RÉSUMÉ

La seule méthode dont on dispose actuellement pour étudier la nature arithmétique des valeurs de la fonction $\zeta$ de Riemann aux entiers impairs consiste à construire, à l'aide de séries hypergéométriques, des suites (indicées par $n$) de combinaisons linéaires à coefficients rationnels en les valeurs de $\zeta$ aux entiers. Pour appliquer les critères d' irrationalité ou d'indépendance linéaire, il est nécessaire de déterminer un dénominateur commun aux coefficients (le plus petit possible): typiquement, on obtient $d_n^M$, où $d_n=$p.p.c.m.$\{1, 2,\ldots, n\}$ et $M$ est un certain entier dépendant de la construction utilisée. Or, lorsque la construction provient d'une série hypergéométrique très bien équilibrée, on constate numériquement que $d_n^{M-1}$ suffit déjà: ce phénomène est maintenant connu sous le nom de "conjecture des dénominateurs". Dans un travail en commun avec Christian Krattenthaler, nous venons de prouver cette conjecture; j'indiquerai les étapes qui nous ont menées vers la solution, ainsi que les améliorations que l'on obtient immédiatement sur la nature arithmétique des nombres $\zeta(2m+1)$ et ce que l'on peut encore espérer.

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