ESPACES HOMOGÈNES PRINCIPAUX

ET POINTS DE 2-DIVISION DE COURBES ELLIPTIQUES

Philippe CASSOU-NOGUÈS et Arnaud JEHANNE

1. Introduction

Dans cet article, nous nous intéressons aux problèmes de structure galoisienne associés aux couples (E/L, a), où E désigne une courbe elliptique définie sur le corps de nombres L et a un endomorphisme de E. Si E est à multiplication complexe, nous notons k le corps quadratique imaginaire dont l’anneau des entiers décrit End(E) et L une extension de k. Ainsi a est-il selon les cas un entier algébrique de k ou un élément de ℤ.

Nous considérons dorénavant un tel couple (E/L, a). Nous fixons une clôture algébrique ℚ^{c} de ℚ qui contient tous les corps de nombres considérés. Si F est un corps de nombres, nous notons O_{F} son anneau des entiers et nous posons Ω_{F} =Gal(ℚ^{c}/F). Si F est une extension de L, nous désignons par E(F) le groupe de Mordell-Weil des points de E rationnels sur F.

Soit G le groupe des points de a-division de E :

G = E[a] = Ker (a : E(ℚ^{c}) ⟶ E(ℚ^{c})) .

Ce groupe G peut être considéré comme schéma en groupe sur Spec(L) ; c’est alors un schéma affine défini par la L-algèbre de Hopf

(1-1)  B = Map(G, ℚ^{c})^{Ω_{L}}

des applications f : G ⟶ ℚ^{c} telles que f(g^{ω}) = f(g)^{ω}, pour tout g ∈ G et tout ω ∈ Ω_{L}. Nous supposons dorénavant que E a partout bonne réduction sur L. Si E désigne le modèle de Néron de E sur Spec(O_{L}), l’élément a induit un endomorphisme de E. Nous posons

(1-2)  G = E[a] = Ker(a).

Il s’agit d’un sous-schéma fermé de E, de fibre générique G. Puisque E a partout bonne réduction, G est fini et plat. Il existe donc un unique ordre de Hopf 𝔟 de B tel que

(1-3)  G = Spec(𝔟).

Le groupe Ω_{L} opère sur l’algèbre de groupe ℚ^{c}[G], via son action à la fois sur ℚ^{c} et G. Nous désignons par

(1-4)  A = (ℚ^{c}[G])^{Ω_{L}}

la L-algèbre des points fixes. La forme bilinéaire et non dégénérée

(1-5)  \begin{matrix}A × B & ⟶ L \\ (x = ∑_{g∈G} x_{g}g, f) & ⟼ ⟨x, f⟩ = ∑_{g∈G} x_{g}f(g) \end{matrix}

permet de considérer A comme l’algèbre de Hopf duale de B. Nous définissons l’ordre 𝔞 de A comme le O_{L}-dual de 𝔟

(1-6)  𝔞 = {x ∈ A : ∀f ∈ 𝔟, ⟨x, f⟩ ∈ O_{L}}.

Notons que si les points de a-division de E sont rationnels sur L, alors G est le schéma en groupe constant sur L, B l’algèbre Map(G, L), A l’algèbre de groupe L[G] et 𝔞 un ordre de L[G].

C’est dans ce contexte que M.-J. Taylor a introduit dans [18] la notion d’espace homogène principal EHP et posé le problème de leur structure galoisienne.

A tout point P de E(L), nous associons l’ensemble

(1-7)  G_{P} = {Q ∈ E(ℚ^{c}) : aQ = P }

et la L-algèbre

(1-8)  L_{P} = Map(G_{P} , ℚ^{c})^{Ω_{L}}.

L’algèbre L_{P} est un EHP pour B. Si O_{P} désigne l’anneau des entiers de L_{P}, nous définissons

(1-9)  Õ_{P} = {c ∈ O_{P} : xc ∈ O_{P} , ∀x ∈ 𝔞}.

Cet ordre de L_{P} est un EHP pour Spec(𝔟) (on peut se reporter au paragraphe 2 pour des définitions plus précises). On montre que Õ_{P} est un 𝔞-module localement libre. L’application

(1-10)  \begin{matrix}ψ : E(L) & ⟶ Cl(𝔞) \\ P & ⟼ (Õ_{P}) − (𝔟), \end{matrix}

où Cl(𝔞) désigne le groupe des classes des 𝔞-modules localement libres, est un homomorphisme de groupes (voir [18] ou [4]). En 1988, M.-J. Taylor a émis dans [18] la conjecture suivante.

Conjecture. Pour tout couple (E/L, a), où E est à multiplication complexe, le sous-groupe de torsion de E(L) est inclus dans Ker(ψ).

Un grand nombre de travaux ont été consacrés à cette question. Nous résumons dans le théorème suivant les principaux résultats obtenus à ce propos.

Théorème 1.

(1) Si (E/L, a) est à multiplication complexe par l’anneau des entiers de k, si w_{k} désigne le nombre de racines de l’unité contenues dans k et si (a, w_{k}) = 1, alors le couple (E/L, a) vérifie la conjecture (voir [20]).

(2) Tout couple (E/L, a) tel que (a, 6) = 1 vérifie la conjecture (voir [1], [14]).

Nous constatons que ce théorème laisse ouverte la conjecture pour les couples (E/L, a) quand a est pair. En 1997, W. Bley et M. Klebel ont montré dans [2] que la conclusion de (2) était généralement fausse en construisant des familles de couples (E/L, 2) sans multiplication complexe possédant un point d’ordre 2 rationnel sur L n’appartenant pas à Ker(ψ). Dans le cas de la multiplication complexe, la conjecture a pu être démontrée lorsque a est pair dans de nombreuses situations ([6], [3]). En général, si a est une puissance de 2, la conjecture est vraie dès que “suffisamment” de points d’ordre une puissance de 2 sont rationnels sur L.

Le but de cet article est de donner dans le cas de multiplication complexe les premiers contre-exemples à la conjecture de Taylor. Plus précisément, nous nous intéressons au cas où a est une puissance de 2 et où E est à multiplication complexe par l’anneau des entiers d’un corps quadratique imaginaire k de nombre de classes 1 et de discriminant d_{k} < −4 dans lequel le nombre premier 2 est inerte. Nous dirons qu’un tel corps k satisfait (H). Les corps qui satisfont (H) sont donc les corps k = ℚ(\sqrt{−p}), où p ∈ S = \{11, 19, 43, 67, 163\}. Si n est un nombre entier naturel non nul et si a = 2^{n}, nous notons ψ_{n} l’homomorphisme (1-10) associé au couple (E/L, 2^{n}) et φ_{n} le composé de ψ_{n} par l’homomorphisme induit par l’extension des scalaires à l’ordre maximal de A. Lorsque n = 1, nous posons ψ = ψ_{1} et φ = φ_{1}. Sous ces hypothèses, les principaux résultats de cet article sont les théorèmes suivants.

Théorème 2. Pour tout corps k satisfaisant (H), il existe une courbe elliptique E/L à multiplication complexe par O_{k} telle que

(1) E[2] ⊂ E(L)

(2) E[2] ∩ Ker(ψ_{n}) = {0} pour tout entier naturel n non nul.

Théorème 3. Soient k un corps quadratique satisfaisant (H) et (E/k) une courbe elliptique à multiplication complexe par O_{k} de conducteur impair. Soit (L/k) une extension sur laquelle E a partout bonne réduction. Alors si E[4] est contenu dans E(L), le sous-groupe de torsion de E(L) est inclus dans Ker(φ).

Remarques.

1. Nous savons par un résultat d’Agboola ([1], proposition 1.2) que pour démontrer le théorème 2, il suffit de montrer le résultat pour n = 1. Sous les hypothèses de ce théorème, nous démontrons en fait le résultat plus fort : E[2]∩Ker(φ_{n}) = {0}, pour tout entier naturel non nul n.

2. On peut noter que pour chaque p ∈ S, la courbe E/L utilisée dans le théorème 2 possède un modèle sur ℚ qui, considéré comme courbe sur k est la ℚ-courbe canonique introduite par B. Gross et notée A(p) dans [10]. Ces courbes sont particulièrement bien adaptées à notre étude puisqu’elles n’ont pas de point de torsion sur k (voir [10], théorème 14-2-1).

Dans le récent travail décrit dans [14], G. Pappas a donné une interprétation géométrique de la conjecture. Dans le cadre où nous nous sommes placés, la conjecture de Taylor pour le couple (E/L, a) équivaut à l’affirmation : “La restriction au sous-schéma fermé E[a] de E de tout faisceau inversible de E d’ordre fini avec rigidification est triviale”. Le théorème 1 (2) est un corollaire de la démonstration par G. Pappas de cette affirmation lorsque (a, 6) = 1. Nous pouvons donc déduire du théorème 2 le résultat suivant.

Corollaire. Pour tout corps quadratique k satisfaisant (H), il existe une extension L/k, un schéma abélien E → S de dimension relative 1 à multiplication complexe par O_{k} (où S =Spec(O_{L}) et où L désigne une extension de k) et un faisceau inversible L de E d’ordre deux avec rigidification tel que L|_{E[2^{n}]}, n ≥ 1 soit non trivial.

Le plan de cet article est le suivant. Le paragraphe 2 comprend des rappels sur la notion d’EHP et la démonstration d’un critère d’appartenance à Ker(φ) dans le cas où E[a] ⊂ E(L). Dans le paragraphe 3 sont regroupés quelques résultats utiles sur les courbes elliptiques. Enfin, le paragraphe 4 contient nos constructions et nos démonstrations des théorèmes 2 et 3.

2. Critère de Kummer

Ce paragraphe contient quelques rappels (sans démonstration pour la plupart) sur les espaces homogènes principaux. Nos références sont d’une part [4] et d’autre part [3] chapitre I et [13] chapitre V. Ce paragraphe contient également un critère d’appartenance à Ker(φ) essentiellement dû à K. Bouklou. Nous donnons une démonstration de ce critère qui se révèle l’outil clef de nos constructions.

Nous fixons un corps de nombres L et un groupe abélien fini G. Nous nous intéressons ici au cas où Ω_{L} opère trivialement sur G, c’est-à-dire où G définit un schéma en groupe constant sur L. Les algèbres introduites en (1-1) et (1-4) deviennent alors

(2-1)  \begin{matrix}A_{G} = L[G] \\ B_{G} = Map(G, L). \end{matrix}

Nous rappelons que les algèbres de Hopf A_{G} et B_{G} sont duales via la forme ⟨ , ⟩ introduite en (1-5).

Un espace homogène principal ou EHP (voir [4]) pour B_{G} est une L-algèbre commutative C sur laquelle G opère par automorphismes et telle qu’il existe un isomorphisme de ℚ^{c}[G]-algèbre

(2-2)  ζ_{C} : C ⊗_{L} ℚ^{c} ≃ B_{G} ⊗_{L} ℚ^{c} = Map(G, ℚ^{c}).

Fixons 𝔟_{G} (resp. 𝔞_{G}) un ordre de Hopf de B_{G} (resp. A_{G}) et supposons ces ordres duaux au sens de (1-5). Un espace homogène principal pour 𝔟_{G} est un ordre ℭ de C, EHP pour B_{G}, stable par 𝔞_{G}, tel que ζ_{C} induise un isomorphisme de ℭ ⊗_{O_{L}} O_{ℚ^{c}} sur 𝔟_{G} ⊗_{O_{L}} O_{ℚ^{c}}.

L’ensemble des classes d’isomorphisme d’EHP pour B_{G} (resp. 𝔟_{G}) possède une structure de groupe que nous notons PH(B_{G}) (resp. PH(𝔟_{G})). L’extension des scalaires induit un homomorphisme injectif de PH(𝔟_{G}) dans PH(B_{G}). Nous considérons dorénavant PH(𝔟_{G}) comme un sous-groupe de PH(B_{G}) via cette injection.

Tout EHP pour 𝔟_{G} est un 𝔞_{G}-module localement libre. On peut montrer que l’application

(2-3)  \begin{matrix}θ_{G} : PH(𝔟_{G}) & ⟶ Cl(𝔞_{G}) \\ (ℭ) & ⟼ (ℭ) − (𝔟_{G}) \end{matrix}

est un homomorphisme de groupes. Soit 𝔐_{G} l’ordre maximal de A_{G}. Nous notons η_{G} le composé de θ_{G} par l’homomorphisme e_{G} de Cl(𝔞_{G}) dans Cl(𝔐_{G}) induit par extension des scalaires.

Le groupe PH(B_{G}) est isomorphe au groupe Hom(Ω_{L}, G) de manière suivante. Si π ∈ Hom(Ω_{L}, G), on lui associe l’EHP

(2-4)  C_{π} = Map(G, ℚ^{c})^{Ω_{L}},

où l’action de Ω_{L} sur G n’est pas ici l’action triviale, mais donnée par g^{ω} = gπ(ω), pour tout ω ∈ Ω_{L} et tout g ∈ G.

Définition 2-5. Si C est un EHP défini par π, nous appelons corps associé à C et notons M(C) le corps (ℚ^{c})^{Kerπ}.

Soit H un sous-groupe de G. La surjection canonique s_{H} : G → G/H induit une surjection

s_{H} : A_{G} ⟶ A_{G/H}

et un plongement

\begin{matrix}i_{H} : B_{G/H} & ⟶ B_{G} \\ f & ⟼ i_{H}(f) : g ↦ f(gH). \end{matrix}

Nous posons 𝔞_{G/H} = s_{H}(𝔞_{G}) et 𝔟_{G/H} = i_{H}^{−1}(𝔟_{G}). L’homomorphisme s_{H} induit un homomorphisme de Hom(Ω_{L}, G) dans Hom(Ω_{L}, G/H) et donc un homomorphisme de PH(B_{G}) dans PH(B_{G/H}) que nous notons α_{H}. Si X est un G-module, notons X^{H} le sous-module de ses points fixés par H. L’homomorphisme α_{H} est induit par l’application qui à tout EHP C pour B_{G} associe C^{H}. Nous savons en outre (voir [9], chapitre II), que l’application qui à tout module localement libre M associe M^{H} induit un homomorphisme de Cl(𝔞_{G}) sur Cl(𝔞_{G/H}) qu’on note β_{H} et, après extension des scalaires, un homomorphisme de Cl(𝔐_{G}) sur Cl(𝔐_{G/H}) qu’on note γ_{H}. Nous résumons dans la proposition suivante les propriétés fonctorielles des divers homomorphismes introduits.

Proposition 2-6. Soit H un sous-groupe de G.

(1) 𝔞_{G/H} et 𝔟_{G/H} sont des ordres de Hopf duaux dans A_{G/H} et B_{G/H}.

(2) α_{H}(PH(𝔟_{G})) ⊂ PH(𝔟_{G/H})

(3) Le diagramme suivant est commutatif.

PH(𝔟_{G}) ⟶^{θ_{G}} Cl(𝔞_{G}) ⟶^{e_{G}} Cl(𝔐_{G})
↓ α_{H} ↓ β_{H} ↓ γ_{H}
PH(𝔟_{G/H}) ⟶_{θ_{G/H}} Cl(𝔞_{G/H}) ⟶_{e_{G/H}} Cl(𝔐_{G/H})

Soit C un EHP pour 𝔟_{G} dont l’image dans Hom(Ω_{L}, G) est l’homomorphisme π. Posons V = π(Ω_{L}) et identifions via π les groupes Gal(M(C)/L) et V. Nous pouvons maintenant énoncer notre critère qui généralise au cas abélien un résultat obtenu dans [19] par M.-J. Taylor dans le cas cyclique. Si M/L est une extension cyclique de degré n et si L contient les racines n-ième de l’unité, nous appelons générateur de Kummer de M/L tout élément x ∈ M tel que M = L(x) et x^{n} ∈ L.

Critère de Kummer 2-7. On suppose que G est d’exposant n et que L contient les racines n-ièmes de l’unité. Alors η_{G}(C) est trivial dans Cl(𝔐_{G}) si et seulement si pour tout sous-groupe H de G à quotient cyclique l’extension M(C)^{V ∩H}/L possède un générateur de Kummer qui soit une unité.

Preuve. La proposition 2-6 fournit pour tout sous-groupe H de G le diagramme commutatif :

(2-8)

PH(𝔟_{G}) ⟶^{η_{G}} Cl(𝔐_{G})
α_{H} ↓  ↓ γ_{H}
PH(𝔟_{G/H}) ⟶_{η_{G/H}} Cl(𝔐_{G/H})

Lemme 2-9. Soit Σ l’ensemble des sous-groupes de G à quotient cyclique. Alors l’homomorphisme

γ = ∏_{H∈Σ} γ_{H} : Cl(𝔐_{G}) ⟶ ∏_{H∈Σ} Cl(𝔐_{G/H})

est injectif.

Preuve. Si T est un groupe abélien et fini, notons T̂ le groupe de ses caractères et 𝔐_{T} l’ordre maximal de L[T]. Nous utilisons la description de Cl(𝔐_{T}) dûe à Fröhlich (voir [9], chapitre II) suivante

Cl(𝔐_{T}) ≃ \frac{Hom_{Ω_{L}}(R_{T} , J(ℚ^{c}))}{Hom(R_{T} , L^{c∗})Hom(R_{T} , U(ℚ^{c}))}

où R_{T} désigne le groupe additif des caractères virtuels de T et J(ℚ^{c}) (resp. U(ℚ^{c}) le groupe des idèles (resp. des idèles unités) de ℚ^{c}. Si H est un sous-groupe de G, l’homomorphisme

γ_{H} : Cl(𝔐_{G}) ⟶ Cl(𝔐_{G/H})

est induit par l’homomorphisme

r_{H} : Hom_{Ω_{L}}(R_{G}, J(ℚ^{c})) ⟶ Hom_{Ω_{L}}(R_{G/H}, J(ℚ^{c}))

défini sur les caractères irréductibles de G/H par

r_{H}(f)(χ) = f (Inf_{G,G/H}(χ)) ,

où Inf_{G,G/H} désigne l’inflation des caractères de R_{G/H} → R_{G}.

On note Ĝ = {χ_{i}, 1 ≤ i ≤ m}. Pour tout entier i compris entre 1 et m, posons H_{i} =Ker(χ_{i}). Alors H_{i} ∈ Σ et χ = Inf_{G,G/H_{i}}(θ_{i}), où θ_{i} désigne un caractère de G/H_{i}. Soit x ∈Cl(𝔐_{G}) un élément de ⋂_{H∈Σ} Ker(γ_{H}), et soit f un représentant de x dans Hom_{Ω_{L}}(R_{G}, J(ℚ^{c})). Pour tout i de {1, ..., m}, comme γ_{H_{i}}(x) = 1, il existe un élément v_{i} de Hom_{Ω_{L}}(R_{G/H_{i}}, (L^{c})^{∗}) et un élément u_{i} de Hom_{Ω_{L}}(R_{G/H_{i}}, U(ℚ^{c})) tels que

(2-10)  r_{H_{i}}(f) = v_{i}u_{i}.

Nous définissons v ∈ Hom_{Ω_{L}}(R_{G}, L^{c∗}) et u ∈ Hom_{Ω_{L}}(R_{G}, U(ℚ^{c})) en posant v(χ_{i}) = v_{i}(θ_{i}) et u(χ_{i}) = u_{i}(θ_{i}) pour tout i ∈ {1, ..., m} et en prolongeant u et v par linéarité à R_{G}. Pour tout entier i de {1, ..., m}, nous avons

(2-11)  \begin{aligned}f(χ_{i}) & = r_{H_{i}}(f)(θ_{i}) = v_{i}(θ_{i})u_{i}(θ_{i}) \\ & = v(χ_{i})u(χ_{i}). \end{aligned}

Nous concluons que f = vu et donc que x = 1. □

Nous pouvons maintenant achever la démonstration du critère.

Soit (C) ∈ PH(𝔟_{G}). Nous déduisons de (2-8) et du lemme (2-9) l’équivalence

η_{G}(C) = 1 ⟺ η_{G/H}(C^{H}) = 1, ∀H ∈ Σ.

Comme G/H est cyclique, nous savons par le théorème 2 de [19] que η_{G/H}(C^{H}) = 1 si et seulement si l’extension M(C^{H})/L possède un générateur de Kummer qui est une unité. Or, l’image de C^{H} dans Hom(Ω_{L}, G/H) est l’homomorphisme s_{H} ∘ π, donc M(C^{H}) = M(C)^{V ∩H}, ce qui achève la démonstration. □

Corollaire 2-12. On suppose que G = C_{p^{n}} ×C_{p^{n}}, où p désigne un nombre premier et C_{p^{n}} un groupe cyclique d’ordre p^{n}. Soit Σ′ l’ensemble des éléments de Σ d’ordre p^{n}. Alors sous les hypothèses du critère, (1) et (2) sont équivalents.

(1) η_{G}(C) = 1

(2) Pour tout élément H de Σ′, l’extension M(C)^{V ∩H}/L possède un générateur de Kummer qui est une unité.

Preuve. Il suffit de montrer que le lemme 2-9 reste valable si l’on remplace Σ par Σ′. Il est clair que

⋂_{H∈Σ} Ker(γ_{H}) ⊂ ⋂_{H∈Σ′} Ker(γ_{H}).

Or la théorie des diviseurs élémentaires nous permet de montrer que tout élément de Σ contient un élément de Σ′. Nous en déduisons l’égalité, et donc la trivialité de ces deux intersections. □

3. Corps des points de 2^{n}-division d’une courbe elliptique

Ce paragraphe regroupe sous forme de propositions certaines propriétés élémentaires des courbes elliptiques qui seront utiles pour les constructions du paragraphe suivant.

Nous désignons par k un corps quadratique imaginaire qui satisfait la condition (H) de l’introduction et nous considérons une courbe elliptique E, définie sur k par un modèle de Weierstrass, à multiplication complexe par O_{k}. Nous supposons en outre que E a bonne réduction en 2.

Pour tout entier n ≥ 0, nous posons

k_{n} = k(E[2^{n+1}]).

Nous notons 𝔭_{n} le relèvement de 2 dans k_{n} et 𝔭 = 𝔭_{0}.

Proposition 3-1. La courbe E a partout bonne réduction sur k_{1}.

Preuve. Supposons que la courbe ait mauvaise réduction en un idéal premier impair de k_{1}. Les points de 4-division de E étant rationnels sur k_{1}, nous déduisons du théorème de Kodaira-Néron (voir par exemple [17], théorème 6-1) que la réduction de E est semi-stable. Mais comme E a multiplication complexe, la réduction est additive, d’où la contradiction. □

Proposition 3-2. On suppose que la courbe (E/k) a mauvaise réduction en l’idéal premier impair 𝔔 de k. Soient L/k une extension quadratique de k ramifiée en 𝔔 et 𝔓 le relèvement de 𝔔 dans L. Alors (E/L) a bonne réduction en 𝔓.

Preuve. Puisque 1 et −1 sont les seules racines de l’unité contenues dans k, nous savons qu’il existe une extension quadratique (F/k) sur laquelle E a partout bonne réduction (voir [20], théorème 7). Cette extension est donc ramifiée en 𝔔. La courbe E a bonne réduction en toute place de N = LF. Puisque 𝔓 est impair, il est donc non ramifié dans N/L. Nous en déduisons que la réduction de (E/L) en 𝔓 est de même nature que celle de (E/N) au dessus de 𝔓, ce qui démontre le résultat. □

Pour tout entier n, nous notons k(2^{n}) le corps de classe de k de rayon 2^{n}O_{k}.

Proposition 3-3.

(1) L’extension k_{0}/ℚ est galoisienne de groupe de Galois S_{3}.

(2) Pour tout entier naturel n, le corps k_{n} est une extension de k(2^{n+1}). De plus : Gal(k_{n}/k) ≃ (O_{k}/2^{n+1})^{∗} et Gal(k(2^{n+1})/k) ≃ (O_{k}/2^{n+1})^{∗}/⟨±1⟩.

Preuve. Si P est un point primitif de 2-division nous obtenons grâce au théorème de Fueter et Hasse les égalités suivantes : k_{0} = k(x(P)) = k(2). L’extension k_{0}/ℚ est donc de degré 6. Comme k = ℚ(\sqrt{−p}) avec p ∈ S, nous constatons que les seuls premiers ramifiés dans k(2)/ℚ sont 2 et p, d’indices de ramification respectifs 3 et 2. On en déduit facilement que k_{0}/ℚ n’est pas cyclique. Puisque k(2^{n+1}) = k(x(Q)) pour tout point Q primitif de 2^{n+1}-division, nous obtenons k(2^{n+1}) ⊂ k_{n}. Comme le conducteur de E est impair, l’isomorphisme Gal(k_{n}/k) ≃ (O_{k}/2^{n+1})^{∗} est un résultat classique de la multiplication complexe (voir [d-S], chap.2, corollaire 1-7). Le second isomorphisme est une conséquence de la théorie du corps de classe globale. □

Proposition 3-4. Soient n un entier naturel et P un point primitif de 2^{n} division de (E/k).

(1) Si n = 1, alors k_{1} = k_{0}(\frac{1}{2}P) et k_{0}(i) = k_{0}(x(\frac{1}{2}P)).

(2) Si n ≥ 2, k_{n} = k_{n−1}k(2^{n+1}) = k_{n−1}(\frac{1}{2}P).

Preuve. Soit Q un point de E tel que 2Q = P. Comme i = \sqrt{−1} appartient à k(4) ∖ k_{0}, le corps k_{0}(x(Q)) = k(4) est égal à k_{0}(i). Montrons que k_{1} = k_{0}(Q). Soit R ∈ E[4] tel que {Q, R} soit une base de E[4] sur ℤ/4ℤ. Si ω ∈ Gal(k_{1}/k_{0}(Q)), alors x(R)^{ω} = x(R^{ω}) = x(R) et donc R^{ω} = ±R. Notons ⟨ , ⟩ l’accouplement de Weil sur les points de 4-division de E. Nous obtenons : ⟨R^{ω}, R⟩ = 1. En outre, comme i ∈ k_{0}(Q), il vient ⟨R^{ω}, Q⟩ = ⟨R^{ω}, Q^{ω}⟩ = ⟨R, Q⟩^{ω} = ⟨R, Q⟩. Nous en déduisons ⟨R^{ω} − R, R⟩ = ⟨R^{ω} − R, Q⟩ = 1 et donc R^{ω} = R. Nous concluons à l’égalité k_{1} = k_{0}(Q). Montrons (2). Puisque k(2^{n+1}) = k(x(Q)) l’inclusion k_{n−1}k(2^{n+1}) ⊂ k_{n} est immédiate. Il suffit pour conclure de montrer que k_{n−1} n’est pas contenu dans k(2^{n+1}). Comme il n’existe pas de courbe E/k ayant partout bonne réduction et comme E/k_{1} a partout bonne réduction, il existe un idéal premier impair ramifié dans k_{n−1}/k. Ceci implique l’égalité souhaitée. □

Nous nous intéressons aux sous-extensions de l’extension k_{1}/k_{0}. Nous déduisons des propositions 3-3 et 3-4 que k_{1}/k_{0} possède trois sous-extensions quadratiques dont l’une est égale à k_{0}(i). Nous désignons par M et N les deux autres. Nous fixons dans ce qui suit un plongement h de ℚ^{c} dans ℚ_{2}^{c}. Si L/ℚ est une extension, nous notons L′ la fermeture de h(L) dans ℚ_{2}^{c}. Si L/F est une extension de corps de nombres ou de corps locaux nous notons d(L/F) le discriminant relatif de L/F considéré comme idéal de O_{F}.

Proposition 3-5.

(1) L’extension k_{1}/k_{0} est totalement ramifiée en 2.

(2) Les idéaux premiers impairs de k_{0} ramifiés dans M/k_{0} sont ceux en lesquels la courbe (E/k_{0}) a mauvaise réduction.

(3) Soit I_{k}(E) le produit des idéaux premiers impairs de O_{k} qui admettent un relèvement dans k_{0} où la courbe (E/k_{0}) possède mauvaise réduction. Alors il existe un générateur α de I_{k}(E) tel que M = k_{0}(\sqrt{α}).

Preuve. Le point (1) est un résultat classique de la multiplication complexe (voir [d-S], chap.2, (1-9)). Puisque nous savons par le critère de Néron, Ogg et Shafarevich que seuls les idéaux premiers impairs de mauvaise réduction peuvent être ramifiés dans k_{1}/k_{0}, il suffit de montrer qu’un tel premier est ramifié dans M/k_{0} et N/k_{0}. Or, puisque E/k_{1} a partout bonne réduction, les idéaux premiers de mauvaise réduction sont ramifiés dans k_{1}/k_{0}. Comme ils ne le sont pas dans k_{0}(i)/k_{0}, ils le sont nécessairement dans M/k_{0} et N/k_{0}, ce qui démontre (2). L’extension k_{1}/k est la composée de l’extension cubique k_{0}/k et d’une extension F/k à groupe de Galois ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ. Ainsi M/k est-elle la composée de k_{0}/k et d’une extension quadratique M_{0}/k ramifiée en 2 et en les diviseurs premiers de I_{k}(E). Puisque k est de nombre de classe 1, la théorie de Kummer nous permet d’écrire M_{0} = k(\sqrt{2^{n}α}), où α est un générateur de I_{k}(E) et où n = 0 ou 1. Pour montrer que n = 0, il suffit de se placer dans la situation locale en 2 et de montrer que M′ = k′_{0}(\sqrt{γ}) ou γ est une unité de k′_{0}. Supposons le contraire. Puisque l’indice de ramification de 2 dans k_{0} est égal à 3, un résultat de Hecke (voir 11) affirme que l’on a

(3-6)  d(M′/k′_{0}) = d(N′/k′_{0}) = 𝔭^{7}.

La Führerdiskriminantenproduktformel, que nous appelons aussi formule des discriminants nous fournit l’égalité:

(3-7)  d(k′_{1}/k′_{0}) = d(k′_{0}(\sqrt{−1}/k′_{0}))d(M′/k′_{0})d(N′/k′_{0}).

Cette même formule des discriminants, jointe à la théorie du corps de classe locale nous permet de montrer l’égalité

(3-8)  d(k′_{1}/k′_{0}) = 𝔭^{12}.

On conclut alors à une absurdité puisque (3-6), (3-7) et (3-8) sont incompatibles . □

Remarque. On note que si la courbe E/k a bonne réduction au-dessus de 2 et 3, ce qui sera toujours le cas dans les exemples examinés, l’idéal I_{k}(E) est le conducteur du Grössencharacter attaché à E/k.

Pour tout entier n ≥ 2, l’extension k(2^{n+1})/k(2^{n}) est biquadratique. La théorie du corps de classe nous permet de montrer que toute racine 2^{n+1}-ième de l’unité ξ appartient à k(2^{n+1}) et non à k(2^{n}). L’extension k(2^{n})(ξ)/k(2^{n}) est donc l’une des sous-extensions quadratiques de k(2^{n+1})/k(2^{n}).

Proposition 3-9. Pour tout entier n ≥ 2, chaque sous-extension quadratique de l’extension k(2^{n+1})/k(2^{n}) possède un générateur de Kummer qui est une unité.

Preuve. Pour chaque corps quadratique k satifaisant (H), nous donnons en (4-10) un polynôme cubique dont le corps de décomposition est le corps k(2). Un examen des tables de tels corps nous apprend que chaque corps k(2) ainsi obtenu est de nombre de classes 1. Puisque 2 est le seul premier ramifié dans k(2^{n})/k et qu’en outre il l’est totalement, nous pouvons construire une suite de corps totalement imaginaires

k(2) = L_{0} ⊂ L_{1} ⊂ ... ⊂ L_{2^{n−1}−1} ⊂ L_{2^{n−1}} = k(2^{n})

tels que pour chaque i, 0 ≤ i ≤ 2^{n−1} − 1, l’extension L_{i+1}/L_{i} soit quadratique et ramifiée en le seul relèvement premier de 2. L’utilisation de la formule des classes ambiges pour chaque couple d’extension L_{i+1}/L_{i} nous permet de montrer que le nombre de classes de L_{i} est impair pour tout entier i (voir [12]). Désignons par L/k(2^{n}) et F/k(2^{n}) les sous-extensions quadratiques de k(2^{n+1})/k(2^{n}) distinctes de k(2^{n})(ξ). Puisque ces extensions sont non ramifiées en dehors de 2, il existe un entier u de k(2^{n}) tel que L = k(2^{n})(\sqrt{u}) et F = k(2^{n})(ξ\sqrt{u}), où u est de valuation paire pour tout idéal premier impair de k(2^{n}). En procédant comme pour la proposition 3-5, nous montrons que la valuation de u en le relèvement premier de 2 dans k(2^{n}) est paire. Nous concluons qu’il existe un idéal J de k(2^{n}) tel que J^{2} = (u). Puisque le nombre de classes de k(2^{n}) est impair, l’idéal J est principal. Les extensions L et F sont donc engendrées par des racines d’unités de k(2^{n}). □

4. Construction d’exemples et de contre-exemples

Le but de ce paragraphe est de démontrer les théorèmes 2 et 3. Nous nous intéressons aux couples (E/L, a = 2) introduits dans le paragraphe 1. Nous posons G = E[2] et nous supposons ces points rationnels sur L. Les algèbres A et B et les ordres 𝔞 et 𝔟 sont définis en (1-4), (1-5) et (1-3). Puisque Ω_{L} opère trivialement sur G, ils satisfont les hypothèses du paragraphe 2. A tout point P de E(L), nous avons associé en (1-8) et (1-9) les EHP notés L_{P} et Õ_{P}. Fixons un élément de G_{P} que nous notons \frac{1}{2}P. Soit π l’élément de Hom(Ω_{L}, G) tel que

(4-1)  π(ω) = (\frac{1}{2}P )^{ω} − \frac{1}{2}P, ∀ω ∈ Ω_{L},

et soit C_{π} l’EHP associé défini en (2-4). L’application

(4-2)  \begin{matrix}L_{P} & ⟶ C_{π} \\ f & ⟼ f̃ : g ↦ f(\frac{1}{2}P + g) \end{matrix}

est un isomorphisme d’algèbres et de L[G]-modules. Le corps associé à L_{P} est donc défini par

(4-3)  M(L_{P}) = L (\frac{1}{2}P ) .

Nous déduisons du critère 2-7 et de son corollaire 2-12 le critère suivant.

Critère 4-4. Soit P ∈ E(L). Alors η_{G}(Õ_{P}) = 1 si et seulement si l’une des conditions suivantes est réalisée.

(1) L (\frac{1}{2}P ) = L.

(2) L’extension L (\frac{1}{2}P ) /L est une extension quadratique qui possède pour générateur de Kummer une unité.

(3) L’indice [L (\frac{1}{2}P ) : L] est égal à 4 et chaque sous-extension quadratique de l’extension L (\frac{1}{2}P ) /L possède un générateur de Kummer qui est une unité.

Preuve du théorème 2. Nous désignons dorénavant par k l’un des corps quadratiques k = ℚ(\sqrt{−p}), où p ∈ \{11, 19, 43, 67, 163\}. Soit (E/k) une courbe elliptique qui a multiplication complexe par l’anneau des entiers de k et qui en outre satisfait les hypothèses du théorème 2. Nous associons à (E/k) l’idéal entier I_{k}(E) de O_{k} défini dans la proposition 3-5. Soit K/k une extension quadratique de k ramifiée en tous les diviseurs premiers de I_{k}(E) et en au moins un idéal premier impair de k qui ne divise pas I_{k}(E). Par (3-2), nous savons que (E/K) a partout bonne réduction. En outre, puisque les seuls premiers ramifiés dans l’extension k_{1}/k sont 2 et les diviseurs premiers de I_{k}(E), nous observons que les extensions K/k et k_{1}/k sont linéairement disjointes. Posons k̃_{0} = Kk_{0}. Nous obtenons ainsi une courbe E/k̃_{0} qui a partout bonne réduction. Les propositions 3-3 et 3-4 nous montrent que pour tout P ∈ E[2] ∖ \{0\}, le degré [k̃_{0}(\frac{1}{2}P) : k̃_{0}] est égal à 4. Nous savons en outre par la proposition 3-5 que si I_{k}(E) = (α), les sous-extensions quadratiques de l’extension k̃_{0}(\frac{1}{2}P)/k̃_{0} sont k̃_{0}(\sqrt{−1}), k̃_{0}(\sqrt{α}) et k̃_{0}(\sqrt{−α}). Nous obtenons du critère 4-4 et de l’égalité φ(P) = η_{G}(Õ_{P}) les équivalences entre les propriétés (i), (ii) et (iii) suivantes. (4-5)

(i) P ∈ Kerφ.
(ii) L’extension k̃_{0}(\sqrt{α})/k̃_{0} possède une unité pour générateur de Kummer.
(iii) L’idéal (α) est le carré d’un idéal principal de k̃_{0}.

Or, comme α ∈ O_{k} et comme [k̃_{0} : K] = 3, la propriété (iii) équivaut à :

(iv) L’idéal αO_{K} est le carré d’un idéal principal de O_{K}.

Pour p ∈ S, nous désignons par E_{p} la courbe elliptique définie sur ℚ, à multiplication complexe par l’anneau des entiers de ℚ(\sqrt{−p}), dont un modèle minimal et le discriminant sont donnés par le tableau ci-dessous ([17], Appendix A, § 3).

Tableau 4-6.

\begin{matrix}p & E_{p} & Δ_{E_{p}} \\ 11 & y^{2} + y = x^{3} − x^{2} − 7x + 10 & 11^{3} \\ 19 & y^{2} + y = x^{3} − 38x + 90 & 19^{3} \\ 43 & y^{2} + y = x^{3} − 860x + 9707 & 43^{3} \\ 67 & y^{2} + y = x^{3} − 7370x + 243528 & 67^{3} \\ 163 & y^{2} + y = x^{3} − 2174420x + 1234136692 & 163^{3} \end{matrix}

Nous constatons que la courbe (E_{p}/ℚ) satisfait les hypothèses du paragraphe précédent. Pour un élément p de S fixé, posons k = ℚ(\sqrt{−p}), k_{0} = k(E_{p}[2]), etc. Comme Gal(k_{0}/ℚ) = S_{3}, le relèvement premier de p dans k est non ramifié dans l’extension k_{0}/k et la courbe (E_{p}/k_{0}) a mauvaise réduction en chaque relèvement de p dans k_{0}. Nous en déduisons l’égalité

(4-7)  I_{k}(E_{p}) = \sqrt{−p} · O_{k} = 𝔭_{p}.

Grâce à (4-5) (iv), il nous suffit maintenant de construire une extension quadratique K/k ramifiée en 𝔭_{p} et en au moins un idéal premier impair distinct de 𝔭_{p} telle que 𝔭_{p} ne soit pas le carré d’un idéal principal de K. Cette dernière condition est réalisée dès que ni \sqrt{−p} ni −\sqrt{−p} ne sont des normes de K/k.

Lemme 4-8. Soient x et y des entiers naturels non nuls tels que (x, p) = 1. On suppose qu’il existe un nombre premier l tel que

(1) l ≡ 1 mod 4.

(2) La valuation en l de x^{2} + py^{2} est impaire.

(3) (\frac{xy}{l} ) = −1.

Soit K = k (\sqrt{\sqrt{−p} (x + y\sqrt{−p})}). Alors K/k est une extension quadratique dans laquelle 𝔭_{p} et un autre idéal premier impair sont ramifiés et où ni \sqrt{−p} ni −\sqrt{−p} ne sont des normes.

Preuve. Soit n la valuation en l de x^{2} + py^{2}. Comme x^{2} + py^{2} ≡ 0 mod l, nous en déduisons que −p est un carré modulo l et donc que l est décomposé dans k. Soient 𝔏 et 𝔏′ les relèvements de l dans k. Comme n est impair, les valuations de x + y\sqrt{−p} en 𝔏 et 𝔏′ sont de parité différente. Nous notons 𝔏 le relèvement de l où la valuation de x + y\sqrt{−p} est impaire. L’extension K/k est alors ramifiée en 𝔭_{p} et en 𝔏. Pour démontrer le lemme, il suffit de démontrer que ni \sqrt{−p} ni −\sqrt{−p} ne sont des normes locales en 𝔏. Soit h un plongement de ℚ^{c} dans ℚ_{l}^{c}, dont la restriction à k définit le premier 𝔏 et soit k′ et K′ les fermetures dans ℚ_{l}^{c} de h(k) et h(K). Nous notons ( , ) le symbole de Hilbert quadratique. Puisque K′/k′ est modérée, nous obtenons l’égalité

(4-9)  (\sqrt{−p} (x + y\sqrt{−p}) , −1) = (−1)^{\frac{l−1}{2}} = 1.

Calculons maintenant (\sqrt{−p} (x + y\sqrt{−p}) , \sqrt{−p}). De [16], chapitre XIV, proposition 8, nous déduisons (\sqrt{−p} (x + y\sqrt{−p}) , \sqrt{−p}) = (x + y\sqrt{−p}, \sqrt{−p}) ≡ (−p)^{\frac{l−1}{4}} mod l, puisque la valuation de x + y\sqrt{−p} en 𝔏 est impaire. Or, nous déduisons de x^{2} + py^{2} ≡ 0 mod l la congruence : (−p)^{\frac{l−1}{4}} ≡ (xy^{−1})^{\frac{l−1}{2}} ≡ (xy)^{\frac{l−1}{2}} mod l. Il s’ensuit que (\sqrt{−p}(x + y\sqrt{−p}), \sqrt{−p}) = (\frac{xy}{l} ) = −1, ce qui, compte tenu de (4-9), nous permet de conclure. □

Le tableau 4-10 suivant contient pour chaque p ∈ S un couple (x, y) et un nombre premier l qui satisfont les hypothèses du lemme 4-8. Nous donnons également la valeur α_{p} = −py+x\sqrt{−p} correspondant au couple (x, y) et un polynôme P_{p}(X) dont le corps de décomposition est le corps ℚ(E_{p}[2]). Ainsi, pour tout p de S, la courbe E_{p} a partout bonne réduction sur le corps L = ℚ(E_{p}[2])(\sqrt{α_{p}}) et multiplication complexe par l’anneau des entiers de ℚ(\sqrt{−p}).

Tableau 4-10.

\begin{matrix}p & x & y & x^{2} + py^{2} & l & α_{p} & P_{p}(X) \\ 11 & 3 & 1 & 2^{2}.5 & 5 & −11 + 3\sqrt{−11} & x^{3} − x^{2} + x + 1 \\ 19 & 11 & 3 & 2^{2}.73 & 73 & −57 + 11\sqrt{−19} & x^{3} − x^{2} + 3x − 1 \\ 43 & 5 & 1 & 2^{2}.17 & 17 & −43 + 5\sqrt{−43} & x^{3} − x^{2} − x + 3 \\ 67 & 5 & 3 & 2^{2}.157 & 157 & −201 + 5\sqrt{−67} & x^{3} − x^{2} + 3x − 7 \\ 163 & 5 & 3 & 2^{2}.373 & 373 & −489 + 5\sqrt{−163} & x^{3} − 61x^{2} + 343x + 20187 \end{matrix}

En outre, pour tout point P de E_{p}[2] distinct de 0, les images de Õ_{P} par η, et donc de P par φ sont différentes de 1, ce qui démontre le théorème 2. □

Preuve du théorème 3. Soit L/k une extension du corps k sur laquelle la courbe E a partout bonne réduction. Si n est le plus grand entier tel que E[2^{n}] soit contenu dans E(L), la démonstration du théorème se ramène à celle de l’inclusion

(4-11)  E[2^{n}] ⊂ Ker(φ).

Plus précisément, compte tenu du critère 4-4, il suffit d’étudier les extensions L (\frac{1}{2}P ) /L lorsque P est un point primitif de 2^{n}-division. Soit P un tel point. La proposition 3-4, (ii) nous fournit les égalités

(4-12)  L (\frac{1}{2}P ) = Lk_{n} = Lk(2^{n+1})

Or, nous savons par la proposition 3-9 qu’il existe des unités u et v de k(2^{n}), et donc de L, telles que k(2^{n+1}) = k(2^{n})(\sqrt{u}, \sqrt{v}). Nous concluons à l’égalité

(4-13)  L (\frac{1}{2}P ) = L (\sqrt{u}, \sqrt{v}) ,

ce qui, via le critère 4-4 démontre le théorème. □

Remarque. Pour tout p ∈ S, la courbe (E_{p}/k) est à multiplication complexe par O_{k} et possède mauvaise réduction en 𝔭_{p}. Pour tout caractère quadratique χ de Gal(k^{c}/k), la courbe E_{p}^{(χ)} obtenue en tordant E_{p} par χ a multiplication complexe par O_{k}. Ainsi, pour tout ensemble fini I d’idéaux premiers impairs de O_{k} distincts de 𝔭_{p}, il existe une courbe elliptique E/k à multiplication complexe par O_{k} pour laquelle I_{k}(E) = 𝔭_{p} ∏_{𝔏∈I} 𝔏. Il suffit de considérer la courbe E_{p}^{(χ)}, où ∏_{𝔏∈I} 𝔏 = dO_{k} et où χ désigne le caractère quadratique associé à l’extension k(\sqrt{d})/k. Pour construire de nouveaux contre-exemples, il suffit alors de construire L/k telle que 𝔭_{p} ∏_{𝔏∈I} 𝔏 ne soit pas le carré d’un idéal principal de L.

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Philippe Cassou-Noguès

Arnaud Jehanne

Laboratoire de théorie des nombres et d’Algorithmique Arithmétique Université Bordeaux I cours de la Libération 33405 TALENCE cedex