RÉSUMÉ

En 1976, Shintani publia une formule donnant la valeur de la dérivée $L'(0,\chi)$ d'une série L à l'aide des fonctions $\Gamma_n$ de Barnes. Ici $L(s,\chi)$ désigne la série L associée à un caractère du groupe des classes de rayon d'un corps de nombres et $\Gamma_n$ est la généralisation, due à Barnes, de la fonction $\Gamma$ habituelle. Les démonstrations de Shintani constituent un véritable tour de force de manipulations d'intégrales multiples et de formules combinatoires. Notre but dans cet exposé est de montrer que les formules de Shintani sont tout à fait naturelles dans le cadre des équations aux différences et qu'elles sont faciles à démontrer. Il s'agit d'un travail en commun avec le physicien mathématique Simon Ruijsenaars à Amsterdam, qui a retrouvé des formules de Shintani et Barnes dans le cadre des systèmes intégrables. Nous ferons aussi le lien, déjà souligné par Shintani, entre les fonctions $\Gamma_n$ et la conjecture de Stark.

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