Soutenance de Thèse

Résumé : Après une brève introduction, on rappelera la définition de la mesure de Mahler d'un polynôme et le problème de Lehmer qui s'y rapporte. Puis on s'intéressera à la mesure de Mahler absolue des polynômes invariants par l'application qui à z associe 1-z. En particulier, on donnera une amélioration de la minoration de Zagier obtenue grâce à des polynômes de petite hauteur. On évoquera aussi les petits points d'accumulation découverts pour cette même hauteur et qui permettent de donner une approximation du minimum essentiel de la courbe x+y=1.
La seconde partie est en rapport avec les racines des polynômes de Thue-Morse.On décrira le nombre de racines réelles de ces polynômes en fonction du degré et du signe du coefficient dominant. On en généralisera alors la construction dans le but d'obtenir des polynômes possèdant beaucoup plus de racines réelles en moyenne.