Les mathématiciens et la didactique de leur discipline
Guy Brousseau et André Rouchier

La didactique des mathématiques s'intéresse aux conditions spécifiques de la diffusion des connaissances mathématiques.
Les mathématiciens ont bien des raisons de s'intéresser à la diffusion de leur discipline, soit parce qu'ils sont professeurs eux-mêmes, soit de façon plus générale par intérêt pour l'éducation soit encore pour mettre la culture mathématique à la disposition des autres activités humaines ou des autres disciplines.
Beaucoup se préoccupent de la diffusion des mathématiques à l'intérieur de la communauté des mathématiciens, pour guider de jeunes chercheurs par exemple, mais seulement quelques uns se demandent quelle influence peut avoir cette diffusion sur la nature de l'activité mathématique et sur la consistance des résultats. Lorsque, assez rarement, des physiciens théoriciens comme Jaffe et Quinn ou des mathématiciens comme William P. Thurston, s'interrogent sur ces questions, ils admettent implicitement que les pratiques et les conditions de la diffusion des mathématiques peuvent jouer un rôle dans leur fonctionnement, modifier leur organisation propre et surtout influencer leur validité ou plutôt leur consistance d'ensemble. Mais ils sont conscients alors de sortir de leur domaine et de n'en parler qu'en connaisseurs. Ils pensent même certainement comme toute la communauté que ces questions sortent du champ des mathématiques et même peut être échappent pour longtemps encore à l'analyse scientifique.
En conséquence les mathématiciens ont une forte tendance à penser que s'il faut bien qu'ils pratiquent la diffusion des mathématiques ce ne peut être qu'en connaisseurs et qu'en artistes. Ils laissent à d'autres le soin d'étudier cette pratique et regardent de loin, que ce soit avec sympathie ou avec méfiance, les objurgations qu'on leur adresse à ce sujet. Ils écoutent ces observations avec un attention fortement décroissante en fonction de la distance de ceux qui les émettent à la communauté mathématique, et à la pratique enseignante.
L'ensemble du monde « savant » et de la noosphère accepte aujourd'hui cette idée que les questions de diffusion des connaissances sont largement indépendantes de leurs conditions de production et de validité.
L'étude des mathématiques elles-mêmes, en tant qu'objet culturel ou technique, est considérée comme une activité extérieure. La logique ou l'épistémologie sont renvoyées à la philosophie et même la logique mathématique possède un statut à part. Le nombre des mathématiciens, qui se sont préoccupés de décrire l'activité mathématique, et les conditions d'invention, de production, de réorganisation ou de mise en problèmes de ses résultats est impressionnant, mais leur apport n'apparaît jamais que comme un commentaire, ou une introspection, et ne fait pas l'objet de synthèses et de travaux réellement scientifiques, ni de diffusion en direction des étudiants de mathématiques.
L'ensemble du monde « savant » et de la noosphère accepte aujourd'hui l'idée que l'analyse de l'activité mathématique relève des sciences humaines : de la psychologie (Hadamard),  de l'histoire, de l'épistémologie, de la sociologie, de l'anthropologie, de la linguistique etc.
Cette conception épistémologique montre ses limites du point de vue théorique et surtout par ses conséquences, assez lourdes, sur la diffusion des connaissances mathématiques, sur la formation des professeurs de mathématiques, sur le fonctionnement et l'organisation des mathématiques elles-mêmes. Par exemple elle enferme les professeurs des mathématiques dans une dichotomie étriquée : apprendre et enseigner des mathématiques sans rapport scientifique avec leurs destinataires et les enseigner et les faire apprendre suivant des méthodes sans rapport avec leur objet. La formation des professeurs en souffre, éclatée entre une formation disciplinaire incapable d'intégrer les réflexions nécessaires, une formation professionnelle sans base scientifique, et une formation théorique aux sciences humaines sans rapport assumé avec l'objet de l'activité d'enseignement. A mon avis les échecs répétés de cette formation, aussi bien que des réformes supposées la corriger, sont imputables à cette faiblesse épistémologique.
Or, certains mathématiciens s'intéressant à l'enseignement et à aux conditions qui lui sont favorables, ont été conduits à porter un regard nouveau sur l'activité mathématique, sur et en rapport avec ses productions : les pensées mathématique. Par exemple la re-production des mathématiques demandée aux élèves ne peut pas être seulement une citation, ni l'inclusion d'un discours déjà produit dans un discours d'une autre nature, qui ne dépendrait pas de son « contenu ». Il a donc bien fallu travailler sur la production même de la pensée mathématique … et pas seulement sur sa production initiale (ou historique). Ce regard a conduit à identifier dans cette activité mathématique, des éléments de nature didactique, comme la réorganisation des théories, comme la reformulation des théorèmes, et comme leur mise en problèmes ou en question, et ainsi de puiser dans les analyses que les mathématiciens ont faites de ces éléments des points de vues susceptibles de modifier un peu la vision dichotomique désastreuse de la diffusion des connaissances mathématiques. Mais cette identification s'est faite à partir d'une approche systémique ou anthropologique originale et directe des phénomènes à étudier, ce qui devrait faciliter l'accès des mathématiciens à ces questions, du moins je l'espère. Les justifications théoriques n'ont pour objet que d'éprouver la consistance des modèles et leur compatibilité avec les apports des autres disciplines et avec les observations. Certaines sont de nature mathématique mais ce point est secondaire.
Ces approches pourraient permettre aux mathématiciens d'avoir un accès plus direct et néanmoins compatible avec d'autres approches, aux questions d'enseignement et de mieux concevoir leur participation à la diffusion de leur discipline et notamment à la formation des professeurs, aux côtés de spécialistes d'autres domaines.
Elles proposent aussi des réflexions qui ne sont pas toutes triviales sur les mathématiques elles-mêmes.
L'objet de cet exposé est donc de présenter aux mathématiciens l'étude des conditions spécifiques de la diffusion des connaissances mathématiques telle qu'elle est conçue par les mathématiciens didacticiens, en indiquant la place de cette perspective par rapport à diverses approches des sciences humaines.

Dans la première partie, nous examinerons les problèmes de la diffusion des connaissances mathématiques en nous interrogeant de façon un peu naïve sur les raisons et les conditions de cette diffusion. Cette approche nos conduira à observer que les recherches en didactique des mathématiques sont chez les mathématiciens une réalité très ancienne et continue. Elle constituera aussi un premier exemple d'analyse des situations didactique des mathématiques.
Dans la deuxième partie nous présenterons les orientations fondamentales de la didactique des mathématiques, ses méthodes, ses principaux résultats et quelques questions d´actualité, en la plaçant dans la nébuleuse des travaux sur l'éducation mathématique et en mettant en évidence les apports de l´équipe Bordelaise.
La troisième sera consacrée à ses applications et à ses perspectives.