CORPS IMPRIMITIFS DE DEGRÉ 9 DE PETIT DISCRIMINANT

F. Diaz y Diaz et M. Olivier

Abstract. We present tables of ninth degree non-primitive (i.e. containing a cubic subfield) number fields. Each table corresponds to one signature, except for fields with signature (3,3), where we give two different tables in dependency of the signature of the cubic subfield. Details concerning the computation of the tables are given as well as information about the CPU time used, the number of polynomials treated, etc. For each field in the tables, we give its discriminant, the discriminant of its cubic subfields, the relative polynomial generating the field over one of its cubic subfield, the corresponding (irreducible) polynomial over ℚ, and the Galois group of its Galois closure. Fields having interesting properties are studied in more detail, specially those associated with sextic number fields having a class group divisible by 3.

1 Introduction.

La construction de tables de corps de nombres, avec les méthodes connues à l’heure actuelle, nécessite un temps de calcul qui croît exponentiellement avec le degré de l’extension ; c’est la raison pour laquelle on ne possède des tables étendues de corps de nombres que jusqu’au degré 6 ([1], [2], [5], [9], [10], [16], [18], [19], [20], [21]).

La généralisation du théorème de Hunter-Pohst [23] donnée par Martinet [17] a rendu possible l’étude des extensions relatives par des méthodes analogues à celles utilisées dans le cas où l’extension est primitive. Ce théorème est à la base de plusieurs travaux, soit pour construire des tables étendues de corps sextiques ([18], [19], [20], [21]), soit dans la construction de tables plus modestes (contenant, outre le discriminant minimal, quelques autres discriminants) notamment dans le cas des corps de degré 8 totalement imaginaires [7] et totalement réels [24].

Toutes les extensions relatives étudiées jusqu’à présent, étaient soit une extension d’un corps quadratique (et le fait que ces corps soient abéliens simplifie considérablement les calculs), soit une extension quadratique d’un corps de nombres ce qui permettait de faire appel à la théorie du corps de classes plus élégante et rapide.

L’intérêt d’étudier les corps de degré 9 imprimitifs est, d’une part, de sortir du cadre où le corps de base est quadratique (tout en disposant de bonnes tables de corps cubiques) et, d’autre part, de ne faire intervenir que des extensions relatives de petit degré ce qui facilite la construction des coefficients du polynôme relatif.

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1991 Mathematics Subject Classification. 11Y40.

Key words and phrases. Corps cubiques,Extensions relatives,Discriminant.

A. M. Odlyzko a eu l’amabilité de nous informer que le cas des corps imprimitifs totalement réels de degré 9 avait été traité récemment par H. Fujita [12] qui a déterminé les trois premiers corps.

Nous présentons dans ce travail 6 tables, de longueur inégale, de corps imprimitifs de degré 9 correspondant aux différentes signatures possibles : une table par signature, excepté le cas de la signature (3,3) où deux tables sont données, une pour chacune des classes de conjugaison du Frobenius à l’infini, l’une correspondant au cas où ces corps contiennent un sous-corps totalement réel et l’autre au cas où ils contiennent un sous-corps cubique complexe. Nous désignerons par la suite ces deux tables en signature (3,3) par (3, 3)_{ℝ} et (3, 3)_{ℂ}.

Les discriminants minimaux des corps imprimitifs de degré 9 sont présentés, pour chaque signature, dans le tableau suivant :

Tableau I

signature  sous-corps  discriminant minimal
(9, 0)  réel  1 62403 85609 = 49^{3}.1 38041
(7, 1)  réel  −26681 61671 = −49^{3}.22679
(5, 2)  réel  4678 90073 = 49^{3}.41.97
(3, 3)_{ℝ}  réel  −1645 90951 = −49^{3}.1399
(3, 3)_{ℂ}  complexe  −1108 52311 = −31^{3}.61^{2}
(1, 4)  complexe  322 06049 = 23^{3}.2647

Dans le paragraphe 2, nous énonçons le théorème de Martinet déjà mentionné et montrons comment on l’utilise dans l’étude des extensions relatives en insistant plus particulièrement sur les algorithmes qui nous ont permis d’accélérer les calculs. Dans le paragraphe 3, nous donnons la description des 6 tables avec des indications concernant, pour chacune d’entre elles, le temps de calcul et le nombre de polynômes manipulés. Dans le paragraphe 4, nous examinons en détail quelques corps qui nous ont semblé intéressants ; nous justifions, en particulier, la présence de corps non isomorphes de même discriminant. Finalement, dans le paragraphe 5, nous abordons l’étude du groupe de Galois de la clôture galoisienne de chacun des corps figurant dans les tables.

2 Extensions cubiques relatives d’un corps cubique.

Soit L un corps de nombres de degré n. On désigne par ℤ_{L} l’anneau des entiers de L et par d_{L} son discriminant.

Dans toute la suite, la lettre K désigne un corps de nombres imprimitif de degré 9. Puisque nous supposons K imprimitif, il contient, au moins, un sous-corps cubique que nous désignerons par k et K/k est une extension cubique relative dont nous noterons δ le discriminant relatif qui est un idéal entier de k. A partir de la formule d_{K} = (−1)^{s}|d_{k}|^{3}N_{k/ℚ}(δ), où (r, s) est la signature de K et N_{k/ℚ} est la norme de k sur ℚ, on déduit l’inégalité |d_{k}| ≤ |d_{K}|^{1/3} pour tout sous-corps k de K.

Le corps k possède 3 ℚ-plongements dans ℂ notés σ_{1}, σ_{2}, σ_{3} ; chacun d’entre eux peut être prolongé en trois ℚ-isomorphismes de K dans ℂ ; nous noterons σ_{i}^{j}, j = 1, 2, 3 les ℚ-isomorphismes de K dans ℂ dont la restriction à k est σ_{i}, i = 1, 2, 3. On peut définir pour tout θ ∈ K une “trace relative” pour l’extension K/k (en fait, la trace de σ_{i}^{j}(θ) ∈ σ_{i}^{j}(K) relative à σ_{i}(k)) par T r_{i}(θ) = σ_{i}^{1}(θ) + σ_{i}^{2}(θ) + σ_{i}^{3}(θ).

On a alors le théorème :

Théorème 1 (Martinet[17]). Il existe θ ∈ ℤ_{K}, θ ∉ k tel que l’on a :

(*)  ∑_{i=1}^{3} ∑_{j=1}^{3} |σ_{i}^{j}(θ)|^{2} ≤ \frac{1}{3} ∑_{i=1}^{3} |T r_{i}(θ)|^{2} + (\frac{64|d_{K}|}{81|d_{k}|})^{1/6}

De plus, si θ satisfait l’inégalité précédente, il en est de même pour tout entier de ℤ_{K} de la forme θ + a avec a ∈ ℤ_{k} et pour −θ.

L’entier θ ∈ ℤ_{K} dont l’existence est affirmée dans le Théorème 1, peut ne pas être un élément primitif de l’extension K/ℚ et dans ce cas, K contient deux sous-corps cubiques au moins. Ces corps sont faciles à déterminer directement une fois que l’on dispose de tables de corps cubiques réels et complexes. Nous supposerons désormais que l’on a K = ℚ(θ) = k(θ), où θ est racine du polynôme de degré 3 unitaire et irréductible P (X) = X^{3} + aX^{2} + bX + c ∈ ℤ_{k}[X].

En posant pour i = 1, 2, 3

σ_{i}(P (X)) = P_{i}(X) = X^{3} + σ_{i}(a)X^{2} + σ_{i}(b)X + σ_{i}(c) = X^{3} + a_{i}X^{2} + b_{i}X + c_{i}

on obtient f(X) = P_{1}(X)P_{2}(X)P_{3}(X) qui, d’après nos hypothèses, est le polynôme unitaire et irréductible de ℚ[X] tel que f(θ) = 0.

Notre but étant de construire des tables de corps de nombres, nous commençons par fixer pour chaque signature (r, s), avec 1 ≤ r ≤ 9, r impair et s = (9 − r)/2, une constante B_{r} > 0 (nous reviendrons dans le paragraphe suivant sur le choix de cette constante) et nous cherchons tous les corps K de signature (r, s) pour lesquels on a |d_{K}| ≤ B_{r}. Tout souscorps cubique k de K doit avoir un discriminant d_{k} tel que |d_{k}| ≤ B_{r}^{1/3} et une signature (r′, s′) compatible avec celle de K, c’est à dire, telle que s ≥ 3s′.

Supposons que pour une signature fixée nous cherchions à construire tous les corps K pour lesquels on a |d_{K}| ≤ B et contenant un sous-corps cubique k donné dont nous désignons par {1, α, β} une base d’entiers. Si la signature de k est compatible avec la signature de K, nous aurons à déterminer pour chaque corps K au moins un polynôme P (X) ∈ ℤ_{k}[X] tel que l’on ait K = k(θ) et P (θ) = 0. Montrons maintenant comment déterminer les coefficients a, b, c de ce polynôme.

Ecrivons T_{2}(θ) = ∑_{i=1}^{3} ∑_{j=1}^{3} |σ_{i}^{j}(θ)|^{2}. D’après la formule (*), pour tout corps K avec |d_{K}| ≤

B, θ doit satisfaire l’inégalité T_{2}(θ) ≤ \frac{1}{3} ∑_{i=1}^{3} |a_{i}|^{2} + C′ où C′ = (\frac{64B}{81|d_{k}|})^{1/6}.

La deuxième partie du théorème 1 montre que le premier coefficient a de P (X) peut être choisi sous la forme a = x_{1} + x_{2}α + x_{3}β avec x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ {0, 1, −1} et on peut imposer la condition 100x_{1} + 10x_{2} + x_{3} ≥ 0, ce qui nous donne 14 choix possibles pour ce premier coefficient.

Il en résulte que pour a fixé, la valeur de T_{2}(θ) peut être majorée par une constante réelle, disons C = C(a), dépendant seulement de la valeur choisie de a. Le lemme suivant nous a été très utile du point de vue pratique :

Lemme 1. Pour tout corps K contenant un sous-corps cubique k il existe un choix du coefficient a ∈ ℤ_{k} du polynôme P (X) tel que :

i) P (θ) = 0 et K = k(θ)

ii) \frac{1}{3} ∑_{i=1}^{3} |a_{i}|^{2} + C′ = C est minimum.

Démonstration. D’après le théorème 1, a peut être choisi parmi 14 valeurs. Si θ est racine de P (X) et est un générateur de l’extension K/k, tout élément de K de la forme θ + y avec y ∈ ℤ_{k} est encore un générateur de K/k. Or on a : T r_{K/k}(θ + y) = −a + 3y (valeur

que nous désignerons provisoirement par −a′ ∈ ℤ_{k}). Puisque ∑_{i=1}^{3} |σ_{i}(a′)|^{2} est une forme

quadratique définie positive, il existe au moins un choix de y qui rend minimale cette expression et qui peut être obtenue sans difficulté par une méthode de “back-tracking“. C’est cette valeur de a′ que nous noterons a par la suite et pour laquelle nous écrirons

C = \frac{1}{3} ∑_{i=1}^{3} |a_{i}|^{2} + C′.

Une fois déterminée la valeur convenable de a dans P (X), nous savons que l’on a T_{2}(θ) ≤

C. Désignons par s_{2}(θ) l’expression s_{2}(θ) = −2b + a^{2} = ∑_{j=1}^{3} σ^{j}(θ)^{2} = y_{1} + y_{2}α + y_{3}β (où σ^{j}

pour j = 1, 2, 3 sont les k-isomorpismes de K dans ℂ) et posons S_{2}(θ) = ∑_{i=1}^{3} σ_{i}(s_{2}(θ)) =

∑_{i=1}^{3} ∑_{j=1}^{3} σ_{i}^{j}(θ)^{2}. On a alors |S_{2}(θ)| ≤ ∑_{i=1}^{3} |σ_{i}(s_{2}(θ))| ≤ T_{2}(θ) ≤ C, et en utilisant l’inégalité

∑_{i=1}^{3} |σ_{i}(s_{2}(θ))|^{2} ≤ (∑_{i=1}^{3} |σ_{i}(s_{2}(θ))|)^{2} ≤ C^{2}

on obtient une majoration pour une forme quadratique en y_{1}, y_{2}, et y_{3} qui est définie positive et dont on doit chercher toutes les solutions, parmi lesquelles on ne retiendra que les valeurs de y_{1}, y_{2}, et y_{3} ayant, respectivement, même parité que les composantes x′_{1}, x′_{2}, et x′_{3} de a^{2} = x′_{1} + x′_{2}α + x′_{3}β ; on en déduit alors sans difficulté tous les choix possibles du coefficient b dans P (X).

Supposons maintenant a et b fixés et posons c = z_{1} + z_{2}α + z_{3}β. Puisque l’on a |c| = ∏_{j=1}^{3} |σ^{j}(θ)| on déduit de l’inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique que

|c|^{2} ≤ \frac{1}{27}(∑_{j=1}^{3} |σ^{j}(θ)|^{2})^{3}

et on peut écrire

∑_{i=1}^{3} |σ_{i}(c)|^{2} ≤ \frac{1}{27} ∑_{i=1}^{3}(∑_{j=1}^{3} |σ_{i}^{j}(θ)|^{2})^{3} ≤ \frac{1}{27}(∑_{i=1}^{3} ∑_{j=1}^{3} |σ_{i}^{j}(θ)|^{2})^{3} ≤ \frac{1}{27}C^{3}

car tous les termes qui interviennent sont positifs.

Le premier membre de ces inégalités est encore une forme quadratique définie positive et bornée en z_{1}, z_{2}, et z_{3}, et on peut trouver toutes les solutions de cette inégalité.

Un polynôme P (X) ∈ k[X] étant ainsi construit, on vérifie d’abord que P (X) peut définir un corps K ayant la signature désirée. Lorsque le corps de base k est complexe, il suffit de regarder le signe du discriminant du polynôme σ(P (X)), où σ est le seul plongement réel de k dans ℂ. Dans le cas où k est réel on doit regarder le signe du discriminant de chaque conjugué de P (X).

On calcule ensuite les racines des trois polynômes P_{1}(X), P_{2}(X) et P_{3}(X) par la formule de Cardan et on s’assure que l’inégalité du théorème 1 est vérifiée. Ce test permet d’écarter, à ce stade, plus de 99% des polynômes ayant la signature cherchée lorsqu’il y a des plongements complexes de K dans ℂ. Par contre, dans le cas des corps totalement réels, ce calcul est superflu car T r_{K/ℚ}(θ^{2}) est un entier rationnel.

Pour tester l’irréductibilité de f(X) on regarde d’abord si P_{1}(X) ∈ ℤ[X], on teste ensuite si l’une des racines de f(X) est dans ℤ, ce qui est facile à découvrir à partir des racines des polynômes relatifs déjà calculées et dans le cas un peu plus compliqué où f(X) possède un diviseur cubique irréductible à coefficients entiers on factorise en factorisant f(X) dans ℤ[X] à l’aide du système PARI [4].

Après avoir établi l’irréductibilité du polynôme f(X) , nous avons calculé le discriminant du corps K au moyen de la variante donnée par Ford [11] de l’algorithme ROUND 2 de Pohst-Zassenhaus implémentée dans PARI.

Finalement, lorsque deux corps engendrés par des polynômes différents ont même discriminant, il faut découvrir s’il s’agit ou non de corps ℚ-isomorphes. Nous partons alors du fait que l’existence de corps de nombres non-isomorphes de même discriminant est un événement rare pour les petits discriminants, et nous cherchons à établir qu’un tel isomorphisme existe au moyen du lemme suivant :

Soient P (X) et P′(X) les polynômes relatifs correspondant respectivement aux corps K et K′ de même discriminant. On désigne par σ_{i}(P) et σ_{i}(P′) pour i = 1, 2, 3 les conjugués de P (X) et P′(X) et par σ_{i}^{j}(θ) et σ_{i}^{j}(θ′) pour j = 1, 2, 3 leurs racines respectives.

Lemme 2 [3]. Pour que les corps K et K′ soient ℚ-isomorphes il faut et il suffit qu’il existe 4 permutations s, s_{1}, s_{2}, s_{3} ∈ S_{3} telles que pour tout h ∈ ℕ on ait

∑_{j=1}^{3}(σ_{i}^{j}(θ))^{h} · σ_{s(i)}^{s_{i}(j)}(θ′) ∈ σ_{i}(ℤ_{k}) pour i = 1, 2, 3.

Dans le cas le plus défavorable des corps totalement réels, cette vérification peut exiger au plus 6^{4} = 1296 essais, et dans le cas le plus favorable des corps de signature (1,4) il n’y a au plus que 24 essais à faire. Une fois déterminées les permutations convenables on peut calculer facilement l’expression des racines de P′(X) en fonction de celles de P (X).

Lorsque un tel ℚ-isomorphisme n’a pas été trouvé, nous cherchons des nombres premiers qui se décomposent de manière différente dans les deux corps. Trouver un tel nombre premier suffit à prouver que les corps ne sont pas isomorphes (bien que ce ne soit pas à priori une condition nécessaire dans le cas primitif).

Il ne reste plus qu’à considérer le cas où l’entier θ ∈ K, θ ∉ k dont l’existence est affirmée dans le théorème 1 n’est pas élément primitif de l’extension K/ℚ . Puisque le corps K ne contient que des sous-corps cubiques, le corps k_{1} = ℚ(θ) est une extension cubique de ℚ et k ≠ k_{1} . Si k_{1} était un conjugué de k, le composé kk_{1} serait la clôture galoisienne de k dans une clôture algébrique \overline{ℚ} de ℚ ce qui n’est pas possible car K ne contient pas de sous-corps de degré 6. On en déduit que le polynôme relatif P (X) dont θ est racine est, en fait, un polynôme à coefficients dans ℤ .

Pour trouver dans ce cas un élément primitif de l’extension K/ℚ nous utiliserons les résultats suivants, qui nous ont été signalés par J. Martinet,

Théorème 2. Toute extension de corps de nombres K/k_{0} de degré 9 contient 0, 1, 2 ou 4 sous-extensions cubiques de k_{0} .

Démonstration. Il suffit de prouver que si le corps K contient plus d’une extension cubique de k_{0} alors il contient exactement 2 ou 4 de ces sous-corps. Notons k_{1} et k_{2} deux extensions cubiques de k_{0} contenues dans une même clôture algébrique \overline{k_{0}} ; puisque [K : k_{0}] = 9 on a K = k_{1}k_{2} car les corps k_{1} et k_{2} ne peuvent pas être k_{0}-isomorphes ; on désigne par d_{1} et d_{2} les discriminants respectifs de k_{1}/k_{0} et k_{2}/k_{0} (en tant qu’éléments de k_{0}^{∗}/k_{0}^{∗2}), par N la clôture galoisienne de K/k_{0} dans \overline{k_{0}} et par G le groupe de Galois de N/k_{0}. Après echange éventuel de k_{1} et k_{2} on peut supposer que l’on est dans l’un des cas suivants : (A) d_{1} et d_{2} sont des carrés. (B) d_{1} est un carré et d_{2} n’est pas un carré. (C) d_{1} et d_{2} ne sont pas des carrés mais d_{1}/d_{2} est un carré. (D) d_{1} et d_{2} ne sont pas des carrés et d_{1}/d_{2} n’est pas un carré.

Il est clair que G peut être identifié à un sous-groupe du produit direct S_{3} × S_{3}. Plus précisément, dans le cas (A), G peut s’identifier à C_{3} × C_{3} et le stabilisateur de K est le sous-groupe < 1 > de G ; ainsi G contient 4 sous-groupes invariants d’ordre 3 et K contient quatre sous-corps cubiques cycliques.

Dans le cas (B), G est isomorphe à C_{3} × S_{3} et on peut poser G =< σ_{1}, σ_{2}, τ > avec les relations σ_{1}^{3} = σ_{2}^{3} = τ^{2} = 1, σ_{1}σ_{2} = σ_{2}σ_{1}, σ_{1}τ = τσ_{1}^{2}, σ_{2}τ = τσ_{2} où < τ > est le stabilisateur de K. On vérifie que G contient deux sous-groupes d’ordre 6 contenant τ qui sont < σ_{1}, τ > qui est distingué et < σ_{2}, τ > qui ne l’est pas et on déduit que K contient deux sous-corps cubiques non isomorphes, l’un étant cyclique sur k_{0} et l’autre ne l’étant pas.

Dans le cas (C), on peut identifier G avec le sous-groupe < σ_{1}, σ_{2}, τ > de S_{3} × S_{3} défini par les relations σ_{1}^{3} = σ_{2}^{3} = τ^{2} = 1, σ_{1}σ_{2} = σ_{2}σ_{1}, σ_{1}τ = τσ_{1}^{2}, σ_{2}τ = τσ_{2}^{2} où τ est l’élément d’ordre de 2 de G qui laisse K invariant. Le groupe G contient 4 sous-groupes isomorphes à S_{3} qui contiennent τ dont aucun n’est distingué et K contient quatre sous-corps cubiques non isomorphes et non galoisiens tous associés à une même extension quadratique de k_{0} qui est le corps fixé par le sous-groupe < σ_{1}, σ_{2} >, d’ordre 9 et d’indice 2.

Finalement, dans le cas (D), le groupe G peut s’écrire sous la forme < σ_{1}, τ_{1} > × < σ_{2}, τ_{2} > où < σ_{i}, τ_{i} > est isomorphe à S_{3} pour i = 1, 2. On peut supposer que le stabilisateur de K est le groupe < τ_{1}, τ_{2} > isomorphe à V_{4} (groupe de Klein) et les seuls sous-groupes de G d’indice 3 contenant < τ_{1}, τ_{2} > sont < σ_{1}, τ_{1}, τ_{2} > et < σ_{2}, τ_{1}, τ_{2} >. On en déduit que K contient exactement deux extensions cubiques de k_{0} non isomorphes et que ces corps sont non galoisiens et associés à des extension quadratiques différentes de k_{0}.

Corollaire. Soient k_{1} = ℚ(θ_{1}) et k_{2} = ℚ(θ_{2}) deux sous-corps cubiques non isomorphes contenus dans un corps K de degré 9 sur ℚ. Alors l’un au moins parmi les nombres θ_{1} + θ_{2}, θ_{1} − θ_{2}, θ_{1} + 2θ_{2} est élément primitif de l’extension K/ℚ .

3 Les tables et leur temps de calcul.

Dans un premier temps on a fixé la limite des tables. Pour les corps totalement réels on a fait en sorte que la table contienne le composé des deux corps cubiques abéliens de discriminants respectifs 49 et 81 et on a construit la table des corps imprimitifs de degré 9 de discriminant plus petit que 6 30000 00000 . Il y a exactement 27 tels corps et ils sont tous caractérisés, à isomorphismes près, par leur discriminant.

Pour les autres signatures, la longueur des tables a été déterminée en fonction du temps de calcul prévu. La table en signature (7,1) contient les 23 corps imprimitifs de discriminant plus grand que −70000 00000 et ils sont tous caractérisés par leur discriminant.

La table en signature (5,2) contient les 154 corps dont le discriminant est plus petit que 50000 00000 et pour 5 valeurs du discriminant on a trouvé un couple de corps non isomorphes.

Dans la table correspondant à la signature (3, 3)_{ℝ} il y a 223 corps de discriminant plus grand que −40000 00000 parmi lesquels il y a 3 couples et 3 quadruplets de corps non isomorphes de même discriminant.

Pour la même signature, dans la table (3, 3)_{ℂ}, il y a 200 corps de discriminant plus grand que −10000 00000 dont 2 couples de corps non isomorphes de même discriminant. Il convient de signaler ici que 7 corps de la table (3, 3)_{ℂ} font partie de la table (3, 3)_{ℝ} : il s’agit donc de corps de degré 9 qui contiennent en même temps un sous-corps cubique réel et un sous-corps cubique complexe.

Finalement, pour la signature (1,4) notre table contient les 485 corps de discriminant plus petit que 5000 00000 et parmi eux il y a 9 couples de corps non isomorphes de même discriminant.

Les calculs ont été effectués en plusieurs phases. Dans une première phase, on a cherché à éliminer le plus grand nombre possible de polynômes soit au moyen de la signature, soit en calculant explicitement la valeur de la constante T_{2}(θ) à partir des racines des polynômes relatifs (cette dernière opération est ce que nous appelons “éliminés par trace” dans le tableau II). Dans une deuxième phase on a testé l’irréductibilité des polynômes ayant été conservés. On a calculé ensuite le discriminant du corps en utilisant d’abord le critère de Dedekind puis, lorsque celui-ci ne permet pas de décider s’il faut garder ou rejeter le polynôme, nous avons utilisé la méthode “ROUND 2” pour calculer le discriminant du corps. Dans une troisième phase on a étudié les polynômes de degré 9 qui étaient le cube d’un polynôme de degré 3 de ℤ[X] et on a construit alors un élément primitif de K/ℚ à l’aide du corollaire du théorème 2. On a constaté que dans tous les cas le polynôme ainsi obtenu engendrait un corps isomorphe à un corps figurant déjà dans la table. Finalement, on a étudié l’existence d’isomorphismes entre corps de même discriminant.

Les calculs on été réalisés sur des stations de travail SPARC 1 et 2 et, sauf dans la première phase, on a largement utilisé le système de calcul PARI. Dans le tableau suivant, on donne des indications précises sur le temps de calcul CPU et sur le nombre de polynômes manipulés. On peut remarquer qu’en général, ce temps de calcul n’a été important que pour les phases I et II et c’est la raison pour laquelle nous avons indiqué aussi le type de station SPARC utilisée dans la phase correspondante. Précisons encore que tous les temps de calcul indiqués sont exprimés en minutes.

Tableau II

signature  (9,0)  (7,1)  (5,2)  (3, 3)_{ℝ} (3, 3)_{ℂ}  (1,4)
sous-corps  réel  réel  réel  réel  complexe complexe
polynômes traités 155 69964 12019 10861 8394 23372 6849 14826 5182 09760 2388 86137
éliminés par signature 154 87260 11837 70376 6452 51604 1023 53452 4702 04181 222 69560
éliminés par trace  *  180 78315 1939 58698 5219 12888 479 68716 2165 36090
polynômes restants  72674  62170  2 13070  2 81848  26086  72404
temps phase I  15 †  729 †  1742  4153  1273  4728
polynômes réductibles  30116  17972  16533  4334  10767 ‡  7644 ‡
critère de Dedekind  34500  35858  1 53190  2 16074  17640  47682
éliminés par round2  5448  6182  27094  36248  5260  14851
corps sauvés  2002  2058  16252  24704  3176  9589
temps phase II  698 †  993  7242  4709 †  927  1471 †
corps dans la table  27  23  154  223  200  485
temps total  792  1722  8984  8863  2200  6262

†Ces calculs ont été effectués sur une SPARC 2.

‡Ces calculs ont été effectués pendant la phase I.

4 Description de quelques corps des tables.

Parmi les corps de la table correspondant à la signature (9,0), celui de plus petit discriminant est une extension du corps cubique cyclique k_{1} = ℚ(α_{1}) de discriminant 49, où α_{1} est une racine du polynôme X^{3} + X^{2} − 2X − 1 ; le discriminant relatif de l’extension K/k_{1} est l’idéal premier 𝔭 = (138041, α_{1} + 113260) de k_{1}.

Le corps de discriminant 1 69835 63041 = 19^{8} est le sous-corps réel maximal du corps cyclotomique ℚ(ζ_{19}).

Dans la même table, le corps de discriminant 1 75152 30173 = 7^{6} · 53^{3} contient, en plus du corps cubique k_{1} le corps cubique de discriminant 2597 = 7^{2} · 53.

Le dernier corps de la table est le corps de discriminant 6 25235 02209 = 3^{12} · 7^{6}, corps abélien composé des corps cubiques k_{1} et k_{2} = ℚ(α_{2}) de discriminant 81 où α_{2} est racine du polynôme X^{3} − 3X − 1. Ce corps contient deux autres sous-corps cubiques qui sont les deux corps cubiques cycliques non isomorphes de discriminant 3969 = 3^{4} · 7^{2}.

Pour 5 corps de cette table la norme du discriminant relatif est un carré : d_{K_{1}} = 1 64403 05941 = 37^{2} · 229^{3} ; d_{K_{2}} = 1 69835 63041 = 19^{8} ; d_{K_{3}} = 3 13810 59609 = 3^{22} ; d_{K_{4}} = 3 67630 77169 = 7^{6} · 13^{2} · 43^{2} et d_{K_{5}} = 5 32866 43921 = 7^{6} · 673^{2} et on vérifie facilement que le discriminant relatif est, dans tous les cas, le carré d’un idéal du sous-corps respectif ; ce sont des sous-extensions des corps de classes de rayon de leur sous-corps cubique.

Dans la table correspondant à la signature (7,1) tous les corps, sauf un, contiennent le corps k_{1} comme sous-corps cubique et le corps de discriminant −45911 18799 = −3^{12}·53·163 est extension de k_{2}.

Le plus petit discriminant, en valeur absolue, est −26681 61671 = −7^{6} · 22679 dont le discriminant relatif est l’idéal 𝔭 = (22679, α_{1} − 28) de k_{1}.

Le plus petit discriminant dans la table correspondant aux corps de signature (5,2) est 4678 90073 = 7^{6} · 41 · 97 et le discriminant relatif est l’idéal 𝔮 = (41, α_{1} + 11)(97, α_{1} − 41) de k_{1}. Nous pouvons énoncer le résultat suivant :

Proposition 1. Parmi les corps de nombres imprimitifs de degré 9 et signature (5,2) dont le discriminant d appartient à l’intervalle 4678 90073 ≤ d ≤ 50000 00000 il existe un couple de corps non isomorphes de même discriminant pour les valeurs suivantes de d : 12090 78773 = 7^{6} · 43 · 239, 30175 79201 = 7^{6} · 13 · 1973, 31658 16941 = 7^{6} · 71 · 379, 40914 79273 = 7^{6} · 83 · 419 et 47945 49697 = 7^{6} · 83 · 491.

Démonstration. Les deux corps K_{1} et K_{2} de discriminant 12090 78773 sont engendrés, sur ℚ, par une racine du polynôme f_{1}(X) = X^{9}−2X^{8}+3X^{6}−6X^{5}+4X^{4}+2X^{3}−4X^{2}+4X −1 pour le premier et par une racine du polynôme f_{2}(X) = X^{9} − 3X^{8} + 2X^{7} + 3X^{6} − 14X^{5} + 47X^{4} − 71X^{3} + 30X^{2} + 12X − 8 pour le deuxième. Il est facile de vérifier que f_{1}(X) est irréductible (mod 11) et que, par contre, f_{2}(X) ≡ (X^{3} + 5X^{2} + 4X − 1)(X^{3} + X^{2} − X − 3)(X^{3} + 2X^{2} + 4X + 1) (mod 11).

Les corps K_{3} et K_{4} de discriminant 30175 79201 sont engendrés sur ℚ, respectivement, par des racines des polynomes f_{3}(X) = X^{9} − 4X^{8} + 8X^{7} − 13X^{6} + 5X^{5} + 28X^{4} − 41X^{3} + 11X^{2} + 5X − 1 et f_{4}(X) = X^{9} + 5X^{6} − 21X^{5} + 7X^{4} + 13X^{3} − 7X^{2} + 1. Or f_{3}(X) n’a pas de racines dans le corps 𝔽_{29} mais f_{4}(X) en a 5.

Les corps K_{5} et K_{6} de discriminant 31658 16941 sont engendrés par des racines des polynômes f_{5}(X) = X^{9} − 4X^{7} + 3X^{6} + 3X^{5} − 22X^{4} − 17X^{3} + 24X^{2} + 17X − 13 et f_{6}(X) = X^{9} − 7X^{7} + 2X^{6} + 7X^{5} − 35X^{4} − 50X^{3} + 14X^{2} + 42X + 13 et dans ces corps l’idéal 5ℤ_{K_{5}} est premier mais par contre 5ℤ_{K_{6}} ne l’est pas.

Dans les corps K_{7} et K_{8} de discriminant 40914 79273, engendrés par les racines de f_{7}(X) = X^{9} − 4X^{7} − 3X^{6} − 4X^{5} + X^{4} + 25X^{3} + 18X^{2} − 4X − 1 et f_{8}(X) = X^{9} − 4X^{8} + 11X^{6} − 3X^{5} − 13X^{4} + X^{3} + 8X^{2} + X − 1 l’idéal 23ℤ_{K_{7}} est premier mais 23ℤ_{K_{8}} ne l’est pas.

Finalement, les corps K_{9} et K_{10} de discriminant 47945 49697 engendrés par les racines de f_{9}(X) = X^{9} − X^{7} + 5X^{6} − 23X^{5} − 15X^{4} + 70X^{3} + 13X^{2} − 44X − 13 et f_{10} = X^{9} − 4X^{8} − X^{7} + 9X^{6} + 3X^{5} − 5X^{4} − 10X^{3} + X^{2} + 6X − 1 ne sont pas isomorphes car 11ℤ_{K_{9}} est premier et 11ℤ_{K_{10}} est un produit de trois idéaux premiers de degré résiduel 3.

Remarque. Au lieu d’utiliser la démonstration classique ci-dessus pour montrer l’existence de corps non isomorphes de même discriminant, on aurait pu remarquer tout simplement que les discriminants relatifs pour chaque couple de corps ont la même norme mais correspondent à des idéaux qui ne sont pas conjugués sur le corps cubique. A l’aide des polynômes relatifs donnés dans la table on vérifie que le discriminant relatif de l’extension K_{1}/k_{1} est l’idéal (43, α_{1} −8)(239, α_{1} +41) de ℤ_{k_{1}}, que le discriminant relatif de l’extension K_{2}/k_{1} est l’idéal (43, α_{1} − 8)(239, α_{1} − 6) et que ces idéaux ne sont pas conjugués sur ℚ.

De manière analogue on voit que le discriminant relatif de K_{3}/k_{1} est l’idéal (13, α_{1} + 6)(1973, α_{1} − 120) et celui de K_{4}/k_{1} est (13, α_{1} + 3)(1973, α_{1} − 120) ; le discriminant relatif de l’extension K_{5}/k_{1} est (71, α_{1} − 14)(379, α_{1} + 174) et celui de K_{6}/k_{1} est (71, α_{1} − 4)(379, α_{1} + 174).

Dans le cas des extensions K_{7} et K_{8} le discriminant relatif de K_{7}/k_{1} est (83, α_{1} − 10)(419, α_{1} + 134) et celui de K_{8}/k_{1} est (83, α_{1} − 15)(419, α_{1} − 196) ; or, si l’on pose σ(α_{1}) = −α_{1}^{2} −α_{1} +1, on voit facilement que σ est un automorphisme de k_{1} qui transforme (83, α_{1} − 10) en (83, α_{1} − 15), mais transforme (419, α_{1} + 134) en (419, α_{1} + 63), et les discriminants relatifs ne sont pas conjugués.

Finalement, le discriminant relatif de l’extension K_{9}/k_{1} est (83, α_{1} − 10)(491, α_{1} − 227) et celui de l’extension K_{10}/k_{1} est (83, α_{1} + 26)(491, α_{1} + 28) mais nous venons de voir que σ transforme (83, α_{1} − 10) en (83, α_{1} − 15) tandis que le même automorphisme transforme (491, α_{1} − 227) en (491, α_{1} + 28) ce qui montre que les discriminants relatifs ne sont pas non plus conjugués dans ce cas.

Corollaire. Il existe un couple de corps de nombres de degré 6 et signature (2,2) non isomorphes et de même discriminant pour les valeurs suivantes du discriminant 246 75077 = 7^{4} ·43·239, 615 84249 = 7^{4} ·13·1973, 646 0859 = 7^{4} ·71·379, 834 99577 = 7^{4} · 83 · 419 et 978 47953 = 7^{4} · 83 · 491. Tous ces corps sextiques ont un nombre de classes d’idéaux divisible par 3.

Démonstration. Les extensions quadratiques L_{1} et L_{2} de k_{1} associées par la théorie de Galois aux extensions K_{1}/k_{1} et K_{2}/k_{1} ont le même discriminant absolu d_{L_{1}} = d_{L_{2}} = 7^{4} · 43 · 239 mais des discriminants relatifs sur k_{1} différents. En désignant par N_{1} et N_{2} les clôtures galoisiennnes respectives de extensions K_{1}/k_{1} et K_{2}/k_{1} on sait que N_{1}/L_{1} et N_{2}/L_{2} sont non ramifiées aux places finies et, ces extensions étant cubiques, le nombre de classes de L_{1} et celui de L_{2} doivent être divisibles par 3. Le même raisonnement s’applique aux autres corps sextiques L_{i} associés aux extensions K_{i}/k_{1} pour i = 3, ⋯, 10. Les corps L_{1}, ⋯, L_{10} sont engendrés, respectivement, par une racine du polynôme

R_{1}(X) = X^{6} − 2X^{5} + 13X^{4} − 6X^{3} − 21X^{2} + 147X − 203

R_{2}(X) = X^{6} − 2X^{5} + 13X^{4} − 34X^{3} + 35X^{2} − 133X − 91
R_{3}(X) = X^{6} − 2X^{5} + 8X^{4} + 17X^{3} − 88X^{2} + 185X − 449
R_{4}(X) = X^{6} − 2X^{5} + 5X^{4} + 14X^{3} − 158X^{2} + 356X − 559
R_{5}(X) = X^{6} − 2X^{5} + 8X^{4} + 24X^{3} − 130X^{2} + 185X − 463
R_{6}(X) = X^{6} − X^{5} + 17X^{4} − 28X^{3} + 26X^{2} − 247X − 349
R_{7}(X) = X^{6} − X^{5} + 10X^{4} − 35X^{3} − 44X^{2} − 156X − 503
R_{8}(X) = X^{6} − X^{5} + 2X^{4} − 39X^{3} − 142X^{2} − 64X − 533
R_{9}(X) = X^{6} − 3X^{5} + 19X^{4} − 33X^{3} − 69X^{2} + 85X − 659
R_{10}(X) = X^{6} − X^{5} + 21X^{4} − 33X^{3} + 49X^{2} − 345X − 533.

Il y a 223 corps de nombres dans la table correspondant à la signature (3, 3)_{ℝ} et le corps de discriminant minimal est le corps de discriminant −1645 90951 = −7^{6} · 1399 extension relative de k_{1} de discriminant relatif (1399, α_{1} + 347).

Proposition 2. Parmi les corps de nombres imprimitifs de degré 9 et signature (3,3) qui contiennent un sous-corps cubique réel et dont le discriminant d appartient à l’intervalle −40000 00000 ≤ d ≤ −1645 90951 il existe un couple de corps non isomorphes de même discriminant pour les valeurs suivantes de d : −23156 852676 = −3^{9} · 7^{6}, −28386 35072 = −2^{6} · 7^{6} · 13 · 29 et − 33204 07727 = −7^{6} · 13^{2} · 167 et il existe un quadruplet de corps non isomorphes pour les valeurs suivantes de d : −20455 63163 = −7^{6}·17387, −21410 94151 = −7^{6}·18199 et −23867 45263 = −7^{6}·20287 .

Démonstration. Dans un des deux corps de discriminant −3^{9} · 7^{6} il y a un idéal de norme 43 mais pas dans l’autre. Dans un des corps de discriminant −2^{6} · 7^{6} · 13 · 29 il n’y a qu’un idéal premier au-dessus de 37 et il y en a trois de degré résiduel 3 dans l’autre. Dans un des corps de discriminant −7^{6} · 13^{2} · 167 il y a un seul idéal premier au-dessus de 19 et il y trois de degré résiduel 3 dans l’autre.

Désignons par K_{1}, K_{2}, K_{3}, K_{4} les quatre corps de même discriminant dans l’ordre dans lequel ils apparaissent dans la table, pour chacune des valeurs du discriminant où il y a un quadruplet de corps non isomorphes. On a alors la décomposition suivante dans les différents corps (les indices désignent les degrés résiduels des idéaux) :

Pour d = −20455 63163 on a :

11ℤ_{K_{1}} = 𝔭_{3}𝔭′_{3}𝔭′′_{3} mais 11ℤ_{K_{2}}, 11ℤ_{K_{3}} et 11ℤ_{K_{4}} sont des idéaux premiers ;
17ℤ_{K_{2}} = 𝔭_{3}𝔭′_{3}𝔭′′_{3} mais 17ℤ_{K_{1}}, 17ℤ_{K_{3}} et 17ℤ_{K_{4}} sont des idéaux premiers ;
19ℤ_{K_{4}} = 𝔭_{3}𝔭′_{3}𝔭′′_{3} mais 19ℤ_{K_{1}}, 19ℤ_{K_{2}} et 19ℤ_{K_{3}} sont des idéaux premiers.

Pour d = −21410 94151 on a :

17ℤ_{K_{3}} = 𝔭_{3}𝔭′_{3}𝔭′′_{3} mais 17ℤ_{K_{1}}, 17ℤ_{K_{2}} et 17ℤ_{K_{4}} sont des idéaux premiers ;
47ℤ_{K_{4}} = 𝔭_{3}𝔭′_{3}𝔭′′_{3} mais 47ℤ_{K_{1}}, 47ℤ_{K_{2}} et 47ℤ_{K_{3}} sont des idéaux premiers ;

103ℤ_{K_{1}} = 𝔭_{3}𝔭′_{3}𝔭′′_{3} mais 103ℤ_{K_{2}}, 103ℤ_{K_{3}} et 103ℤ_{K_{4}} sont des idéaux premiers.

Pour d = −23867 45263 on a :

19ℤ_{K_{1}} = 𝔭_{3}𝔭′_{3}𝔭′′_{3} mais 19ℤ_{K_{2}}, 19ℤ_{K_{3}} et 19ℤ_{K_{4}} sont des idéaux premiers ;
31ℤ_{K_{2}} = 𝔭_{3}𝔭′_{3}𝔭′′_{3} mais 31ℤ_{K_{1}}, 31ℤ_{K_{3}} et 31ℤ_{K_{4}} sont des idéaux premiers ;
37ℤ_{K_{3}} = 𝔭_{3}𝔭′_{3}𝔭′′_{3} mais 37ℤ_{K_{1}}, 37ℤ_{K_{2}} et 37ℤ_{K_{4}} sont des idéaux premiers.

Corollaire. Les trois corps sextiques

L_{1} = ℚ(β_{1}), L_{2} = ℚ(β_{2}), L_{3} = ℚ(β_{3})

de discriminant d_{L_{1}} = −41746187 = −7^{4} · 17387, d_{L_{2}} = −43695799 = −7^{4} · 18199, d_{L_{3}} = −48709087 = −7^{4} · 20287 où β_{1}, β_{2}, β_{3} sont, respectivement, des racines des polynômes

\begin{aligned}R_{1}(X) & = X^{6} − 2X^{5} + 20X^{4} − 27X^{3} + 140X^{2} − 98X + 343, \\ R_{2}(X) & = X^{6} − X^{5} + 19X^{4} − 13X^{3} + 133X^{2} − 49X + 343, \\ R_{3}(X) & = X^{6} − X^{5} + 20X^{4} − 9X^{3} + 142X^{2} − 18X + 377 \end{aligned}

ont un groupe des classes d’idéaux isomorphe à C_{3} × C_{3}.

Démonstration. Ces corps sextiques sont des extensions quadratiques du corps cubique k_{1} de discriminant 49 et sont associés aux quadruplets d’extensions cubiques de k_{1} de même discriminant relatif . La clôture galoisienne de chaque corps de degré 9 d’un quadruplet de corps non isomorphes de même discriminant est une extension cubique relative non ramifiée, y compris à l’infini, d’un de ces corps sextiques. Puisque nous avons quatre extensions relatives non ramifiées pour chaque corps sextique, d’après la théorie du corps de classes, le groupe de classes d’idéaux de ces corps doit avoir un 3-rang égal à 2. Pour calculer la valeur du nombre de classes d’idéaux de ces trois corps sextiques, nous avons utilisé le système KANT [14] et nous avons trouvé que dans tous les cas le groupe de classes était exactement C_{3} × C_{3}.

Un certain nombre de corps dans cette table contiennent aussi un sous-corps cubique complexe et ils figurent dans la table des corps de signature (3, 3)_{ℂ} ; dans la limite de celle-ci. Nous donnons la liste de ces corps dans le tableau III suivant, en indiquant le discriminant de ces corps et sa factorisation, ainsi que les discriminants des sous-corps cubiques qu’ils contiennent.

Ces corps sont particulièrement intéressants parce qu’ils donnent des renseignements sur le nombre de classes d’idéaux de certains corps cubiques complexes. On remarquera tout d’abord en examinant la table des corps de signature (3, 3)_{ℂ} que parmi les 7 corps qu’elle possède en commun avec la table (3, 3)_{ℝ}, il y en a 6 pour lesquels la norme du discriminant relatif vaut 1. Pour trois autres corps du tableau III dont le discriminant n’est pas dans les limites de la table (3, 3)_{ℂ} on peut vérifier que le discriminant du corps de degré 9 est le cube du discriminant du sous-corps cubique complexe qu’il contient et que, par conséquent, le discriminant relatif de cette extension relative est de norme égale à 1. Il est clair que ces sous-corps cubiques complexes doivent avoir un nombre de classes d’idéaux divisible par 3.

Une comparaison avec la table de corps cubiques de Angell [1] montre que parmi les corps cubiques complexes de discriminant plus grand que −(4 · 10^{9})^{1/3} qui ont un nombre de classes divisible par 3, seuls les trois corps non isomorphes de discriminant -1228 ne figurent pas dans le tableau III. Il est néanmoins facile de vérifier que les corps de degré 9 de discriminant −1228^{3} ne peuvent pas contenir de sous-corps cubique réel et se trouvent en dehors des limites de la table (3, 3)_{ℂ}. Lorsque le sous-corps cubique réel est abélien, le corps K (avec les notations du tableau III) est une extension cubique cyclique du corps k_{2}.

Tableau III

d_{k_{1}}  d_{k_{2}}  d_{K}  Factorisation de d_{K}
49  -588  -2032 97472  −2^{6} · 3^{3} · 7^{6}
81  -648  -2720 97792  −2^{9} · 3^{12}
169  -676  -3089 15776  −2^{6} · 13^{6}
81  -891  -7073 47971  −3^{12} · 11^{3}
49  -931  -8069 54491  −7^{6} · 19^{3}
81  -108  -9183 30048  −2^{6} · 3^{15}
49  -980  -9411 92000  −2^{6} · 5^{3} · 7^{6}
81  -243  -11622 61467  −3^{19}
361  -1083  -12702 38787  −3^{3} · 19^{6}
49  -23  -14314 35383  −7^{6} · 23^{3}
49  -1176  -16263 79776  −2^{9} · 3^{3} · 7^{6}
81  -135  -17936 13375  −3^{15} · 5^{3}
49  -1323  -23156 85267  −3^{9} · 7^{6}
81  –324  -27549 90144  −2^{6} · 3^{16}
49  -31  -35048 81359  −7^{6} · 31^{3}
321  -107  -35391 49227  −3^{3} · 107^{4}

Signalons encore que parmi les deux corps non isomorphes de discriminant −23156 85267 un seul contient un sous-corps cubique complexe.

La table des corps de signature (3, 3)_{ℂ} contient 200 corps de nombres et le corps de plus petit discriminant en valeur absolue est le corps K de discriminant −1108 52311 = −31^{3}·61^{2} extension du corps cubique k_{4} de discriminant -31. Le discriminant relatif de l’extension K/k_{4} est l’idéal (61, α_{4} −24)^{2} où α_{4} est une racine du polynôme X^{3} +X −1 et k_{4} = ℚ(α_{4}).

Proposition 3. Parmi les corps de nombres imprimitifs de degré 9 et signature (3,3) qui contiennent un sous-corps cubique complexe dont le discriminant appartient à l’intervalle −10000 00000 ≤ d ≤ −1108 52311 il existe un couple de corps non isomorphes de même discriminant pour les valeurs suivantes du discriminant : −5235 82511 = −23^{4} · 1871 et −8759 38831 = −23^{3} · 71993.

Démonstration. Notons K_{1} et K_{2}, respectivement, le premier et le deuxième corps de la table de discriminant −5235 82511. En factorisant (mod 11) les polynômes donnés dans la table comme générateurs pour ces corps on déduit que 11ℤ_{K_{1}} = 𝔭_{1}𝔭_{2}𝔭′_{2}𝔭_{4} et que 11ℤ_{K_{2}} = 𝔭_{3}𝔭_{6} où les indices des idéaux désignent leur degré résiduel.

De manière analogue, pour les corps K_{3} et K_{4} de discriminant −8759 38831 on obtient 5ℤ_{K_{3}} = 𝔭_{1}𝔭_{2}𝔭′_{2}𝔭′′_{2}𝔭′′′_{2} et 5ℤ_{K_{4}} = 𝔭_{1}𝔭_{2}𝔭_{6} ce qui démontre que ces corps ne sont pas isomorphes.

Corollaire 1. Il y a un couple de corps sextiques de signature (2,2) non isomorphes de discriminant 227 64457 = 23^{3} · 1871 et un autre couple de corps non isomorphes de discriminant 380 84297 = 23^{2} · 71993. Ces quatre corps sextiques ont un nombre de classes d’idéaux divisible par 3.

Démonstration. Ces corps sextiques sont des extensions quadratiques du corps cubique de discriminant -23 et ils sont associés aux deux couples de corps de degré 9 dont les discriminants ont été indiqués dans la proposition 3. On peut vérifier que le premier des deux corps sextiques de discriminant 227 64457 est engendré par une racine du polynôme X^{6} −2X^{5} −22X^{4} +21X^{3} +114X^{2} +185X −809 et le deuxième par une racine du polynôme X^{6} − 29X^{4} − 8X^{3} + 262X^{2} + 116X − 605.

En ce qui concerne les corps de discriminant 380 84297, le premier est engendré par une racine du polynôme X^{6} − X^{5} − 31X^{4} + 25X^{3} + 313X^{2} − 197X − 1219 et le deuxième par une racine de X^{6} − 2X^{5} − 27X^{4} + 50X^{3} + 286X^{2} − 292X − 1127.

Comme nous l’avons déjà indiqué dans des démonstrations précédentes, la clôture galoisienne de ces corps sextiques est une extension relative non ramifiée aux places finies d’où l’on déduit que 3 doit diviser le nombre de classes d’idéaux de ces corps.

Le discriminant minimal des corps de degré 9 contenant un sous-corps cubique et de signature (1,4) est 322 06049 = 23^{3} · 2647. Le corps K ayant ce discriminant est une extension cubique du corps cubique k_{3} de discriminant -23 engendré sur ℚ par une racine α_{3} du polynôme X^{3}+X^{2}−1. Le discriminant relatif de l’extension K/k_{3} est l’idéal premier (2647, α_{3} + 143).

Ce corps, ainsi que les deux corps suivants de la table de discriminant 338 60761 = 11^{2} · 23^{4} et 350 28793 = 23^{3} · 2879, sont euclidiens pour la norme et ils ont été découverts par Leutbecher [15].

Proposition 4. Parmi les corps de nombres imprimitifs de degré 9 et signature (1,4) dont le discriminant appartient à l’intervalle 322 06049 ≤ d ≤ 5000 00000 il y a 9 couples de corps non isomorphes de même discriminant. La valeur de ces discriminants est : 949 87769 = 23^{3}·37·211, 1540 22053 = 23^{3}·12659, 2297 49461 = 23^{4}·821, 2468 44096 = 2^{6} · 23^{3} · 317, 3298 45952 = 2^{6} · 31^{3} · 173, 3515 16797 = 23^{3} · 167 · 173, 3618 83081 = 7^{2} · 23^{3} · 607, 3698 76800 = 2^{6} · 5^{2} · 19 · 23^{3}, et 4744 81257 = 3 · 31^{3} · 5309

Démonstration. Les indices des idéaux premiers indiquant toujours leur degré résiduel, nous donnons pour chaque couple de corps de même discriminant un nombre premier et le produit des idéaux premiers au-dessus de ce nombre premier dans les deux corps : pour d = 949 87769 on a (7) = 𝔭_{2}𝔭_{3}𝔭_{4} dans un corps et (7) = 𝔭_{1}𝔭_{2}𝔭_{6} dans l’autre ; pour d = 1540 22053 on a (5) = 𝔭_{3}𝔭_{6} dans un corps et (5) = 𝔭_{1}𝔭_{2}𝔭′_{2}𝔭_{4} dans l’autre ; pour d = 2297 49461 on a (11) = 𝔭_{3}𝔭_{6} dans un corps et (11) = 𝔭_{1}𝔭_{2}𝔭′_{2}𝔭_{4} dans l’autre ; pour d = 2468 44096 on a (5) = 𝔭_{1}𝔭_{2}𝔭_{6} dans un corps et (5) = 𝔭_{2}𝔭_{3}𝔭_{4} dans l’autre ; pour d = 3298 45952 on a (7) = 𝔭_{3}𝔭′_{3}𝔭′′_{3} dans un corps et (7) = 𝔭_{9} dans l’autre ; pour d = 3515 16797 on a (5) = 𝔭_{3}𝔭_{6} dans un corps et (5) = 𝔭_{1}𝔭_{2}𝔭′_{2}𝔭_{4} dans l’autre ; pour d = 3618 83081 on a (7) = 𝔭_{1}𝔭_{2}^{2}𝔭′_{2}𝔭′′_{2} dans un corps et (7) = 𝔭_{1}^{3}𝔭_{6} dans l’autre ; pour d = 3698 76800 on a (17) = 𝔭_{1}𝔭_{2}𝔭′_{2}𝔭_{4} dans un corps et (17) = 𝔭_{3}𝔭_{6} dans l’autre ; pour d = 4744 81257 on a (3) = 𝔭_{1}^{2}𝔭′_{1}𝔭_{6} dans un corps et (3) = 𝔭_{1}^{2}𝔭′_{1}𝔭_{2}𝔭_{4} dans l’autre.

Corollaire. Il y a un couple de corps de degré 6 totalement imaginaires non isomorphes et de même discriminant pour les valeurs suivantes du discriminant : −41 29903 = 23^{2}·37·211, −66 96611 = 23^{2}·12659, −99 89107 = 23^{3}·821, −106 40192 = 2^{6} ·31^{2} ·173, −107 32352 = 2^{6} ·23^{2} ·317, −152 83339 = 23^{2} ·167·173 et −153 05847 = 3 · 31^{2} · 5309. Le nombre de classes de tous ces corps sextiques est divisible par 3.

Démonstration. La démonstration est analogue à celle donnée précédemment et nous nous limitons à indiquer, pour chaque corps sextique, un polynôme irréductible permettant de l’engendrer : X^{6} − 8X^{4} − 10X^{3} + 3X^{2} + 80X + 133 et X^{6} − 2X^{5} + 15X^{4} − 15X^{3} + 70X^{2} − 32X + 136 engendrent deux corps de discriminant −41 29903 ; X^{6} − X^{5} + 21X^{4} − 8X^{3} + 123X^{2} + 22X + 215 et X^{6} + 17X^{4} − X^{3} + 104X^{2} − 9X + 211 engendrent deux corps non isomorphes de discriminant −66 96611 ; X^{6} +19X^{4} −5X^{3} +132X^{2} −31X +317 et X^{6} −3X^{5} +21X^{4} −30X^{3} +123X^{2} −146X +335 engendrent deux corps non isomorphes de discriminant −99 89107 ; X^{6} +9X^{4} +60X^{2} +173 et X^{6} +11X^{4} +79X^{2} +173 engendrent deux corps non isomorphes de discriminant −106 40192 ; X^{6} +19X^{4} +135X^{2} +317 et X^{6} −4X^{4} −49X^{2} +317 engendrent deux corps non isomorphes de discriminant −107 32352 ; X^{6}−X^{5}+22X^{4}−24X^{3}+164X^{2}−168X+425 et X^{6}−3X^{5}−10X^{4}+25X^{3}−26X^{2}+13X+449 engendrent deux corps non isomorphes de discriminant −152 83339 ; X^{6} − X^{5} + 15X^{4} − 13X^{3} + 111X^{2} − 79X + 299 et X^{6} − 2X^{5} + 19X^{4} − 11X^{3} + 126X^{2} + 248 engendrent deux corps non isomorphes de discriminant −153 05847 ;

Remarque. Aux deux corps de degré 9 de discriminant 3618 83081 sont associés des corps sextiques qui n’ont pas le même discriminant. Pour l’un de ces corps le discriminant relatif sur k_{3} est l’idéal (7, α_{3}^{2} + 4α_{3} + 5)(607, α_{3} + 184) et le discriminant absolu du corps sextique associé vaut −157 34047. Ce corps est engendrée sur ℚ par une racine du polynôme X^{6} − 2X^{5} + 21X^{4} − 45X^{3} + 192X^{2} − 188X + 488. Le discriminant relatif de l’autre extension de degré 9 de même discriminant est l’idéal (7, α_{3} + 4)^{2}(607, α_{3} + 184) et l’extension quadratique relative de k_{3} associée dont le discriminant absolu égal à −3 21103 est engendrée par une racine de X^{6} − 3X^{5} + 7X^{4} − 9X^{3} + 11X^{2} − 7X + 11.

De même, pour l’un des corps de discriminant 3698 76800, le discriminant relatif est l’idéal (2)^{2}(5, α_{3}^{2} − α_{3} + 2)(19, α_{3} + 3) de k_{3} et l’extension sextique associée, de discriminant −160 81600, est engendrée par une racine de X^{6} − 4X^{4} − 65X^{2} + 475 tandis que le discriminant relatif de l’autre corps est l’idéal (2)^{2}(5, α_{3} + 2)^{2}(19, α_{3} + 3) ; le discriminant de l’extension sextique correspondante, qui est engendrée par une racine de X^{6} − 3X^{5} + 4X^{4} − 4X^{3} + 3X^{2} − X + 1, égal à −10051

Nous terminons ce paragraphe par l’énoncé d’un théorème dont la démonstration est immédiate :

Théorème 3. A chaque corps K de degré 9 figurant dans les tables dont le discriminant relatif δ de l’extension K/k n’est pas divisible par le carré d’un idéal premier du corps cubique k on peut associer un corps L de degré 6 contenant k de discriminant |d_{L}| = d_{k}^{2} · N_{k/ℚ}(δ). Le nombre de classes d’idéaux du corps L est divisible par 3.

5 Groupes de Galois.

Soit K = ℚ(θ) un corps de nombres de degré 9 imprimitif et notons Γ le groupe de Galois de la clôture galoisienne de K/ℚ. L’action de Γ sur θ permet de considérer le groupe de Galois comme un groupe transitif de permutations de degré neuf ; nous dirons alors que K est de type Γ. La liste de tous les groupes transitifs est connue jusqu’au degré onze [6] : on sait qu’à conjugaison près, il y a 34 groupes transitifs en degré 9 dont 23 sont imprimitifs, et parmi eux, 12 sont pairs. Dans ce qui suit, nous utilisons les notations de [6] ; ainsi, nous désignons par T_{5}^{+} le groupe T_{5} dans la table de [6], l’exposant ^{+} signifiant que ce groupe est pair, et que par conséquent, le discriminant de K est un carré.

La proposition suivante est due à Y. Eichenlaub (communication privée).

Proposition 5. Dans chaque signature, les groupes de Galois possibles pour les corps imprimitifs de degré 9 sont :

(9, 0) : T_{1}^{+}, T_{2}^{+}, T_{3}^{+}, T_{4}, T_{5}^{+}, T_{6}^{+}, T_{7}^{+}, T_{8}, T_{10}^{+}, T_{11}^{+}, T_{12}, T_{13},
T_{17}^{+}, T_{18}, T_{20}, T_{21}^{+}, T_{22}, T_{24}, T_{25}^{+}, T_{28}, T_{29}, T_{30}^{+}, T_{31}
(7, 1) : T_{28}, T_{31}
(5, 2) : T_{25}^{+}, T_{28}, T_{29}, T_{30}^{+}, T_{31}
(3, 3) : T_{4}, T_{8}, T_{12}, T_{13}, T_{18}, T_{20}, T_{22}, T_{24}, T_{28}, T_{29}, T_{31}
(1, 4) : T_{3}^{+}, T_{5}^{+}, T_{8}, T_{10}^{+}, T_{11}^{+}, T_{18}, T_{21}^{+}, T_{24}, T_{30}^{+}, T_{31}

Dans le diagramme ci-dessous nous représentons le sup-demi treillis des groupes transitifs imprimitifs impairs de degré 9, et nous indiquons dans la colonne de droite l’ordre de ces groupes (les liens entre eux symbolisent les inclusions à conjugaison près par des éléments de S_{9}, et les nombres figurant sur ces liens désignent le nombre d’inclusions qui existent à conjugaison près).

Le groupe transitif imprimitif de degré 9 maximal est T_{31}, d’ordre 1296.

[figure: \begin{aligned}& T_{34}(S_{9}) & & 362880 \\ & T_{31} & & 1296 \\ T_{29} & & T_{28} & 648 \\ & T_{24} & & 324 \\ T_{20} & & T_{22} & 162 \\ & T_{18} & & 108 \\ T_{12} & & T_{13} & 54 \\ & T_{8} & & 36 \\ & T_{4} & & 18 \end{aligned}; 1; 1; 1; 4; 4; 1; 1; 1; 1; 3; 1; 3; 1; 9; 3; 2]

Pour calculer le groupe de Galois de chaque polynôme de degré 9 figurant dans les tables on a utilisé la méthode des résolvantes relatives (cf. [13] et [22]), basée sur le principe suivant : soient G un sous-groupe transitif de degré n de S_{n}, et H un sous-groupe de G ; on appelle H-polynôme relatif à G, un polynôme F (X_{1}, ⋯, X_{n}) ∈ ℤ[X_{1}, ⋯, X_{n}] tel que

H = {σ ∈ G | F (X_{σ(1)}, ⋯, X_{σ(n)}) = F (X_{1}, ⋯, X_{n})} .

Si les conjugués de θ dans ℂ sont θ_{1}, ⋯, θ_{n}, la G-résolvante relative à H associée à F est le polynôme

R_{(G,H,F)}(Y) = ∏_{σ∈A} (Y − F (θ_{σ(1)}, ⋯, θ_{σ(n)})) ,

où A est un système complet de représentants des classes à droite de G modulo H (la classe de π ∈ G est πH).

On calcule des G-polynômes relatifs pour chaque branche du diagramme représentant le sup-demi treillis des groupes transitifs imprimitifs impairs (resp. pairs) (cf. [22]). Avec les notations ci-dessus, on a le résultat suivant :

Proposition 6. Supposons que pour un ordre (θ_{1}, ⋯, θ_{n}) des racines du polynôme définissant le corps K sur ℚ, le groupe de Galois Γ soit inclus dans G. Alors

(1) σ ∈ G et F (θ_{σ(1)}, ⋯, θ_{σ(n)}) ∉ ℤ impliquent σ^{−1}Γσ ⊄ H,

(2) si F (θ_{σ(1)}, ⋯, θ_{σ(n)}) ∈ ℤ et si cet entier est racine simple de R_{(G,H,F)}, alors σ^{−1}Γσ ⊂ H.

La répartition des groupes de Galois des corps imprimitifs de degré 9 figurant dans les tables est, selon la signature :

(9, 0) : 2 corps sont de type T_{1}^{+} = C_{9}, 1 est de type T_{2}^{+} = C_{3}^{2}, 1 de type T_{4} = C_{3} × S_{3}, 2 de type T_{17}^{+}, 1 de type T_{20}, 19 de type T_{28} et 1 de type T_{31}.

(7, 1) : tous les corps sont de type T_{28}.

(5, 2) : 148 corps sont de type T_{28} et 6 de type T_{31}.

(3, 3) (sous-corps cubique réel) : 15 corps sont de type T_{4} = C_{3} × S_{3}, 1 de type T_{8} = C_{3}^{2} ⋊ C_{3}^{2}, 1 de type T_{13}, 2 de type T_{18}, 3 de type T_{22}, 189 de type T_{28}, et 12 de type T_{31}.

(3, 3) (sous-corps cubique complexe) : 7 corps sont de type T_{4} = C_{3} × S_{3}, 5 de type T_{12}, 31 de type T_{20}, 1 de type T_{29}, et 156 de type T_{31}. Les 7 corps de type T_{4} sont ceux qui contiennent à la fois un corps cubique réel et un corps cubique complexe.

(1, 4) : 1 corps est de type T_{8} = C_{3}^{2} ⋊ C_{3}^{2}, 2 de type T_{18}, 1 de type T_{24}, 2 de type T_{30}^{+}, et 479 de type T_{31}.

On obtient donc les discriminants minima des corps de degré 9 imprimitifs qui réalisent certains groupes transitifs :

Proposition 7. Pour les groupes transitifs imprimitifs de degré 9 suivants, les discriminants minima (en valeur absolue) selon la signature, sont :

(9, 0) : 1 69835 63041 pour le type T_{1}^{+}, 6 25235 02209 pour le type T_{2}^{+}, 1 75152 30173 pour le type T_{4}, 3 67630 77169 pour le type T_{17}^{+}, 1 64403 05941 pour le type T_{20}, 1 62403 85609 pour le type T_{28} et 5 30389 58912 pour le type T_{31}.

(7, 1) : −26681 61671 pour le type T_{28}.

(5, 2) : 4678 90073 pour le type T_{28} et 12999 58592 pour le type T_{31}.

(3, 3) : −2032 97472 pour le type T_{4}, −35391 49227 pour le type T_{8}, −3573 66875 pour le type T_{12}, −23156 85267 pour le type T_{13}, −11119 34656 pour le type T_{18}, −1108 52311 pour le type T_{20}, −12724 91584 pour le type T_{22}, −1645 90951 pour le type T_{28}, −5624 19575 pour le type T_{29} et −1471 84199 pour le type T_{31}.

(1, 4) : 3624 67097 pour le type T_{8}, 2394 83061 pour le type T_{18}, 4497 28821 pour le type T_{24}, 338 60761 pour le type T_{30}^{+} et 322 06049 pour le type T_{31}.

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