RÉSUMÉ

Soit $F$ un corps de nombres totalement réel, $\pi$ une représentation automorphe cuspidale de $GL_{2}/F$, $\omega$ son caractère central, $K$ une extension quadratique imaginaire de $F$, $\chi$ un caractère de Hecke de $K$, et $L(\pi,\chi,s)$ la fonction de Rankin attachée à $\pi$ et $\chi$. Lorsque $\chi.\omega=1$ sur les idèles de $F$, cette fonction $L$ vérifie une équation de la forme $L(\pi,\chi,s)=\epsilon(\pi,\chi,s)L(\pi,\chi,1-s)$. La parité de l'ordre en $1/2$ de $L(\pi,\chi,s)$ est alors déterminée par le signe $\epsilon(\pi,\chi)=\epsilon(\pi,\chi,1/2)\in\{+1,-1\}$ de l'équation fonctionnelle. On s'attend à ce que cet ordre soit en général minimal (c'est-à-dire $0$ ou $1$), étant données les contraintes de parité imposées par l'équation fonctionnelle. Dans cet exposé, on considère un $\pi$ fixé, de poids $(2,\cdots,2)$ et de niveau $\mathcal{N}$ premier au discriminant $\mathcal{D}$ de $K/F$, et on fait varier $\chi$ parmi les ring class characters de conducteur $P^{n}$ de $K$, où $P$ est un ideal maximal fixé de $\mathcal{O}_{F}$ ne divisant ni $\mathcal{D}$ ni $\mathcal{N}$. On montre essentiellement que pour tout $n$ assez grand, il y a beaucoup de $\chi$ pour lesquels ${ord}_{s=1/2}L(\pi,\chi,s)=0$ si $\epsilon(\pi,\chi)=+1$ et $1$ si $\epsilon(\pi,\chi)=-1$. Ces résultats ont des applications en théorie d'Iwasawa. Combinés avec les méthodes de Kolyvagin et la théorie des complexes de Selmer de Nekovar, ils permettent de démontrer de nouveaux cas de parité dans la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, pour les représentations Galoisiennes attachées aux formes de Hilbert de poids $(2k,cdots,2k)$, avec $kgeq1$.

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