L’ETAT DE LA RECHERCHE

INTRODUCTION AU LANGAGE DE LA THÉORIE DES NOMBRES

F. Diaz y Diaz

CH.I : PRELIMINAIRES.

1.- Corps de nombres.

Définition. Un corps de nombres K est une extension algébrique de ℚ que, en tant que ℚ-espace vectoriel, est de dimension finie n.

On dit que n est le degré de l’extension et on écrit n = [K : ℚ].

La définition de K montre que tout élément α ∈ K est racine d’un polynôme unitaire irréductible P_{α} ∈ ℚ[X] de degré n_{α} ≤ n. Ce polynôme est appelé le polynôme minimal de α. En fait, il est facile de prouver que l’on a n_{α}|n ∀α ∈ K.

Un théorème fondamental est le suivant :

Théorème 1 (Théorème de l’élément primitif). Soit K un corps de nombres. Il existe α ∈ K tel que d^{0}P_{α} = n = [K : ℚ].

Un élément α ∈ K ayant la propriété décrite dans le théorème 1 est appelé un élément primitif de l’extension K/ℚ et on écrit K = ℚ(α). Les éléments 1, α, α^{2}, …, α^{n−1} forment une base de K en tant que ℚ-espace vectoriel et tout nombre β ∈ K peut s’exprimer comme combinaison linéaire à coefficients dans ℚ des éléments de cette base.

Si α ∈ K est un élément primitif, notons α_{1}, …, α_{n} les racines dans ℂ du polynôme P_{α}. Pour chaque indice i = 1, …, n, l’application ℚ-linéaire de K dans ℂ définie par

σ_{i} : α ⟼ α_{i}

est un homomorphisme injectif de corps. Les corps K_{i} = ℚ(α_{i}) ⊂ ℂ sont appelés les conjugués du corps K et les nombres α_{1}, …, α_{n} les conjugués de α. De manière analogue, si β ∈ K s’écrit sous la forme β = a_{1} +a_{2}α+⋯+a_{n}α^{n−1}, a_{i} ∈ ℚ, on appelle les nombres β_{i} = a_{1} + a_{2}α_{i} + ⋯ + a_{n}α_{i}^{n−1} i = 1, …, n les conjugués de β.

Les conjugués d’un élément primitif sont deux à deux distincts. Parmi eux, un certain nombre que l’on note r_{1}, sont des nombres réels. Le reste, dont on note le nombre 2r_{2}, est formé de couples de nombres complexes conjugués. On a l’habitude d’ordonner les conjugués de α de manière à ce que α_{1}, …, α_{r_{1}} soient les conjugués réels, α_{r_{1}+1}, …, α_{r_{1}+r_{2}} sont à choisir dans chaque couple de conjugués complexes et, finalement, on pose α_{r_{1}+r_{2}+i} = \overline{α_{r_{1}+i}} i = 1, …, r_{2}.

Le couple (r_{1}, r_{2}) est un invariant du corps K en ce sens que deux éléments primitifs de K ont le même nombre de conjugués réels et le même nombre de conjugués complexes. Un corps de signature (0, n/2) est appelé totalement imaginaire et un corps de signature (n, 0) est appelé totalement réel. En tout cas on a toujours l’égalité n = r_{1} + 2r_{2}. Par la suite, pour éviter de confondre plusieurs éléments du corps avec les conjugués d’un élément on utilisera de préférence la notation σ_{i}(α) pour désigner les conjugués de α.

Un des premiers problèmes que l’on rencontre en Théorie des Nombres est celui de la détermination de la signature d’un corps K.

Si l’on dispose du polynôme irréductible et unitaire P_{α}(X) correspondant à un élément primitif α du corps, c’est à dire, tel que P_{α}(α) = 0 et K = ℚ(α), on peut déterminer la signature de K en calculant les racines de P_{α}(X), ce qui présente l’avantage de donner en même temps tous les conjugués de α. Or, cette méthode donne beaucoup plus d’information et exige aussi beaucoup plus de temps de calcul.

Un algorithme efficace qui donne seulement la signature d’un polynôme est l’algorithme de Sturm basé sur le principe suivant :

Soit P (X) ∈ ℝ[X] un polynôme sans facteurs carrés; on désigne par l(P) le coefficient dominant de P.

Théorème 2 (Sturm). On pose A_{0} = P , A_{1} = P′. Pour i = 1, …, k, soient e_{i} et f_{i} des entiers positifs tels que

e_{i}A_{i−1} = Q_{i}A_{i} − f_{i}A_{i+1}.

Alors le nombre de racines réelles de P (X) est la différence entre le nombre de changements de signe de la suite

(−1)^{d_{0}}l(A_{0}), …, (−1)^{d_{k+1}}l(A_{k+1})

et ceux de la suite

l(A_{0}), …, l(A_{k+1}).

Pour tout élément β ∈ K^{∗} on définit sa trace et sa norme par

\begin{matrix}Tr_{K/ℚ}(β) = & σ_{1}(β) + σ_{2}(β) + ⋯ + σ_{n}(β) \\ N_{K/ℚ}(β) = & σ_{1}(β) · σ_{2}(β) ⋯ σ_{n}(β) \end{matrix}

qui sont des éléments de ℚ.

Les propriétés essentielles de la trace et la norme sont :

Proposition 3. On a :

(1) Tr_{K/ℚ}(α + β) = Tr_{K/ℚ}(α) + Tr_{K/ℚ}(β) ∀α, β ∈ K

(2) Tr_{K/ℚ}(aα) = a Tr_{K/ℚ}(α) ∀a ∈ ℚ, ∀α ∈ K

(3) Tr_{K/ℚ}(1) = n

(4) N_{K/ℚ}(αβ) = N_{K/ℚ}(α)N_{K/ℚ}(β) ∀α, β ∈ K (5) N_{K/ℚ}(aα) = a^{n}N_{K/ℚ}(α) ∀a ∈ ℚ, ∀α ∈ K

(6) N_{K/ℚ}(1) = 1.

On appelle polynôme caractéristique de β ∈ K le polynôme

P (X) = ∏_{i=1}^{n}(X − β_{i}).

C’est un polynôme unitaire et il est irréductible si et seulement si β est un élément primitif de K. Dans tous les cas, le polynôme caractéristique d’un élément du corps est une puissance de son polynôme minimal.

Considérons une famille arbitraire de n éléments α_{1}, …, α_{n} du corps K.

Définition. On appelle discriminant du système (α_{1}, …, α_{n}) ∈ K^{n} le nombre (rationnel)

d(α_{1}, …, α_{n}) = dét(σ_{i}(α_{j}))^{2} = dét(Tr_{K/ℚ}(α_{i}α_{j})).

Théorème 4. On a d(α_{1}, …, α_{n}) = 0 si et seulement si les α_{i} sont linéairement dépendants sur ℚ .

On appelle plongement canonique de K dans ℝ^{n} le ℚ-isomorphisme d’espaces vectoriels

\begin{matrix}K & ⟶ ℝ^{n} \\ α & ⟼ (σ_{1}(α), …, σ_{r_{1}}(α), ℜ(σ_{r_{1}+1}(α)), ℑ(σ_{r_{1}+1}(α)), …, ℜ(σ_{r_{1}+r_{2}}(α)), ℑ(σ_{r_{1}+r_{2}}(α))). \end{matrix}

2.- Les entiers du corps.

On note ℤ_{K} l’ensemble des éléments α ∈ K ayant un polynôme unitaire minimal P_{α} ∈ ℤ[X]. On démontre que ℤ_{K} est un anneau appelé l’anneau des entiers de K. C’est un ℤ-module libre de rang maximal n. Toute base de ℤ_{K} en tant que ℤ-module est appelée, par abus de langage, une base d’entiers de K. Toute base d’entiers de K est base de K en tant qu’espace vectoriel sur ℚ, mais une base formée d’entiers de K n’est pas nécessairement une base d’entiers de K.

La détermination explicite d’une base d’entiers du point de vue algorithmique est un problème difficile dans le cas général. Actuellement on dispose de deux algorithmes très performants pour construire une base d’entiers d’un corps qui sont ROUND2 qui utilise essentiellement des méthodes d’algèbre linéaire et qui est efficace pour les corps de petit degré et ROUND4, de nature plus algébrique et, en général, plus efficace pour étudier les corps de degré élévé. Ces deux algorithmes ont été inventés par H. Zassenhauss et améliorés depuis par M. Pohst, D. Ford et P. Létard.

Si α_{1}, …, α_{n} est une base d’entiers de K, on désigne par d_{K} = d(α_{1}, …, α_{n}) le discriminant du système. Ce nombre, qui est un entier rationnel, est indépendant de la base d’entiers choisie et on appelle d_{K} le discriminant du corps K.

On remarquera aussi que si α ∈ ℤ_{K} alors Tr_{K/ℚ}(α) ∈ ℤ et N_{K/ℚ}(α) ∈ ℤ. Ces entiers sont des coefficients du polynôme caractéristique de α :

P (X) = X^{n} − Tr_{K/ℚ}(α)X^{n−1} + a_{2}X^{n−2} + ⋯ + a_{n−1}X + (−1)^{n}N_{K/ℚ}(α).

Lorsque P (X) ∈ ℤ[X] est un polynôme irréductible unitaire, on appelle discriminant du polynôme P (X) l’entier

d_{P} = d(1, α, α^{2}, …, α^{n−1})

où α est une racine de P (X). Si K = ℚ(α), on a :

Proposition 1. d_{P} = d_{K}a_{α}^{2} avec a_{α} > 0, a_{α} ∈ ℤ.

Cet entier a_{α} s’appelle l’indice de α ∈ ℤ_{K} et on démontre facilement que l’on a

Proposition 2. a_{α} = [ℤ_{K} : ℤ[α]].

La notation ℤ[α] désigne le ℤ-module libre engendré par la base 1, α, …, α^{n−1} lorsque α est un élément primitif entier de K.

Proposition 3. On a a_{α} = 1 si et seulement si 1, α, α^{2}, …, α^{n−1} est une base d’entiers.

On considère maintenant l’entier

i = pgcd\begin{matrix}α∈ℤ_{K} \\ α primitif \end{matrix}(a_{α})

s’appelle l’indice du corps K. L’existence d’une base de puissances (c’est à dire une base de ℤ_{K} de la forme 1, α, α^{2}, …, α^{n−1}) implique que l’on a i = 1, mais la réciproque est fausse, car il existe des corps d’indice 1 pour lesquels il n’existe pas de base de puissances.

Il n’existe pas d’algorithme général pour calculer l’indice d’un corps de nombres quelconque. On sait néanmoins que l’on a

Théorème 4. Si [K : ℚ] = n alors i < n.

Le calcul effectif du discriminant d’un polynôme P (X) est très simple. On a :

Théorème 5. Les formules suivantes donnent des expressions du discriminant d’un polynôme P (X) dont σ_{i}(α), i = 1, …, n sont ses racines :

(1) d_{P} = dét(σ_{i}(α^{j}))^{2} pour i = 1, …, n, j = 0, …, n − 1. (2)

d_{P} = | \begin{matrix}S_{0} & S_{1} & S_{2} & … & S_{n−1} \\ S_{1} & S_{2} & S_{3} & … & S_{n} \\ S_{2} & S_{3} & S_{4} & … & S_{n+1} \\ … & … & … & … & … \\ S_{n−1} & S_{n} & S_{n+1} & … & S_{2n−2} \end{matrix} | où S_{k} = Tr_{K/ℚ}(α^{k}).

(3) d_{P} = Rés(P, P′) (4)

d_{P} = ∏_{1≤i<j≤n}(σ_{i}(α) − σ_{j}(α))^{2}.

La méthode de calcul la plus efficace semble être la (3) utilisant la résultante. C’est celle utili’ee dans le système PARI pour calculer le discriminant d’un polynôme.

Si le calcul de d_{P} est très facile, il n’en est pas de même du calcul de d_{K}, problème qui est équivalent à celui de la construction d’une base d’entiers.

Les deux théorèmes suivants peuvent s’avérer utiles dans la détermination du discriminant d’un corps.

Théorème 6 (Stickelberger). Si d_{K} est le discriminant d’un corps de nombres, alors d_{K} ≡ 0, 1 (mod 4).

Théorème 7. Considérons la tour d’extensions

\begin{matrix}K \\ | \\ k \\ | \\ ℚ \end{matrix}

alors on a d_{k}^{[K:k]}|d_{K}.

Considérons maintenant le problème de la représentation explicite des nombres algébriques. On déduit de la finitude de l’extension K/ℚ que tout nombre algébrique β ∈ K peut s’écrire sous la forme β = α/d avec α ∈ ℤ_{K} et d ∈ ℤ. Quite à conserver le dénominateur d, le problème se réduit à celui de la représentation des entiers algébriques. On peut représenter alors α ∈ ℤ_{K} dans une base d’entiers comme étant un vecteur à coordonnées entières, ce qui est la notation la mieux adaptée pour l’utilisation de α dans les opérations d’algèbre linéaire. Mais il est parfois utile de représenter β comme un polymod, représentation qui consiste à écrire β = g(α) (mod P_{α}) où α est un élément primitif de l’extension K/ℚ et P_{α} son polynôme minimal. Cette dernière représentation est commode pour effectuer des multiplications car elle n’utilise pas la matrice M = (m_{ijk}) donnant la table de multiplication des w_{j}w_{k} dans la base d’entiers w_{1}, …, w_{n}.

3.- Idéaux.

Définition. On appelle idéal entier I de K tout idéal de ℤ_{K}.

Le quotient ℤ_{K}/I possède une structure d’anneau et on a :

Proposition 1. Soit I ≠ 0 un idéal de ℤ_{K}. Alors ℤ_{K}/I est fini et son cardinal est appelé la norme de I et notée N_{K/ℚ}(I) = #(ℤ_{K}/I).

Garder une notation pour la norme d’un idéal analogue à celle utilisée pour la norme des éléments de K se justifie par le fait que pour l’idéal principal αℤ_{K} on a

|N_{K/ℚ}(α)| = N_{K/ℚ}(αℤ_{K}).

On peut définir sur les idéaux de ℤ_{K} certaines opérations. Si I et J sont deux idéaux de ℤ_{K}, on pose I + J = {a ∈ ℤ_{K}|a = i + j, i ∈ I, j ∈ J} I ∩ J

I · J = { ∑_{finie} i_{m}j_{m}|i_{m} ∈ I, j_{m} ∈ J},

et on a les inclusions

I · J ⊂ I ∩ J ⊂ \begin{matrix}I \\ J \end{matrix} ⊂ I + J.

Un résultat intéressant est le suivant :

Proposition 2. Soient I et J deux idéaux de ℤ_{K} tels que I + J = ℤ_{K} (on dit aussi que I et J sont premiers entre eux). Alors

IJ = I ∩ J.

Définition. Un idéal fractionnaire I de K est un ℤ_{K}-module contenu dans K ayant la propriété qu’il existe d ∈ ℤ tel que dI est un idéal de ℤ_{K}.

Avec cette définition, l’idéal 0 est un idéal fractionnaire. Néanmoins, par la suite, il sera exclu de la plupart des résultats énoncés.

Définition. Soit I un idéal fractionnaire non nul de ℤ_{K}. On dit que I est inversible s’il existe un idéal fractionnaire J tel que I · J = ℤ_{K}.

Proposition 3. Soient I et J deux idéaux entiers de ℤ_{K}. Alors

N_{K/ℚ}(IJ) = N_{K/ℚ}(I)N_{K/ℚ}(J).

Définition. Un idéal 𝔭 de ℤ_{K} est appelé un idéal premier si ℤ_{K}/𝔭 est intègre et il est dit maximal si ℤ_{K}/𝔭 est un corps.

Proposition 4. Tout idéal premier non nul de ℤ_{K} de K est maximal.

C’est une propriété qui est commune a tous les anneaux de Dedekind. En fait, même si l’anneau des entiers d’un corps de nombres n’est pas principal en général, il est toujours un anneau de Dedekind et pour ce type d’anneaux on a le résultat fondamental suivant que nous énonçons pour l’anneau ℤ_{K} :

Théorème 5. Notons P l’ensemble des idéaux premiers de ℤ_{K}. Alors :

(1) Tout idéal entier non nul I de ℤ_{K} s’écrit de manière unique sous la forme

I = ∏_{𝔭∈P} 𝔭^{n_{𝔭}}

où les n_{𝔭} sont des entiers presque tous nuls.

(2) L’ensemble des idéaux fractionnaires non nuls de K forme un groupe pour la multiplication.

La décomposition en produit d’idéaux premiers permet d’associer à chaque idéal premier 𝔭 une valuation v_{𝔭} qu’on utilisera indiféremment, par la suite, sur les idéaux fractionnaires non nuls de K ou sur les nombres de K^{∗} étant entendu que pour x ∈ K^{∗} on a v_{𝔭}(x) = v_{𝔭}(xℤ_{K}).

Les propriétés de v_{𝔭} à retenir sont :

(1) I ⊂ ℤ_{K} ⇔ v_{𝔭}(I) ≥ 0 ∀𝔭 ∈ P.

(2) I ⊂ J ⇔ v_{𝔭}(J) ≤ v_{𝔭}(I) ∀𝔭. Ce qui est équivalent au fait que l’idéal IJ^{−1} est entier.

(3) v_{𝔭}(I + J) = min(v_{𝔭}(I), v_{𝔭}(J)). On se rappellera que I + J est le pgcd de I et J.

(4) v_{𝔭}(I ∩ J) = max(v_{𝔭}(I), v_{𝔭}(J)). On se rappellera que I ∩ J est le ppcm de I et J.

(5) v_{𝔭}(IJ) = v_{𝔭}(I) + v_{𝔭}(J).

Considérons maintenant un idéal premier non nul pℤ de ℤ. L’idéal pℤ_{K} n’est plus nécessairement premier dans ℤ_{K} et il se décompose en produit d’idéaux premiers de ℤ_{K} sous la forme

pℤ_{K} = ∏_{i=1}^{g} 𝔭_{i}^{e_{i}}.

Définition. On dit que les idéaux premiers 𝔭_{i} sont des idéaux au-dessus de l’idéal premier pℤ.

On peut remarquer que p ∈ 𝔭_{i} pour i = 1, …, g et, comme ℤ_{K}/𝔭_{i} est un corps fini de caractéristique p, il contient q = p^{f_{i}} éléments. L’entier f_{i} est appelé le degré résiduel de l’idéal premier 𝔭_{i} ce degré résiduel étant égal au degré de l’extension de corps finis (ℤ_{K}/𝔭_{i})/(ℤ/pℤ).

L’entier e_{i} s’appelle l’indice de ramification de 𝔭_{i}. On dit que le nombre premier p se ramifie dans l’extension K/ℚ si dans la décomposition de pℤ_{K} en produit d’idéaux premiers on a e_{i} > 1 pour une valeur de 1 ≤ i ≤ g, au moins.

Théorème 6. Pour que p divise d_{K} il faut et il suffit que p se ramifie dans l’extension K/ℚ.

Una formule très importante est la suivante :

Théorème 7. On a

∑_{i=1}^{g} e_{i}f_{i} = n.

Trouver la décomposition d’un nombre premier de ℤ comme produit d’idéaux premiers de ℤ_{K} peut être un problème très difficile pour certaines valeurs de p. Le système PARI possède une implementation de la factorisation des idéaux premiers de ℤ dans ℤ_{K} mise à point par E. Tollis en suivant des idées de J. Buchmann et H. W. Lenstra.

D’un point de vue pratique, on a besoin de représenter les idéaux de manière à ce que les opérations avec ces objets soient simples à utiliser. Tout idéal fractionnaire pouvant être écrit comme le quotient d’un idéal entier par un entier rationnel, on peut se borner à décrire la représentation des idéaux entiers. On peut regarder un idéal entier I de K comme étant un ℤ-module libre de rang n qui est fermé pour la multiplication par les entiers du corps ou bien comme étant un ℤ_{K}-module.

En tant que ℤ-module, il suffit de connaître une base de I sur ℤ. En exprimant cette base dans la base d’entiers on obtient une matrice à coefficients entiers. On a alors :

Théorème 8. Soient M un idéal fractionnaire de K et {α_{1}, …, α_{n}} une base d’entiers. Il existe une base unique {w_{1}, …, w_{n}} de M telle que si l’on écrit

w_{j} = \frac{1}{d}(∑_{i=1}^{n} a_{ij}α_{i}),

où d est le dénominateur de M dans ℤ_{K}, alors le matrice A = (a_{ij}) satisfait les conditions suivantes :

(1) Tous les a_{ij} sont des entiers.

(2) A est une matrice triangulaire supérieure.

(3) Pour tout i on a a_{ii} > 0.

(4) Pour tout j > i on a 0 ≤ a_{ij} < a_{ii}.

On reconnait là la forme normale d’Hermite de la base de M par rapport à ℤ_{K}, mais avec le dénominateur d.

En tant que ℤ_{K}-module, un idéal entier I peut être représenté toujours au moyen de deux éléments de l’idéal convenablement choisis. On démontre que l’un des deux éléments peut être choisi arbitrairement dans I. Les valuations du deuxième générateur dans les idéaux premiers divisant I dépendent des valuations en ces idéaux du premier élément choisi. Mais on a une grande liberté pour le choix du deuxième générateur grâce au théorème d’approximation suivant :

Soient S un ensemble fini d’idéaux premiers de ℤ_{K} et E un autre ensemble ayant le même cardinal que S formé de nombres entiers non négatifs. Alors :

Théorème 9 (Théorème d’approximation). Il existe un entier β ∈ ℤ_{K} tel que pour tout 𝔭_{i} ∈ S on ait v_{𝔭_{i}}(β) = e_{i} avec e_{i} ∈ E.

En particulier, pour les idéaux premiers on a le résultat particulièrement simple suivant :

Lemme 10. Soient 𝔭 un idéal premier au dessus du nombre premier p, de degré résiduel f et α ∈ 𝔭. Si v_{𝔭}(N_{K/ℚ}(α)) = f alors 𝔭 = (p, α).

4.- Classes d’idéaux. Unités.

On note I l’ensemble des idéaux fractionnaires non nuls de K. On sait que I forme un groupe pour la multiplication. Ce groupe contient comme sous-groupe, l’ensemble P des idéaux fractionnaires principaux non nuls, c’est à dire, de la forme αℤ_{K} α ∈ K^{∗}. Par définition, le groupe de classes d’idéaux du corps K est le groupe

H(K) = I/P

qui est, bien entendu, un groupe abélien.

Théorème 1. Le groupe H(K) est un groupe fini.

On appelle nombre de classes de K le nombre h(K) = #H(K).

La détermination de h(K) et de la structure de H(K) est l’un des grands problèmes de la théorie des nombres. Trouver la structure de H(K) consiste à trouver des entiers d_{1}, …, d_{s} tels que

H(K) ≈ ℤ/d_{1}ℤ × ⋯ × ℤ/d_{s}ℤ

et il est commode d’imposer la condition supplémentaire d_{i}|d_{i−1} i = 2, …, s.

Dans chaque classe d’idéaux, il existe des idéaux entiers. On peut même démontrer que dans chaque classe d’idéaux il existe des idéaux qui sont premiers à n’importe quel idéal fixé d’avance. En fait, cette dernière affirmation n’est qu’un cas particulier du résultat suivant :

Théorème 2. Dans chaque classe d’idéaux il existe une infinité d’idéaux premiers.

Dans chaque classe d’idéaux, il existe aussi un idéal entier dont la norme n’est pas très grande. Plus précisément on a :

Théorème 3 (Minkowski). Chaque classe d’idéaux de K contient un idéal entier I de norme

N_{K/ℚ}(I) ≤ (\frac{4}{π} )^{r_{2}} \frac{n!}{n^{n}} |d_{K}|^{1/2}.

La constante

(\frac{4}{π} )^{r_{2}} \frac{n!}{n^{n}} |d_{K}|^{1/2}

joue un rôle important dans les calculs explicites du nombre de classes d’idéaux et est appelée la constante de Minkowski.

Le deuxième groupe fondamental en théorie algébrique des nombres est le groupe des unités de ℤ_{K} noté U(K) = ℤ_{K}^{∗} qu’on appelle aussi, par abus de langage, le groupe des unités de K. Il est clair que la norme d’une unité ε ∈ U(K) est égale à ±1 et, réciproquement, tout entier de K de norme ±1 est une unité du corps.

La structure du groupe des unités d’un corps de nombres est bien connu :

Théorème 4 (Dirichlet). On a

U(K) ≈ W (K) × ℤ^{r}

où W (K) est un groupe fini et r = r_{1} + r_{2} − 1.

Le groupe W (K) est engendré par une racine primitive de l’unité ζ contenue dans le corps K et son ordre w(K) est le nombre de racines de l’unité appartenant à K. Une base de la partie libre du groupe U(K) ε_{1}, …, ε_{r} est appelé un système d’unités fondamentales et toute unité ε de K s’écrit de manière unique sous la forme

ε = ζ^{a}ε_{1}^{x_{1}} ⋯ ε_{r}^{e_{r}}

où a est un entier défini (mod w)(K) et x_{i} ∈ ℤ, i = 1, …, r.

L’application

L : ℤ_{K}^{∗} ⟶ ℝ^{r_{1}+r_{2}}
α ⟼ (log |σ_{1}(α)|, …, log |σ_{r_{1}}(α)|, log |σ_{r_{1}+1}(α)|, …, log |σ_{r_{1}+r_{2}}(α)|)

est un homomorphisme de groupes additifs et est appelé le plongement logarithmique. L’image L(U(K)) est un groupe discret, contenu dans l’hyperplan d’équation

x_{1} + ⋯ + x_{r_{1}} + 2x_{r_{1}+1} + ⋯ + 2x_{r_{1}+r_{2}} = 0.

L’image des unités de K forme un réseau de cet hyperplan et l’image d’un système d’unités fondamentales forme une base du réseau. On peut remarquer que L(W (K)) = 0.

Le déterminant du réseau des unités est appelé le régulateur R(K) du corps et sa valeur est la valeur absolue du déterminant

\frac{1}{n} | \begin{matrix}log |σ_{1}(ε_{1})| & log |σ_{1}(ε_{2})| & … & log |σ_{1}(ε_{r})| & 1 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ log |σ_{r_{1}}(ε_{1})| & log |σ_{r_{1}}(ε_{2})| & … & log |σ_{r_{1}}(ε_{r})| & 1 \\ log |σ_{r_{1}+1}(ε_{1})| & log |σ_{r_{1}+1}(ε_{2})| & … & log |σ_{r_{1}+1}(ε_{r})| & 2 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ log |σ_{r_{1}+r_{2}}(ε_{1})| & log |σ_{r_{1}+r_{2}}(ε_{2})| & … & log |σ_{r_{1}+r_{2}}(ε_{r})| & 2 \end{matrix} |

où ε_{1}, …, ε_{r} est un système d’unités fondamentales quelconque.

5.- GRH.

A chaque corps de nombres K on peut associer une fonction de la variable complexe s appelée la fonction ζ de Dedekind de K et définie par

ζ_{K}(s) = ∑_{𝔞} \frac{1}{N_{K/ℚ}(𝔞)^{s}}

où 𝔞 parcourt tous les idéaux entiers non nuls du corps K.

Cette série converge pour ℜ(s) > 1 et, dans ce demi-plan, elle peut être exprimée comme un produit infini sur les idéaux premiers du corps

ζ_{K}(s) = ∏_{𝔭 premier} (1 − \frac{1}{N_{K/ℚ}(𝔭)^{s}} )^{−1} .

La fonction ζ_{K}(s), qui est holomorphe sur le demi-plan ℜ(s) > 1 peut être prolongée à tout le plan complexe en une fonction méromorphe. La fonction

Λ(s) = (\frac{|d_{K}|}{2^{2r_{2}}π^{n}} )^{s/2} Γ(s/2)^{r_{1}}Γ(s)^{r_{2}}ζ_{K}(s)

est méromorphe sur tout le plan complexe avec des pôles simples en s = 0 et s = 1 et possède l’équation fonctionnelle

Λ(s) = Λ(1 − s).

La Conjecture de Riemann Généralisée (GRH) est la suivante :

Conjecture 1 (GRH). Tous les zéros de la fonction ζ_{K}(s) dans la bande critique 0 ≤ ℜ(s) ≤ 1 se trouvent sur la droite d’équation ℜ(s) = 1/2.

La validité de GRH a une importance considérable en théorie des nombres car elle permettrait, entre autres choses, de faciliter les calculs explicites dans les corps de nombres. Plusieurs des algorithmes qui seront décrits par la suite donnent des résultats qui ne sont valables que si l’on admet GRH. Hereusement il est possible de faire rapidement des calculs sous GRH puis de vérifier, a posteriori, la validité inconditionnelle de ces calculs.

On aura à se servir du résultat suivant :

Théorème 2. Le résidu en s = 1 de la fonction ζ de Dedekind du corps K vaut

lim_{s→1+0}(s − 1)ζ_{K}(s) = \frac{2^{r_{1}+r_{2}}π^{r_{2}}R(K)h(K)}{w(K)\sqrt{|d_{K}|}}.

Cette formule permet d’envisager le calcul explicite du produit R(K)h(K) mais ne donne pas d’information sur chaque facteur pris séparément. Elle est surtout efficace dans le cas particulier des corps quadratiques imaginaires (n = 2, r_{1} = 0) car, d’après le théorème de Dirichlet, on sait que le régulateur de ces corps est égal à 1.

CH.II : CALCUL EXPLICITE DU NOMBRE DE CLASSES ET DU REGU-LATEUR.

1.- Corps quadratiques imaginaires.

Définition. Un corps quadratique imaginaire K est un corps de nombres de degre 2 engendré sur ℚ par l’adjonction d’un élément α qui est racine d’un polynôme unitaire irréductible quadratique sans racines réelles.

Le nombre α possède deux conjugués qui forment un couple de nombres complexes conjugués. On vérifie facilement que les deux corps conjugués de K coïncident (les corps de nombres dont tous les conjugués coïncident sont appelés galoisiens) et il y a un isomorphisme τ : K ⟶ K qui transforme α en son conjugué τ(α).

On peut choisir l’élément primitif α comme étant un entier de K et, dans ce cas, le polynôme irréductible P_{α} = X^{2} − Tr_{K/ℚ}(α)X + N_{K/ℚ}(α) est le polynôme minimal de α. Il en résulte que pour les corps quadratiques et, en particulier les imaginaires, tout nombre du corps ayant une trace et une norme entières est un entier du corps.

Le discriminant d’un corps quadratique imaginaire est un entier négatif de ℤ et on démontre que deux corps quadratiques imaginaires différents ont des discriminants différents (ce qui n’est par vrai pour les corps de nombres en général).

Tout corps quadratique imaginaire peut s’écrire sous la forme K = ℚ(\sqrt{−d}) avec d > 0, d sans facteurs carrés. Dans ces conditions, le discriminant de K = ℚ(\sqrt{−d}) est d_{K} = −d si d ≡ 3 (mod 4) et d_{K} = −4d sinon.

Les entiers de K peuvent s’écrire sous la forme m + nω avec m, n ∈ ℤ et ω = \sqrt{−d} si d ≡ 1, 2 (mod 4) et ω = \frac{1+\sqrt{−d}}{2} si d ≡ 3 (mod 4).

Le rang du groupe des unités est 0 et les seules unités du corps sont les racines de l’unité contenues dans K. Ainsi :

Lemme 1. Si K est un corps quadratique imaginaire alors :

(1) si d_{K} = −4, K contient 4 unités : ±1, ±i

(2) si d_{K} = −3, K contient 6 unités : ±1, \frac{±1 ± i\sqrt{3}}{2}

(3) si d_{K} < −4, K contient 2 unités : ±1.

Pour tout diviseur premier p de d_{K} on a pℤ_{K} = 𝔭^{2} où 𝔭 est l’unique idéal premier au-dessus de p. Les autres nombres premiers de ℤ se partagent en deux catégories : Ceux pour lesquels pℤ_{K} est un idéal premier de ℤ_{K} et ceux pour lesquels on a pℤ_{K} = 𝔭_{1}𝔭_{2} avec 𝔭_{1} ≠ 𝔭_{2}. Des premiers on dit qu’ils restent inertes dans l’extension et des derniers on dit qu’ils se décomposent dans l’extension. Tout idéal qui reste inerte dans l’extension K/ℚ est principal et appartient à la classe unité.

On peut définir deux caractères de (ℤ/d_{K}ℤ)^{∗} dans le groupe ±1. Le premier est le caractère trivial qui n’est pas surjectif et on le note χ_{0}. Le deuxième, noté χ est surjectif et son noyau est formé des résidus quadratiques de (ℤ/d_{K}ℤ)^{∗}. On prolonge ces caractères à ℤ tout entier en posant χ_{0}(p) = χ(p) = 0 si p|d_{K} et χ(n) = χ(n̄) ∀n ∈ ℤ et premier à d_{K}.

Les unités d’un corps quadratique imaginaire étant trivialement connues, le problème majeur pour ces corps est celui de la détermination du nombre de classes d’idéaux et la détermination de la structure de ce groupe. Toute classe d’idéaux contenant des idéaux entiers, on va utiliser seulement de tels idéaux. D’autre part, si l’idéal 𝔐 appartient à une classe d’idéaux quelconque, l’idéal 𝔐 ∩ ℤ est principal et de la forme mℤ. Si l’on a mℤ_{K} = 𝔐𝔐′ alors 𝔐′ appartient à la classe inverse de la classe représentée par 𝔐 dans le groupe de classes. Un idéal entier 𝔐 est dit primitif si ses éléments ne sont pas tous divisibles par un même entier rationnel. Dans toute classe d’idéaux il existe des idéaux primitifs. On suppose par la suite que les idéaux considérés sont tous primitifs.

La détermination du groupe de classes est basée sur deux opérations qui sont la multiplication d’idéaux et la réduction. Avant de définir ces opérations on va donner quelques indications sur la représentation des idéaux dans les corps quadratiques inaginaires. On a déjà vu que tout idéal peut être représenté à l’aide de deux éléments y appartenant dont l’un d’eux est choisi comme étant le plus petit rationnel positif contenu dans l’idéal. On notera m cet entier comme ci-dessus ; il est égal au nombre d’éléments de l’anneau ℤ_{K}/𝔐 et on l’appellera la norme de l’idéal 𝔐.

Le deuxième générateur α = a + bω, a, b ∈ ℤ doit être un entier non rationnel dont la norme est divisible par m ; ayant supposé l’idéal réduit, on peut choisir toujours b = 1 et 0 ≤ a < m.

Définition. On dira que l’idéal 𝔐 = (m, α) est écrit sous la forme canonique si l’on a :

(1) m > 0 et mℤ = 𝔐 ∩ ℤ

(2) α = a + ω, 0 ≤ a < m.

On remarquera que la seule condition m|N(α) ne caractérise pas les éléments de l’idéal 𝔐 car, si m n’est pas premier, il peut avoir plusieurs entiers non rationnels α = a + ω avec 0 ≤ a < m dont un seulement appartient à l’idéal.

Exemple. Dans ℚ(\sqrt{−23}) les entiers

\frac{1 + \sqrt{−23}}{2}, \frac{5 + \sqrt{−23}}{2}, \frac{7 + \sqrt{−23}}{2}, \frac{11 + \sqrt{−23}}{2}

sont tous divisibles par 6 bien que 1, 5, 7, 11 soient tous < 12 = 2 · 6, et on vérifie que les idéaux

𝔐_{1} = (6, \frac{1 + \sqrt{−23}}{2}), 𝔐_{2} = (6, \frac{5 + \sqrt{−23}}{2}), 𝔐_{3} = (6, \frac{7 + \sqrt{−23}}{2}), 𝔐_{4} = (6, \frac{11 + \sqrt{−23}}{2})

sont tous différents entre eux. La raison est que si l’on écrit 2ℤ_{K} = 𝔭_{2}𝔭′_{2} et 3ℤ_{K} = 𝔭_{3}𝔭′_{3}, avec

𝔭_{2} = (2, \frac{1 + \sqrt{−23}}{2}), 𝔭′_{2} = (2, \frac{3 + \sqrt{−23}}{2}) 𝔭_{3} = (3, \frac{1 + \sqrt{−23}}{2}), 𝔭′_{3} = (3, \frac{5 + \sqrt{−23}}{2})

alors on a

𝔐_{1} = 𝔭_{2}𝔭_{3}, 𝔐_{2} = 𝔭_{2}𝔭′_{3}, 𝔐_{3} = 𝔭′_{2}𝔭_{3}, 𝔐_{4} = 𝔭′_{2}𝔭′_{3}.

Définition. On appelle conjugué de l’idéal 𝔐 = (m, α) l’idéal 𝔐′ = (m, τα).

Lemme 2. Si l’idéal 𝔐 = (m, α) est écrit sous la forme canonique, alors la forme canonique de l’idéal conjugué est 𝔐′ = (m, α′) avec α′ = a′ + ω ou a′ = m − a si ω = \sqrt{−d} et a′ = m − a − 1 si ω = \frac{1+\sqrt{−d}}{2}.

La réduction d’un idéal 𝔐 consiste à trouver un autre idéal 𝔑 appartenant à la même classe et tel que N_{K/ℚ}(𝔑) < N_{K/ℚ}(𝔐), lorsque ceci est possible. Dans le cas des corps quadratiques imaginaires on a la définition suivante :

Définition. On dit que l’idéal primitif 𝔐 est réduit s’il ne contient aucun élément de norme plus petite que m^{2} = N_{K/ℚ}(m).

Remarque. 1.- Puisque la norme de tout α ∈ 𝔐 doit être divisible par m, on voit que 𝔐 est réduit si et seulement si N_{K/ℚ}(α) ≥ m^{2} ∀α ∈ 𝔐 . 2.- Le cas N_{K/ℚ}(α) = m^{2} peut effectivement se présenter pour α ≠ m comme le montre l’exemple suivant : Dans le corps K de discriminant d = −1763 = −41 · 43 dans l’idéal

(21, (1 + \sqrt{d})/2) on a N_{K/ℚ}(21) = 21^{2} = 441 = N_{K/ℚ}(\frac{1 + \sqrt{d}}{2}). Dans ce cas on fixe arbitrairement l’un des deux idéaux comme étant réduit et on considère que l’autre n’est pas réduit.

Lemme 3. Soient K un corps quadratique imaginaire de discriminant d_{K} et 𝔐 = (m, α) un idéal. Si 𝔐 est réduit alors m < \sqrt{|d_{K}|/3}

Lemme 4. Dans un corps quadratique imaginaire tout idéal de norme m < \sqrt{|d_{K}|/4} est réduit.

Lemme 5. Si 𝔐 est un idéal réduit, son idéal conjugué 𝔐′ est aussi réduit.

Théorème 6. Dans chaque classe d’un corps quadratique imaginaire il existe un et un seul idéal réduit.

Dans les corps quadratiques imaginaires le problème du calcul du nombre de classes se limite à une recherche de tous les idéaux réduits. Dans la pratique, si la valeur absolue du discriminant du corps est petite, on procède de la manière suivante. On regarde tous les nombres premiers qui sont plus petits que B = \sqrt{|d_{K}|/4} et on trie, au moyen du symbole de Legendre, ceux qui sont inertes des autres. S’il ne reste que des nombres premiers ramifiés on sait déjà que 2 est un exposant du groupe de classes, car le carré de tout idéal ramifié est principal. S’il y a des nombres premiers p qui se décomposent, on cherche à construire un idéal premier 𝔭 divisant p qui doit être réduit (Lemme 4). On l’écrit sous forme canonique, on le multiplie par 𝔭 et on réduit le produit, ce qui donne un idéal équivalent à 𝔭^{2}. Une puissance finie de 𝔭 doit être principale et l’exposant du sous-groupe cyclique engendré par la classe représentée par 𝔭 est un diviseur du nombre de classes d’idéaux h(K).

Le cycle de l’idéal 𝔭 étant obtenu, on cherche un nouveau nombre premier q non inerte et tel que l’idéal 𝔮 = (q, α_{q}) (ou l’idéal réduit équivalent) ne figure pas parmi les idéaux réduits équivalents aux puissances de 𝔭. On calcule alors les puissances successives 𝔮^{2}, … jusqu’à ce que l’on trouve un idéal réduit figurant parmi ceux équivalents aux puissances de 𝔭. Supposons que 𝔮^{b} est la première puissance de 𝔮 équivalente à une puissance de 𝔭. Alors les classes représentées par des idéaux équivalents aux idéaux 𝔭^{x}𝔮^{y} avec x = 0, 1, …, n − 1 y = 0, 1, …, b − 1 forment un sous-groupe de H d’ordre nb.

On cherche à nouveau un éventuel idéal premier ne figurant pas parmi les représentants des classes réduites déjà calculées et on recommence. Cette méthode donne non seulement les classes et par conséquent leur nombre, mais aussi la structure du groupe de classes.

Une méthode plus efficace, connue sous le nom de baby steps-giant steps a été inventée pas D. Shanks et consiste en ceci :

(1) On détermine tous les nombres premiers p ≤ B (où la borne B > 0 dépend de la taille du discriminant du corps) que l’on classifie selon qu’ils se ramifient, se décomposent ou restent inertes dans l’extension.

(2) On utilise le produit eulerien tronqué

∏_{p≤B} (\frac{p − χ(p)}{p})^{−1} = \frac{2πh^{∗}}{w(K)\sqrt{|d_{K}|}}

pour obtenir une approximation h^{∗} de h(K).

(3) Si l’on sait que le nombre de classes est divisible par t (à defaut de connaissances sur les diviseurs de h(K) on prend t = 1) on fixe un idéal premier 𝔭 et on calcule les baby steps 𝔭^{t}, 𝔭^{2t}, …, 𝔭^{st} pour un entier s approprié en réduissant chaque fois les idéaux obtenus.

(4) On utilise un procédé d’exponentiation pour obtenir une puissance 𝔭^{h′} avec h′ divisible par t et le plus proche possible de h^{∗}. On regarde si l’idéal réduit correspondant à cette puissance se trouve parmi les idéaux réduits calculés en (3). Si c’est le cas, on a une égalité de la forme 𝔭^{s′t} = 𝔭^{h′} et on déduit que l’exposant de 𝔭 est divisible par h′ − s′t.

(5) On utilise les giant steps en calculant successivement 𝔭^{h′±st}, 𝔭^{h′±2st} … et en regardant si les idéaux réduits correspondants se trouvent on non parmi ceux calculés en (3).

Le résultat de ce calcul, ne donne pas nćessairement le nombre de classes mais un diviseur du nombre de classes à condition que l’approximation de h(K) par h^{∗} ne soit pas mauvaise ce qui dépend de la validité de GRH.

Le fait de ne pas obtenir exactement le nombre de classes n’est pas un vrai problème car le résultat peut être utilisé pour améliorer la valeur connue de t.

2.- Les corps quadratiques réels et l’infrastructure de Shanks.

Définition. Un corps quadratique réel K est un corps de nombres de degre 2 engendré sur ℚ par l’adjonction d’un élément α qui est racine d’un polynôme unitaire irréductible quadratique ayant ses deux racines réelles.

Le nombre α possède deux conjugués qui sont réels et on vérifie comme dans le cas des corps quadratiques imaginaires que les deux corps conjugués de K coïncident. On note encore τ l’isomorphisme τ : K ⟶ K qui transforme α en son conjugué τ(α).

Le discriminant d’un corps quadratique réel est un entier positif de ℤ et on démontre que deux corps quadratiques réels différents ont des discriminants différents.

Tout corps quadratique réel peut s’écrire sous la forme K = ℚ(\sqrt{d}) avec d > 0, d sans facteurs carrés. Dans ces conditions, le discriminant de K = ℚ(\sqrt{d}) est d_{K} = d si d ≡ 1 (mod 4) et d_{K} = 4d sinon.

Les entiers de K peuvent s’écrire sous la forme m + nω avec m, n ∈ ℤ et ω = \sqrt{d} si d ≡ 2, 3 (mod 4) et ω = \frac{1+\sqrt{d}}{2} si d ≡ 1 (mod 4).

Le rang du groupe des unités est 1 et il existe une unité ε, l’unité fondamentale telle que tout autre unité du corps soit de la forme ±ε^{x} x ∈ ℤ. On choisit d’habitude ε > 1, ce qui caractérise complètement l’unité fondamentale car parmi les unités ±ε, ±τ(ε) une seule possède cette propriété. Dans ces conditions, on a R(K) = log ε.

Les définitions des caractères quadratiques χ_{0} et χ sont analoges à celles du cas imaginaire et il en est de même pour les notions d’idéal primitif, d’idéal conjugué et de forme canonique d’un idéal.

Par contre, la définition d’idéal réduit est différente :

Définition. On dit que l’idéal 𝔐 d’un corps quadratique réel est réduit s’il y a au moins deux valeurs de a_{1}, a_{2} > 0 pour lesquelles α_{i} = (a_{i} + \sqrt{d})/2 (resp. α_{i} = a_{i} + \sqrt{d}) avec α_{1} ∈ 𝔐 et α_{2} ∈ 𝔐′ et telles que N_{K/ℚ}(α_{i}) < 0 . On admet cette fois la possibilité a_{1} = a_{2} dans le cas où l’on a 𝔐 = 𝔐′.

Lemme 1. Si 𝔐 = (m, α) est un idéal réduit d’un corps quadratique réel alors m < \sqrt{d_{K}} .

Lemme 2. Dans un corps quadratique réel il n’y a qu’un nombre fini d’idéaux réduits.

Lemme 3. Si 𝔐 est un idéal réduit d’un corps quadratique réel , son idéal conjugué 𝔐′ est aussi réduit.

Théorème 4. Chaque classe d’idéaux contient au moins un idéal réduit.

L’opération appelée opération de réduction va jouer un rôle fondamental dans les calculs sur les idéaux des corps quadratiques réels. Soit 𝔐 = (m, α) un idéal réduit écrit sous forme canonique. Il existe dans 𝔐 un entier non rationnel β dont la norme est négative et le plus petite possible en valeur absolue. Notons −b = N_{K/ℚ}(β). Comme m|b, l’idéal

𝔑 = \frac{τ(β)}{m}𝔐

est un idéal entier équivalent à l’idéal 𝔐 et dont on peut prouver qu’il est réduit. L’opération ρ(𝔐) = 𝔑 est l’opération de réduction. L’application répétée de l’opération de réduction donne un cycle d’idéaux réduits.

Si l’idéal de départ 𝔐 = (m, α) n’est pas réduit, il peut ne pas avoir des éléments de norme négative. Dans ce cas on cherche l’entier non rationnel de 𝔐 de plus petite norme et on construit l’idéal équivalent selon le principe indiqué ci-dessus pour obtenir, soit un idéal réduit, soit un idéal dont la norme est plus petite que celle de 𝔐. On continue l’opération de réduction jusqu’à l’obtention d’un idéal réduit.

Théorème 5. Tout idéal réduit, appartenant à une classe d’idéaux est obtenu après une suite de réductions à partir de n’importe quel autre idéal primitif dans la même classe.

Lemme 6. L’opération de réduction induit une relation d’équivalence dans l’ensemble des idéaux réduits.

Théorème 7. Il y a correspondance biunivoque entre cycles d’idéaux réduits et classes d’idéaux.

Définition. Le cycle d’idéaux réduits appartenent à la classe principale est appelé le cycle principal.

Parcourrir le cycle principal en utilisant l’opération de réduction est équivalent à la la construction du développement en fraction continue de \sqrt{(}d) et permet de déterminer l’unité fondamentale du corps.

La méthode inventé par D. Shanks et appelée infrastructure est basée sur l’introduction d’une fonction distance δ définie de la manière suivante :

Définition. Si 𝔞 et 𝔟 sont deux idéaux fractionnaires non nuls de ℤ_{K} on définit la distance de 𝔞 à 𝔟 de la manière suivante :

* Si 𝔞 et 𝔟 ne sont pas équivalents, la distance n’est pas définie.

* Si 𝔟 = γ𝔞 avec γ ∈ K, alors

δ(𝔞, 𝔟) = \frac{1}{2} log |\frac{γ}{τ(γ)}|.

Cette distance est définie (mod R(K)), car on veut que δ(𝔞, 𝔞) = 0. Ainsi δ ∈ ℝ/R(K)ℝ.

D’autre part, la distance est bien définie, car si l’on avait 𝔟 = γ′𝔞, on aurait aussi γ′ = ε′γ avec ε′ ∈ ℤ_{K}^{∗} et la distance est invariante (mod R(K)).

Proposition 8. Soit a ∈ ℚ. Alors δ(𝔞, 𝔟) = δ(a𝔞, 𝔟).

Proposition 9. Soient 𝔟_{i} = γ_{i}𝔞_{i}, i = 1, 2 des idéaux équivalents. Alors

δ(𝔟_{1}𝔟_{2}, 𝔞_{1}𝔞_{2}) = δ(𝔟_{1}, 𝔞_{1}) + δ(𝔟_{2}, 𝔞_{2}).

Le résultat fondamental qui découle du fait que la distance de Shanks est additive est que :

Théorème 10. Soient 𝔞_{1} et 𝔞_{2} deux idéaux principaux, 𝔞_{3} = 𝔞_{1}𝔞_{2} et 𝔟 un idéal réduit obtenu à partir de 𝔞_{3} par la méthode de réduction déjà décrite. Alors on a

δ(1, 𝔟) = δ(1, 𝔞_{1}) + δ(1, 𝔞_{2}) + δ(𝔞_{3}, 𝔟).

Comme la distance δ(𝔞_{3}, 𝔟) est souvent petite, il est possible de considérer le cycle principal comme s’il était presque un groupe et lui appliquer, pour trouver sa longueur, la méthode des baby steps-giant steps.

Pour déterminer le régulateur du corps, on peut utiliser n’importe quel cycle d’idéaux réduits car pour cette distance on a :

Théorème 11. Tous les cycles d’un corps quadratique réel ont la même longueur.

3.- La méthode sous-exponentielle.

Historiquement, ce que l’on appelle la méthode sous-exponentielle du nombre de classes et du régulateur est une méthode introduite par J. L. Hafner et K. S. McCurley [H-M], pour calculer le nombre de classes des corps quadratiques imaginaires. Ces idées ont été généralisées par J. Buchmann au calcul du nombre de classes et du régulateur des corps quadratiques réels d’abord [B-D] et au cas des corps de nombres par la suite [B].

Pour pouvoir décrire cette méthode, il est essentiel de connaître un système de générateurs du groupe de classes d’idéaux d’un corps de nombres K de degré n. Un tel système de générateurs est donné par le théorème de Minkowski (Ch. I.4, Th. 3) mais la croissance de la constante de Minkowski est exponentielle en n. Si l’on accepte la validité de GRH, on peut obtenir de meilleures bornes pour les générateurs du groupe de classes de K :

Théorème 1 (Bach)[Ba]. Dans tout corps de nombres K, le groupe H(K) est engendré par les idéaux de norme plus petite ou égale à B, avec B = c(log |d_{K})^{2}. On peut choisir c = 6 pour les corps quadratiques et c = 12 pour les corps de degré n > 2.

Définition. On appelle base de factorisation (factor base) l’ensemble d’idéaux premiers

F B = {𝔭|N_{K/ℚ}(𝔭) ≤ B}.

L’ensemble F B est fini et on note k son cardinal.

On utilise ensuite les méthodes analytiques pour trouver une approximation h^{∗} de la valeur de h(K)R(K), car on ne sait pas obtenir des approximations de h(K) et R(K) séparément. Sous GRH, il est possible d’utiliser le produit infini tronqué de la fonction ζ de Dedekind du corps K pour obtenir une valeur approchée h^{∗} de h(K)R(K) telle que, par exemple,

h(K)R(K)/\sqrt{2} ≤ h^{∗} ≤ \sqrt{2}h(K)R(K).

On note

A = {α ∈ K^{∗}|αℤ_{K} = ∏_{i=1}^{k} 𝔭^{a_{i}} 𝔭 ∈ F B}.

Il est clair que chaque élément de A donne une relation entre les idéaux premiers de F B. Pour chaque α ∈ A on définit deux applications

\begin{matrix}φ_{1} : A & ⟶ ℤ^{k} × ℝ^{r} \\ α & ⟼ (a_{1}, …, a_{k}, L(α)) \\ φ_{2} : A & ⟶ ℤ^{k} \\ α & ⟼ (a_{1}, …, a_{k}) \end{matrix}

où L est le plongement logarithmique défini dans Ch. I.4.

Théorème 2 (Buchmann) [B]. Si B > c(log |d_{K}|)^{2}, l’ensemble φ_{1}(A) est un réseau de déterminant h(K)R(K) et l’ensemble φ_{2}(A) est un réseau de déterminant h(K). De plus on a

ℤ^{k}/φ_{2}(A) ≈ H(K).

Démonstration. L’affirmation concernant φ_{2}(A) se déduit du fait que l’on a système de générateus pour le groupe de classes et que dans ces conditions l’application est surjective. Le noyau est un réseau puisque H(K) est fini et le déterminant est l’indice.

L’affirmation concernant φ_{1}(A) se déduit du fait que φ_{1}(U(K)) engendre le réseau dans ℝ^{r} de déterminant R(K) et donne des composantes nulles sur ℤ^{k}, ce qui montre que le déterminant de la matrice est le produit des déterminants.

La matrice à coefficients dans ℤ^{k} × ℝ^{r} donnée par φ_{1}(A) est appelée la matrice de relations. Pour remplir cette matrice on besoin, tout d’abord, de définir une notion de réduction des idéaux dans le corps K.

Définition. Soit I un idéal fractionnaire. On dit que α ∈ I est un minimum de I si α ≠ 0 et si pour tout β ∈ I on a

|σ_{i}(β)| < |σ_{i}(α)| ∀i ⇒ β = 0.

On dit que l’idéal I est réduit si a est un minimum de I, où aℤ = I ∩ ℚ.

Pour réduire un idéal I non réduit, on regarde son image par le plongement canonique et on cherche, dans le réseau engendré, l’élément non nul le plus proche de l’origine pour la distance euclidienne. Si α ∈ I donne cette image, alors α est un minimum de l’idéal et α^{−1}I est un idéal réduit qui est équivalent à l’idéal I. On procède alors, au moins théoriquement, de la manière suivante : On choisit aléatoirement des exposants a_{1}, …, a_{k} et on calcule le produit

𝔐 = ∏_{i=1}^{k} 𝔭_{i}^{a_{i}}

qui est, en général, un idéal non réduit. On réduit ensuite 𝔐 comme il a été indiqué ci-dessus. Soit 𝔑 = α^{−1}𝔐 l’idéal réduit équivalent. Si l’on peut décomposer l’idéal 𝔑 comme produit d’idéaux de F B, c’est à dire, sous la forme

𝔑 = ∏_{i=1}^{k} 𝔭_{i}^{b_{i}}

alors on déduit la relation

α = ∏_{i=1}^{k} 𝔭_{i}^{a_{i}−b_{i}}

et on rempli une colonnne de la matrice de relations avec

φ_{1}(α) = (a_{1} − b_{1}, …, a_{k} − b_{k}, L(α))

et on va chercher une nouvelle relation. Le nombre de colonnes de la matrice de relations est k + r et il faut qu’elle soit de rang maximal. Ceci exige la recherche de l > k + r relations. Une fois obtenu un rang maximal, on fait une réduction d’Hermite de la matrice et son déterminant est un multiple de h(K)R(K). Il suffit de faire le quotient de ce déterminant par la valeur h^{∗} approchée pour savoir si le déterminant est h(K)R(K) ou un multiple de h(K)R(K). Dans le dernier cas il faut chercher de nouvelles relations pour diminuer la valeur du déterminant de la matrice de relations.

Bibliographie

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