RÉSUMÉ

Soit $E$ une courbe elliptique sur $\Bbb Q$, sans multiplication complexe sur $\bar\Bbb Q$. Un théorème de Serre affirme qu'il existe un entier $B$ tel que, pour tout nombre premier $N$ supérieur à $B$, la représentation de $Gal(\bar\Bbb Q/\Bbb Q)$ induite par l'action de Galois sur les points de $N$-torsion de $E$ est surjective. Serre a posé la question suivante: peut-on choisir $B$ indépendamment de $E$? Ce problème se ramène à montrer la trivialité, pour $N$ assez grand, des points rationnels de quatre familles de courbes modulaires, à savoir $X_0(N)$, $X_{split}(N)$, $X_{non-split}(N)$ et $X_{A_4}(N)$ (on dira qu'un point d'une de ces courbes est trivial si c'est une pointe, ou bien si la classe d'isomorphismes de courbes elliptiques qu'il définit a multiplication complexe sur $\bar\Bbb Q$). Le cas de $X_{A_4}(N)$ a été éliminé par Serre. Le fait que $X_0(N)(\Bbb Q)$ n'est composé que de pointes pour $N>163$ est un célèbre théorème de Mazur. Dans cet exposé, on donnera un critère de trivialité de $X_{split}(N)(\Bbb Q)$, et on montrera qu'il est vérifié pour les nombres premiers satisfaisant certaines congruences explicites.

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