VALEURS AUX POINTS ENTIERS DE CERTAINES FORMES QUADRATIQUES IRRATIONNELLES.

Un célèbre résultat de Margulis (répondant à une conjecture d’Oppenheim) affirme que, si Q est une forme quadratique non dégénérée sur ℝ^{n}, indéfinie, irrationnelle, alors Q(ℤ^{n}) est dense dans la droite réelle. Il est bien connu que ce résultat est faux en dimension 2: si Q_{θ}(x, y) = x^{2}−θ^{2}y^{2}, le point 0 est un point d’accumulation de Q_{θ}(ℤ^{2}) si et seulement si θ est mal approchable. Nous spécialisons au cas où θ est un irrationnel quadratique; nous montrons que, dans ce cas, on peut décrire complètement l’ensemble des points-limites de Q_{θ}(ℤ^{2}): c’est un ensemble discret, obtenu comme ensemble des valeurs non nulles sur ℤ^{2} d’une forme quadratique binaire indéfinie rationnelle. De plus tous les points-limites sont approchés du même côté. On montre que Q_{θ}(ℤ^{2}) n’est jamais une partie fermée, et on donne une condition nécessaire et suffisante pour que Q_{θ}(ℤ^{2}) soit une partie discrète. La preuve utilise la dynamique des matrices hyperboliques de SL(2, ℝ) dans sa représentation adjointe. Il s’agit d’un travail en commun avec G. Troessaert.