Groupe de Travail en Théorie Analytique des Nombres

Le 2 avril 1998, 10h30-11h45, salle 1

Christophe Doche

Mahler en mesure, spectre de ${\mathfrak M}(\alpha)$${\mathfrak M}(1-\alpha)$.


Résumé : Soit $\alpha$ un nombre algébrique, $P(X)=a_0\prod_{j=1}^d(X-\alpha_j)$ son polynôme minimal. Notons $M(P)=\vert a_0\vert\prod_{j=1}^d \max(1,\vert\alpha_j\vert)$ sa mesure de Mahler, ${\mathfrak M}(\alpha)=M(P)^{1/d}$ sa mesure de Mahler absolue et ${\mathcal L}=\left \{ M(P) \mid P \in \mathbb{Z}[X] \right\}.$

Le problème de Lehmer revient alors à savoir si $\displaystyle{1}$ est un point d'accumulation de $\mathcal{L}$. Nous rappelons brièvement les résultats qui permettent de conclure dans certains cas.

Puis nous étudions plus en détail une autre classe de nombres algébriques, puisque nous nous intéressons à ${\mathcal V}=\{{\mathfrak M}(\alpha){\mathfrak M}(1-\alpha)\mid \alpha \in \overline{{\mathbb Q}} \}$. En particulier, nous montrons une amélioration de l'inégalité de Zhang-Zagier qui stipule que ${\mathfrak M}(\alpha)$${\mathfrak M}(1-\alpha)$ est triviale ou supérieure à ${\displaystyle {1 \over 2}\log\left({1+\sqrt{5} \over2}\right)}.$ Nous donnons alors un algorithme pour trouver de petits représentants de ${\mathcal V}$, avant de conclure par une recherche de points d'accumulation de ${\mathcal V}.$

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