RÉSUMÉ

La résolution de l'équation diophantienne de Markoff $x^2+y^2+z^2=3xyz$ est un sujet arithmétique classique que l'auteur a généralisé en considérant des équations diophantiennes s'écrivant $M^{s_1s_2}(a,\partial K,u_\theta )$, où $s_1$ et $s_2$ signes respectifs de $\varepsilon _1$ et $\varepsilon _2\in\{-1,+1\}$, $a\in \mathbb{N}\backslash \{0\}$, $\partial K\in \mathbb{Z}$, $u \in \mathbb{Z}$ : $$x^2+\varepsilon _2y^2+\varepsilon _1z^2= (a+1)xyz+(\varepsilon_2\partial K)yz-ux, x,y,z\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}.$$ Dans une première partie de l'exposé, on rappelle comment les solutions de telles équations se groupent en classes sous l'action du groupe du triangle $T_3$, produit libre de trois groupes cycliques à deux éléments. Ceci permet de définir différents types parmi ces équations et de montrer que le type le plus général n'admet qu'un nombre fini de classes de solutions. On montre comment ce nombre de classes n'est autre que le nombre de classes d'un corps quadratique réel. Dans une seconde partie, on montre le lien avec des équations différentielles permettant la construction de valeurs propres et de fonctions propres du laplacien du demi-plan de Poincaré. Ainsi un sujet arithmétique qui pouvait paraitre anecdotique prend une importance géométrique nouvelle. On explique le lien avec les problèmes 21 et 22 de Hilbert. Bibliographie: S. Perrine, La théorie de Markoff et ses développements, Tessier et Aschpool, 2002, www.tessier-ashpool.fr

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