Journées MAS 2010

Quelques applications de l'auto-similarité stochastique (pdf)

Session organisée par Loïc Chaumont (Université Angers)

L'autosimilarité est la propriété qu'ont certains processus stochastiques de préserver leur loi après un changement d'échelle des temps. Celle-ci est présente dans tous les domaines des probabilités et offre de multiples champs d'application. Certaines classes de processus autosimilaires dont le mouvement brownien est un représentant commun, satisfont à des propriétés fractionnaires ou multifractionnaires qui sont appliquées à la modélisation de phénomènes physiques fractals. D'autres classes possèdent des propriétés markoviennes, homogènes ou inhomogènes et sont étroitement liées aux processus de Lévy par des transformations trajectorielles, d'où leur importance à la fois sur le plan théorique et appliqué. La représentation dans le cas autosimilaire d'objets tels que les arbres aléatoires et les processus de fragmentation se fait généralement à l'aide de processus autosimilaires markoviens. L'évolution de Löwner stochastique et ses applications à la percolation constituent également un exemple fondamental dans lequel la propriété d'autosimilarité intervient de manière prédominante.
Cette session a pour but de présenter les développements récents réalisés par quelques jeunes chercheurs, de certains aspects de l'autosimilarité stochastique tels que les champs gaussiens anisotropiques, la fragmentation auto-similaire, le mouvement brownien conditionné à rester dans un cône et les processus de Lévy stables.

Exposé de 40 minutes Hermine Biermé (Université Paris Descartes) Autosimilarité et anisotropie : applications en imagerie médicale transparents

En imagerie médicale, de nombreux auteurs ont cherché à caractériser la rugosité des textures observées par la dimension fractale des images. Le modèle stochastique du champ brownien fractionnaire, dont le paramètre de Hurst caractérise l'ordre d'autosimilarité et la dimension fractale, appararaît donc comme un modèle incontournable dans ce type d'étude. Cependant il ne permet pas de rendre compte de l'anisotropie des textures alors que celle-ci peut être une caractéristique importante pour l'aide au diagnostic. Nous considérons donc des généralisations anisotropes de ce modèle. Nous cherchons alors à adapter l'inférence statistique développée dans le cadre isotrope à notre contexte, ce qui nous permet en particulier de mettre en évidence l'anisotropie de certaines images médicales.

Exposé de 20 minutes Nathalie Krell (Université Rennes 1) en collaboration avec Joaquin Fontbona, Marc Hoffmann et Servet Martinez Les fragmentations et une application possible en industrie minière transparents

Dans une première partie j'exposerai le modèle probabiliste que sont les fragmentations : un processus de branchement auto-similaire. Dans la suite je présenterai une application possible. En effet le processus de fragmentation permet de modéliser le concassage du minerai dans l'industrie minière. Après une présentation du modèle j'exposerai un travail en collaboration avec Joaquín Fontbona et Servet Martínez sur la minimisation du coût énergétique d'une succession de fragmentations. Sachant que les caractéristiques nécessaires au calcul du coût énergétique ont été estimées dans un contexte statistique dans une collaboration avec Marc Hoffmann que j'évoquerai brièvement.

Exposé de 20 minutes Rodolphe Garbit (Université d'Angers) Un théorème limite central pour des marches aléatoires dans des cônes du plan

Le méandre d'un cône de l'espace euclidien est un processus obtenu à partir du mouvement brownien en le conditionnant à rester dans ce cône durant une unité de temps. Lorsque le cône est un demi-espace, on retrouve le méandre brownien usuel. Nous montrerons qu'une marche aléatoire conditionnée à rester dans un cône du plan converge en loi vers le méandre correspondant si et seulement si la queue de la loi du temps de sortie du cône est à variation régulière. Cette condition est satisfaite dans de nombreuses situations.

Exposé de 20 minutes Fernando Cordero (Université Paris 6) Autour de la théorie des fluctuations pour des processus de Lévy stables d'indice supérieur à 1

Je vais commencer par énoncer un résultat classique de la théorie des fluctuations pour un processus de Lévy X. Je montrerai comment à partir de ce résultat, on peut trouver une formule pour la transformée de Laplace conjointe du premier temps de passage du processus X au dessus d'une barrière x et sa position à cet instant. On montre dans le cas stable, comment on peut retrouver la loi de X en cet instant de passage, à l'aide de la formule obtenue précédemment. Pour cela, on s'appuiera sur des résultats asymptotiques obtenus à l'aide de la propriété de scaling. On verra apparaître une variable aléatoire limite qui semble être bien liée à des questions concernant l'absolue continuité du supremum du processus X.