Transcendance des valeurs de la fonctionJ_{S,n,d} en des points Z ∈ H_{n}(C) non algebriques.

Geoffroy Derome

D’apres le theoreme de Schneider, on sait que si E_{τ} la courbe elliptique associe a τ ∈ H(\overline{Q}) est definie sur \overline{Q} alors E_{τ} est a multiplication complexe.

Cet enonce permet de deduire un resultat de transcendance portant sur les valeurs de l’invariant modulaire j en des points τ ∈ H(\overline{Q}) non quadratiques imaginaires.

Les travaux de P.Cohen, H. Shiga et J.Wolfart consistent a etendre ces resultats en dimensions superieures. Plus precisement, on sait que l’espace Sp_{2n}(Z)\H_{n}(C) est en bijection naturelle avec les classes d’isomorphismes de varietes abeliennes principalement polarisees (A, calC) de dimensions n definies sur C.

De plus, il existe une variete quasi-projective V_{S,n} definie sur Q et une application holomorphe

J_{S,n} : H_{n}(C) → V_{S,n}(C)

induisant un isomorphisme entre Sp_{2n}(Z)\H_{n}(C) et V_{S,n}(C) telle que Q(J_{S,n}(Z)) soit le corps des modules de la variete abelienne principalement polarisee associe a la classe [Z] ∈ Sp_{2n}(Z)\H_{n}(C) relativement a l’extension C/Q.

Le theoreme s’enonce de la maniere suivante Soit Z ∈ H_{n}(\overline{Q}) non special alors J_{S,n}(Z) ∉ V_{S,n}(\overline{Q}).

Le but de l’expose est de donner des exemples concrets de points Z ∈ H_{n}(C) non algebriques (donc non speciaux) tels que J_{S,n}(Z) ∉ V_{S,n}(\overline{Q}).