Les thématiques sont articulées autour de la géométrie différentielle, de la géométrie analytique et algébrique et des système dynamiques (responsables : Jean-Philippe Furter et Yohan Brunebarbe)
En théorie des invariants, on est parfois amené à s'intéresser à la polynomialité de l'algèbre des invariants ${\mathbb C}[V]^G$ des fonctions polynomiales sur un espace vectoriel complexe $V$ de dimension finie, par l'action d'un groupe linéaire algébrique $G$.Par exemple si $G$ est connexe, semi-simple agissant par l'action adjointe (ou coadjointe) sur son algèbre de Lie $V=g$ (isomorphe à son dual), un théorème célèbre de Chevalley permet de conclure que l'algèbre des invariants ${\mathbb C}[V]^G$ est une algèbre de polynômes. D'autre part, un théorème de Kostant permet d'établir un isomorphisme d'algèbres entre ${\mathbb C}[g]^G$ et l'algèbre des fonctions polynomiales sur une "tranche de Kostant", par restriction des fonctions à cette tranche : cela donne ce que l'on peut nommer aussi une "section de Weierstrass" pour ${\mathbb C}[g]^G$.Je passerai d'abord en revue quelques exemples ou contre-exemples de polynomialité de certaines algèbres d'invariants obtenues en faisant agir $G$ sur le dual de son algèbre de Lie par l'action coadjointe, et donnerai quelques exemples de sections de Weierstrass obtenues dans le cas de certaines sous-algèbres paraboliques.Je définirai ensuite la contraction d'Inönü-Wigner d'une sous-algèbre parabolique $p$ d'une algèbre de Lie simple, que l'on peut voir comme une certaine dégénérescence de $p$.En m'appuyant sur des techniques employées pour les sous-algèbres paraboliques, je tenterai d'expliquer comment on peut obtenir des (semi)-invariants pour le cas où $V$ est le dual de la contraction d'Inönü-Wigner d'une sous-algèbre parabolique sur lequel agit le groupe adjoint de la contraction.En particulier, pour les contractions d'Inönü-Wigner de certaines sous-algèbres paraboliques maximales (notamment en type B), je donnerai des sections de Weierstrass pour les algèbres de semi-invariants correspondantes, ce qui prouvera en particulier la polynomialité de ces algèbres de semi-invariants.Ceci est un travail en cours, dont une partie se trouve sur arXiv :
https://arxiv.org/abs/2310.06761
Une singularité de dimension $d$ est quasi-ordinaire par rapport à une projection finie $X$ -----> ${\mathbb C}^d$ si le discriminant de la projection est un diviseur à croisements normaux. Les singularités quasi-ordinaires sont au cœur de l'approche de Jung de la résolution des singularités en caractéristique zéro. En caractéristiques positives, elles ne sont pas très utiles du point de vue de la résolution des singularités, le problème de leurs résolutions étant presque aussi compliqué que le problème de résolution des singularités en général. En utilisant une version pondérée du polyèdre caractéristique de Hironaka (ou tout simplement la géométrie des équations) et des plongements successifs dans des espaces affines de "grandes" dimensions, nous introduisons la notion de singularités Teissier qui coïncide avec les singularités quasi-ordinaires en caractéristiques zéro, mais qui en est différente en caractéristiques positives. Nous démontrons qu'une singularité Teissier définie sur un corps de caractéristique positive est la fibre spéciale d'une famille équisingulière sur une courbe de caractéristique mixte dont la fibre générique (en caractéristique zéro donc) a des singularités quasi-ordinaires. Ici, L'équisingularité de la famille correspond à l'existence d'une résolution plongée simultanée.
Travail en collaboration avec Bernd Schober.
L'existence de métriques kählériennes canoniques (Kähler-Einstein, à courbure scalaire constante, etc...) dans une classe de cohomologie donnée d'une variété kählérienne compacte admet une formulation variationnelle comme équation d'Euler-Lagrange de certaines fonctionnelles. Grâce aux travaux profonds de Darvas-Rubinstein et Chen-Cheng, on sait que de plus qu'elles admettent des points critiques (donc des métriques canoniques) ssi elles satisfont une condition de croissance linéaire. Après avoir passé en revue ces objets fondamentaux, j'expliquerai comment cette caractérisation permet de généraliser des travaux d'Arezzo-Pacard et Seyyedali-Szekelyhidi portant sur la stabilité de telles métriques par éclatement de la variété. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Mattias Jonsson et Antonio Trusiani.
A une surface algébrique S on associe son groupe des transformations birationnelles Bir(S). Ces groupes et leurs structures algébriques et dynamiques ont fait l'objet d'études approfondies dans les dernières décennies. Dans cet exposé on verra une réponse positive à une question de Charles Favre concernant des sous-groupes dont tous les éléments sont d'un certain type, dit algébrique. J'expliquerai pourquoi ce résultat technique est intéressant et je l'utiliserai pour décrire des propriétés dynamiques des sous-groupes de type fini de Bir(S). Il s'agit d'un travail commun avec Anne Lonjou et Piotr Przytycki.
Sur une variété riemannienne (possiblement singulière), pour chaque classe d'homologie la norme stable mesure la longueur du plus court représentant possible de cette classe. C'est un raffinement naturel du concept de systole, et on s'attend à ce que la norme stable contienne beaucoup d'information géométrique: en contrepartie, la norme stable est généralement très difficile à calculer, si bien qu'il existe très peu d'exemples explicites.
Dans cet exposé je m'intéresserai à la norme stable des surfaces plates. Plus précisément, je montrerai qu'il est possible de calculer la norme stable des tores plats fendus avec la suite de Farey. Ensuite, en recollant des tores fendus je montrerai que l'on obtient des surfaces de demi-translation sur lesquelles la norme stable est connue. Enfin, je montrerai que sur ces surfaces le nombre de classes d'homologie minimisées par des courbes simples de longueur inférieure à un réel x croît sous-quadratiquement en x.
Translation surfaces arise naturally in many different contexts, for example when unfolding billard trajectories or when equipping a Riemann surface with an abelian differential. Most visually, they can be described by (finitely or infinitely many) polygons that are glued along edges which are parallel and have the same length.
In this talk, we will be interested in the Veech groups of translation surfaces, that is, the stabilizer of the natural GL(2,R) action on the moduli space for a given translation surface. Although Veech groups have been studied for several decades, they are in itself not fully understood yet. In particular, it is not known in general whether a given abstract group can be realized as the Veech group of a translation surface.
After introducing the realization problem for Veech groups, I will speak about some recent progress in this direction for infinite translation surfaces. This is joint work with Mauro Artigiani, Chandrika Sadanand, Ferrán Valdez, and Gabriela Weitze-Schmithuesen.
Certain sets of germs at $+ \infty$ of monotone bijections between neighborhoods of $+ \infty$ form groups under composition. This is the case for germs of functions definable in an o-minimal structure, for certain germs lying in Hardy fields, as well as for more abstract functions defined on fields of formal series, such as transseries.
In this talk I will describe properties of the resulting ordered groups, and show that they can be studied using valuation-theoretic tools adapted to this non-commutative context.
We consider the moduli space of Abelian differentials on compact Riemann surfaces. It is stratified by the degree of the zeros of the differential and each stratum has a linear structure coming from period coordinates. Each stratum admits an action by GL(2,R) and this action is relevant in the study of billiard dynamics. I aim to discuss works in collaboration with Julian Rüth and Kai Fu in which we design computer programs to guess and certify GL(2,R)-orbit closures.
Un sous-ensemble $A$ de $\mathbf{N}$ est dit dense s’il est de densité asymptotique supérieure positive, et épars s’il est de densité nulle. Un théorème classique de Furstenberg et Sarközy dit que si $A$ est dense, alors il existe des éléments distincts $a, a'$ dans $A$ tels que $a-a' = n^2$ pour un certain entier $n$. Un ensemble $H$ d'entiers positifs est dit intersectif si l'on peut remplacer l'ensemble des carrés par $H$ dans le théorème de Furstenberg-Sarközy, autrement dit si $(A-A) \cap H$ est non vide. L'étude des ensembles intersectifs se trouve à l'intersection de plusieurs domaines de mathématiques, y compris la théorie des nombres, la combinatoire et la théorie ergodique.
Dans cet exposé, je discuterai dans quelle mesure ce phénomène est toujours valable, lorsque $A$ est un sous-ensemble dense de l'ensemble des nombres premiers, ou plus généralement d'un ensemble épars quelconque $E$ (à la place de $\mathbf{N}$). Il s'agit d'un travail en commun avec J. T. Griesmer, P.-Y. Bienvenu et A. Le.
Un pavage de Penrose est formé de deux tuiles polygonales dont le ratio des fréquences est égal au nombre d'or. De même, les pavages par la monotuile apériodique découverte en 2023 par David Smith sont tels que le ratio des fréquences des deux orientations de la monotuile est égal à la quatrième puissance du nombre d'or. Aussi, la structure des pavages de Jeandel-Rao est expliquée par le nombre d'or. On connait des pavages apériodiques qui ne sont pas reliés au nombre d'or. Toutefois, la caractérisation des nombres possibles pour de tels ratios est une question, posée dès 1992 par Ammann, Grünbaum et Shephard, qui est toujours ouverte aujourd'hui.
Pour chaque entier positif $n$, nous introduisons un ensemble $\mathcal{T}_n$ composé de $(n+3)^2$ tuiles de Wang (carrés unitaires avec des bords étiquetés). Nous représentons un pavage par des translations de ces tuiles comme une fonction $\mathbb{Z}^2\to\mathcal{T}_n$ appelée configuration. Une configuration est valide si le bord commun des tuiles adjacentes a la même étiquette. Pour chaque entier $n\geq1$, nous considérons le sous-décalage de Wang $\Omega_n$ défini comme l'ensemble des configurations valides pour les tuiles $\mathcal{T}_n$.
La famille $\{\Omega_n\}_{n\geq1}$ élargit la relation entre les entiers quadratiques et les tuiles apériodiques au-delà de l'omniprésent nombre d'or, car la dynamique de $\Omega_n$ implique la racine positive $\beta$ du polynôme $x^2-nx-1$. Cette racine est parfois appelée $n$-ième nombre métallique (https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_métallique), et en particulier, le nombre d'or lorsque $n=1$ et le nombre d'argent lorsque $n=2$.
L'ensemble $\Omega_n$ est auto-similaire, apériodique et minimal pour l'action de décalage. De plus, il existe une partition polygonale de $\mathbb{T}^2$ qui est une partition de Markov pour une $\mathbb{Z}^2$-action sur le tore. La partition et les ensembles de tuiles de Wang sont symétriques, ce qui les rend, comme les tuiles de Penrose, dignes d'intérêt.
Les détails peuvent être trouvés dans les prépublications disponibles à
https://arxiv.org/abs/2312.03652 (partie I) et
https://arxiv.org/abs/2403.03197 (partie II).
L'exposé présentera une vue d'ensemble des principaux résultats.
Une variété est dite PSC si elle admet une métrique riemannienne complète à courbure scalaire positive. Vers la fin des années 1970, des résultats de Schoen et Yau reposant sur la théorie des surfaces minimales et, en parallèle, des méthodes basées sur la théorie de l’indice développées par Gromov et Lawson, ont permis de classifier les 3-variétés fermées PSC : ce sont exactement celles qui se décomposent en sommes connexes de variétés sphériques et de produits S2xS1. Dans cet exposé, nous présenterons un résultat de décomposition des 3-variétés PSC non compactes : si sa courbure scalaire décroît assez lentement, alors la variété se décompose en somme connexe (possiblement infinie) de variétés sphériques et S2xS1. Ce résultat fait suite à des travaux récents de Gromov et de Wang.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec F. Balacheff et S. Sabourau.
Les métriques Lorentziennes à courbure constante ayant un nombre fini de singularités coniques offrent de nouveaux exemples naturels de structures géométriques sur le tore. Des travaux de Troyanov sur leur analogue Riemannien ont montré que la donnée de la structure conforme et des angles aux singularités classifient entièrement les métriques Riemanniennes à singularités coniques. Dans cet exposé nous nous intéresserons aux tores de-Sitter singuliers, en construirons des exemples, et présenterons un phénomène de rigidité rappelant celui de Troyanov : les tores de-Sitter à une singularité d'angle fixé sont déterminés par la classe d'équivalence topologique de leur bi-feuilletage lumière. Nous verrons que cette question géométrique est intimement liée à un problème de dynamique sur les difféomorphismes par morceaux du cercles.
Le problème de Manin-Mumford dynamique est un problème en dynamique algébrique inspiré par des résultats classiques de géométrie arithmétique.
Étant donné un système dynamique algébrique $(X,f)$, où $X$ est une variété projective et $f$ est un endomorphisme polarisé de $X$, on veut déterminer sous quelles conditions une sous-variété $Y$ qui contient une quantité Zariski-dense de points à orbite finie, doit avoir elle-même une orbite finie.
Dans un travail en commun avec Romain Dujardin et Charles Favre, on montre que cette propriété est vérifiée quand $f$ est un endomorphisme régulier du plan projectif provenant d'un endomorphisme polynomial de ${\mathbf C}^2$ (de degré $d \ge 2$), sous la condition supplémentaire que l'action de $f$ à l'infini n'a pas de points critiques périodiques.
La preuve se base sur des techniques provenant de la géométrie arithmétique et de la dynamique analytique, à la fois sur ${\mathbf C}$ et sur des corps non-archimédiens.