APPROCHE ALGORITHMIQUE DU

GROUPE DES CLASSES LOGARITHMIQUES

par F. DIAZ Y DIAZ et F. SORIANO

Abstract. In this paper we study, from an algorithmic point of view, the structure of the ℓ-part of the logarithmic class group for abelian number fields whose interest is related to K-theory. All the computations on this group are performed using the PARI package.

1 Introduction.

Dans ce travail, le nombre premier ℓ est fixé une fois pour toutes. Pour un corps de nombres K, nous considérons les deux pro-ℓ-extensions suivantes de K qui sont en liaison avec la K_{2}-théorie : la ℓ-extension localement cyclotomique de K notée K^{lc} et la ℓ-extension cyclotomique de K notée K^{c}. La difficulté de l’étude du groupe de Galois de K^{lc}/K^{c} incite à l’introduction d’un ℓ-groupe de classes pouvant être construit explicitement par des méthodes numériques. Défini par Jaulent (cf. [J_{4}]), ce groupe est appelé le ℓ-groupe des classes logarithmiques de K et est noté C̃ℓ_{K} (ou plus simplement C̃ℓ lorsqu’aucune confusion n’est à craindre quant au choix du corps de nombres considéré). On a ainsi un isomorphisme

C̃ℓ ≃ Gal(K^{lc}/K^{c}).

L’intérêt apporté aux classes logarithmiques concerne le lien entre ce groupe et le noyau hilbertien (ou sauvage) de K. En effet, lorsque le corps K contient les racines primitives 2ℓ-ièmes de l’unité et si l’on désigne par μ_{ℓ} le sous-groupe de torsion d’ordre ℓ de K^{×}, il existe un isomorphisme canonique (cf. [J_{3}]),

μ_{ℓ} ⊗_{ℤ} C̃ℓ ≃ H_{2}/H_{2}^{ℓ}

entre le quotient d’exposant ℓ du ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K et le sous-groupe des éléments d’ordre au plus ℓ de son noyau hilbertien dans le groupe universel K_{2} pour les symboles sur K. Notre objectif d’étudier prochainement sous un aspect numérique le noyau hilbertien nous incite à construire ici un algorithme permettant de déterminer la structure du groupe des classes logarithmiques du corps K.

Les techniques algorithmiques que nous avons utilisé pour construire le groupe des classes logarithmiques s’inspirent des méthodes dites sous-exponentielles de Hafner-McCurley [H-M] et Buchmann [B] dont une description détaillée est donnée par Diaz y Diaz et Olivier [D-O]. Pour connaître un groupe abélien fini, et en particulier un groupe de classes, il suffit de déterminer un système de générateurs de ce groupe et de donner une matrice de relations liant ces générateurs de sorte que toute autre relation puisse s’exprimer comme combinaison linéaire à coefficients entiers rationnels (pouvant

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éventuellement être des approximations d’entiers ℓ-adiques) des colonnes de la matrice. Il est souvent utile d’appliquer à une telle matrice une réduction à sa forme normale d’Hermite (HNF) (ce qui ne modifie en rien les générateurs choisis) et de poursuivre par une réduction de Smith (SNF). Ce procédé standard, permet de déterminer explicitement une matrice diagonale dont les termes diagonaux sont [d_{1}, d_{2}, …, d_{n}] avec d_{i}|d_{i−1}, d_{n} > 1 et un système de générateurs [g_{1}, g_{2}, …, g_{n}] de sorte que le groupe considéré puisse s’écrire, dans ces conditions, sous la forme

(ℤ/d_{1}ℤ) g_{1} ⊕ ⋯ ⊕ (ℤ/d_{n}ℤ) g_{n}.

D’autre part, on fait un large usage de la solution du logarithme discret dans le cadre qui suit (cf. [C]) : lorsque g est un élément d’un groupe abélien fini, connu dans le sens précédemment précisé, il est possible de déterminer le vecteur d’exposants [a_{1}, a_{2}, …, a_{n}] tel qu’on ait

g = g_{1}^{a_{1}}g_{2}^{a_{2}} ⋯ g_{n}^{a_{n}}.

Comme le calcul du groupe des classes logarithmiques est basé sur la connaissance du groupe des classes Cℓ au sens ordinaire, on doit tenir compte du fait que les méthodes sousexponentielles donnent un résultat dépendant de la validité de l’hypothèse de Riemann généralisée pour la fonction zeta de Dedekind du corps K. En fait, il est possible (et les algorithmes existent, par exemple, dans PARI [P]) de “certifier” la validité des résultats obtenus en appliquant le logarithme discret à tous les idéaux dont la norme est plus petite que la borne de Zimmert (cf. [D-O]), mais ceci n’a pas été fait en ce qui concerne les résultats numériques donnés dans la section 6.

Tous les algorithmes décrits dans ce travail ont été programmés en utilisant le système PARI.

Précisons enfin quelques notations. Pour un corps de nombres K, supposé désormais abélien afin que la validité de la conjecture de Gross soit assurée, si 𝔞 est un idéal de ℤ_{K}, nous notons [𝔞] la classe dans C̃ℓ du diviseur 𝔞 et {𝔞} sa classe dans le groupe des classes (ou éventuellement, lorsqu’aucune confusion n’est à craindre, sa classe dans le ℓgroupe des ℓ-classes). D’autre part, nous avons essayé de garder la notation additive pour les diviseurs représentant les classes logarithmiques et la notation multiplicative pour la structure du groupe des idéaux fractionnaires non nuls de K. L’utilisation, dans ce dernier cas, de la notation matricielle est faite comme dans [C] et ne présente aucune ambiguïté.

2 Rappels et définitions. (cf. [J_{4}])

Soit K un corps de nombres abélien fixé. On note P l’ensemble des places finies de K et D le ℤ_{ℓ}-module libre ⨁_{𝔭∈P} ℤ_{ℓ} 𝔭 qu’on identifie canoniquement au tensorisé ℤ_{ℓ}⊗_{ℤ}D ≃ ⨁_{𝔭∈P} 𝔭^{ℤ_{ℓ}}

du groupe D = ⨁_{𝔭∈P} 𝔭^{ℤ} des diviseurs au sens ordinaire de K. Le module D est appelé le

ℓ-groupe des diviseurs logarithmiques de K.

A chaque place 𝔭 ∈ P on associe deux invariants : ẽ_{𝔭}, qui sera défini en 4.2 et qui est appelé l’indice de ramification logarithmique de 𝔭, et f̃_{𝔭} qui est appelé le degré résiduel logarithmique pour lesquels on a la relation ẽ_{𝔭}f̃_{𝔭} = e_{𝔭}f_{𝔭} où e_{𝔭}, f_{𝔭} sont, respectivement, l’indice de ramification et le degré résiduel usuels dans l’extension K/ℚ.

On définit sur P l’application degré, à valeurs dans ℤ_{ℓ}, par la formule

deg_{K} 𝔭 = f̃_{𝔭} deg p

où deg p est le degré ℓ-adique du nombre premier p ∈ 𝔭 dont la valeur est

\begin{matrix}(i)  deg p = & log p  si (p ≠ ℓ), \\ (ii)  deg ℓ = & ℓ  si (ℓ ≠ 2), \\ (iii)  deg 2 = & 4, \end{matrix}

log p désignant le logarithmique ℓ-adique de p. On étend l’application deg_{K} à D tout entier par ℤ_{ℓ}-linéarité et on obtient la suite exacte de ℤ_{ℓ}-modules

0 ⟶ D̃ ⟶ D ⟶ deg_{K} D ⟶ 0

où D̃ est le sous-module de D des diviseurs logarithmiques de degré nul.

J.-F. Jaulent [op. c.] a associé à chaque place 𝔭 ∈ P une valuation ṽ_{𝔭}, dite valuation logarithmique, définie sur K = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} et qu’il a reliée au symbole hilbertien attaché à 𝔭. A l’aide de cette valuation on obtient un homomorphisme canonique de ℤ_{ℓ}-modules, noté d̃, qui associe à chaque x ∈ K le diviseur logarithmique :

d̃(x) = ∑_{𝔭∈P} ṽ_{𝔭}(x)𝔭

dont l’image, P̃ = d̃(K), est le ℓ-groupe des diviseurs logarithmiques principaux de K.

D’après la formule du produit P̃ est un sous-module de D̃ et le quotient C̃ℓ = D̃/P̃ est appelé le ℓ-groupe des classes logarithmiques de K. La conjecture de Gross, démontrée dans le cas abélien, affirme que C̃ℓ est un groupe abélien fini (cf. [J_{2}]).

3 Caractérisation du ℓ-groupe des classes logarithmiques.

Soit Cℓ le groupe de classes de K au sens ordinaire. On note Cℓ^{∗} le quotient de Cℓ par le sous-groupe engendré par les classes représentées par les idéaux de K au dessus de ℓ. (Autrement dit, Cℓ^{∗} désigne le groupe des ℓ-classes).

Lemme 1. L’application ψ : C̃ℓ ⟶ Cℓ^{∗} qui associe à chaque classe d’un diviseur logarithmique de degré nul ∑_{𝔭∈P} m_{𝔭}𝔭 la classe représentée par l’idéal ∏_{𝔭∤ℓ} 𝔭^{λ_{𝔭}m_{𝔭}}, où λ_{𝔭} = \frac{ẽ_{𝔭}}{e_{𝔭}} = \frac{f_{𝔭}}{f̃_{𝔭}},

est un homomorphisme de groupes. De plus, Ker ψ = C̃ℓ(ℓ) où C̃ℓ(ℓ) est le ℓ-groupe des classes logarithmiques des diviseurs construits sur les places de K au dessus de ℓ.

Démonstration. L’application qui associe à chaque diviseur ∑_{𝔭∈P} m_{𝔭}𝔭 l’idéal ∏_{𝔭∤ℓ} 𝔭^{λ_{𝔭}m_{𝔭}}

est un homomorphisme de groupes.

D’autre part, considérons un diviseur logarithmique principal 𝔞̃ = ∑_{𝔭∈P} m_{𝔭}𝔭 qui est donc

de la forme 𝔞̃ = d̃(α) pour un α ∈ K. Un représentant de l’image par ψ de la classe de 𝔞̃ s’écrit alors, en termes d’idéaux, sous la forme : 𝔞 = ∏_{𝔭∤ℓ} 𝔭^{λ_{𝔭}ṽ_{𝔭}(α)}. Comme en toute place

modérée, les valuations logarithmique et usuelle sont liées par la formule v_{𝔭} = λ_{𝔭}ṽ_{𝔭}, on

déduit : 𝔞 = ∏_{𝔭∤ℓ} 𝔭^{v_{𝔭}(α)} = (αℤ_{K}) × ∏_{i=1}^{g} 𝔩_{i}^{−v_{𝔩_{i}}(α)} où 𝔩_{i} parcourt les g places de K au dessus

de ℓ. Ceci montre que l’application ψ est bien définie sur C̃ℓ. La dernière affirmation du lemme est alors immédiate.

Le lemme suivant est évident et nous le donnons sans démonstration :

Lemme 2. L’homomorphisme ψ induit de manière canonique un homomorphisme φ entre C̃ℓ et le ℓ-sous-groupe de Sylow Cℓ′ de Cℓ^{∗} qui associe à la classe logarithmique représentée

par 𝔞̃ = ∑_{𝔭∈P} m_{𝔭}𝔭 la classe représentée par l’idéal ∏_{𝔭∤ℓ} 𝔭^{λ_{𝔭}m_{𝔭}ab} où a = \frac{|Cℓ^{∗}|}{|Cℓ′|} et b est un

relèvement quelconque à ℤ_{ℓ} de l’inverse de a dans ℤ/|Cℓ′|ℤ.

Lemme 3. On a :

(i) Ker φ = Ker ψ,

(ii) Coker φ ≃ \frac{deg_{K}D}{(deg_{K}𝔩) ℤ_{ℓ}},

où 𝔩 est l’une quelconque des places sauvages (i.e. au dessus de ℓ) de K.

Démonstration. (i) : φ est le composé de ψ et de l’élévation à la puissance ab ; ce qui montre que Ker ψ ⊂ Ker φ.

Réciproquement, considérons une classe dans Ker φ représentée par un diviseur 𝔞̃ = ∑_{𝔭∈P} m_{𝔭}𝔭. Comme l’image par φ de la classe de 𝔞̃ est principale, on peut trouver α ∈ K et

m_{i} ∈ ℤ_{ℓ} (i = 1, ⋯, g), tels que

(∏_{𝔭∤ℓ} 𝔭^{λ_{𝔭}m_{𝔭}})^{ab} = (αℤ_{K}) · ∏_{i=1}^{g} 𝔩_{i}^{m_{i}}

et on a en particulier m_{𝔭}λ_{𝔭}ab = v_{𝔭}(α) = λ_{𝔭}ṽ_{𝔭}(α) pour 𝔭 ∤ ℓ. Finalement, on peut écrire

𝔞̃ = c ∑_{𝔭∈P} ṽ_{𝔭}(α)𝔭 + ∑_{i=1}^{g}(m_{i} − c ṽ_{𝔩_{i}}(α)) 𝔩_{i} = d̃(α^{c}) + ∑_{i=1}^{g} m′_{i}𝔩_{i}

où c = (ab)^{−1} a effectivement un sens puisque ab est inversible dans ℤ_{ℓ}. D’où l’assertion (i).

(ii) : d’après sa définition, l’image de φ est le sous-groupe des classes de Cℓ′ représentées par un idéal de la forme ∏_{𝔭∤ℓ} 𝔭^{λ_{𝔭}m_{𝔭}ab} tel qu’il existe une famille (m_{𝔩_{i}}) d’entiers ℓ-adiques indexés sur les places au dessus de ℓ satisfaisant la relation : ∑_{𝔭∈P} m_{𝔭} deg_{K}𝔭 = 0 ; ceci peut

se formuler encore de la façon suivante :

∑_{𝔭∤ℓ} m_{𝔭} deg_{K}𝔭 = − ∑_{i=1}^{g} m_{𝔩_{i}} deg_{K}𝔩_{i}.

Le corps de nombres K étant supposé abélien, deux places au dessus de ℓ ont même degré logarithmique et la condition ∑_{𝔭∈P} m_{𝔭}deg_{K}𝔭 = 0 devient finalement

∑_{𝔭∤ℓ} m_{𝔭} deg_{K}𝔭 = −(∑_{i=1}^{g} m_{𝔩_{i}}) deg_{K}𝔩. Ceci montre que l’on a ∑_{𝔭∤ℓ} m_{𝔭} deg_{K}𝔭 ∈ ℤ_{ℓ} deg_{K}𝔩.

A présent, introduisons l’homomorphisme η de Cℓ′ dans le ℓ-groupe \frac{deg_{K}D}{(deg_{K}𝔩) ℤ_{ℓ}}, qui à

toute classe représentée par l’idéal ∏_{𝔭∤ℓ} 𝔭^{m_{𝔭}}, dont l’ordre est une puissance de ℓ, associe la

classe du degré du diviseur ∑_{𝔭∤ℓ} \frac{m_{𝔭}}{λ_{𝔭}}𝔭 modulo le degré de 𝔩 (ce qui a un sens puisque λ_{𝔭} est

inversible dans ℤ_{ℓ} lorsque 𝔭 ∤ ℓ). Pour justifier son existence supposons que l’idéal ∏_{𝔭∤ℓ} 𝔭^{m_{𝔭}}

puisse s’écrire sous la forme

∏_{𝔭∤ℓ} 𝔭^{m_{𝔭}} = (αℤ_{K}) · ∏_{i=1}^{g} 𝔩_{i}^{n_{i}}.

Un calcul analoque à celui fait dans la démonstration de (i) montre que le diviseur logarithmique ∑_{𝔭∤ℓ} \frac{m_{𝔭}}{λ_{𝔭}}𝔭 s’exprime sous la forme :

∑_{𝔭∤ℓ} \frac{m_{𝔭}}{λ_{𝔭}} 𝔭 = d̃(α) + ∑_{i=1}^{g} n′_{i}𝔩_{i} avec (n′_{i} ∈ ℤ_{ℓ}).

Comme le degré d’un diviseur principal (au sens logarithmique) est nul, le degré du diviseur ∑_{𝔭∤ℓ} \frac{m_{𝔭}}{λ_{𝔭}}𝔭 est un multiple du degré de 𝔩. L’application deg_{K} étant un homomorphisme, nous

savons désormais que η est bien défini et est un homomorphisme de ℓ-groupes dont le noyau est exactement l’image de φ. Enfin, la suite exacte du paragraphe 2 caractérisant D̃ nous assure de la surjectivité de η. La seconde assertion du lemme est ainsi établie.

D’après les deux lemmes précédents, on a la suite exacte :

0 → C̃ℓ(ℓ) → C̃ℓ → Cℓ′ → deg_{K}D/(deg_{K}𝔩) ℤ_{ℓ} → 0

qui peut être écourtée en la suite exacte :

0 → C̃ℓ(ℓ) → C̃ℓ → H → 0

où H est le noyau de l’homomorphisme [ Cℓ′ ⟶^{η} deg_{K}D/(deg_{K}𝔩) ℤ_{ℓ} ] introduit ci dessus. On a démontré le résultat suivant :

Théorème 4. Un système de générateurs du ℓ-groupe des classes logarithmiques de K est obtenu en joignant les générateurs du sous-groupe C̃ℓ(ℓ) à un relèvement dans C̃ℓ d’un système de générateurs de H.

Nous décrivons dans 5.1 un procédé de détermination des générateurs de C̃ℓ(ℓ) et une matrice de relations liant ces derniers entre eux. De manière analogue, nous exposons dans le lemme 6 de 5.3 le calcul d’un système de générateurs de H et la méthode d’obtention de la matrice de relations de ces générateurs. Finalement, on décrit dans 5.5 la manière de calculer la structure de C̃ℓ et de déterminer des générateurs de ce groupe.

Remarque : Les calculs exposés dans [S_{1}] dans le cas ℓ = 2 pour les corps quadratiques ℚ(\sqrt{d}), d ∈ ℤ, d sans facteur carré, permettent d’établir que le conoyau de φ est trivial sauf si d ≡ 2 (mod 16) et d ≠ 2. Lorsque ceci est le cas, Ker φ est isomorphe à 4ℤ_{2}/8ℤ_{2} et, par conséquent, cyclique d’ordre 2.

4 Calculs explicites.

4.1 Calcul de la norme locale.

Soient α ∈ ℤ_{K}, α ≠ 0 et 𝔭 une place fixée de K au dessus du nombre premier p. On suppose que l’idéal 𝔭 est connu par une représentation à deux éléments : 𝔭 = pℤ_{K} + βℤ_{K}, avec v_{𝔭}(β) = 1. Pour calculer la norme locale N_{K_{𝔭}/ℚ_{p}}(α) on procéde de la manière suivante : le groupe de Galois G = {σ_{1} = Id, …, σ_{n}} de l’extension K/ℚ peut être calculé explicitement par la donnée des conjugués x_{1} = x, …, x_{n} = σ_{n}(x) d’un élément primitif x de l’extension K/ℚ. Le groupe de décomposition D de 𝔭 est défini par

D = { σ ∈ G/ v_{𝔭}(σ(β) − β) ≥ 1 }

et, quitte à modifier l’élément primitif, on peut supposer que x̄ = ∑_{σ∈D} σ(x) est un élément

primitif de l’extension K^{D}/ℚ où K^{D} est le sous-corps de K fixé par D.

Dans K^{D}, l’idéal pℤ_{K^{D}} se décompose comme produit de s idéaux premiers de degré résiduel 1 et un seul parmi eux, noté 𝔭̄, est au dessous de 𝔭. Le polynôme caractéristique de x̄ ∈ K est la puissance d’un polynôme irréductible de degré s. A partir de ce polynôme, il est possible de déterminer une base d’entiers de K^{D} par des méthodes algorithmiques bien connues. On sait exprimer x̄, en tant qu’élément de K, dans la base d’entiers de ℤ_{K}. En faisant de même pour chacun des éléments de la base d’entiers de K^{D}, on obtient une matrice dont les colonnes sont, par construction, les coordonnées des entiers de la base de ℤ_{K^{D}} dans la base d’entiers de K. La détermination du noyau entier de la matrice obtenue par concaténation de la matrice dernièrement construite avec le vecteur colonne des coordonnées de ᾱ = ∏_{σ∈D} σ(α) dans la base d’entiers de K donne l’expression de N_{K/K^{D}}(α)

dans la base d’entiers de K^{D}. Finalement, on peut factoriser le polynôme irréductible de x̄ ∈ K^{D} dans le corps ℚ_{p}. On obtient ainsi s racines dans ℤ_{p} dont une seule est associée à l’idéal 𝔭. On utilise cette racine pour identifier K_{𝔭}^{D} avec ℚ_{p}, plonger N_{K/K^{D}}(α) dans ℚ_{p} et déterminer la valeur de la norme locale cherchée.

4.2 Indice de ramification logarithmique.

On appelle indice de ramification logarithmique de la place 𝔭, au dessus de p, du corps de nombres K, et on le note ẽ_{𝔭}, l’entier dont :

(i) les q-parties coïncident avec celles des indices de ramification usuels e_{𝔭} pour

chaque premier q ≠ p, (ii) la p-partie est donnée par l’indice (h_{p}(K_{𝔭}^{×}) : ℤ_{p}) où h_{p} est l’application

\{ \begin{matrix}h_{p}(.) = −\frac{Log |.|_{𝔭}}{p · [K_{𝔭} : ℚ_{p}]} si p ≠ 2, \\ h_{p}(.) = −\frac{Log |.|_{𝔭}}{4 · [K_{𝔭} : ℚ_{p}]} si p = 2 \end{matrix}

définie comme l’opposé du quotient du logarithme d’Iwasawa de la valeur absolue p-adique principale (qui fait intervenir un calcul de norme locale) par le produit du degré fini [K_{𝔭} : ℚ_{p}] et du degré p-adique du nombre premier p.

Autrement dit, la p-partie de l’indice ẽ_{𝔭} est p^{−m}, où m est la plus petite p-valuation des images par h_{p} des générateurs du p-complété profini K_{𝔭}^{×} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×}^{p^{n}} du groupe multiplicatif K_{𝔭}^{×}. Si ζ est une racine primitive de l’unité d’ordre N𝔭 − 1 dans K_{𝔭}^{×} (𝔭 ∈ P) lorsque p est impair ou bien ζ = ±1 quand N𝔭 = 2 et si l’on désigne par π une uniformisante locale en 𝔭, un système générateur de K_{𝔭}^{×} est donné par la famille η_{ij}π^{k} = (1 + ζ^{i}π^{j})π^{k} où l’exposant i prend toutes les valeurs de 1 jusqu’à la partie entière de \frac{pe_{𝔭}}{p−1} + 1 (à l’exception des multiples de p), l’exposant j varie de 0 à N𝔭 − 2 et k parcourt ℤ. Cependant, la plus petite p-valuation de l’image h_{p}(η_{ij}π^{k}) est atteinte pour k = 0. En effet, comme la valeur absolue p-adique |π|_{𝔭} attachée à 𝔭 est une puissance de p (p ∈ 𝔭), nous avons les égalités successives :

v_{p}(h_{p}(η_{ij}π^{k})) = v_{p}(h_{p}(η_{ij}) + h_{p}(π^{k})) = v_{p}(h_{p}(η_{ij}))

qui montrent que le calcul de la p-valuation minimale est indépendante de k. Finalement, nous retiendrons que la p-partie de l’indice de ramification logarithmique

de 𝔭 dans l’extension K/ℚ est égale à p^{− min_{i,j}(v_{p}(h_{p}(η_{ij})))}.

Du point de vue algorithmique, nous avons à déterminer une uniformisante π et une racine primitive (N𝔭 − 1)-ième de l’unité. Commençons par considérer le plongement de K^{D} dans ℚ_{p} (cf. 4.1) permettant l’identification de KD ; 𝔭̄ avec ℚ_{p}. On détermine alors une uniformisante de K_{𝔭}^{×} comme un entier quelconque π ∈ 𝔭 non nul dont la 𝔭-valuation est 1. En fait, le choix de π se fait à partir de la représentation à deux éléments de l’idéal 𝔭 de K. En effet, si 𝔭 = pℤ_{K} + βℤ_{K}, on prend alors π = β lorsque v_{𝔭}(β) = 1, π = β + p lorsque v_{𝔭}(β) > 1 et enfin π = p lorsque β = 0 (ce qui se produit dans le seul cas où 𝔭 est inerte dans l’extension K/ℚ). Considérons la matrice d’Hermite de l’idéal 𝔭. Il y a exactement f coefficients multiples de p dans la diagonale principale. Chacun d’eux détermine un élément w_{i_{j}} (1 ⩽ j ⩽ f) de la base d’entiers de K de sorte qu’une combinaison linéaire de la forme

b = ∑_{j=1}^{f} a_{j}w_{i_{j}}

où les entiers a_{j} vérifient 0 ⩽ a_{j} < p, appartient à 𝔭 si et seulement si a_{j} = 0 pour j = 1, ⋯, f. On peut donc représenter chaque élément du corps résiduel k̄ de K_{𝔭} par une telle combinaion linéaire et, en particulier, écrire chaque élément de K_{𝔭} sous la forme b_{0} + b_{1} π + b_{2} π^{2} + · · ·. Désormais b_{0} ≠ 0 est fixé. Il existe alors une seule racine ζ de l’unité satisfaisant la congruence ζ ≡ b_{0} (mod π). Si on pose v_{1} = v_{𝔭}(b_{0}^{N𝔭−1} −1), un calcul immédiat donne la minoration

v_{𝔭}((b_{0} + b_{1} π^{v_{1}})^{N𝔭−1} − 1) ≥ v_{1}

où b_{1} est un élément du corps résiduel représenté comme ci-dessus. D’après le lemme de Hensel, il existe une seule valeur de b_{1} pour laquelle on a

v_{𝔭}((b_{0} + b_{1} π^{v_{1}})^{N𝔭−1} − 1) = v_{2} > v_{1}.

En itérant ce procédé, on obtient une approximation aussi précise que l’on veut de la racine de l’unité attachée à la valeur b_{0}. Lorsque b_{0} parcourt tous les éléments non nuls du corps résiduel (ou ±1 lorsque N𝔭 = 2), on obtient toutes les racines de l’unité de K_{𝔭} et on peut déterminer l’exposant de p dans ẽ_{𝔭}.

4.3 V aluation logarithmique.

La connaissance de ẽ_{𝔭} permet de déterminer immédiatement la valeur du degré résiduel logarithmique f̃_{𝔭} et on déduit alors sans difficulté la valeur d’une autre fonction fondamentale : la valuation logarithmique. Attachée à une place 𝔭, elle est notée ṽ_{𝔭} et définie par :

\{ \begin{matrix}ṽ_{𝔭}(.) = −\frac{f_{𝔭}}{f̃_{𝔭}} v_{𝔭}(.) & si 𝔭 ∤ ℓ \\ ṽ_{𝔭}(.) = −\frac{Log |.|_{𝔭}}{deg_{K}𝔭} & si 𝔭|ℓ, \end{matrix}

où v_{𝔭} désigne la 𝔭-valuation usuelle et Log | |_{𝔭} le logarithme d’Iwasawa de la valeur absolue ℓ-adique principale.

5 Structure du ℓ-groupe des classes logarithmiques.

5.1 Structure du ℓ-groupe C̃ℓ(ℓ).

Le corps K étant abélien, on a ℓℤ_{K} = (∏_{i=1}^{g} 𝔩_{i})^{e} et on peut énoncer le résultat suivant :

Lemme 5. Si g = 1, le groupe C̃ℓ(ℓ) est trivial. Sinon, les classes logarithmiques des diviseurs 𝔩_{i} − 𝔩_{1} pour i = 2, …, g forment un système de générateurs de C̃ℓ(ℓ).

Démonstration. Dans le cas où il n’y a qu’une seule place au dessus du nombre premier ℓ dans l’extension K/ℚ, le ℓ-sous-groupe C̃ℓ(ℓ) des classes logarithmiques est nécessairement trivial puisque le degré de la place sauvage, en tant que degré d’un diviseur premier, n’est pas nul.

Dans le cas contraire, considérons un diviseur logarithmique construit sur les g places sauvages 𝔩_{i} et dont le degré sur K est nul. Comme K est abélien sur ℚ, toutes les places sauvages ont même degré résiduel (au sens logarithmique) donc même degré sur K. Ceci prouve que la somme des coefficients de ce diviseur doit être nulle et les g − 1 classes logarithmiques des diviseurs 𝔩_{i} − 𝔩_{1} forment bien un système de générateurs.

Pour déterminer la structure de C̃ℓ(ℓ) et un système de générateurs de ses sous-groupes cycliques, on peut procéder de la manière suivante : les combinaisons linéaires à coefficients entiers ℓ-adiques entre les classes logarithmiques [ 𝔩_{i} − 𝔩_{1} ] (2 ⩽ i ⩽ g) s’écrivent :

∑_{i=2}^{g} m_{i} [ 𝔩_{i} − 𝔩_{1} ] = 0, m_{i} ∈ ℤ_{ℓ}.

En termes de diviseurs logarithmiques, cela signifie qu’il existe un α ∈ K tel que

∑_{i=2}^{g} m_{i} (𝔩_{i} − 𝔩_{1}) = d̃(α).

Comme les valuations dans les sens classique et logarithmique sont proportionnelles lorsqu’ elles sont attachées à une place modérée, l’élément α appartient nécessairement au tensorisé ℤ_{ℓ} du groupe des ℓ-unités de K (i.e. des unités globales en dehors des places sauvages). Ainsi, les relations entre les générateurs [ 𝔩_{i} − 𝔩_{1} ] (2 ⩽ i ⩽ g) sont toutes des combinaisons linéaires à coefficients dans ℤ_{ℓ} des r_{1} + r_{2} + g relations (où r_{1} et 2r_{2} sont respectivement les nombres de plongements réels et complexes de K) :

∑_{i=2}^{g} ṽ_{𝔩_{i}}(α_{j}) [ 𝔩_{i} − 𝔩_{1} ] = 0, j = 1, ⋯, r_{1} + r_{2} + g,

(α_{j}) décrivant un système (fini) de représentants de générateurs du groupe des ℓ-unités. Or ce groupe est somme directe du groupe des unités (dont on peut négliger la partie de torsion puisque les racines de l’unité sont de valuation logarithmique nulle) et d’un groupe dont les générateurs peuvent s’obtenir de la manière suivante : on forme la matrice A dont les colonnes correspondent à la décomposition des idéaux premiers au-dessus de ℓ dans le groupe des classes au sens ordinaire. On concatène cette matrice avec la matrice B, sous forme normale de Smith, qui donne la structure du groupe des classes. On appelle U la matrice unimodulaire qui permet de réduire (A|B) à sa forme normale d’Hermite H. En écrivant cette matrice sous la forme

U = ( \begin{matrix}U_{1} & U_{2} \\ U_{3} & U_{4} \end{matrix} ) ,

on a (A|B)U = (0|H).

Soit W la forme normale d’Hermite du bloc U_{1}; les idéaux obtenus en considérant le produit (𝔩_{1}, …, 𝔩_{g})W sont tous principaux et les générateurs de ces idéaux, adjoints aux unités fondamentales, déterminent une base du groupe des ℓ-unités.

Deux étapes suivent. Dans la première, on réduit la matrice de relations (ṽ_{𝔩_{i}}(α_{j}))_{i,j} (2 ⩽ i ⩽ g, 1 ⩽ j ⩽ r_{1} + r_{2} + g) ainsi obtenue à sa forme normale d’Hermite. Dans la seconde, la réduction de Smith permet de déterminer les facteurs invariants du groupe. On obtient alors le nombre de classes de C̃ℓ(ℓ), la structure du groupe comme produit de groupes cycliques et un générateur de chaque cycle non trivial.

5.2 Structure du ℓ-groupe Cℓ′.

On calcule par la méthode sous-exponentielle de Buchmann la structure [d_{1}, …, d_{h}] du groupe de classes d’idéaux Cℓ du corps K comme produit de h cycles et un système de générateurs g_{1}, ⋯, g_{h} des sous-groupes cycliques de manière à ce que

Cℓ = (ℤ/d_{1}ℤ)g_{1} ⊕ ⋯ ⊕ (ℤ/d_{h}ℤ)g_{h}.

On détermine les exposants [a_{i1}, ⋯, a_{ih}] (1 ⩽ i ⩽ g) de chacune des classes représentées par une place sauvage 𝔩_{i}, dans sa décomposition en produit des générateurs g_{j} (1 ⩽ j ⩽ h). Nous écrivons :

{𝔩_{i}} = ∏_{j=1}^{h} g_{j}^{a_{ji}} pour i = 1, ⋯, g.

Un système générateur des relations liant les classes de Cℓ^{∗} est alors donné par la matrice

A = ( \begin{matrix}d_{1} & 0 & … & 0 & a_{11} & … & a_{1g} \\ 0 & d_{2} & … & 0 & a_{21} & … & a_{2g} \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & d_{h} & a_{h1} & … & a_{hg} \end{matrix} ) .

En appliquant successivement à la matrice A les réductions d’Hermite et de Smith, on obtient la structure du groupe Cℓ^{∗} donnée par un autre système de générateurs g′′_{1}, ⋯, g′′_{h′′} des h′′ différentes composantes cycliques :

Cℓ^{∗} = (ℤ/d′′_{1}ℤ)g′′_{1} ⊕ ⋯ ⊕ (ℤ/d′′_{h′′}ℤ)g′′_{h′′}.

Finalement, la structure de Cℓ′ se déduit de celle de Cℓ^{∗} en considérant d′_{i} = ℓ^{v_{ℓ}(d′′_{i})} pour i = 1, ⋯, h′′ et en choisissant comme nouveaux générateurs les classes g′_{i} = g′′_{i}^{(d′′_{i}/d′_{i})}. Après élimination éventuelle des cycles devenus triviaux, on obtient :

Cℓ′ = (ℤ/d′_{1}ℤ)g′_{1} ⊕ ⋯ ⊕ (ℤ/d′_{h′}ℤ)g′_{h′}.

5.3 Ordre du conoyau de φ.

Dans ce sous-paragraphe et le suivant, on associe canoniquement à chaque idéal 𝔞 = ∏_{𝔭∈P} 𝔭^{m_{𝔭}} le diviseur logarithmique :

𝔞^{∗} = ∑_{𝔭∤ℓ} \frac{m_{𝔭}}{λ_{𝔭}} 𝔭 + ∑_{j=1}^{g} n_{𝔩_{j}}𝔩_{j}

et on note {𝔞_{i}} (1 ⩽ i ⩽ h′) les classes génératrices des h′ composantes cycliques de Cℓ′.

Le morphisme η étant surjectif, le ℤ_{ℓ}-module principal deg_{K}D est engendré par le degré d’un diviseur 𝔞_{i}^{∗} dont la ℓ-valuation est minimale. Notons 𝔞_{i_{0}}^{∗} un tel diviseur. Le conoyau

Coker φ ≃ \frac{deg_{K}D}{(deg_{K}𝔩) ℤ_{ℓ}} est donc un ℓ-groupe cyclique engendré par la classe du degré de

𝔞_{i_{0}}^{∗} d’ordre

ℓ^{v_{ℓ}(deg_{K}𝔩)−v_{ℓ}(deg_{K}𝔞_{i_{0}}^{∗})}.

5.4 Noyau de η.

Si ℓ^{n} est l’ordre du conoyau de l’homomorphisme φ : C̃ℓ ⟶ Cℓ′, il est possible de construire la famille de diviseurs logarithmiques :

\{ \begin{matrix}𝔟_{i_{0}} = ℓ^{n}𝔞_{i_{0}} \\ 𝔟_{i} = 𝔞_{i} & si 1 ⩽ i ⩽ h′, i ≠ i_{0} et deg_{K}𝔞_{i}^{∗} ∈ (deg_{K}𝔩) ℤ_{ℓ}, \\ 𝔟_{i} = 𝔞_{i} − \frac{deg_{K}𝔞_{i}^{∗}}{deg_{K}𝔞_{i_{0}}^{∗}} 𝔞_{i_{0}} & sinon, \end{matrix}

puisque le nombre \frac{deg_{K}𝔞_{i}^{∗}}{deg_{K}𝔞_{i_{0}}^{∗}} est, d’après le choix du diviseur 𝔞_{i_{0}}^{∗}, un entier ℓ-adique.

L’introduction de cette famille est motivée par le lemme suivant :

Lemme 6. Les classes dans Cℓ′ des diviseurs 𝔟_{i} (1 ⩽ i ⩽ h′) engendrent le noyau H de l’homomorphisme η.

Démonstration. Considérons un idéal 𝔞 dont la classe dans Cℓ′ appartient au noyau H. Par construction des classes {𝔞_{i}}, il existe une famille d’entiers (m_{i}) (1 ⩽ i ⩽ h′) telle que :

{𝔞} = ∏_{i=1}^{h′} {𝔞_{i}}^{m_{i}} dans Cℓ′ ;

ce qui en termes de diviseurs logarithmiques s’écrit, modulo les places sauvages du corps, sous la forme :

𝔞 ≡ ∑_{i=1}^{h′} m_{i} 𝔞_{i} ou encore 𝔞^{∗} ≡ ∑_{i=1}^{h′} m_{i} 𝔞_{i}^{∗}.

Notons I l’ensemble des indices i ≠ i_{0} tels que la classe de 𝔞_{i}^{∗} appartiennent à H et J celui des indices i ≠ i_{0} n’appartenant pas à I puis μ_{i} (i ∈ I) l’entier ℓ-adique \frac{deg_{K}𝔞_{i}^{∗}}{deg_{K}𝔞_{i_{0}}^{∗}}. Modulo les degrés des places sauvages, nous avons les congruences :

\begin{matrix}deg_{K}𝔞^{∗} ≡ & ∑_{i=1}^{h′} m_{i} deg_{K}𝔞_{i}^{∗} \\ ≡ & ∑_{i∈I} m_{i} deg_{K}𝔞_{i}^{∗} + ∑_{i∈J} m_{i} deg_{K}(𝔞_{i}^{∗} − μ_{i}𝔞_{i_{0}}^{∗}) + (m_{i_{0}} + ∑_{i∈J} m_{i}μ_{i}) deg_{K}𝔞_{i_{0}}^{∗} \\ ≡ & ∑_{i∈I} m_{i} deg_{K}𝔟_{i}^{∗} + ∑_{i∈J} m_{i} deg_{K}𝔟_{i}^{∗} + (m_{i_{0}} + ∑_{i∈J} m_{i}μ_{i}) deg_{K}𝔞_{i_{0}}^{∗}. \end{matrix}

La première somme du second membre est congrue à 0 par définition de I, la deuxième somme est nulle d’après la définition des 𝔟_{i} (i ∈ J), et on obtient, finalement :

deg_{K}𝔞^{∗} ≡ (m_{i_{0}} + ∑_{i∈J} m_{i}μ_{i}) deg_{K}𝔞_{i_{0}}^{∗}.

Comme deg_{K}𝔞_{i_{0}}^{∗} est un générateur du ℤ_{ℓ}-module deg_{K}D, l’entier ℓ-adique m_{i_{0}} + ∑_{i∈J} m_{i}μ_{i}

est un multiple de l’ordre ℓ^{n} du conoyau de φ et il existe un entier ℓ-adique u tel que : m_{i_{0}} + ∑_{i∈J} m_{i}μ_{i} = ℓ^{n}u. Le diviseur 𝔞 satisfait donc les congruences :

𝔞 ≡ ∑_{\begin{matrix}i=1 \\ i≠i_{0} \end{matrix}}^{h′} m_{i} 𝔞_{i} + (ℓ^{n}u − ∑_{i∈J} m_{i}μ_{i})𝔞_{i_{0}} ≡ ∑_{\begin{matrix}i=1 \\ i≠i_{0} \end{matrix}}^{h′} m_{i} 𝔟_{i} + u𝔟_{i_{0}} ;

ce qui achève la démonstration.

Considérons maintenant la matrice

K = ( \begin{matrix}1 & & & & & & & d′_{1} \\ & ... & & & 0 & & & & ... & & & 0 \\ & & 1 & & & & & & & ... \\ −\overline{μ_{1}} & … & −\overline{μ_{i_{0}−1}} & −\overline{ℓ^{n}} & −\overline{μ_{i_{0}+1}} & … & −\overline{μ_{h′}} & & & & ... \\ & & & & 1 & & & & & & & ... \\ & & 0 & & & ... & & & 0 & & & & ... \\ & & & & & & 1 & & & & & & & d′_{h′} \end{matrix} )

où on a désigné par une barre le reste de la division euclidienne par ℓ^{v_{ℓ}(deg_{K}𝔩)}. Soient B la forme normale d’Hermite de K et U la matrice unimodulaire telle que B = KU.

La matrice de relations entre les générateurs {𝔟_{i}} peut être obtenue en considérant la sous-matrice K′ de U constituée des h′ premières lignes et colonnes. En appliquant successivement à la matrice K′ les réductions d’Hermite et de Smith, on déduit la structure du groupe H (défini dans la section 3) et un système de générateurs {𝔟′_{i}} de manière à ce que :

H = (ℤ/b_{1}ℤ){𝔟′_{1}} ⊕ ⋯ ⊕ (ℤ/b_{k}ℤ){𝔟′_{k}}.

5.5 Structure de C̃ℓ.

Pour chacun des diviseurs 𝔟′_{i} (1 ≤ i ≤ k), on considère la famille d’entiers ℓ-adiques (m_{𝔭}^{(i)})_{𝔭∈P} telle que :

𝔟′_{i} = ∑_{𝔭∈P} m_{𝔭}^{(i)}𝔭

et on construit le relèvement dans C̃ℓ :

𝔟′′_{i} = ∑_{𝔭∈P} \frac{m_{𝔭}^{(i)}}{λ_{𝔭} × ab}𝔭 + μ_{i}𝔩_{1} où μ_{i} = − ∑_{𝔭∈P} \frac{m_{𝔭}^{(i)}}{λ_{𝔭} × ab} · \frac{deg_{K}𝔭}{deg_{K}𝔩_{1}} ∈ ℤ_{ℓ}

de sorte que 𝔟′′_{i} soit effectivement de degré nul sur K.

Par définition des ordres b_{i} des différentes composantes cycliques de H, il existe une famille d’entiers (v_{i})_{1≤i≤k} premiers à ℓ, des éléments (α_{i})_{1≤i≤k} de K et une suite (n_{ij})_{1≤i≤k} d’entiers ℓ-adiques tels que :

v_{i}b_{i}𝔟′_{i} = ∑_{𝔭∈P} v_{𝔭}(α_{i})𝔭 + ∑_{j=1}^{g} n_{ij}𝔩_{j}, 1 ≤ i ≤ k.

Pour déterminer les éléments α_{i} pour 1 ≤ i ≤ k, on forme la matrice A dont les colonnes correspondent à la décomposition des idéaux premiers au-dessus de ℓ dans le groupe des classes au sens ordinaire. On concatène cette matrice avec le vecteur colonne Y_{i} donnant la décomposion de l’idéal v_{i}b_{i}𝔟′_{i} puis avec la matrice B, sous forme normale de Smith, qui donne la structure du groupe des classes. On appelle U la matrice unimodulaire qui permet de réduire (A|Y_{i}|B) à sa forme normale d’Hermite. Soit U_{1} = (u_{ij}) la sous-matrice de U formée des g+1 premières lignes et colonnes. Comme chaque idéal v_{i}b_{i}𝔟′_{i} est principal dans Cℓ′, la (g + 1)-ième ligne de la matrice U_{1} contient, à une colonne k-ième, une composante u_{g+1 k} qui est inversible modulo le nombre de classes, de sorte que l’idéal

(v_{i}b_{i}𝔟′_{i})(∏_{j=1}^{g} 𝔩_{j}^{u_{jk}})^{b},

où b est un relèvement de l’inverse de u_{g+1 k} modulo le nombre de classes, soit principal dans le groupe des classes. Un générateur de cet idéal principal donne l’élément α_{i} cherché.

A présent, notons (δ_{q})_{1≤q≤t} les générateurs des t composantes cycliques du ℓ-groupe

C̃ℓ(ℓ) :

C̃ℓ(ℓ) = (ℤ/r_{1}ℤ)δ_{1} ⊕ ⋯ ⊕ (ℤ/r_{t}ℤ)δ_{t}.

La matrice de relations entre les générateurs v_{1}𝔟′′_{1}, ⋯, v_{k}𝔟′′_{k}, δ_{1}, ⋯, δ_{t} de C̃ℓ est la matrice :

F = ( \begin{matrix}b_{1} \\ & ... & & 0 \\ & & ... & & & & & 0 \\ & 0 & & ... \\ & & & & b_{k} \\ & & & & & r_{1} \\ & & & & & & ... & & 0 \\ & & −P & & & & & ... \\ & & & & & & 0 & & ... \\ & & & & & & & & & r_{t} \end{matrix} )

où P est la matrice exprimant les classes logarithmiques des diviseurs v_{i}b_{i}𝔟′′_{i} (1 ≤ i ≤ k) en fonction des classes génératrices δ_{q} (1 ≤ q ≤ t) du ℓ-groupe C̃ℓ(ℓ). Pour déterminer la matrice P, nous cherchons dans une première étape à exprimer chacune des classes {v_{i}b_{i}𝔟′′_{i}} en fonction des classes génératrices [𝔩_{j} − 𝔩_{1}] (1 ≤ j ≤ g). Comme pour tout i (1 ≤ i ≤ k) et tout j (1 ≤ j ≤ g) on a :

\{ \begin{matrix}v_{i}b_{i} m_{𝔭}^{(i)} = v_{𝔭}(α_{i}), ∀𝔭 ∤ ℓ \\ v_{i}b_{i} m_{𝔩_{j}}^{(i)} = v_{𝔩_{j}}(α_{i}) + n_{ij}, \end{matrix}

les diviseurs v_{i}b_{i} 𝔟′′_{i} (1 ⩽ i ⩽ k) s’écrivent :

v_{i}b_{i}𝔟′′_{i} = ∑_{𝔭∤ℓ} \frac{v_{i}b_{i}m_{𝔭}^{(i)}}{λ_{𝔭} × ab} 𝔭 + μ_{i}v_{i} b_{i} 𝔩_{1} = ∑_{𝔭∤ℓ} \frac{v_{𝔭}(α_{i})}{λ_{𝔭} × ab}𝔭 + μ_{i} v_{i}b_{i} 𝔩_{1}

v_{i}b_{i}𝔟′′_{i} = \frac{1}{ab} ∑_{𝔭∤ℓ} ṽ_{𝔭}(α_{i})𝔭 + μ_{i} v_{i}b_{i} 𝔩_{1}

v_{i}b_{i}𝔟′′_{i} = \frac{1}{ab} ∑_{𝔭∈P} ṽ_{𝔭}(α_{i})𝔭 + (μ_{i} v_{i}b_{i} − \frac{1}{ab} ṽ_{𝔩_{1}}(α_{i})) 𝔩_{1} − \frac{1}{ab} ∑_{j=2}^{g} ṽ_{𝔩_{j}}(α_{i}) 𝔩_{j}.

Comme v_{i}b_{i}𝔟′′_{i} est un diviseur de degré nul, on a nécessairement :

∑_{j=1}^{g} ṽ_{𝔩_{j}}(α_{i}) = ab μ_{i} v_{i}b_{i}

et on obtient finalement :

v_{i}b_{i}𝔟′′_{i} = \frac{1}{ab}( d̃(α_{i}) − ∑_{j=2}^{g} ṽ_{𝔩_{j}}(α_{i}) (𝔩_{j} − 𝔩_{1})).

Modulo les diviseurs logarithmiquement principaux, l’expression des diviseurs v_{i}b_{i} 𝔟′′_{i} en fonction des diviseurs 𝔩_{j} − 𝔩_{1} est :

[v_{i}b_{i} 𝔟′′_{i}] = − ∑_{j=2}^{g} ṽ_{𝔩_{j}}(α_{i}) [𝔩_{j} − 𝔩_{1}].

La matrice P est donc le produit RQ où Q est la matrice dont les coefficients sont q_{ji} = ṽ_{𝔩_{j}}(α_{i}), (2 ≤ j ≤ g, 1 ≤ i ≤ r_{1} + r_{2} + g) et R la matrice à t colonnes et g − 1 lignes exprimant chacune des classes logarithmiques [𝔩_{j} − 𝔩_{1}] en fonction des générateurs δ_{q} de C̃ℓ(ℓ). Cette dernière est l’inverse de la matrice, déjà utilisée, pour déduire les générateurs δ_{q} à partir des générateurs [𝔩_{j} − 𝔩_{1}].

Les réductions successives d’Hermite et de Smith de la matrice F donnent la structure complète du ℓ-groupe des classes logarithmiques.

6 Exemples numériques.

Le groupe des classes logarithmiques a été étudié seulement dans des cas très particuliers : quand ℓ = 2, on a un critère de cyclicité du groupe des classes logarithmiques dans le cadre des extensions de type CM (cf. [S_{2}]), de trivialité dans le cadre des corps quadratiques (cf. [S_{1}]) et on connait la structure du groupe des classes logarithmiques de corps biquadratiques contenant les racines quatrièmes de l’unité et dont la 2-partie du noyau hilbertien est triviale (cf. [T]). Pour ℓ = 3, un calcul explicite du groupe des classes logarithmiques de certains corps quadratiques est donné dans [Z].

Nous avons mis en pratique les algorithmes décrits dans cet article et nous avons construit le groupe des classes logarithmiques pour tous les corps biquadratiques K = ℚ(i, \sqrt{d}) dans le cas ℓ = 2 et tous les corps biquadratiques K = ℚ(\sqrt{−3}, \sqrt{d}) dans le cas ℓ = 3 lorsque d est le discriminant d’un corps quadratique réel et 4 < d ≤ 2000. Comme ces corps contiennent, respectivement, les racines quartiques et sextiques de l’unité, on sait que le ℓ-rang du groupe des classes logarithmiques de ces corps et le ℓ-rang de la ℓ-partie du noyau hilbertien sont égaux. On obtient ainsi les premiers exemples connus de corps de nombres dont le ℓ-rang de la ℓ-partie du noyau hilbertien est non triviale.

Proposition 7. Le corps biquadratique contenant les racines cubiques de l’unité de plus petit discriminant pour lequel le 3-groupe des classes logarithmiques est non trivial est le corps K = ℚ(\sqrt{−3}, \sqrt{29}) de discriminant 7569. Ce corps est engendré par une racine du polynôme P (X) = X^{4} − 2X^{3} − 55X^{2} + 56X + 871.

Démonstration. Il est facile de vérifier que l’on a Cℓ ≃ ℤ/3ℤ et que ce groupe est engendré par la classe représentée par l’idéal premier au-dessus de 2 : 𝔭_{2} = 2ℤ_{K} + αℤ_{K} avec α = \frac{1}{2}(θ^{2} + 3θ + 1), où P (θ) = 0.

Il n’y a qu’une place sauvage 𝔭_{3} = 3ℤ_{K} +(θ^{2} −θ −1)ℤ_{K} = \frac{1}{119}(2θ^{3} −3θ^{2} −52θ −152)ℤ_{K} pour laquelle on a e_{𝔭_{3}} = f_{𝔭_{3}} = 2. Ceci montre que le 3-groupe Cℓ(3) est trivial et on a Cℓ′ ≃ Cℓ. La partie sans torsion du 3-groupe des unités est engendrée par le générateur de 𝔭_{3} et par l’unité ε = \frac{1}{238}(9θ^{3} + 46θ^{2} − 234θ − 1279).

D’autre part, les valuations en 3 des degrés des diviseurs 𝔭_{3} et 𝔭_{2}^{λ_{𝔭_{2}}} sont égales et le conoyau de φ est trivial. On en déduit que l’on a H = Cℓ (cf. section 3) ; ceci conduit à l’isomorphisme cherché C̃ℓ ≃ Cℓ ≃ ℤ/3ℤ puisque le fait d’avoir une seule place sauvage prouve que C̃ℓ(ℓ) est aussi trivial (cf. Lemme 5).

Finalement, le générateur de C̃ℓ est la classe représentée par le diviseur (2 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6} + O(3^{7}))𝔭_{2} + (1 + 2 · 3 + 2 · 3^{2} + 2 · 3^{3} + 3^{4} + 2 · 3^{5} + 2 · 3^{6} + O(3^{7}))𝔭_{3} dont il est facile de vérifier que son degré est 0.

Par la suite, nous donnons un exemple de corps K pour chacun des groupes de classes logarithmiques que nous avons obtenu. Nous rappelons que le corps K est de la forme K = ℚ(i, \sqrt{d}) lorsque ℓ = 2 et de la forme K = ℚ(\sqrt{−3}, \sqrt{d}) losque ℓ = 3. Pour chaque corps cité, nous indiquons, dans l’ordre, la valeur de d, un polynôme P (X) dont une racine est un élément primitif de l’extension K/ℚ, le nombre de classes logarithmiques noté h̃, la structure de ce groupe sous la forme [a_{1}, …, a_{s}] et un système de diviseurs logarithmiques g_{1}, …, g_{s} de manière à ce que l’on ait

C̃ℓ = (ℤ/a_{1}ℤ) · g_{1} ⊕ ⋯ ⊕ (ℤ/a_{s}ℤ) · g_{s}.

Les idéaux au-dessus de la place sauvage, sont notés systématiquement 𝔩 quand il y en un seul et 𝔩, 𝔩′ quand il y en a deux. Pour tous les autres idéaux premiers de ℤ_{K} nous avons mis en indice le nombre premier qu’ils contiennent. Nous aurions pû préciser pour chaque nombre premier p l’idéal premier considéré mais l’ambiguïté introduite est négligeable par rapport à la simplification de l’écriture obtenue. Quand il est indispensable, nous distinguons les idéaux premiers au-dessus d’un même nombre premier de manière simple.

Précisons, pour terminer, que les coefficients des diviseurs sont des entiers ℓ-adiques qui ont été calculés avec une précision de O(ℓ^{10}) mais dont nous avons réduit la précision ci-dessous à O(ℓ^{5}) pour alléger l’écriture.

Cas ℓ = 2.

d = 17  X^{4} − 32X^{2} + 324 h̃ = 2  C̃ℓ ≃ [2]
g_{1} = (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + O(2^{2}))𝔩 + (1 + O(2^{5}))𝔩′

d = 77  X^{4} − 152X^{2} + 6084 h̃ = 4  C̃ℓ ≃ [4]
g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{13} + (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + O(2^{5}))𝔩

d = 185  X^{4} − 368X^{2} + 34596 h̃ = 8  C̃ℓ ≃ [8]

g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{3} + (2 + 2^{2} + O(2^{5}))𝔩

d = 521  X^{4} − 1040X^{2} + 272484 h̃ = 16  C̃ℓ ≃ [16]

g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{3} + (1 + O(2^{5}))𝔭_{5} + (1 + 2 + 2^{2} + O(2^{5}))𝔩

d = 85  X^{4} − 168X^{2} + 7396 h̃ = 4  C̃ℓ ≃ [2, 2]

g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{3} + (2 + 2^{2} + O(2^{5}))𝔩

g_{2} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{17} + (2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + O(2^{5}))𝔩

d = 113  X^{4} − 224X^{2} + 12996 h̃ = 8  C̃ℓ ≃ [4, 2]

g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{3} + (1 + 2 + 2^{2} + O(2^{5}))𝔩 + (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + O(2^{5}))𝔩′

g_{2} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{3} + (2 + 2^{2} + O(2^{5}))𝔩

d = 221  X^{4} − 440X^{2} + 49284 h̃ = 16  C̃ℓ ≃ [8, 2]

g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{5} + (1 + O(2^{5}))𝔩

g_{2} = (1 + O(2^{5}))𝔭′_{5} + (2 + O(2^{5}))𝔩

d = 1085  X^{4} − 2168X^{2} + 1179396 h̃ = 32  C̃ℓ ≃ [16, 2]

g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{37} + (1 + 2^{3} + 2^{4} + O(2^{5}))𝔩

g_{2} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{5} + (1 + O(2^{5}))𝔩

d = 721  X^{4} − 1440X^{2} + 521284 h̃ = 16  C̃ℓ ≃ [4, 4]

g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{5} + (1 + O(2^{5}))𝔩

g_{2} = (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + O(2^{5}))𝔩 + (1 + O(2^{5}))𝔩′

d = 1677  X^{4} − 3352X^{2} + 2815684 h̃ = 32  C̃ℓ ≃ [8, 4]

g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{29} + (1 + 2 + 2^{3} + 2^{4} + O(2^{5}))𝔩

g_{2} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{421} + (1 + 2^{3} + 2^{4} + O(2^{5}))𝔩

d = 1221  X^{4} − 2440X^{2} + 1493284 h̃ = 64  C̃ℓ ≃ [8, 8]

g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{5} + (1 + O(2^{5}))𝔩

g_{2} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{13} + (2^{4} + O(2^{5}))𝔩

d = 1217  X^{4} − 2432X^{2} + 1483524 h̃ = 128  C̃ℓ ≃ [16, 8]

g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{3} + (1 + 2 + 2^{2} + O(2^{5}))𝔩 + (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + O(2^{5}))𝔩′

g_{2} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{3} + (2 + 2^{2} + O(2^{5}))𝔩

d = 357  X^{4} − 712X^{2} + 128164 h̃ = 8  C̃ℓ ≃ [2, 2, 2]

g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{29} + (1 + 2 + 2^{3} + 2^{4} + O(2^{5}))𝔩

g_{2} = (1 + O(2^{5}))𝔭′_{29} + (1 + 2 + 2^{3} + 2^{4} + O(2^{5}))𝔩

g_{3} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{17} + (2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + O(2^{5}))𝔩

d = 1105  X^{4} − 2208X^{2} + 1223236 h̃ = 16  C̃ℓ ≃ [4, 2, 2]

g_{1} = (2 + O(2^{5}))𝔭_{5} + (1 + O(2^{5}))𝔭′_{5} + (1 + O(2^{5}))𝔭_{41}

+ (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + O(2^{5}))𝔩 + (2 + O(2^{5}))𝔩′

g_{2} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{3} + (2 + 2^{4} + O(2^{5}))𝔩

g_{3} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{3} + (2^{2} + O(2^{5}))𝔭_{5} + (2 + O(2^{5}))𝔭′_{5} + (2 + O(2^{5}))𝔭_{41}

+ (1 + O(2^{5}))𝔭1_{41} + (2 + O(2^{5}))𝔩 + (2^{2} + O(2^{5}))𝔩′

d = 1241  X^{4} − 2480X^{2} + 1542564 h̃ = 32  C̃ℓ ≃ [8, 2, 2]

g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{5} + (1 + O(2^{5}))𝔩

g_{2} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{3} + (1 + 2 + O(2^{5}))𝔭_{5} + (1 + O(2^{5}))𝔭′_{5}

+ (1 + O(2^{5}))𝔭′′_{5} + (1 + 2 + 2^{3} + O(2^{5}))𝔩

g_{3} = (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + O(2^{5}))𝔩 + (1 + O(2^{5}))𝔩′

d = 561  X^{4} − 1120X^{2} + 315844 h̃ = 32  C̃ℓ ≃ [4, 4, 2]

g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{5} + (1 + O(2^{5}))𝔩

g_{2} = (1 + O(2^{5}))𝔭′_{5} + (1 + O(2^{5}))𝔭′′_{5} + (2 + O(2^{5}))𝔩

g_{3} = (1 + O(2^{5}))𝔭′_{5} + (1 + O(2^{5}))𝔭′′_{5} + (1 + O(2^{5}))𝔩 + (1 + O(2^{5}))𝔩′

d = 1365  X^{4} − 2728X^{2} + 1865956 h̃ = 32  C̃ℓ ≃ [4, 2, 2, 2]

g_{1} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{37} + (1 + 2^{3} + 2^{4} + O(2^{5}))𝔩

g_{2} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{13} + (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + O(2^{5}))𝔩

g_{3} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{5} + (1 + O(2^{5}))𝔩

g_{4} = (1 + O(2^{5}))𝔭_{3} + (2 + 2^{2} + O(2^{5}))𝔩 Cas ℓ = 3.

d = 141  X^{4} − 2X^{3} − 279X^{2} + 280X + 20023 h̃ = 9  C̃ℓ ≃ [9]

g_{1} = (1 + 2 · 3^{2} + O(3^{5}))𝔩 + (2 + 2 · 3 + 2 · 3^{3} + 2 · 3^{4} + O(3^{5}))𝔩′

d = 969  X^{4} − 2X^{3} − 1935X^{2} + 1936X + 939931 h̃ = 27  C̃ℓ ≃ [27]

g_{1} = (2 + 2 · 3 + 2 · 3^{2} + O(3^{5}))𝔩 + (1 + 2 · 3^{3} + 2 · 3^{4} + O(3^{5}))𝔩′

d = 253  X^{4} − 2X^{3} − 503X^{2} + 504X + 64263 h̃ = 9  C̃ℓ ≃ [3, 3]

g_{1} = (2 + O(3^{5}))𝔭_{7} + (2 + 3 + 3^{2} + 3^{4} + O(3^{5}))𝔩

g_{2} = (2 + 2 · 3 + 2 · 3^{2} + 2 · 3^{3} + 2 · 3^{4} + O(3^{5}))𝔩 + (1 + O(3^{5}))𝔩′

d = 321  X^{4} − 2X^{3} − 639X^{2} + 640X + 103363 h̃ = 27  C̃ℓ ≃ [9, 3]

g_{1} = (2 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + O(3^{5}))𝔭_{2} + (2 + 3 + 2 · 3^{2} + 2 · 3^{3} + O(3^{5}))𝔩

g_{2} = (1 + O(3^{5}))𝔭_{2} + (2 + 2 · 3^{2} + 2 · 3^{3} + O(3^{5}))𝔩 + 2 + 2 · 3 + 2 · 3^{2} + 2 · 3^{3} + O(3^{5}))𝔩′

d = 1373  X^{4} − 2X^{3} − 2743X^{2} + 2744X + 1886503 h̃ = 81  C̃ℓ ≃ [27, 3]

g_{1} = (1 + O(3^{5}))𝔭_{7} + (1 + O(3^{5}))𝔭_{43} + (1 + 3^{2} + 2 · 3^{4} + O(3^{5}))𝔩

g_{2} = (1 + O(3^{5}))𝔭_{43} + (2 + 2 · 3^{2} + 3^{3} + 2 · 3^{4} + O(3^{5}))𝔩

d = 1901  X^{4} − 2X^{3} − 3799X^{2} + 3800X + 3615703 h̃ = 81  C̃ℓ ≃ [9, 3, 3]

g_{1} = (2 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + O(3^{5}))𝔭_{2} + (1 + 2 · 3 + 2 · 3^{2} + 2 · 3^{3} + 3^{4} + O(3^{5}))𝔩

g_{2} = (1 + O(3^{5}))𝔭′_{2} + (1 + O(3^{5}))𝔭_{7} + (1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + O(3^{5}))𝔩

g_{3} = (2 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + O(3^{5}))𝔭′_{2} + (1 + O(3^{5}))𝔭′_{7} + (2 · 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + O(3^{5}))𝔩

Bibliographie

[B] J. BUCHMANN, A subexponential algorithm for the determination of class groups and regulators of algebraic number fields, Prépublication.

[C] H. COHEN, A course in Computationel Algebraic Number Theory, GTM 138, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1993.

[D-O] F. DIAZ Y DIAZ et M. OLIVIER, Algorithmique Algébrique dans les corps de Nombres, Etat de

la Recherche en Algorithmique Arithmétique, Laboratoire A2X Bordeaux, 1995. [H-M] J. HAFNER and K. McKURLEY, A rigourous sous exponential algorithm for computation of class

groups, J. Ann. Math. Soc. 2 (1989), 837-850. [J_{1}] J.-F. JAULENT, L’arithmétique des ℓ-extensions (Thèse), Publ. Math. Fac. Sci. Besançon, Théor.

Nombres (1986).

[J_{2}] J.-F. JAULENT, Noyau universel et valeurs absolues, Journées Arithmétiques de Marseille-Luminy,

Astérisque 198-199-200 (1991), 187-207. [J_{3}] J.-F. JAULENT, Sur le noyau sauvage des corps de nombres, Acta Arith. 67 (1994), 335-348. [J_{4}] J.-F. JAULENT, Classes logarithmiques des corps de nombres, J. Théor. Nombres Bordeaux 6 (1994),

303-327.

[P] D. BERNARDI, C. BATUT, H. COHEN, M. OLIVIER, User’s guide to PARI-GP, version 1.39, Publ. Université Bordeaux I (1991).

[S_{1}] F. SORIANO, Classes logarithmiques ambiges des corps quadratiques, à paraître dans Acta Arith. [S_{2}] F. SORIANO, Cyclicité du groupe des classes logarithmiques des extensions de type (CM), Prépu-

blication. [S_{3}] F. SORIANO, Classes logarithmiques généralisées ambiges, Prépublication. [S_{4}] F. SORIANO, Classes logarithmiques au sens restreint, à paraître dans Manuscripta Math.

[T] H. THOMAS, Trivialité du 2-rang du noyau hilbertien, J. Théor. Nombres Bordeaux 6 (1994), 459-483.

[Z] T. S. ZRAN ZANKOE, Noyau des valeurs absolues 3-adiques, Thèse de l’Université Bordeaux I.

Laboratoire A2X, Université de Bordeaux I, 351, cours de la Libération, 33405 TALENCE CEDEX, FRANCE.

Laboratoire de Mathématiques Pures, Université de Bordeaux I, 351, cours de la Libération, 33405 TALENCE CEDEX, FRANCE.

E-mail address: diaz@math.u-bordeaux.fr, soriano@math.u-bordeaux.fr