Quelques applications des symboles modulaires Joseph Oesterle

La conjecture de Taniyama-Weil (maintenant demontrée) équivaut (via la théorie des symboles modulaires) à dire que l’on peut associer à toute courbe elliptique E définie sur Q, de conducteur N, une famille finie de nombres rationnels, indexée par P_{1}(Z/NZ), satisfaisant pour chaque nombre premier p une relation linéaire dans laquelle intervient le cardinal de la réduction de E modulo p. La nature de ces nombres est encore mystérieuse, et devrait être liée à l’arithmétique de la courbe E sur le N-ime corps cycolotomique. Les conjectures de Serre sur les représentations modulaires de dimension 2 du groupe de Galois de \overline{Q} sur Q peuvent être reformulées de manière analogue.