RÉSUMÉ

L'équation du titre a été étudiée par Nagell et Ljunggren pendant la première moitié du 20-ème siècle. On présentera une méthode qui permet, d'une part, quand n est fixé, d'obtenir une borne sur les q pour lesquels il peut exister une solution non triviale ; et d'autre part, quand n et q sont fixés, d'obtenir des bornes "exploitables" sur x et y. On montrera comment utiliser ces bornes pour résoudre complètement l'équation dès lors que n a un diviseur premier inférieur ou égal à 13, ou un diviseur premier inférieur ou égal à 23 distinct de q.
Travail commun avec Yann Bugeaud et Maurice Mignotte.

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