SÉMINAIRE DE GÉOMÉTRIE

Vendredi, 10 Mars 2000 10:30 – 11:30 Salle 2 , Laboratoire MPB

Jean-Marc COUVEIGNES , Toulouse

“ Topologie des graphes et bord des espaces de Hurwitz ”

Résumé :

La déformation est un outil éprouvé pour la construction de revêtements sur un corps local K. D’un point de vue théorique elle a conduit Harbater à la démonstration de l’hypothèse de Galois inverse sur K(T). D’un point de vue calculatoire, il est plus simple d’obtenir un modèle algébrique d’une courbe C sur l’anneau de valuation discrète A par déformation de la courbe spéciale C_{ϵ}, surtout lorsque C_{ϵ} est donnée comme revêtement d’un modèle stable de P^{1} moins n points. Notant π une uniformisante de A et ν la valuation, on procède en plusieurs étapes 1 — Définir deux fonctions x et y sur C; 2 — Pour toute composante irréductible γ de C_{ϵ} calculer a = ν_{γ}(x) et b = ν_{γ}(y) et définir X_{γ} = x/π^{a} et Y_{γ} = y/π^{b}; 3 — Pour tout γ calculer une équation E_{γ}(X_{γ}, Y_{γ}) = 0 (mod π); 4 — Coller les E_{γ} ensemble et relever pour obtenir une équation E(x, y) = 0 sur A pour C. Pour former les fonctions x et y on choisit un diviseur horizontal D de degré g sur C à support dans l’ensemble des points ramifiés du revêtement et on choisit une fonction dans L(D) qui prend la valeur 1 le long d’une autre section ramifiée P. Il reste à calculer les multiplicités de telles fonctions le long des diviseurs verticaux ce qui nécessite de calculer les indices d’intersections de la partie horizontale de x et y avec les composantes de C_{ϵ}. Nous montrons comment celà se calcule à l’aide d’une compactification bien choisie du modèle de Néron de C. Les travaux de Raynaud, Mumford, Bosch et Lutkebohmert montrent qu’une telle compactification est donnée par une décomposition cellulaire de la cohomologie du graphe d’intersection de C_{ϵ}. Nous décrivons l’une de ces décompositions, qui est la mieux adaptée à notre problème. Outre son intérêt pratique l’introduction de cette décomposition est justifiée par la méthode d’uniformisation de Bosch et Lutkebohmert. Nous illustrons ces considérations dans le cas des courbes modulaires et produisons sans effort beaucoup d’unités modulaires.