, p), posons

c_{σ} = ∑_{k=1}^{p} c_{i_{k}} . (3.30)

L’hypothèse (3.29) sert bien entendu à pouvoir dire à ce stade que |c_{σ}| ≤ 1 pour tout σ ∈ C(n, p). D’autre part, C(n, p) est un système de représentants de

A(n, p) = {(i_{1}, …, i_{p}) ∈ {1, …, n}^{p} | k ≠ k′ ⇒ i_{k} ≠ i_{k′}}

modulo la relation d’équivalence définie sur C(n, p) par

σ = (i_{1}, …, i_{p}) R τ = (j_{1}, …, j_{p}) ⇔ ∃s ∈ 𝔖_{p} | j_{l} = i_{s(l)} pour 1 ≤ l ≤ n .

Nous en déduisons par conséquent que

∑_{σ∈C(n,p)} c_{σ} = 0 .

Appliquons alors la théorie des parallélépipèdes composés de Mahler (Théorème 1.2.12) qui à Π(Q) = Π(Q^{−c_{1}}a_{1}, …, Q^{−c_{n}}a_{n}) permet d’associer Π^{(p)}(Q) = Π((A_{σ})_{σ∈C(n,p)}). Pour un ordre sur C(n, p) qui rend τ ↦ λ_{τ} croissante (cf. Définition 1.2.11), le dernier élément est (d + 1, …, n) et l’avant-dernier est (d, d + 2, …, n). D’après le théorème de Mahler,

ν_{i}(Q) ≪ λ_{τ_{i}}(Q) ≪ ν_{i}(Q), pour i = 1, …, l .

En particulier,

ν_{l}(Q) ≪ λ_{d+1}(Q) … λ_{n}(Q) ≪ ν_{l}(Q) et ν_{l−1}(Q) ≪ λ_{d}(Q)λ_{d+2}(Q) … λ_{n}(Q) ≪ ν_{l−1}(Q) .

Grâce à l’hypothèse λ_{d}(Q) < λ_{d+1}(Q)Q^{−δ} nous avons heureusement

ν_{l−1}(Q) ≪ ν_{l}(Q)Q^{−δ} d’où ∀Q ∈ D_{1}, ν_{l−1}(Q) < ν_{l}(Q)Q^{−δ/2} , (3.31)

où D_{1} est une partie non bornée de D. Nous pouvons donc utiliser le Lemme 3.1.6 avec Π^{(p)}(Q) et δ/2 en lieu et place de Π(Q) et δ. La conclusion obtenue est que si pour i = 1, …, l, nous notons V_{i}(Q) ∈ ν_{i}(Q)Π^{(p)}(Q) des vecteurs entiers indépendants de ℝ_{p}^{n}, et si (V_{i}^{∗}(Q))_{1≤i≤l} la base duale pour le produit scalaire de ℝ_{p}^{n}, il existe une partie D_{2} ⊂ D_{1} non bornée et H ∈ ℝ_{p}^{n}, avec

V_{l}^{∗}(Q) = H pour Q ∈ D_{2} .

Mais d’après le théorème de Mahler, pour τ ∈ C(n, p), τ ≠ (d + 1, …, n) et σ ∈ C(n, p) :

|A_{σ}.G_{τ}(Q)| ≪ ν_{l−1}(Q)Q^{c_{σ}} .

En effet, avec les notations de la section 1.2.2, nous avons G_{τ} = λ_{τ}X_{τ}, et d’après l’identité de Laplace, nous obtenons

|A_{σ}.X_{τ}| ≤ p!Q^{c_{σ}} ,
|A_{σ}.G_{τ}(Q)| ≤ p!λ_{τ}(Q)Q^{c_{σ}} ,
|A_{σ}.G_{τ}(Q)| ≪ ν_{l−1}(Q)Q^{c_{σ}} .

Cette dernière propriété nous permet d’affirmer que

⨁_{τ≠τ_{l}} ℝG_{τ}(Q) = ⨁_{i=1}^{l−1} ℝV_{i}(Q) pour Q ∈ D_{3} ,

où D_{3} est une partie non bornée de D_{2}. Il suit que (G_{τ_{l}}(Q))^{∗} et V_{l}^{∗}(Q) sont ℝ-proportionnels (et même ℚ-proportionnels) — il convient de remarquer que d’après le Lemme 1.2.6, nous jouissons de (G_{τ_{l}}(Q))^{∗} = (G^{∗}(Q))_{τ_{l}}. Nous avons donc établi

∃λ ∈ ℚ^{∗} tel que G^{∗}(Q)_{τ_{l}} = g_{d+1}^{∗}(Q) ∧ ⋯ ∧ g_{n}^{∗}(Q) = λH pour Q ∈ D_{3} .

Il existe donc d’après le Lemme1.2.6 un sous-espace de S^{∗} de ℝ^{n} de dimension p = n − d, tel que pour tout Q ∈ D_{3}, g_{i}^{∗}(Q) ∈ S^{∗} pour i = d + 1, …, n. Si S désigne l’orthogonal de S^{∗}, nous avons finalement bien

∀Q ∈ D′, S = ℚg_{1}(Q) ⊕ ⋯ ⊕ ℚg_{d}(Q) ,

comme demandé dans le Théorème 3.0.2 qui est donc complètement démontré.

3.3 Preuve du théorème des sous-espaces

La preuve du Théorème 3.0.3, dont nous reprenons les notations, se déroule en cinq étapes. Soit δ > 0.

1. Nous commençons par nous ramener au cas où les formes L_{1}, …, L_{n} sont à coefficients algébriques réels.

2. Nous remarquons que tout ensemble borné B de solutions de (3.3) est contenu dans une réunion finie de sous-espaces non triviaux de ℚ^{n}, et qu’il suffit de considérer les solutions x de (3.3) qui n’annulent pas le produit L_{1}(x) … L_{n}(x).

3. En utilisant des faits de théorie algébrique des nombres, nous trouvons A > 0 tel que toute solution x de (3.3) assez grande satisfasse

∥x∥_{∞}^{−A} ≤ |L_{i}(x)| ≤ ∥x∥_{∞}^{2}, i = 1, …, n .

4. Nous montrons qu’il existe δ′ > 0 et un nombre fini de n-uplets (c_{1}, …, c_{n}) satisfaisant (3.1) tels que toute solution x de (3.3) assez grande satisfasse

|L_{i}(x)| ≤ ∥x∥_{∞}^{c_{i}−δ′}, i = 1, …, n .

5. Nous montrons par un raisonnement par l’absurde utilisant le théorème des sous-espaces fort qu’il existe un nombre fini de sous-espaces T_{1}, …, T_{k} non triviaux de ℚ^{n}, tels que le système

∀i ∈ {1, …, n}, |L_{i}(x)| ≤ ∥x∥_{∞}^{c_{i}−δ′}, x ∈ ℤ^{n} \ {0} (3.32)

ait ses solutions dans T_{1} ∪ ⋯ ∪ T_{k}.

Détaillons maintenant chacun de ces points.

1. Pour chacune des formes linéaires L_{j}, nous écrivons L_{j} = Re L_{j} +iIm L_{j} comme somme de ses parties réelles et imaginaires, toutes deux à coefficients réels. Puisque L_{1}, …, L_{n} sont indépendantes, et donc L_{2}, …, L_{n} aussi, soit Re L_{1}, L_{2}, …, L_{n}, soit Im L_{1}, L_{2}, …, L_{n} sont indépendantes. En répétant ce procédé avec L_{2}, …, L_{n}, nous obtenons de nouvelles formes L′_{1}, …, L′_{n} indépendantes sur ℝ^{n}, à coefficients réels, telles que

∀j ∈ {1, …, n}, L′_{j} = Re L_{j} ou L′_{j} = Im L_{j} d’où |L′_{j}(x)| ≤ |L_{j}(x)| .

Ainsi, si x est solution de (3.3) avec L_{1}, …, L_{n}, il est solution de (3.3) avec L′_{1}, …, L′_{n}, et nous pouvons bien supposer que L_{1}, …, L_{n} sont à coefficients algébriques réels.

2. Ce fait est clair, car un ensemble borné de solutions de (3.3) est fini puisque ℤ^{n} est discret. Alors :

B ⊂ ⋃_{x∈B} ℚx .

D’autre part une solution x de (3.3) qui annule le produit L_{1}(x) … L_{n}(x) se trouve dans la réunion des noyaux des formes linéaires L_{1}, …, L_{n}, qui sont indépendantes. Ces noyaux sont nuls ou non triviaux et deux-à-deux distincts.

3. D’une part, nous disposons d’une application linéaire

\begin{aligned}ϕ & : & ℝ^{n} & ⟶ & ℝ^{n} \\ & & x & ⟼ & (L_{1}(x), …, L_{n}(x)) . \end{aligned}

En considérant la norme fonctionnelle ∥ϕ∥ = sup_{∥x∥_{∞}≤1} ∥ϕ(x)∥_{∞} sur End_{ℝ}(ℝ^{n}), nous avons alors

∥x∥_{∞} ≥ ∥ϕ∥ et 1 ≤ j ≤ n ⇒ |L_{j}(x)| ≤ ∥ϕ(x)∥_{∞} ≤ ∥ϕ∥∥x∥_{∞} ≤ ∥x∥_{∞}^{2} .

D’autre part, soit j ∈ {1, …, n}. La forme L_{j} est à coefficients algébriques ; soit K_{j} le corps engendré sur ℚ engendré par ses composantes et d_{j} son degré. Il existe α_{j} ∈ K_{j}, entier non nul tel que α_{j}L_{j} soit à coefficients dans l’anneau des entiers de K_{j}. Envisageons deux cas séparément.

\underline{Cas 1} : d_{j} = 1. Alors α_{j} est un entier (relatif) non nul, donc pour toute solution x de (3.3) n’annulant pas L_{j}(x), L_{j}(x) est un entier non nul donc supérieur ou égal à 1, donc |L_{j}(x)| ≥ 1/|α_{j}|.

\underline{Cas 2} : d_{j} > 1. Appelons σ_{1}, …, σ_{d_{j}} les plongements de K_{j} dans ℂ. Pour x solution de (3.3) n’annulant pas L_{j}(x), L_{j}(x) est un entier de K_{j} non nul, donc

|N_{K_{j}/ℚ}(L_{j}(x))| ≥ |N_{K_{j}/ℚ}(α_{j})|^{−d_{j}} .

D’autre part

|N_{K_{j}/ℚ}(L_{j}(x))| = ∏_{k=1}^{d_{j}} |σ_{k}(L_{j}(x))| ≤ |L_{j}(x)| C_{j} ∥x∥_{∞}^{d_{j}−1}

où C_{j} est une constante qui ne dépend que des formes linéaires conjuguées de L_{j}. En combinant ces deux faits, nous obtenons

|L_{j}(x)| ≥ C_{j}^{−1}|N_{K_{j}/ℚ}(α_{j})|^{−d_{j}}∥x∥_{∞}^{−(d_{j}−1)} ≥ ∥x∥_{∞}^{−d_{j}} dès que ∥x∥_{∞} ≥ C_{j}|N_{K_{j}/ℚ}(α_{j})| .

Ainsi pour ∥x∥_{∞} ≥ C =^{def} max_{1≤j≤n} C_{j}|N_{K_{j}/ℚ}(α_{j})| et d = min {d_{j} | d_{j} > 1}, nous aurons

|L_{j}(x)| ≥ ∥x∥_{∞}^{−d} pour j = 1, …, n .

Cela prouve le point 3 en posant A = d.

4. L’ensemble [−A, 2] est un compact de ℝ^{n}. Il peut être recouvert par un nombre fini d’intervalles de la forme ]c′, c′′[ où 0 < c′′ − c′ < δ/(2n). Nous avons donc un nombre fini de 2n-uplets (c′_{1}, …, c′_{n}, c′′_{1}, …, c′′_{n}) dépendant de x avec

0 < c′′_{i} − c′_{i} < \frac{δ}{2n} et ∥x∥_{∞}^{c′_{i}} ≤ |L_{i}(x)| ≤ ∥x∥_{∞}^{c′′_{i}} pour 1 ≤ i ≤ n .

Comme |L_{1}(x) … L_{n}(x)| < ∥x∥_{∞}^{−δ}, nous avons aussi la condition c′_{1} + ⋯ + c′_{n} < −δ, d’où c′′_{1} + ⋯ + c′′_{n} < −δ/2. Posons alors

c_{i} = c′′_{i} − \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} c′′_{i} .

Il vient c_{1} + ⋯ + c_{n} = 0, c′′_{i} < c_{i} − δ/(2n) et |L_{i}(x)| ≤ ∥x∥_{∞}^{c_{i}−δ/(2n)} pour i = 1, …, n. Nous avons alors prouvé le point 4 avec δ′ = δ/(2n).

5. Si le point 5 est faux, il existe une suite (x_{m})_{m∈ℕ} de solutions de (3.32) telle que ∥x_{m}∥_{∞} tende vers +∞ lorsque m tend vers +∞, et que n termes quelconques de la suite soient indépendants sur ℚ (on construit cette suite par récurrence en utilisant que pour toute réunion finie de sous-espaces non triviaux de ℚ^{n}, on peut trouver une solution qui n’est pas dans cette réunion). Nous allons extraire une partie D non bornée de D_{0} = {∥x_{m}∥_{∞}, m ∈ ℕ}, telle que la famille de parallélépipèdes Π(Q)_{Q∈D} satisfasse les hypothèses du théorème des sous-espaces fort, ce qui permettra de trouver au moins n points dépendants dans la suite, et fournira une contradiction. Pour cela, notons d’une part que pour Q ∈ D_{0}, il existe m ∈ ℕ tel que x_{m} ∈ Q^{−δ′}Π(Q) ∩ ℤ^{n} non nul, donc λ_{1}(Q) ≤ Q^{−δ′}. Observons d’autre part que d’après le Théorème 1.1.11 nous avons

λ_{n}(Q) = \frac{λ_{1}(Q) … λ_{n}(Q)}{λ_{1}(Q) … λ_{n−1}(Q)} ≫ Q^{δ′(n−1)} ≫ 1 ,

et il existe donc une partie D_{1} ⊂ D_{0} non bornée telle que

Q ∈ D_{1} ⟹ λ_{n}(Q) > 1 et λ_{1}(Q) ≤ Q^{−δ′} .

D’après la Proposition 1.1.6, pour Q_{m} = ∥x_{m}∥_{∞} ∈ D_{1}, puisque x_{m} ∈ Π(Q_{m}) et λ_{n}(Q_{m}) > 1,

x_{m} ∈ S_{n−1}(Q_{m}) = ℝg_{1}(Q_{m}) ⊕ ⋯ ⊕ ℝg_{n−1}(Q_{m}) .

Si nous appelons k_{m} le plus petit entier k tel que

x_{m} ∈ S_{k}(Q_{m}) = ℝg_{1}(Q_{m}) ⊕ ⋯ ⊕ ℝg_{k}(Q_{m}) ,

nous avons λ_{k_{m}}(Q_{m}) ≤ (Q_{m})^{−δ′} (sinon d’après la proposition déjà citée ci-dessus, puisque x_{m} ∈ Q_{m}^{−δ′}Π(Q_{m}) ∩ ℤ^{n}, nous aurions x_{m} ∈ S_{k_{m}−1}(Q_{m}), contredisant la minimalité de k_{m}). Il existe alors un entier d_{m} ≤ n − 1 tel que

λ_{d_{m}}(Q_{m}) < λ_{d_{m}+1}(Q_{m})Q_{m}^{−δ′/n} et k_{m} ≤ d_{m}, m assez grand.

L’application m ↦ d_{m} va d’un ensemble infini dans un ensemble fini, et nous pouvons donc trouver ϕ : ℕ → ℕ strictement croissante et un entier m_{0} tels que

∀m ≥ m_{0}, λ_{d}(Q_{ϕ(m)}) < λ_{d+1}(Q_{ϕ(m)})(Q_{ϕ(m)})^{−δ′/n} .

Nous appliquons donc le théorème des sous-espaces fort avec la famille Π(Q)_{Q∈D} et δ = δ′/n où

D = {Q_{ϕ(m)} = ∥x_{ϕ(m)}∥_{∞}, m ≥ m_{0}} .

La conclusion est qu’il existe D′ ⊂ D non borné tel que pour Q ∈ D′

S = ℚg_{1}(Q) ⊕ ⋯ ⊕ ℚg_{d}(Q)

ne dépende pas de Q ∈ D′. Nous déduisons alors facilement une sous-suite de (x_{ϕ(m)})_{m≥m_{0}} formée de points de S : contradiction ! Le théorème des sous-espaces (3.0.3) est donc complètement démontré.

Applications

Le but de ce chapitre est d’utiliser le théorème des sous-espaces pour en déduire le théorème de Roth, ainsi qu’une version de ce dernier dans les corps de nombres.

4.1 Caractérisation des systèmes de Roth

Nous commençons par donner une définition. Définition 4.1.1 Soient L_{1}, …, L_{u} des formes linéaires sur ℝ^{n}, n ≥ u, à coefficients dans \overline{ℚ} ∩ ℝ. On dit qu’elles forment un système de Roth sur ℝ^{n} si pour tout δ > 0, le système de u inéquations : |L_{j}(x)| < ∥x∥_{∞}^{−(n−u)/u−δ}, j = 1, …, u (4.1) n’a qu’un nombre fini de solutions. Définition 4.1.2 Soient L_{1}, …, L_{n} des formes linéaires sur ℝ^{n}, n ≥ u, à coefficients dans \overline{ℚ}, et c_{1} ≤ ⋯ ≤ c_{n} des nombres réels tels que c_{1} + ⋯ + c_{n} = 0. On dit que

(L_{1}, …, L_{n}; c_{1}, …, c_{n})

est un système de Roth généralisé si pour tout δ > 0 il existe

Q_{1}(δ, L_{1}, …, L_{n}; c_{1}, …, c_{n})

tel que le système d’inéquations : |L_{j}(x)| ≤ Q^{c_{j}−δ}, j = 1, …, n (4.2) n’admet pas de solution x ∈ ℤ^{n} \ {0} pour Q > Q_{1}.

Voici comment nous allons atteindre le théorème de Roth : nous montrons qu’à un système de Roth correspond un système de Roth généralisé. Grâce au théorème des sous-espaces, nous sommes capables de caractériser très simplement les systèmes de Roth généralisés ; cela nous permet de trouver une caractérisation des systèmes de Roth, et il nous suffit alors de vérifier que si α est un nombre algébrique de degré d ≥ 2, la forme linéaire L(x_{1}, x_{2}) = αx_{1} − x_{2} définit un système de Roth sur ℝ^{2}.

Commençons par démontrer le lemme suivant.

Lemme 4.1.3 Soient L_{1}, …, L_{u} des formes linéaires sur ℝ^{n} de rang r ≤ u. Alors le système :

|L_{j}(x)| ≪ ∥x∥_{∞}^{−(n−r)/r}, 1 ≤ j ≤ u

a une infinité de solutions x ∈ ℤ^{n} \ {0}.

Preuve : \underline{Cas 1} : On suppose que r = u.

Posons v = n−u. Quitte à permuter les variables, on peut supposer que les formes linéaires e_{1}^{∗}, …, e_{v}^{∗}, L_{1}, …, L_{u} sont indépendantes. Nous allons constuire une constante C_{1} > 0 ne dépendant que des formes linéaires L_{1}, …, L_{u} telle que :

∀Q > 0, ∃x ∈ ℤ^{n} \ {0} tel que |x_{i}| ≤ C_{1}Q^{u}, 1 ≤ i ≤ v, et |L_{j}(x)| ≤ Q^{−v}, 1 ≤ j ≤ u .

Pour cela, nous observons que la matrice de e_{1}^{∗}, …, e_{v}^{∗}, L_{1}, …, L_{u} dans la base (e_{1}^{∗}, …, e_{n}^{∗}) est de la forme :

( \begin{matrix}& v & u \\ v & I_{v} & A \\ u & 0 & B \end{matrix} )

où I_{v} est bien sûr la matrice identité d’ordre v, et det B ≠ 0 car e_{1}^{∗}, …, e_{v}^{∗}, L_{1}, …, L_{u} sont indépendantes. Posons maintenant :

\{ \begin{matrix}L′_{i} & = & | det B|^{−1/v}e_{i}^{∗} & 1 ≤ i ≤ v , \\ L′_{i} & = & L_{i−v} & v + 1 ≤ i ≤ n . \end{matrix}

de sorte que la matrice des L′_{1}, …, L′_{n} dans les e_{1}^{∗}, …, e_{n}^{∗} est de déterminant ±1.

Soit Q > 0. Comme (Q^{u})^{v}(Q^{−v})^{u} = 1, le théorème des formes linéaires de Minkowski (cf. Théorème 1.1.10) nous montre que le système :

\{ \begin{matrix}L′_{i}(x) & ≤ & Q^{u} & 1 ≤ i ≤ v , \\ L′_{j}(x) & ≤ & Q^{−v} & v + 1 ≤ j ≤ n , \end{matrix}

a une solution x_{Q} ∈ ℤ^{n}\{0}. Ainsi, il suffit de prendre C_{1} = | det B|^{1/v}, et il nous reste à montrer que {x_{Q}, Q > 0} est infini. Si c’était faux, nous pourrions poser m = min_{Q>0,1≤j≤u} |L_{j}(x_{Q})| > 0, et nous aurions alors Q^{v} ≤ 1/m pour tout Q > 0, ce qui est impossible.

Donc, nous pouvons trouver une constante C_{2} > 0 telle que

∀Q > 0, |L_{j}(x_{Q})| ≤ C_{2}∥x_{Q}∥_{∞}^{−v/u} 1 ≤ j ≤ u .

Ce qu’il fallait démontrer.

\underline{Cas 2} : On suppose que r < u.

Supposons que L_{1}, …, L_{r} soient les r formes indépendantes. Par le cas 1, nous avons une constante C_{1} > 0 (différente de celle du cas 1) telle que :

|L_{j}(x)| ≤ C_{1}∥x∥_{∞}^{−(n−r)/r}, 1 ≤ j ≤ r

possède une infinité de solutions x ∈ ℤ^{n} \ {0}.

Pour k ≥ 1, nous écrivons L_{j+k} = α_{k,1}L_{1} + ⋯ + α_{k,r}L_{r}, et nous posons

A = max_{1≤i≤r,1≤k≤u−r} |α_{k,i}|, puis C_{2} = max {C_{1}, C_{1}Ar},

de sorte que pour toute solution du système précedent, nous avons :

|L_{j}(x)| ≤ C_{2}∥x∥_{∞}^{−(n−r)/r}, 1 ≤ j ≤ u .

Ainsi le lemme est-il prouvé.

Nous introduisons maintenant une quantité importante qui va nous permettre de caractériser les systèmes de Roth généralisés.

Définition 4.1.4 Soient L_{1}, …, L_{n} des formes linéaires sur ℝ^{n}, et c_{1}, …, c_{n} des nombres réels satisfaisant

\{ \begin{matrix}c_{1} ≤ ⋯ ≤ c_{n} , \\ c_{1} + ⋯ + c_{n} = 0 . \end{matrix}

et S un sous-espace de ℝ^{n} dimension d. Soit r le rang sur ℚ des restrictions L_{1|S}, …, L_{n|S}. On pose

c(S) = \{ \begin{matrix}+∞ & si r < d , \\ c_{t_{1}} + ⋯ + c_{t_{d}} & si r = d . \end{matrix}

où la suite t_{1}, …, t_{d} est définie de la façon suivante :

\{ \begin{matrix}t_{1} = min\{1 ≤ i ≤ n | rang (L_{i|S}) = 1\} , \\ t_{i} = min\{i − 1 < j ≤ n | rang (L_{t_{1}|S}, …, L_{t_{i−1}|S}, L_{j|S}) = i\}, & i = 2, …, d . \end{matrix}

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème.

Théorème 4.1.5 Soient L_{1}, …, L_{n} des formes linéaires sur ℝ^{n}, à coefficients dans \overline{ℚ} ∩ ℝ et c_{1}, …, c_{n} des nombres réels satisfaisant

\{ \begin{matrix}c_{1} ≤ ⋯ ≤ c_{n} , \\ c_{1} + ⋯ + c_{n} = 0 . \end{matrix}

Alors (L_{1}, …, L_{n}; c_{1}, …, c_{n}) est un système de Roth généralisé, si et seulement si pour tout sous-espace S de dimension d ≥ 1 de ℚ^{n}, nous avons c(S) ≤ 0.

Preuve : a) Supposons que (L_{1}, …, L_{n}; c_{1}, …, c_{n}) soit un système de Roth généralisé. Si c(S) = +∞ pour un certain sous-espace vectoriel S de ℚ^{n} de dimension d ≥ 1, alors r =^{def} rang (L_{1|S}, …, L_{n|S}) < d et nous allons montrer dans ce cas que :

∀ϵ > 0, ∃x_{ϵ} ∈ S ∩ (ℤ^{n} \ {0}) tel que |L_{j}(x_{ϵ})| < ϵ, 1 ≤ j ≤ n .

Soit (a_{1}, …, a_{d}) une ℚ-base de S, où a_{1}, …, a_{d} ont des coordonnées entières premières entre elles. Pour 1 ≤ j ≤ n, on considère la forme linéaire :

\begin{aligned}L′_{j} : & ℚ^{d} & ⟶ & ℝ \\ & (x_{1}, …, x_{d}) & ⟼ & L_{j|S} (∑_{i=1}^{d} a_{i}x_{i}) . \end{aligned}

Alors rang (L′_{1}, …, L′_{n}) = rang (L_{1|S}, …, L_{n|S}). Il existe une constante C > 0 telle que le système

∀j = 1, …, n, |L′_{j}(x)| ≤ C∥x∥_{∞}^{−(d−r)/r}

a une infinité de solutions x ∈ ℤ^{d} \ {0}. Lorsque x parcourt l’ensemble de ces solutions, ∥x∥_{∞} ne peut être borné. Or puisque d > r, lim_{t→+∞} Ct^{−(d−r)/r} = 0. Il y a donc une solution x ∈ ℤ^{d} \ {0} telle que C∥x∥_{∞}^{−(d−r)/r} < ϵ. Donc x_{ϵ} =^{def} ∑_{i=1}^{d} a_{i}x_{i} répond bien à nos exigences.

Si Q > 0 et δ > 0 sont donnés, en prenant ϵ < min{Q^{c_{j}−δ}, 1 ≤ j ≤ n}, on obtient d’après ce qui précède, une solution x_{ϵ} ∈ S ∩ (ℤ^{n} \ {0}) qui satisfait :

∀j = 1, …, n, |L_{j}(x_{ϵ})| < Q^{c_{j}−δ} ,

ce qui contredit le fait que (L_{1}, …, L_{n}; c_{1}, …, c_{n}) est un système de Roth généralisé.

Si maintenant 0 < c(S) < +∞, on a rang (L_{1|S}, …, L_{n|S}) = d. Posons δ = c(S)/(2d), de sorte que nous avons ∏_{i=1}^{d} Q^{c_{t_{i}}−2δ} = 1, où t_{1}, …, t_{d} sont choisis comme indiqué dans la Définition 4.1.4. Comme L_{t_{1}|S}, …, L_{t_{d}|S} sont indépendantes, le théorème des formes linéaires de Minkowski montre que le système :

|L_{t_{i}}(x)| ≤ DQ^{c_{t_{i}}−2δ}, i = 1, …, d

a une solution x ∈ S ∩ (ℤ^{d} \ {0}) pour tout Q > 0 où D est bien sûr la valeur absolue du déterminant de L_{t_{1}|S}, …, L_{t_{d}|S}. On en déduit que pour cette solution, on a :

|L_{j}(x)| ≤ D_{1}Q^{c_{j}−2δ}, j = 1, …, n .

En effet, x ∈ S ∩(ℤ^{d}\{0}) donc si j est l’un des t_{1}, …, t_{d}, il suffit de choisir D_{1} ≥ D pour que le résultat soit vrai. Si j < t_{1}, L_{j} est nulle sur S, donc le résultat est valable pour D_{1} > 0. Sinon, avec la convention t_{d+1} = ∞, il existe un i ∈ {1, …, d} avec t_{i} < j < t_{i+1}, et nous pouvons écrire L_{j|S} comme combinaison linéaire de L_{t_{1}|S}, …, L_{t_{i}|S}. Si nous désignons par K le maximum des valeurs absolues des coefficients intervenant dans toutes ces combinaisons linéaires lorsque j ∈ ∪_{1≤i≤d}]t_{i}, t_{i+1}[, il est facile de constater que :

|L_{j|S}(x)| ≤ KdQ^{c_{t_{i}}−2δ} ≤ D_{1}Q^{c_{j}−2δ}

dès que D_{1} ≥ DdK. Il convient d’observer que nous avons utilisé de façon décisive le fait que la suite (c_{1}, …, c_{n}) est croissante!

En prenant donc D_{1} ≥ max {D, dDK}, nous avons bien le résultat annoncé. Mais alors, pour Q > D_{1}^{−δ}, le système :

|L_{j}(x)| < Q^{c_{j}−δ}, j = 1, …, n

a une solution x ∈ ℤ^{n} \ {0}, ce qui contredit une fois de plus que (L_{1}, …, L_{n}; c_{1}, …, c_{n}) est un système de Roth généralisé. Ainsi pour tout sous-espace S de ℚ^{n} de dimension d ≥ 1, on a bien c(S) ≤ 0.

b) Supposons maintenant que pour tout sous-espace S de ℚ^{n} de dimension d ≥ 1, nous avons c(S) ≤ 0, et montrons que (L_{1}, …, L_{n}; c_{1}, …, c_{n}) est forcément un système de Roth généralisé. Si c’était faux, il existerait δ > 0 tel que le système (4.2) ait une solution x ∈ ℤ^{n} \ {0} pour Q arbitrairement grand. Il existe alors — à cause de la décroissance des dimensions — un sous-espace de ℚ^{n} de solutions, qui est de plus minimal, c’est-à-dire qu’on a les propriétés suivantes :

1. le système (4.2) a des solutions x ∈ S ∩ (ℤ^{n} \ {0}) pour Q arbitrairement grand ;

2. si S′ ⊂ S est un sous-espace de ℚ^{n} avec S′ ≠ S, alors il est Q_{0}(S′) tel que pour Q > Q_{0}(S′), (4.2) n’a pas de solutions x ∈ S′ ∩ (ℤ^{n} \ {0}) .

Posons alors d = dim S. Comme c(S) ≤ 0, la Définition 4.1.4 montre que

rang (L_{1|S}, …, L_{n|S}) = d .

Soient t_{1}, …, t_{d} comme dans cette même définition ; nous affirmons qu’il existe Q_{1} > 0 et ρ > 0 tels que pour Q > Q_{1}, on ait ∥x∥_{∞} < Q^{ρ} pour toute solution x ∈ S ∩ (ℤ^{n} \ {0}) de (4.2). Il suffit en effet de choisir α > 0 tel que ρ =^{def} α +c_{n} −δ > 0. Posons, pour i = 1, …, d, ϕ_{i} = L_{t_{i}|S}, et soit (a_{1}, …, a_{d}) une ℚ-base de S où a_{i} est à composantes entières premières entre elles ; on a alors un isomorphisme naturel :

\begin{aligned}T : & S_{ℝ} & ⟶ & ℝ^{d} \\ & x & ⟼ & (ϕ_{1}(x), …, ϕ_{d}(x)) , \end{aligned}

où S_{ℝ} = ℝa_{1}⊕⋯⊕ℝa_{d}, sur lequel on dispose de la norme N_{1} (∑_{i=1}^{d} λ_{i}a_{i}) = max_{1≤i≤d} |λ_{i}|. Ces préparatifs étant faits, soit y = T (x), où x ∈ S ∩ (ℤ^{n} \ {0}) satisfait (4.2). Comme x = T^{−1}(y), on en déduit les inégalités suivantes :

N_{1}(x) ≤ ∥T^{−1}∥∥y∥_{∞} ≤ Q^{c_{n}−δ}∥T^{−1}∥ .

Par équivalence des normes sur S_{ℝ}, il existe une constante C(S, d) > 0 telle que ∀x ∈ S_{ℝ}, ∥x∥_{∞} ≤ C(S, d)N_{1}(x). Par conséquent, si nous posons Q_{1} = (C(S, d)∥T^{−1}∥)^{1/α}, pour Q > Q_{1}, nous aurons bien ∥x∥_{∞} < Q^{ρ}.

Il suit que pour Q > Q_{1} et x ∈ S ∩ (ℤ^{n} \ {0}) une solution de (4.2) :

|L_{t}_{1}(x) … L_{t}_{d}(x)| ≤ Q^{c(S)−dδ} ≤ Q^{−δ} ≤ ∥x∥_{∞}^{−δ/ρ} , (4.3)

et, d’autre part pour ∥x∥_{∞} ≥ ∥T ∥ :

∥y∥_{∞} ≤ ∥T ∥∥x∥_{∞} ≤ ∥x∥_{∞}^{2} . (4.4)

Nous appliquons alors le théorème des sous-espaces aux d formes linéaires indépendantes sur ℝ^{d} que sont :

L̃_{i}(y) = L_{i}(T^{−1}(y)), i = 1, …, d ,

sachant que (4.3) et (4.4) montrent que lorsque x ∈ S ∩ (ℤ^{n} \ {0}) satisfait (4.2) avec Q et ∥x∥_{∞} assez grands, on a :

|L̃_{1}(y) … L̃_{d}(y)| < ∥y∥_{∞}^{−δ/2ρ} .

Nous en concluons que les solutions x ∈ ℤ^{d} \{0} de cette dernière équation sont contenues dans un nombre fini de sous-espaces non triviaux de ℚ^{d}, disons V_{1}, …, V_{t}. L’un des sous-espaces T^{−1}(V_{1}), …, T^{−1}(V_{t}) contient donc des solutions x ∈ ℤ^{n} \ {0} de (4.2) pour Q arbitrairement grand, et c’est une contradiction avec la minimalité de S. Il faut donc conclure que (L_{1}, …, L_{n}; c_{1}, …, c_{n}) est bien un système de Roth généralisé.

Voici un petit lemme qui montre le lien entre systèmes de Roth et systèmes de Roth généralisés.

Lemme 4.1.6 Soient L_{1}, …, L_{u} des formes linéaires sur ℝ^{n} à coefficients dans \overline{ℚ} ∩ ℝ et v = n − u. On suppose que rang (L_{1}, …, L_{u}, e_{1}^{∗}, …, e_{v}^{∗}) = n, et que pour tout δ > 0 il existe Q_{2}(δ, L_{1}, …, L_{u}) tel que pour Q > Q_{2} le système :

\{ \begin{matrix}|L_{j}(x)| & ≤ & Q^{−v−δ} & (1 ≤ j ≤ u) \\ |x_{i}| & ≤ & Q^{u−δ} & (1 ≤ i ≤ v) \end{matrix} (4.5)

n’a aucune solution x ∈ ℤ^{n} \ {0}. Alors L_{1}, …, L_{u} est un système de Roth.

Preuve : Nous raisonnons par l’absurde ; supposons qu’il existe δ > 0 tel que (4.1) possède une infinité de solutions x ∈ ℤ^{n} \ {0}. Il est clair que nous pouvons supposer que u − δ > 0. Nous choisissons alors un réel ρ satisfaisant

0 < ρ < u − δ et ρ < \frac{v + δu}{u(v + δ)} .

Pour toute solution x de (4.1), posons Q_{x} = ∥x∥_{∞}^{1/ρ}. Il n’est alors pas difficile de constater que le choix de ρ fait que x est une solution de (4.5) lorsque Q_{x} remplace Q. Cela fournit une contradiction avec l’hypothèse du lemme car Q_{x} est arbitrairement grand.

Nous sommes alors capables de caractériser les systèmes de Roth comme annoncé au début de ce chapitre.

Théorème 4.1.7 Soient L_{1}, …, L_{u} des formes linéaires sur ℝ^{n} à coefficients dans \overline{ℚ} ∩ ℝ et v = n − u. Alors (L_{1}, …, L_{u}) est un système de Roth si et seulement si pour tout sous-espace S de ℚ^{n} de dimension d ≥ 1, on a

rang (L_{1|S}, …, L_{u|S}) ≥ du/n . (4.6)

Preuve : a) Supposons que L_{1}, …, L_{u} soit un système de Roth et soit S un sousespace de ℚ^{n} de dimension d ≥ 1. Posons r = rang (L_{1|S}, …, L_{u|S}) ; il s’agit de voir que r ≥ du/n. Choisissons une fois de plus une ℚ-base de S (a_{1}, …, a_{d}), où les a_{i} sont primitifs. Pour 1 ≤ i ≤ u, définissons une forme linéaire ϕ_{i} par ϕ_{i}(x_{1}, …, x_{d}) = x_{1}L_{1}(a_{1})+⋯+x_{d}L_{d}(a_{d}).

Par le Lemme 4.1.3, le système :

|ϕ_{j}(x)| ≪ ∥x∥_{∞}^{−(d−r)/r}, 1 ≤ j ≤ u (4.7)

a une infinité de solutions x ∈ ℤ^{d} \ {0}. Appelons donc C la constante induite par (4.7), et considérons l’application :

\begin{aligned}ψ : & ℤ^{d} & ⟶ & S ∩ ℤ^{n} \\ & x = (x_{1}, …, x_{d}) & ⟼ & a_{1}x_{1} + ⋯ + a_{d}x_{d} . \end{aligned}

Comme a_{1}, …, a_{d} sont indépendants dans ℚ^{n}, ψ est injective. Nous allons donc montrer que si

|ϕ_{j}(x)| ≤ C∥x∥_{∞}^{−(d−r)/r}, 1 ≤ j ≤ u et r < du/n, (4.8)

alors

|ϕ_{j}(ψ(x))| ≤ ∥ψ(x)∥_{∞}^{−(n−u)/u−δ}, 1 ≤ j ≤ u, (4.9)

pour un δ que nous déterminerons, ce qui fournira une contradiction avec l’hypothèse de départ et imposera r ≥ du/n.

Si C′ =^{def} ∥a_{1}∥_{∞} + ⋯ + ∥a_{d}∥_{∞}, on a ∥ψ(x)∥ ≤ C′∥x∥_{∞}.

On a l’équivalence :

C∥x∥_{∞}^{−(d−r)/r} < ∥ψ(x)∥_{∞}^{−(n−u)/u−δ} ⟺ ∥ψ(x)∥_{∞}^{(n−u)/u+δ} < C^{−1}∥x∥_{∞}^{(d−r)/r} .

Puisque ∥ψ(x)∥_{∞}^{(n−u)/u+δ} ≤ C′^{(n−u)/u+δ}∥x∥_{∞}^{(n−u)/u+δ}, il suffit de faire en sorte que

C′^{(n−u)/u+δ}∥x∥_{∞}^{(n−u)/u+δ} < C^{−1}∥x∥_{∞}^{(d−r)/r} ,

soit encore

∥x∥_{∞}^{(d−r)/r−(n−u)/u−δ} > C′^{(n−u)/u+δ}C .

Or (d − r)/r − (n − u)/u − δ = d/r − n/u − δ, et on a d/r > n/u sous l’hypothèse r < du/n. D’après tout ce qui précède, il suffit de poser

δ = \frac{1}{2} (\frac{d}{r} − \frac{n}{u}) et C′′ = C′^{(n−u)/u+δ}C

pour obtenir que si x ∈ ℤ^{d} \ {0} est une solution de (4.8), telle que ∥x∥_{∞} > C′′^{1/δ} (il y a une infinité de telles solutions) alors ψ(x) ∈ S ∩ (ℤ^{n} \ {0}) est une solution de (4.9).

b) Supposons la propriété (4.6) vraie pour tout sous-espace S de dimension d ≥ 1. En particulier, L_{1}, …, L_{u} sont donc indépendantes (faire d = n!), et quitte à renommer les variables, on peut supposer que e_{1}^{∗}, …, e_{v}^{∗}, L_{1}, …, L_{u} sont indépendantes. Nous allons montrer que (L_{1}, …, L_{u}; c_{1} = −v, …, c_{u} = −v, c_{u+1} = u, …, c_{n} = u) est un système de Roth généralisé, ce qui suffira pour montrer que (L_{1}, …, L_{u}) est un système de Roth, d’après le Lemme 4.1.6.

Comme rang (L_{1}, …, L_{u}, e_{1}^{∗}, …, e_{v}^{∗}) = n, si S est un sous-espace de ℚ^{n} de dimension d ≥ 1, on a rang (L_{1|S}, …, L_{u|S}, e_{1|S}^{∗}, …, e_{v|S}^{∗}) = d.

Soit r = rang (L_{1|S}, …, L_{u|S}), et t_{1}, …, t_{d} les entiers de la Définition 4.1.4. Alors t_{r} ≤ u < t_{r+1}, et il suit que :

c(S) = c_{t_{1}} + ⋯ + c_{t_{r}} + c_{t_{r+1}} + ⋯ + c_{t_{n}}
= r(−v) + (d − r)u (noter à nouveau la croissance des c_{i})
= ud − nr
≤ 0 d’après la propriété (4.6).

Par le Théorème 4.1.5, nous avons bien un système de Roth généralisé, donc la preuve est achevée.

Corollaire 4.1.8 (Théorème de Roth) Soit α un nombre algébrique de degré d ≥ 2. Alors pour tout ϵ > 0, l’inéquation :

|α − \frac{p}{q}| < \frac{1}{q^{2+ϵ}} (4.10)

n’a qu’un nombre fini de solutions (p, q) ∈ ℤ × ℕ^{∗}.

Preuve : La forme linéaire L(x_{1}, x_{2}) = sαx_{1} − sx_{2} est un système de Roth sur ℝ^{2} quel que soit le rationnel non nul s. En effet soit S un sous-espace de ℚ^{2} de dimension d ≥ 1, et (x_{1}, x_{2}) ∈ S \ {0}. Alors L(x_{1}, x_{2}) ≠ 0 car [ℚ(α) : ℚ] ≥ 2. Il suit que r = rang L_{|S} ≥ 1. Mais ici u = 1 et n = 2 assurent que du/n vaut 1 ou 1/2 donc r ≥ du/n. Le Théorème 4.1.7 montre donc que L constitue un système de Roth sur ℝ^{2}. Un choix convenable du rationnel s nous permet d’aboutir au résultat souhaité ; explicitement, posons C = 1 + |α| et choisissons s tel que 0 < s < C^{−(δ+1)}. Si (p, q) est solution de (4.10), nous avons ∥(q, p)∥_{∞} ≤ C|q|. Ainsi : |rαq − pr| < (Cq)^{−(δ+1)} < ∥(q, p)∥_{∞}^{−(δ+1)}. Or cette dernière inéquation n’a qu’un nombre fini de solutions.

4.2 Le théorème de Roth dans les corps de nombres

On entend ici utiliser le théorème des sous-espaces pour démontrer un résultat d’approximation d’un nombre algébrique donné par d’autres nombres algébriques de degré borné.

Nous commençons par donner une définition.

Définition 4.2.1 Soit α un nombre algébrique de degré d ≥ 1. On pose :

H(α) = max_{0≤i≤d} |a_{i}| ,

où P (X) = ∑_{i=0}^{d} a_{i}x^{i} est un polynôme de ℤ[X] de degré d à coefficients premiers entre eux, tel que P (X) est irréductible sur ℚ[X] et Q(α) = 0.

Remarque 4.2.2 Un tel polynôme étant unique à multiplication près par ±1, la définition ci-dessus a un sens ; on notera désormais π_{α}(X) un tel polynôme.

Nous énonçons maintenant le principal résultat de ce chapitre.

Théorème 4.2.3 Soit α un nombre algébrique réel, k ≥ 1 et δ > 0. Il existe alors un nombre fini de nombres algébriques β, de degré inférieur ou égal à k avec :

|α − β| < H(β)^{−k−1−δ} .

Nous avons besoin de quelques résultats intermédiaires pour démontrer ce théorème.

Théorème 4.2.4 Soient 1, α_{1}, …, α_{v} des nombres algébriques réels linéairement indépendants sur ℚ, et δ > 0. Alors l’inéquation :

|q_{1} … q_{v}|^{1+δ}∥α_{1}q_{1} + ⋯ + α_{v}q_{v}∥ < 1 (4.11)

n’a qu’un nombre fini de solutions (q_{1}, …, q_{v}) ∈ (ℤ \ {0})^{v} .

Preuve : Nous allons utiliser le théorème des sous-espaces pour raisonner par récurrence sur v, à partir du cas v = 1. Considérons alors :

|q_{1}|^{1+δ}∥α_{1}q_{1}∥ < 1, q_{1} ∈ ℤ \ {0} . (4.12)

Choisissons p tel que ∥α_{1}q_{1}∥ = |α_{1}q_{1} − p| ; on a alors |q_{1}(α_{1}q_{1} − p)| < |q_{1}|^{−δ}, et on remarque aussi que |p| ≤ 1+|α_{1}||q_{1}| ≤ (1+|α_{1}|)|q_{1}|, donc ∥(q_{1}, p)∥_{∞} ≤ (1+|α_{1}|)|q_{1}|. Si r est un rationnel tel que 0 < r < (1 + |α_{1}|)^{−δ}, on a donc :

|L_{1}(q_{1}, p)L_{2}(q_{1}, p)| < ∥(q_{1}, p)∥_{∞}^{−δ} , (4.13)

où :

\begin{aligned}L_{1}(q_{1}, p) & = & rq_{1} , \\ L_{2}(q_{1}, p) & = & α_{1}q_{1} − p . \end{aligned}

D’après le théorème des sous-espaces, les solutions de (4.13) se trouvent dans un nombre fini de sous-espaces de ℚ^{2} de dimension 1, de la forme ℚ(r_{i}, s_{i}), où r_{i} et s_{i} sont premiers entre eux. Donc, pour une solution (q_{1}, p) de (4.12), il existe i tel que (q_{1}, p) = λ(r_{i}, s_{i}), λ ne pouvant prendre qu’un nombre fini de valeurs. Cela montre le Théorème 4.2.4 dans le cas v = 1.

Supposons maintenant le résultat vrai jusqu’au rang v − 1 et montrons-le au rang v. Définissons C = 1 + ∑_{i=1}^{v} |α_{i}|, et choisissons un rationnel r avec 0 < r < C^{−δ}, puis en vue d’appliquer le théorème des sous-espaces, posons :

\begin{aligned}L_{1}(x_{1}, …, x_{v+1}) & = & rx_{1} , \\ L_{i}(x_{1}, …, x_{v+1}) & = & x_{i}, pour 1 < i < v + 1 , \\ L_{v+1}(x_{1}, …, x_{v+1}) & = & ∑_{i=1}^{v} α_{i}q_{i} − x_{v+1} . \end{aligned}

Soient q_{1}, …, q_{v} des entiers non nuls tels que (4.11) soit vraie. On choisit p tel que ∥α_{1}q_{1} + ⋯ + α_{v}q_{v}∥ = |α_{1}q_{1} + ⋯ + α_{v}q_{v} − p|. Nous constatons que si x = (q_{1}, …, q_{v}, p), la propriété (4.11) implique :

|L_{1}(x) … L_{v+1}(x)| < ∥x∥_{∞}^{−δ} . (4.14)

En effet, par choix de C nous avons

|p| ≤ |∑_{i=1}^{v} α_{i}q_{i} − p| + |∑_{i=1}^{v} α_{i}q_{i}| ≤ C|q_{1} … q_{v}| ,

donc ∥x∥_{∞} ≤ C|q_{1} … q_{v}| et par conséquent, par choix de r :

|L_{1}(x) … L_{v+1}(x)| = r|q_{1} … q_{v}|| ∑_{i=1}^{v} α_{i}q_{i} − p|
≤ C^{−δ}|q_{1} … q_{v}|| ∑_{i=1}^{v} α_{i}q_{i} − p|
< C^{−δ}|q_{1} … q_{v}|^{−δ}
≤ ∥x∥_{∞}^{−δ} .

Convenons d’écrire q = (q_{1}, …, q_{v}). Il nous suffit maintenant de prouver que (4.14) a un nombre fini de solutions pour ∥q∥_{∞} ≥ C_{0}, où C_{0} est une constante arbitraire. Or :

|L_{1}(x) … L_{v+1}(x)| = r|q_{1} … q_{v}|| ∑_{i=1}^{v} α_{i}q_{i} − p|
≤ C^{−δ}|q_{1} … q_{v}|| ∑_{i=1}^{v} α_{i}q_{i} − p|
< C^{−δ}|q_{1} … q_{v}|^{−δ}
≤ ∥x∥_{∞}^{−δ} .

Par le théorème des sous-espaces, il existe un nombre fini de sous-espaces de ℚ^{v+1}, T_{1}, …, T_{k} tels que x ∈ T_{1} ∪ ⋯ ∪ T_{k}. Soit T l’un de ces sous-espaces. Comme 1 ≤ dim T ≤ v, il existe des entiers c_{1}, …, c_{v+1} non tous nuls, tels que x ∈ T ⇒ c_{1}q_{1} + ⋯ c_{v}q_{v} + c_{v+1}p = 0. Nous allons nous servir de cette propriété pour supprimer une variable ; il y a deux cas à considérer.

\underline{Cas 1} : c_{v+1} ≠ 0 et ∀i ∈ \{1, …, v\}, c_{i} = 0.

On a alors c_{v+1}p = 0 donc p = 0 et si l’on pose α′_{i} = α_{i}/α_{v}, on a :

∥α_{1}q_{1} + ⋯ + α_{v}q_{v}∥ = |∑_{i=1}^{v} α_{i}q_{i}| = |α_{v}|∥α′_{1}q_{1} + ⋯ + α′_{v−1}q_{v−1}∥ .

On montre alors qu’il existe une constante C_{1} > 0 telle que

∥q∥_{∞} ≥ C_{1} ⇒ |q_{1} … q_{v−1}|^{1+δ/2}∥α′_{1}q_{1} + ⋯ + α′_{v−1}q_{v−1}∥ < 1 .

Pour cela il suffit d’observer qu’on a la succession d’inégalités :

|q_{1} … q_{v}|^{1+δ}∥α′_{1}q_{1} + ⋯ + α′_{v−1}q_{v−1}∥ <  \frac{1}{|α_{v}|}
|q_{1} … q_{v−1}|^{1+δ}∥α′_{1}q_{1} + ⋯ + α′_{v−1}q_{v−1}∥ < \frac{1}{|α_{v}||q_{v}|^{1+δ}}
|q_{1} … q_{v−1}|^{1+δ/2}∥α′_{1}q_{1} + ⋯ + α′_{v−1}q_{v−1}∥ < \frac{1}{|α_{v}||q_{1} … q_{v}|^{δ/2}}
≤ \frac{1}{|α_{v}|∥q∥_{∞}^{δ/2}} < 1

dès que ∥q∥_{∞} > |α_{v}|^{−2/δ}. On prend donc C_{1} > |α_{v}|^{−2/δ}.

\underline{Cas 2} : ∃j ∈ \{1, …, v\} tel que c_{j} ≠ 0.

Quitte à renommer les variables, on peut supposer que j = v et c_{v} > 0. On pose cette fois :

α′_{i} = \frac{c_{v}α_{i} − c_{i}α_{v}}{c_{v} + c_{v+1}α_{v}} , pour i = 1, …, v − 1 .

On a :

c_{v}∥α_{1}q_{1} + ⋯ + α_{v}q_{v}∥ = |c_{v} + c_{v+1}α_{v}||α′_{1}q_{1} + ⋯ + α′_{v−1}q_{v−1} − p| . (4.15)

Pour raisonner par récurrence, on exhibe une constante C_{2} > 0 telle que l’on ait ∥q∥_{∞} ≥ C_{2} ⇒ |q_{1} … q_{v−1}|^{1+δ/2}∥α′_{1}q_{1} + ⋯ + α′_{v−1}q_{v−1}∥ < 1. L’égalité (4.15) montre que ∥α′_{1}q_{1} + ⋯ + α′_{v−1}q_{v−1}∥ ≤ K∥α_{1}q_{1} +⋯+α_{v}q_{v}∥, où on pose K = |c_{v} +c_{v+1}α_{v}|/c_{v}. On en déduit les inégalités successives :

\begin{aligned}|q_{1} … q_{v−1}|^{1+δ/2}∥α′_{1}q_{1} + ⋯ + α′_{v−1}q_{v−1}∥ & ≤ & \frac{K}{|q_{1} … q_{v−1}|^{δ/2}|q_{v}|^{1+δ}} \\ & ≤ & \frac{K}{|q_{1} … q_{v}|^{δ/2}} & ≤ & \frac{K}{∥q∥_{∞}^{δ/2}} . \end{aligned}

Il suffit ainsi de prendre C_{2} > K^{2/δ}.

L’hypothèse de récurrence dit alors qu’il existe un nombre fini de solutions à l’inéquation

|q_{1} … q_{v−1}|^{1+δ/2}∥α′_{1}q_{1} + ⋯ + α′_{v−1}q_{v−1}∥ < 1 ,

car 1, α′_{1}, …, α′_{v−1} sont linéairement indépendants sur ℚ. Mais alors le nombre de valeurs de q_{v} telles que (q_{1}, …, q_{v}) satisfasse (4.11) est fini. Le Théorème 4.2.4 est donc prouvé.

Corollaire 4.2.5 Soient 1, α_{1}, …, α_{v} des nombres algébriques réels linéairement indépendants sur ℚ, et δ > 0. Alors l’ensemble

E = {(q_{1}, …, q_{v}, p) ∈ ℤ^{v+1} | ∥q∥_{∞} > 0 et |α_{1}q_{1} + ⋯ + α_{v}q_{v} − p| < ∥q∥_{∞}^{−v−δ}}

est fini.

Preuve : Pour ∅ ≠ J ⊂ {1, …, v}, définissons :

S_{J} = {(q_{1}, …, q_{v}, p) ∈ ℤ^{v+1} | (q_{i} ≠ 0 ⇔ i ∈ J) et |α_{1}q_{1} + ⋯ + α_{v}q_{v} − p| < ∥q∥_{∞}^{−v−δ}} .

Par le Théorème 4.2.4, S_{J} est fini pour tout ∅ ≠ J ⊂ {1, …, v} car on a :

|q_{1} … q_{v}|^{1+δ/2}∥α_{1}q_{1} + ⋯ + α_{v}q_{v}∥ ≤ ∥q∥_{∞}^{v(1+δ/v)}|α_{1}q_{1} + ⋯ + α_{v}q_{v} − p|

pour (q_{1}, …, q_{v}, p) ∈ S_{J}. Pour conclure, on note que E = ∪_{∅≠J⊂{1,... ,v}}S_{J}, réunion d’au plus 2^{v} ensembles finis.

Nous donnons maintenant le Corollaire 4.2.5 sous une forme plus proche de nos préoccupations de cette section.

Corollaire 4.2.6 Soit α un nombre réel qui n’est pas algébrique de degré inférieur ou égal à k. Alors pour tout δ > 0,

{P ∈ ℤ[X] | deg P ≤ k et 0 < |P (α)| < H(P)^{−k−δ}}

est fini.

Preuve : En effet recherchons P sous la forme P (X) = ∑_{i=0}^{k} a_{i}X^{i}. On applique le Corollaire 4.2.5 à α_{i} := α^{i}, i = 0, …, k qui sont linéairement indépendants sur ℚ par hypothèse, et k = v.

Nous rappelons deux définitions dues à Mahler et Koksma respectivement.

Définition 4.2.7 Soit α ∈ ℝ, ω ∈ ℝ et k ≥ 1. On pose :

A_{k}(α, ω) = {P ∈ ℤ[X] | deg P ≤ k et 0 < |P (α)| < H(P)^{−ω}}, et
ω_{k}(α) = sup {ω ∈ ℝ | A_{k}(α, ω) est infini.} .

Définition 4.2.8 Soit α ∈ ℝ, ω ∈ ℝ et k ≥ 1. On pose :

A_{k}^{∗}(α, ω^{∗}) = \{β ∈ \overline{ℚ} ∩ ℝ | deg β ≤ k et |α − β| < H(β)^{−ω^{∗}−1}\}, et
ω_{k}^{∗}(α) = sup {ω^{∗} ∈ ℝ | A_{k}^{∗}(α, ω^{∗}) est infini.} .

Nous démontrons maintenant quelques propriétés élémentaires de ces deux quantités afin d’atteindre le Théorème 4.2.3.

Lemme 4.2.9 Soit α ∈ ℝ

(i) ∀k ≥ 1, ω_{k}(α) ≤ ω_{k+1}(α), (ii) Si α n’est pas algébrique de degré inférieur ou égal à k alors ω_{k}(α) ≤ k, (iii) Si α est algébrique de degré d alors ∀k ≥ 1, ω_{k}(α) ≤ d − 1, (iv) ∀k ≥ 1, ω_{k}^{∗}(α) ≤ ω_{k+1}^{∗}(α),

(v) ∀k ≥ 1, ω_{k}(α) ≥ ω_{k}^{∗}(α).

Preuve : (i) Il suffit d’observer que : ∀ω ∈ ℝ, A_{k}(α, ω) ⊂ A_{k+1}(α, ω) . (ii) C’est une simple traduction du Corollaire 4.2.6. (iii) Il suffit d’utiliser une inégalité de type Liouville. Explicitement, il existe une cons- tante C(k, α) > 0 telle que si P ∈ ℤ[X], P (α) ≠ 0, et deg P ≤ k, on ait |P (α)| ≥ C(k, α)H(P)^{−(d−1)}. Si P ∈ A_{k}(α, ω), on a forcément :

H(P)^{ω−(d−1)} ≤ 1/C(k, α) .

Ainsi : A_{k}(α, ω) infini ⇒ ω ≤ d − 1. Donc ω_{k}(α) ≤ d − 1. (iv) Il suffit d’observer que : ∀ω^{∗} ∈ ℝ, A_{k}^{∗}(α, ω^{∗}) ⊂ A_{k+1}^{∗}(α, ω^{∗}) .

(v) Nous allons construire une injection de A_{k}^{∗}(α, ω^{∗}) dans A_{k}(α, ω^{∗}), ce qui montrera le résultat voulu, en prenant la borne supérieure sur ω^{∗} ∈ ℝ. Soit β ∈ A_{k}^{∗}(α, ω^{∗}) supposé infini, avec β ≠ α. Si α est algébrique de degré inférieur à k, nous supposerons de plus que β est différent des conjugués de α, de sorte que nous aurons toujours π_{β}(α) ≠ 0.

Soit d le degré de β. Nous observons que H(β) = H(π_{β}(X)) et que π_{β}(α) = (α − β)Q_{β}(α), où Q_{β}(X) ∈ ℚ(β)[X]. Nous allons estimer la taille des coefficients du polynôme Q_{β} ; écrivons pour cela :

π_{β}(X) = ∑_{i=0}^{d} a_{i}X^{i} et Q_{β}(X) = ∑_{i=0}^{d−1} q_{i}X^{i} .

Un calcul élémentaire montre que :

(4.16)  −βq_{0} = a_{0}
(4.17)  a_{i} = q_{i−1} − q_{i}β, i = 1, …, d − 1
(4.18)  q_{d−1} = a_{d}

Comme π_{β} est irréductible, q_{0} ≠ 0 et (4.16) nous donne β = −a_{0}/q_{0}. En joignant cette égalité à (4.17) et (4.18), on montre par récurrence sur les indices les deux propriétés suivantes :

\begin{matrix}∀i ∈ \{0, …, d − 1\}, |q_{i}| ≤ ∑_{i=0}^{d−1} \frac{H(π_{β})}{|β|^{i}} , \\ ∀i ∈ \{0, …, d − 1\}, |q_{i}| ≤ ∑_{i=0}^{d−1} H(π_{β})|β|^{i} . \end{matrix}

Il résute de ces deux faits que : |π_{β}(α)| ≤ |α − β|C(k, α)H(π_{β}) où C(k, α) = k ∑_{i=0}^{d−1} |α|^{i}.

Cela prouve que pour ϵ > 0 et H(π_{β}) assez grand (rappelons que A_{k}^{∗}(α, ω^{∗}) est infini), nous avons :

0 < |π_{β}(α)| < H(π_{β})^{−ω^{∗}+ϵ} .

Ainsi A_{k}(α, ω^{∗} − ϵ) est infini, donc ω^{∗} − ϵ ≤ ω_{k}(α), et comme ceci est vrai pour tout ϵ > 0, on en déduit : ω_{k}^{∗}(α) ≤ ω_{k}(α).

Nous sommes maintenant en mesure de montrer le Théorème 4.2.3.

Soit d le degré de α. Nous observons que : a) Si k < d, α n’est pas algébrique de degré inférieur ou égal à k donc ω_{k}(α) ≤ k d’après le cas (ii) du Lemme 4.2.9.

b) Si k ≥ d, l’assertion (iii) du Lemme 4.2.9 montre que ω_{k}(α) ≤ d − 1 ≤ k − 1 ≤ k. Dans les deux cas ∀k ≥ 1, ω_{k}(α) ≤ k, donc d’après l’assertion (v) du Lemme 4.2.9, ∀k ≥

1, ω_{k}^{∗}(α) ≤ k. En particulier ∀δ > 0, ω_{k}^{∗}(α) < k + δ, ce qui est exactement le contenu du Théorème 4.2.3.

Appendice : quelques lemmes techniques

Nous avons regroupé dans cet appendice, certains lemmes techniques qui ont été utilisés dans les chapitres 2 et 3 qui ne rentraient pas de façon naturelle dans les chapitres 1 et 2.

Lemme A (Lemme de Siegel) Soient M formes linéaires à coefficients dans ℤ

L_{j}(z_{1}, …, z_{N}) = ∑_{k=1}^{N} a_{jk}z_{k}, j = 1, …, M, N > M .

Supposons que max_{{1≤j≤M \atop 1≤k≤N}} |a_{jk}| ≤ A, où A ∈ ℕ^{∗}. Alors il existe z ∈ ℤ^{N} \ \{0\} tel que

∀j = 1, …, M, L_{j}(z) = 0 et ∥z∥_{∞} ≤ (NA)^{(M/(N−M))} .

Preuve : Voir exemple [Sch1] p. 123, [Sch2] p. 1, ou encore le Lemme 6 du Chapitre 2 de [Hab].

Lemme B Soient r et n deux entiers supérieurs à 1, alors le nombre d’éléments de ℕ^{n} dont la somme des composantes est r vaut

c(n, r) = \binom{r + n − 1}{n − 1} = \frac{(n − 1 + r)!}{(n − 1)! r!} .

Preuve : C’est un résultat classique utilisant les séries formelles. On part de l’identité

\frac{1}{1 − X_{1}} ⋯ \frac{1}{1 − X_{n}} = ∑_{(i_{1},... ,i_{n})∈ℕ^{n}} X_{1}^{i_{1}} … X_{n}^{i_{n}} ,

qui montre que

c(n, r) = \frac{f_{n}^{(r)}(0)}{r!} où f_{n}(X) = \frac{1}{(1 − X)^{n}} .

Lemme C Soient (r_{1}, …, r_{m}) des entiers positifs, 0 < ϵ < 1 et n ≥ 2. Le nombre de nm-uplets d’entiers positifs avec

(i)  ∑_{k=1}^{n} i_{hk} = r_{h}, 1 ≤ h ≤ m ,

(ii)  |(∑_{h=1}^{m} \frac{i_{h1}}{r_{h}} ) − \frac{m}{n}| ≥ ϵm ,

est au plus égal à

\binom{r_{1} + n − 1}{r_{1}} … \binom{r_{m} + n − 1}{r_{m}}.2.e^{−ϵ^{2}m/4} .

Plus précisément, si M^{+} désigne l’ensemble des mn-uplets vérifiant (i) tels que

(∑_{h=1}^{m} \frac{i_{h1}}{r_{h}} ) − \frac{m}{n} ≥ ϵm ,

et si M^{−} désigne l’ensemble des mn-uplets satisfaisant (i) tels que

(∑_{h=1}^{m} \frac{i_{h1}}{r_{h}} ) − \frac{m}{n} ≤ −ϵm ,

alors

max \{M^{+}, M^{−}\} ≤ \binom{r_{1} + n − 1}{r_{1}} … \binom{r_{m} + n − 1}{r_{m}}.2.e^{−ϵ^{2}m/4} .

En fait si pour j = 1, …, m, on a 0 ≤ c_{j} ≤ r_{j} et si f_{j}(c_{j}) désigne le nombre de (n − 1)-uplets d’entiers positifs (i_{j2}, …, i_{jn}) avec i_{j2} + ⋯ + i_{jn} = r_{j} − c_{j}, alors

M^{±} = ∑_{(c_{1},... ,c_{m})∈E^{±}} f_{1}(c_{1}) … f_{m}(c_{m})

où

E^{+} = \{(c_{1}, …, c_{m}) ∈ ℕ^{m}, 0 ≤ c_{j} ≤ r_{j} pour j = 1, …, m et (∑_{h=1}^{m} \frac{c_{h}}{r_{h}} ) − \frac{m}{n} ≥ ϵm\}

E^{−} = \{(c_{1}, …, c_{m}) ∈ ℕ^{m}, 0 ≤ c_{j} ≤ r_{j} pour j = 1, …, m et (∑_{h=1}^{m} \frac{c_{h}}{r_{h}} ) − \frac{m}{n} ≤ −ϵm\}

Preuve : C’est le Lemme 4C de [Sch1] p. 124-125.

Lemme D Soit n ≥ 2 un entier, a_{1}, …, a_{n} des entiers premiers entre eux et a_{1} ≠ 0. Il existe alors j ∈ {2, …, n} tel que

(a_{1}, a_{j}) ≤ |a_{1}|^{(n−2)/(n−1)} .

Preuve : On pose d_{j} = (a_{1}, a_{j}), de sorte que d_{2} … d_{n} divise m_{1}^{n−2} donc a fortiori d_{2} … d_{n} ≤ |m_{1}|^{n−2}. En raisonnant par l’absurde on en déduit l’inégalité demandée.

Bibliographie

[Dav] Davenport H. – Minkowski’s inequality for the successive minima associated with a convex body, Quart. J. Math. Oxford 10 119-121 (1939).

[EdE] Edixhoven B., Evertse J.-H. – Diophantine approximation and Abelian varieties, Lecture Notes in Mathematics n^{∘} 1566, Springer-Verlag, New-York, Berlin, Heidelberg (1993).

[Eve] Evertse J.-H. – The subspace theorem, Lundis Arithmétiques de l’I.H.P., deuxième exposé du 26 Février 1996.

[Hab] Habsieger L. – Introduction à l’approximation diophantienne, Cours de D.E.A., Université Bordeaux I, (1993-94).

[Rot] Roth K. F. – Rational approximations to algebraic numbers, Mathematika 2 1-20 (1955).

[Sam] Samuel P. – Théorie algébriques des nombres, Hermann, Paris (1967).

[Sch1] Schmidt W. M. – Diophantine approximations, Lecture Notes in Mathematics n^{∘}785, Springer-Verlag, New-York, Berlin, Heidelberg (1991).

[Sch2] Schmidt W. M. – Diophantine approximation and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics n^{∘}1467, Springer-Verlag, New-York, Berlin, Heidelberg (1991).