Rallye Mathématique d'Aquitaine 2010

Enigme 8: Carrément carré

Un nombre entier est dit "carrément carré" s'il est le carré d'un nombre entier et si la somme de ses chiffres est également le carré d'un nombre entier.

Par exemple, 81 est "carrément carré" car 81 = 9² et 8 + 1 = 9 = 3².

Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu'un entier naturel inférieur à 2010 soit "carrément carré" ?

Une solution:

Liste des carrés d'entiers:

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 1600 1681 1764 1849 1936 2025...

On en déduit la liste des nombres "carrément carrés" inférieurs à 2010:

0 1 4 9 36 81 100 121 144 169 196 225 324 400 441 484 529 900 961 1521 1681

La probabilité qu'un entier naturel inférieur à 2010 soit carrément carré est égale à:

(nombre de carrément carrés inférieurs à 2010)÷(nombre d'entiers inférieurs à 2010)

= 21 ÷ 2010 ~0,01