Séminaire de Théorie Analytique des Nombres et Problèmes Diophantiens

Le 11 mars 1999

10h, salle 1 du bâtiment de Mathématiques.


Christophe Doche

Sur les zéros réels des polynômes de Morse.


Résumé : En collaboration avec M. MENDÈS FRANCE, nous cherchons à évaluer le nombre moyen de zéros réels que possèdent certains polynômes à coeficients $ \pm 1$.

En fait, étant donné une suite $ (h_i)_{i \in \mathbb{N}}$ à coefficients $ \pm 1$, nous formons le polynôme

$\displaystyle P_n(X)=\sum_{i=0}^n h_iX^i$

et nous étudions

$\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\zeta(P_n) $

où $ \zeta(P_n)$ est le nombre de zéros réels de $ P_n$ comptés avec multiplicité. En particulier, si $ (\varepsilon_i)_{i \in \mathbbN}$ est la suite de Thue-Morse définie par la série génératrice

$\displaystyle \sum_{i=0}^\infty\varepsilon_iX^i=\prod_{\ell=0}^\infty(1-X^{2^\ell}) $

et si

$\displaystyle f_n(X)=\sum_{i=0}^n\varepsilon_i X^i$

est le polynôme de Thue-Morse de degré $ n$, nous montrons les deux résultats suivants :


Théorème 1. Soit $ n$ un entier pair, alors $ f_n$ a au plus 2 racines réelles.

Précisément, si $ n\equiv 0\ (4)$ et $ \varepsilon_n=1$, $ f_n$ n'a aucune racine réelle.

Si $ n\equiv 2\ (4)$ et $ \varepsilon_n=1$, $ f_n$ a 2 racines négatives.

Dans les autres cas, $ f_n$ possède 2 racines réelles, l'une positive, l'autre négative.

Soit $ n$ un entier impair. Si $ k$ désigne le plus grand entier qui vérifie $ n\equiv -1\ (2^k)$. Alors, si $ \varepsilon_n=(-1)^k$, $ f_n$ a $ 2k-1$ racines réelles. Dans le cas contraire, $ f_n$ possède $ 2k+1$ racines réelles.




Théorème 2. La quantité $\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\zeta(f_n) $ tend vers $ \displaystyle{\frac{11}{4}}$ lorsque $ N$ tend vers l'infini.


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