SÉMINAIRE DE THÉORIE DES NOMBRES DE BORDEAUX

19.03.2004

Bernard de Mathan

Titre: Approximations simultanées et formes linéaires de logarithmes.

Résumé:

Le théorème de Cassels-Swinnerton-Dyer, affirmant qu’un couple de nombres d’un même corps cubique réel vérifie la conjecture de Littlewood, a été précisé et généralisé par Peck, qui montre que si α_{1}, ..., α_{n}, sont n nombres dans une extension réelle de Q de degré n + 1 (où n ≥ 2), il existe un ensemble infini d’éléments (q_{0}, ..., q_{n}) ∈ Z^{n+1}, avec |q_{0}| > 1, tels que

|q_{0}α_{k} − q_{k}| << |q_{0}|^{−1/n}(ln |q_{0}|)^{−1/(n−1)}

pour 1 ≤ k ≤ n − 1 et

|q_{0}α_{n} − q_{n}| << |q_{0}|^{−1/n}.

Nous donnons une démonstration de ce resultat légèrement modifiée, de façon à faire apparaître le rôle des estimations de formes linéaires de logarithmes de nombres algébriques. On peut ainsi démontrer la quasi-optimalité du facteur logarithmique : nous montrons, à l’aide des minorations connues de formes linéaires de logarithmes, que si 1, α_{1}, ..., α_{n}, sont linéairement indépendants sur Q, et si n + 1 est un nombre premier, alors il existe des constantes réelles positives λ et C telles que l’ensemble des entiers q > 1, pour lesquels

∥qα_{k}∥ ≤ Cq^{−1/n}(ln q)^{−λ}

pour 1 ≤ k ≤ n − 1 et

∥qα_{n}∥ ≤ Cq^{−1/n},

soit fini. L’hypothèse que n + 1 soit premier n’est probablement pas nécessaire, mais son oubli exigerait des minorations actuellement non connues. Par ailleurs, une conjecture très naturelle sur les formes linéaires de logarithmes entraînerait que pour n = 2, on aurait

inf_{q≥2} q ln q∥qα∥∥qβ∥ = 0.

N.B Pour x ∈ IR, ∥x∥ désigne la distance de x à Z.

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