RÉSUMÉ

Il s'agit d'un travail en commun avec D. Grant. La notion de point presque rationnel sur une variété abélienne (ou sur un groupe algébrique commutatif) a été introduite en 1999 par Ribet. Si $P$ est un point sur le groupe algébrique commutatif $A$ défini sur le corps $k$, on dit que $P$ est presque $k$- rationnel si, $\sigma$ et $\tau$ étant deux automorphismes de $\bar k/k$ tels que $\sigma(P)+\tau(P)=2P$, alors $\sigma(P)=\tau(P)=P$. Dans le cas des variétés abéliennes, Ribet a montré que l'ensemble des points de torsion presque $k$-rationnels est fini lorsque $k$ est un corps de nombres. Comme exemples de points presque $k$-rationnels, on peut citer les points situés sur une courbe de genre au moins deux plongée dans sa jacobienne et qui ne sont pas des points de Weierstrass hyperelliptiques. Ainsi, la finitude de l'ensemble des points de torsion presque $k$-rationnels donne une nouvelle démonstration de la finitude de l'ensemble des points de torsion situés sur la courbe. Dans cet exposé, on montrera que, pour les tores et les variétés abéliennes à multiplication complexe, l'ordre d'un point presque $k$-rationnel est borné uniquement en fonction de $[k:\Bbb Q]$ et de la dimension de $A$. Les points singuliers de torsion sur une courbe elliptique (qui seront définis lors de l'exposé) constituent également des points presque $k$-rationnels. Là encore, on montrera qu'étant donné $d$, il existe un entier $N$, ne dépendant que de $d$, tel que pour toute courbe elliptique sur un corps de nombres de degré $d$, l'ordre d'un point singulier de torsion divise $N$.

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