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Séminaire Théorie des Nombres
Responsables : Elena Berardini, Léo Poyeton.
Le 22 mars 2024
à 14:00
Séminaire de Théorie des Nombres
Salle de conférences
Cédric Pilatte (Oxford University)
Bornes améliorées pour les corrélations logarithmique de fonctions multiplicatives
La fonction de Liouville $\lambda(n)$ est définie comme étant égale à $+1$ si $n$ est un produit d'un nombre pair de nombres premiers, et à $-1$ dans le cas contraire. Le comportement statistique de $\lambda$ est étroitement lié à la distribution des nombres premiers. À bien des égards, la fonction de Liouville est supposée se comporter comme une séquence aléatoire de $+1$ et de $-1$. Par exemple, la conjecture de Chowla (binaire) prédit que la moyenne de $\lambda(n)\lambda(n+1)$ pour $n < x$ tend vers zéro lorsque $x$ tend vers l'infini. Dans cet exposé, je discuterai des bornes quantitatives pour une version logarithmique de ce problème.
Le 7 juin 2024
à 14:00
Séminaire de Théorie des Nombres
Salle de conférences
Stefano Morra LAGA (Paris 13)
Un modèle local pour les représentations potentiellement Barsotti–Tate
Les anneaux de déformation potentiellement Barsotti–Tate sont un outil essentiel pour
l’obtention de résultats profonds en arithmétique, comme la conjecture de Shimura–Taniyama–
Weil ou la conjecture de Breuil–Mézard. Néanmoins leur géométrie n’est pas encore bien com-
prise, et présente de comportement variés avec la parution de points irréguliers ou non-normaux
(comme montré par des exemples et conjectures de Caruso–David–Mézard). Dans cet exposé
nous discuterons comment les champs de modules de Breuil–Kisin peuvent être utilisés pour
décrire la géométrie des champs des représentations potentiellement et modérément Barsotti–
Tate (en rang 2, pour des extension non ramifiées de $\mathbf{Q}_p$), en utilisant la théorie des modèles locaux des groupes des lacets en caractéristique mixte. L’outil technique principal est une
analyse de la p-torsion d’un complexe tangent pour relever des cartes affines pour des images
schématiques entre champs de Breuil–Kisin et des représentations Galoisiennes. Avec ce
procédé, nous obtenons un algorithme pour calculer des présentations explicites des anneaux
de déformation potentiellement modérément Barsotti–Tate pour les représentations Galoisiennes de dimension 2 pour des extensions non-ramifiées de $\mathbf{Q}_p$. Ceci est un travail en commun avec B. Le Hung et A. Mézard.
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