Lundi 21 Juin/Monday 21th

Dans cet exposé je compte présenter d'une part les sujets de recherches des trois dernières thèses que j'ai dirigées, celles de Samy Khémira (approximants de Hermite-Padé), Andréa Surroca (points algébriques sur des courbes transcendantes) et Stéphane Fischler (approximation diophantienne, algèbres de Hopf et transcendance), d'autre part un projet de recherche sur les relations de dépendance quadratique entre logarithmes de nombres algébriques, faisant suite à un travail en commun avec Damien Roy.

La théorie des représentations revêt des facettes multiples: on peut étudier les représentations de dimension finie des groupes finis, les représentations de Banach des groupes p-adiques ou réels, les représentations algébriques des groupes algébriques, les représentations lisses des groupes p-adiques, les représentations des algèbres de Hecke, etc. Elles partagent des propriétés communes et relient des domaines a priori éloignés des mathématiques. Elles interviennent en théorie des nombres via les formes modulaires. La version locale de la correspondance de Langlands pour les représentations p-adiques ou modulo p, et l'interpolation p-adique des représentations automorphes sont envisageables. J'expliquerai ce que l'on sait sur les représentations modulo p des groupes p-adiques, une théorie qui est au stade bébé.

13:00 Déjeuner/lunch cafétéria Casino

Let F denote either the field of complex numbers or a p-adic field. The field of convergent Laurent series K=F({z}) over F is a differential field in the obvious way. For F=C, the known classification of differential modules over K, involves divergent power series, asymptotics, multisummation, Stokes matrices etc. The case where F is a p-adic field, the classification is unknown. However we will present some conjectures concerning the differential Galois groups.

Il s'agit d'un exposé en grande partie conjectural. Je vais discuter des points suivants:

1. Les fonctions Gamma et Bêta p-adiques de Morita.

2. La fonction Bêta adélique et la fonction Gamma hyperadélique d'Anderson, Coleman et Ihara.

3. Généralisation aux fonctions hypergéometriques: les fonctions Gamma de de Dwork-Boyarsky.

4. Le cas manquant des hypergéometriques étales.

5. La théorie de Fontaine comme pont entre le monde étale et le monde cristallin.

Let F be the algebraic closure of a finite field of characteristic l, and L a local system of finite dimensional F-vector spaces on the etale site of the p-adic punctured disc D* (which is a rigid analytic variety). Suppose that the cohomology of D* with coefficients L is a finite dimensional F-vector space. Then we show that L admits a break decomposition, as a direct sum of locally constant subsheaves. This decomposition is analogous to the break decomposition for l-adic representations of the absolute Galois group of a henselian DVR of positive characteristic. In the DVR case, the decomposition is indexed by the rational numbers; in the case of local systems on D*, the decomposition is indexed by the ordered abelian group which is the product of the rational numbers and the real numbers, with lexycographic ordering.

18:15 -- 19:15 Jean Fresnel convie les participants à un concert, organisé par Francine Delmer, Salle des Actes.

19:15 Apéritif.

Mardi 22 Juin/Tuesday 22th

On se propose de présenter et commenter un résultat récent de A. Tamagawa sur la spécialisation du groupe fondamental des courbes propres et lisses en caractézristique p > 0. Dans le cas des courbes à jacobienne supersingulière on donnera un résultat plus précis qui fait intervenir un certain quotient métabélien du groupe fondamental.

Nous présentons un travail en commun avec C. Lehr. Nous étudions les p-groupes de Sylow du groupe des automorphismes d'un revêtement p-cyclique étale de la droite affine sur un corps algébriquement clos de caractéristique p > 0. En particulier nous donnons des bornes sur l'ordre en fonction du conducteur et nous caractérisons ces p-groupes. Comme première application nous caractérisons les actions d'un p-groupe G sur une courbe de genre g ≥ 2 telles que |G|/g > 2p/(p-1) et |G|/g² ≥ 4/(p-1)². Une seconde application à l'origine de ce travail est l'étude de la monodromie finie sauvage des revêtements p-cycliques de la droite projective sur un corps p-adique; nous illustrerons cela dans le cas des courbes hyperelliptiques sur un corps 2-adique.
Version postscript.

We present results on the reduction of p and p²-cyclic covers in equal characteristic p > 0 which can be generalized to p^n-cyclic covers. Our main result is to describe explicitely how do the Artin-Schreier-Witt equations degenerate. In the case of curves we describe the semi-stable reduction of such covers.

Nous essayerons d'expliquer comment la théorie des (φ, Γ)-modules de Fontaine permet de démontrer un certain nombre de résultats conjecturés par Breuil en direction d'une correspondance de Langlands p-adique. La fonction zêta de Kubota-Leopoldt y fait une brève, mais cruciale, apparition.
Version postscript

We present constructions, based on modular curves, of (smooth projective irreducible) algebraic curves over finite fields with many rational points. Our approach, which uses classical elliptic and Drinfeld modular curves, generalizes and extends previous results of many other authors. It leads to both asymptotically optimal series of curves and to some examples of curves that individually realize the presently known records for given genus.

Soit C une courbe algébrique définie sur le corps des nombres complexes, munie d'une dérivation, soit K son corps des fonctions rationnelles. On décrit les extensions différentielles de K, galoisiennes et à groupes de Galois abéliens, à l'aide de certains D-modules sur le schéma de Picard de C. On fait de même pour les extensions aux différences (alors le corps de base peut être fini).

Mercredi 23 Juin/Wednesday 23th

Let X/K be a curve over a discrete valuation field. Grothendieck's semistable reduction theorem states that there is a finite extension L of K over which the curve X has semistable reduction. I will survey several open questions regarding possible relationships between the minimal regular model of X over K and the semistable model of X over L when the extension L/K is wildly ramified.

For purpose to construct a unified Kummer-Artin-Schreier-Witt theory, we studied some extensions of gorup schemes of Witt vectors by a multiplicative group. Here we show some recent results insisting that such kind of extensions can be calculated for some other groups.

Soit   f : X -> Y un revêtement (i.e. morphisme fini surjectif) de courbes projectives lisses sur un corps de valuation discrète K. Supposons que X a réduction semi-stable sur K. Il en est alors de même pour Y. Il est naturel de chercher à étendre f en un revêtement des réductions semi-stables des courbes X, Y. Lorsque g(X) > 1, nous montrons qu'il existe une manière canonique de réaliser une telle extension. Nous discuterons ensuite des compactifications des espaces de Hurwitz.

13:00 Déjeuner/lunch cafétéria Casino

Résumé: Le but de cet exposé est de définir la notion d'intégrale motivique calculée sur l'espace des arcs associé à un schéma formel, défini au-dessus du spectre formel d'un anneau de valuation discrète complet. Pour cela nous parlerons d'intégration p-adique, nous construirons le schéma des arcs et étudierons certaines de ses propriétés. Enfin, nous verrons comment cette théorie permet de définir un analogue en géométrie analytique rigide de l'invariant de Serre associé à une variété analytique p-adique.

Abstract : The aim of this lecture is to define motivic integrals on certain formal schemes. For that, we will speak about p-adic integrals and arcs space. As an application, we will see how to construct an analog, in the setting of the rigid analytic geometry, of Serre's invariant originally computed on p-adic analytic varieties.

In this talk we will recall the history of Igusa Zeta functions and the monodromy conjecture. After an introduction of the Denef-Loeser motivic Zeta function, we will try to give the main ideas of the proof of the monodromy conjecture for quasi-ordinary singularities. (common work with E. Artal-Bartolo, I. Luengo, A. Melle Hernandez).