Sur les extensions octaédrales de ℚ provenant de ℚ-courbes quadratiques

Julio Fernàndez-Gonzàlez

À partir de l’action galoisienne sur les points de 3-torsion d’une ℚ-courbe (c’est-à-dire, d’une courbe elliptique définie sur un corps de nombres et isogène à ses conjuguées galoisiennes), on obtient toujours une représentation

Gal(\overline{ℚ}/ℚ) ⟶ PGL_{2}(𝔽_{3}) ,

le cas surjectif donnant lieu à une extension octaédrale de ℚ. Réciproquement, on se demande quelles extensions octaédrales de ℚ proviennent d’une ℚ-courbe. Nous étudions le cas quadratique, et donnons une caractérisation des extensions octaédrales qui proviennent d’une ℚ-courbe (quadratique) admettant une isogénie de degré 2 avec sa courbe conjuguée.