RÉSUMÉ

Si on définit le crochet usuel $[x,y]=xy-yx$ sur l'algèbre de Lie libre $L=L[x,y]$ sur deux générateurs non commutatifs, alors on peut interpréter chaque élément $f$ de $L$ comme une dérivation de $L$, simplement en posant $D_f(x)=0, D_f(y)= [y,f]$. En composant les dérivations, on voit facilement que $D_f.D_g=D_h$ où $h=[f,g]+D_f(g)-D_g(f)$. Nous posons ${f,g} := [f,g]+D_f(g)-D_g(f)$; alors ${f,g}$ est un autre crochet de Lie qui fait de l'ensemble $L[x,y]$ une autre algèbre de Lie; ${f,g}$ s'appelle crochet de Poisson. Nous donnerons une formule combinatoire pour ${f,g}$. Cette formule devient particulièrement jolie quand $f$ ou $g$ est de "poids 1", c'est-a-dire contient un seul $y$ . Celà permet d'appliquer le résultat à des situations particulières; nous montrons par exemple que les sous-espaces "avec >= 3 y" de l'algèbre d'Ihara, sur qui on a observé d'étonnantes propriétés de théorie des nombres, sont canoniquement en bijection avec les espaces de formes paraboliques $S_k(SL_2(Z))$ et avec les espaces correspondants de polynomes des périodes de Zagier.

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