RÉSUMÉ

Si $q>5$ est premier, les seuls automorphismes de la courbe modulaire $X(q)$ sont modulaires et forment un groupe isomorphe à $PSL_2(Z/qZ)$. Or, en 1982, I. Kuribayashi a montré que le groupe d'automorphismes de la courbe modulaire $X(7)$ "réduite" modulo $3$ est le groupe $PSU(3,3)$ et de meme, A. Adler en 1997, avec la courbe modulaire $X(11)$ modulo $3$, montre que le groupe d'automorphismes est le groupe de Mathieu $M_11$, groupe sporadique contenant strictement $PSL_2(Z/11Z)$. Celà peut-il se reproduire? Nous donnons une réponse partielle (négative) à cette question en montrant que si la courbe $X(q)$ modulo $p$ est ordinaire et $p>3$ le groupe des automorphismes est exactement $PSL_2(Z/qZ)$. Nous traitons également complètement les cas $q=7,11$ et $13$. Les arguments utilisés sont divers : étude des revètements et majorations des ordres des groupes d'automorphismes bien sur, mais aussi des propriétés plus arithmétiques liées au calcul du $p$-rang, ici par l'intermédiaire des formes modulaires. Des lemmes relatifs à des équations diophantiennes et à la classification des groupes simples sont également démontrés.

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