RÉSUMÉ

Dans la première partie de l'exposé, nous donnerons un tour d' horizon de la "cohomologie arithmétique" (cohomologies de $GL_N(\Bbb Z)$, $SL_N(\Bbb Z)$ et ses sous-groupes de congruences), ainsi que de ses connexions avec la théorie des nombres (en particulier représentations galoisiennes, algèbre de Hecke de formes modulaires, fonctions L) et la K-théorie. Nous expliquerons différentes méthodes (effectives en petite dimension) pour le calcul de ces groupes. Dans la deuxième partie, nous présenterons des résultats récents pour $N=5,6,7$ (obtenus en collaboration avec H. Gangl et C. Soulé) et utilisant la théorie de Voronoi des réseau euclidiens parfaits. La première partie est essentiellement inspirée des travaux de Ash et co. Au niveau K-théorique, je parlerai aussi des liens K-théorie-Vandiver, fonctions L p-adiques, théorie d'Iwasawa (inspirés par Kurihara, Soulé et d'autres). Information complémentaire pour les personnes de l'A2X qui seront aux "Journées nationales de calcul formel" la semaine suivante: je ne parlerai pas du tout de l'aspect algorithmique, et encore moins des détails des calculs. De ce fait, mon exposé sera complémentaire (et vraiment très différent) de celui que je donnerai aux JNCF dans la session "algèbre linéaire".

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