En 1984 J.-P. Serre a donné une expression de l'invariant de Hasse-Witt de la forme trace d'une extension finie et séparable de corps. Cette formule, généralisée par plusieurs auteurs, s'interprète comme une formule de comparaison entre invariants de Hasse-Witt d'une forme quadratique et de certains de ses "twists". Dans une première partie nous donnerons une formule de comparaison universelle dont se déduisent la plupart des formules de comparaison connues. Il s'agit d'un travail en collaboration avec T. Chinburg, B. Morin et M.J. Taylor. La seconde partie est un travail en collaboration avec B. Morin. Nous y montrerons comment l'utilisation des motifs de Nori fait apparaître l'algèbre des périodes de Kontsevich et Zagier dans certaines de ces formules de comparaison. Nous donnerons quelques applications de ce résultat.