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Séminaire Théorie des Nombres

Responsables : Elena Berardini, Léo Poyeton.

  • Le 11 janvier 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Giulia Battiston Heidelberg
    A Galois descent for inseparable field extensions..
    Let L/K be a Galois separable field extension, then classical Galois descent theory describes algebraic objects over K, such as for example K-varieties, as being equivalent to algebraic objects over L endowed with a $Gal(L/K)$-action which is $\sigma$-linear. If L/K is not separable, though, such a theory does not apply for the simple reason that the field of $Gal(L/K)$-invariants is strictly bigger than K. We will present how this inconvenient can be bypassed using the automorphism group of truncated polynomials over L and hence obtaining a Galois descent theory for inseparable extensions.
  • Le 17 janvier 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Stephen Lichtenbaum Brown University
    Sans titre

  • Le 18 janvier 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Dustin Clausen Bonn
    K-theory, TC-theory, and Artin reciprocity..
    I will give an introduction to K-theory and TC-theory, then explain how some very basic properties of these theories can be used to give a quick proof of the Artin reciprocity law for function fields. Afterwards I'll say something about the extra topological ingredient required to handle the number field case.
  • Le 25 janvier 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Yohan Brunebarbe IMB
    Dans quelle mesure une variété abélienne est-elle déterminée par sa p-torsion ?..
    Étant donnés un corps k et un nombre premier p "assez grand", dans quelle mesure une variété abélienne définie sur k est-elle déterminée à isogénie près par sa p-torsion vue comme module galoisien ? Dans mon exposé, je m'intéresserai plus particulièrement au cas où k est un corps de fonctions de caractéristique zéro, en m'appuyant sur des résultats d'hyperbolicité pour les espaces de modules de variétés abéliennes que j'expliquerai.
  • Le 1er février 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Anne de Roton Université de Lorraine
    Ensembles de réels de petite somme
    On s'intéresse aux ensembles $A$ et $B$ de réels pour lesquels l'ensemble somme $A+B$ est de petite taille. On sait que la mesure de $A+B$ est de mesure au moins la somme des mesures de $A$ et de $B$ et que l'on a égalité lorsque $A$ et $B$ sont des intervalles. En considérant les diamètres de $A$ et $B$, I. Ruzsa a cependant amélioré cette minoration. Nous expliquerons son travail et nous décrirons les ensembles $A$ et $B$ pour lesquels la taille de $A+B$ est proche de ce minorant. La considération de ce même problème dans le cercle permet d'améliorer les minorations pour les ensembles de réels et nous nous intéresserons donc aussi aux ensembles du cercle $\mathbb{R}/ \mathbb{Z}$. Une partie de ce travail a été réalisé en collaboration avec Pablo Candela.
  • Le 8 février 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Arnaud Plessis Université de Caen
    Points de petite hauteur dans certains groupes algébriques
    Dans cet exposé, on s'intéressera aux points de petite hauteur dans certains groupes algébriques commutatifs. Dans un premier temps, on considérera des extensions infinies L de nombres algébriques telle que $\mathbb{G}_m(L)\(\mathbb{G}_m)_{tors}$ ne possède pas de points de petite hauteur. Ensuite, on s'intéressera à une conjecture récente de Rémond. Cette conjecture prédit que sur une variété abélienne ou sur une puissance du groupe multiplicatif, les points de petite hauteur, à coordonnées dans $\mathbb{Q}(\Gamma)$, avec $\Gamma$ un groupe de rang fini, se trouvent dans le saturé de $\Gamma$. Enfin, on motivera le fait que dans cette conjecture, on puisse y inclure les variétés semi-abéliennes isotriviales. Cela nous permettra de relier entre eux plusieurs résultats déjà présents dans la littérature.
  • Le 15 février 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Werner Bley
    On the square root of the inverse different
    Let $L/K$ be an odd degree Galois extension of number fields and set $G := \mathrm{Gal}(L/K)$. Let $A_{L/K}$ denote the square root of the inverse different. By a result of Erez $A_{L/K}$ is projective as a $ZG$-module if and only if $L/K$ is at most weakly ramified, i.e., for each ramified prime the second ramification subgroup (in lower numbering) is trivial. For such a weakly ramified odd degree Galois extension we define and study a canonical invariant in the relative algebraic $K$-group $K_0(ZG, QG)$ which projects to the class of $A_{L/K}$ in $K_0(ZG)$. Our results shed new light on a conjecture of Vinatier which predicts that $A_{L/K}$ is always a free $ZG$-module. This is joint work with David Burns and Carl Hahn.
  • Le 1er mars 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    -
    ** vacances **

  • Le 8 mars 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Rodolphe Richard Cambridge
    Vers une conjecture d'André-Oort "arithmétique"
    Nous présentons une généralisation de la conjecture d'André-Oort qui n'est pas trivialement fausse. En effet, nous la démontrons dans deux cas non triviaux (l'un, supposant GRH, avec B. Edixhoven). Tout cela en lien, et motivé par, de récents développements en équidistribution.
  • Le 15 mars 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Victoria Cantoral Farfán ICTP
    Sur une conjecture algébrique de Sato-Tate
    La conjecture de Sato-Tate, énoncée pour les courbes elliptiques sans multiplication complexe, prédit l'équidistribution de la trace de Frobenius par rapport à la mesure de Sato-Tate, donnée par le poussé en avant de la mesure de Haar sur SU(2). Nous aimerions travailler sur une question analogue pour les variétés abéliennes de dimension g > 1, appelée conjecture généralisée de Sato-Tate. En 1966, Serre présente pour la première fois des liens remarquables entre les conjectures de Mumford-Tate et de Sato-Tate et introduit la conjecture algébrique de Sato-Tate. L'objectif principal de ce séminaire est de présenter de nouveaux résultats allant dans le sens de la conjecture algébrique de Sato-Tate, en s'appuyant sur les travaux de Serre, Kedlaya et Banaszak.
  • Le 22 mars 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Katharina Hübner
    The adic tame site
    For a scheme of characteristic $p > 0$ (or mixed characteristic) étale cohomology with $p$-torsion coefficients does not behave very well: Smooth base change, cohomological purity, Poincaré duality, just to name a few, only hold for coefficients prime to the characteristic. The reason for this failure is the existence of wild ramification. This talk presents a modification of the étale topology that does not admit for wild ramification, called the tame site. For coefficients away from the characteristic the étale and tame cohomology groups are isomorphic and for $p$-torsion coefficients they are better behaved than the étale cohomology groups.
  • Le 29 mars 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Jürg Kramer Humboldt Universität Berlin
    On formal Fourier-Jacobi expansions
    It is a classical fact that Siegel modular forms possess so-called Fourier-Jacobi expansions. The question then arises, given such an expansion, when does it originate from a Siegel modular form. In the complex setting, J. Bruinier and M. Raum gave a necessary and sufficient criterion when Fourier-Jacobi expansions give rise to Siegel modular forms. In our talk we would like to revisit this problem however using the arithmetic compactifications of the moduli space of principally polarized abelian varieties established by G. Faltings and C.-L. Chai. In particular, this will allow us to generalize the result of J. Bruinier and M. Raum to the arithmetic setting.
  • Le 5 avril 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Florian Luca University of the Witwatersrand/University of Ostrava
    $Y$-coordinates of Pell equations in binary recurrences
    Let $d>1$ be an integer which is not a square and $(X_n,Y_n)$ be the $n$th solution of the Pell equation $X^2-dY^2=\pm 1$. Given an interesting set of positive integers $U$, we ask how many positive integer solutions $n$ can the equation $Y_n\in U$ have. We show that under mild assumptions on $U$ (for example, when $1\in U$ and $U$ contains infinitely many even integers), then the equation $Y_n\in U$ has two solutions $n$ for infinitely many $d$. We show that this is best possible whenever $U$ is the set of values of a binary recurrent sequence $\{u_m\}_{m\ge 1}$ with real roots and $d$ is large enough (with respect to $U$). We also show that for the particular case when $u_m=2^m-1$, the equation $Y_n=2^m-1$ has at most two positive integer solutions $(n,m)$ for all $d$. The proofs use linear forms in logarithms. This is joint work with Bernadette Faye.
  • Le 12 avril 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    César Martinez Metzmeier Universität Regensburg
    Torsion dans des sous-variétés de variétés abéliennes
    Soient A une variété abélienne et V une sous-variété de A. On se propose l'étude des sous-variétés de torsion de V. La finitude du nombre de sous-variétés de torsion maximales était conjecturé par Lang et prouvé par Raynaud. Dans une des évolutions postérieures de cette question, se trouve celle de savoir comment se comporte le nombre de sous-variétés de torsion maximales. Dans cet exposé, on présentera les progrès faites dans cette ligne avec Aurélien Galateau. On déterminera complètement la dependence en V et les avances pour la dependence en A du nombre de sous-variétés de torsion dans V.
  • Le 19 avril 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Diego Izquierdo MPIM
    Espaces homogènes, K-théorie algébrique et dimension cohomologique des corps
    En 1986, Kato et Kuzumaki ont formulé des conjectures cherchant à donner une caractérisation diophantienne de la dimension cohomologique des corps via la K-théorie algébrique et les points rationnels sur les hypersurfaces projectives de petit degré. Ces conjectures sont fausses en toute généralité. Dans cet exposé, on démontrera une variante des conjectures de Kato et Kuzumaki dans laquelle les hypersurfaces projectives de petit degré sont remplacées par des espaces homogènes. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Giancarlo Lucchini Arteche.
  • Le 3 mai 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Joao Pedro Dos Santos IMJ
    Torseurs finis au-dessus des schémas sur un trait
    L'étude des revêtements non ramifiés est une activité classique ayant lieu dans plusieurs contextes: topologique, analytique, algébrique ou arithmétique. Dans cet exposé je parlerai d'une théorie proposée par moi même et P. H. Hai qui étudie les $G$-torseurs finis (les revêtements) au-dessus d'un schéma propre sur un anneau de valuation discrète $A$.   Je commencerai par rappeler la théorie du groupe fondamental étale. Ensuite, je passerai à la théorie du schéma en groupes fondamental de Nori---qui classifie les torseurs finis sur des variétés algébriques---dans sa version Tannakienne (héritière du Théorème de Narasimhan-Seshadri), sa version “filtrante” et sa version “trivialisable”.   J'introduirai la question analogue pour des schémas définis sur $A$  et je parlerai de la solution (filtrante) proposée par Gasbarri et Antei-Emsalem-Gasbarri. Comment l'alternative “trivialisable” permet d'identifier une catégorie Tannakienne de modules cohérents sera traité après et je montrerai que le groupe attaché à cette dernière classifie en effet les torseurs finis.  Pour terminer je commenterai à propos d'autres propriétés qu'une telle approche permet de dégager: relation avec la fibre spéciale, finitude de certains groupes structurels et caractérisation “fibre-à-fibre”.
  • Le 10 mai 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Debargha Banerjee Pune
    Eisenstein cycles and Manin Drinfeld property
    For a congruence subgroup of $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$, a famous theorem of Manin-Drinfeld asserts that the cuspidal group is finite. We can give a criteria for finiteness of cuspidal subgroups for arbitrary subgroups of finite index by using rationality of Eisenstein cycles. In a joint work with Loic Merel.
  • Le 17 mai 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Roberto Gualdi IMB
    Vers un théorème de Bernstein-Kouchnirenko arithmétique
    Le théorème de Bernstein-Kouchnirenko permet de prédire le nombre de solutions, comptées avec multiplicité, d'un système d'équations polynomiales dans un tore. Dans cet exposé, je présenterai un cadre propice à une version arithmétique de ce résultat. Plus précisément, on verra comment la traduction combinatoire de la géomérie d'Arakelov des variétés toriques peut servir à donner des bornes supérieures pour la hauteur des solutions du système en question ; on montrera aussi, à travers des exemples, qu'une approche "en moyenne" du problème pourra se révéler plus fructueuse qu'un point de vue déterministe. Une partie de ce conte est un travail en cours avec M. Sombra et A. Yger.
  • Le 24 mai 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Satadal Ganguly ISI -Calcutta
    Polya-Vinogradov inequality for representations of GL(n,F_p)
    The classical Polya-Vinogradov inequality gives a bound (roughly of size square root of $p$) on the sum of values of a Dirichlet character modulo $p$ along a segment which is independent of the length of the segment. The proof uses Fourier Analysis on finite abelian groups. Instead of Dirichlet characters which are nothing but characters of the mutiplicative group $\mathrm{GL}(1, \mathbb{F}_p)$ of invertible elements in $\mathbb{F}_p$, the finite field of p elements, we can work with representations of the group $\mathrm{GL}(n, \mathbb{F}_p)$ for $n >1$ and try to generalise the result. I shall describe my joint work with C.S. Rajan on this question and our result for the case $n=2$. As an application, we will describe a matrix analogue of the problem of estimating the least primitive root modulo a prime.
  • Le 31 mai 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    ***
    relâche

  • Le 7 juin 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Daniel Daigle Université d'Ottawa
    Dérivations localement nilpotentes et rationalité des variétés
    Soit $X$ une variété algébrique affine sur un corps k de caractéristique zéro et soit $B = k[X]$ l'algèbre des fonctions régulières sur $X$. Si $B$ admet “beaucoup” de dérivations localement nilpotentes $D : B —> B$, alors s'ensuit-il que $X$ est une variété rationnelle ? Je parlerai de l'histoire de cette question et de quelques résultats récents.
  • Le 21 juin 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Grand Amphi de math - bât A33
    -
    "Iwasawa 2019"

  • Le 20 septembre 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Andrea Fanelli IMB
    Pathologies en caractéristique positive: torsion exotique pour 3-variétés de Fano
    Dans cet exposé, je vais introduire la notion de quotient unipotent fini maximal pour un schéma en groupe sur un corps de caractéristique $p>0$. Pour le schéma de Picard, ce quotient est la “torsion exotique''. Je vais présenter des exemples de 3-variétés de Fano intègres avec torsion exotique : en utilisant la théorie des surfaces de Enriques exceptionnelles. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Stefan Schröer.
  • Le 27 septembre 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Gaëtan Chenevier Orsay
    Dimension des espaces de formes de Siegel pour $Sp_{2g}(\mathbf{Z})$
    J'expliquerai une méthode pour calculer "sans trop se fatiguer" la dimension exacte des espaces de formes modulaires de Siegel paraboliques en niveau $Sp_{2g}(\mathbf{Z})$ et poids $k_1>=k_2>=...>=k_g>g$ arbitraires, qui fonctionne pour l'instant jusqu'à $g=8$ (record battu). Travail en commun avec Olivier Taïbi.
  • Le 4 octobre 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Jehanne Dousse Institut Camille Jordan
    Les identités de Capparelli et de Primc
    Une partition d'un entier n est une suite décroissante d'entiers dont la somme est n. Une identité de partitions est un théorème de la forme "pour tout entier n, le nombre de partitions de n satisfaisant certaines conditions est égal au nombre de partitions de n satisfaisant d'autres conditions". Dans les années 80, Lepowsky et Wilson ont établi un lien entre les identités de partitions de Rogers-Ramanujan et la théorie des représentations. D'autres théoriciens des représentations ont ensuite étendu leur méthode, donnant lieu à des nouvelles identités jusqu'alors inconnues des combinatoriciens et théoriciens des nombres, telles que l'identité de Capparelli et celle de Primc. Bien que ces deux identités ne semblent pas liées du point de vue de la théorie des représentations, nous montrerons que l'identité de Capparelli peut être déduite combinatoirement de celle de Primc.
  • Le 11 octobre 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle 2
    Pierre-Yves Bienvenu Institut Camille Jordan
    Densité d'ensemble de sommes dans les entiers
    Pour un ensemble A d'entiers, on note 2A l'ensemble des sommes de la forme a+b avec a et b dans A. On note d(A) la densité asymptotique de A. Le théorème de Kneser affirme que si la densité de 2A est inférieure au double de celle de A, alors A et surtout 2A satisfont des contraintes structurelles fortes, qui imposent notamment à la densité de 2A d'être rationnelle. La question se pose de savoir si en dehors de cette contrainte, le couple (d(A), d(2A)) est libre de prendre n'importe quelles valeurs. Nous montrons que oui. Plus généralement, nous étudions les densités des ensembles sommes itérés et déterminons partiellement les valeurs possibles des k-uplets (d(A), d(2A), d(3A), …, d(kA)). Travail réalisé avec François Hennecart.
  • Le 18 octobre 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Razvan Barbulescu (IMB)\, travail en commun avec Sudarshan Shinde (Imj-prg)
    Une classification complète des familles de courbes elliptiques adaptées à l'algorithme ECM
    Le programme B de Mazur s'énonce comme suit : étant donné un sous-groupe de congruence de $\Gamma\subset \mathrm{GL}_2(\hat{\mathbb Z})$, calculer la liste (si l'ensemble est fini) ou la paramétrisation (si l'ensemble est infini) des courbes elliptiques ayant l'image de la représentation galoisienne contenue dans un groupe conjuguée à $\Gamma$. La méthode de factorisation de Lenstra (1985) requiert la recherche de familles de courbes elliptiques non CM qui ont des représentations dans $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}_p)$ non-surjectives. Pour cela nous allons faire une brève revue des algorithmes de factorisation et nous allons déduire qu'il s'agit d'une application directe du programme B de Mazur. Une série de travaux récents par Rouse, Zureick-Brown, Sutherland, Zywina et Morrow ont fait des avancées sur le programme. Nous allons rappeler la méthode de Shimura (1971) pour calculer $X_\Gamma$ quand $-\mathrm{I}\in\Gamma$ et $\det\Gamma=\hat{\mathbb Z}^*$. Nous notons la surprenante efficacité de la méthode de Chabauty et de la méthode étale pour prouver qu'on possède la liste complète d'une équation diopha de genre $g\geq 2$ dans le cas particulier des courbes modulaires. Nous finirons par quelques problèmes ouverts relevant de l'algorithmique et de la théorie analytique des nombres.
  • Le 25 octobre 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Relâche
    Sans titre

  • Le 8 novembre 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Pas de séminaire : soutenance HDR G. Castagnos
    Sans titre

  • Le 15 novembre 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Pas de séminaire : journée en l'honneur de Jacques Martinet
    Sans titre
    Inscription (gratuite) en suivant ce lien.
  • Le 22 novembre 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Pierre Le Boudec Bâle
    Le principe de Hasse pour les équations diophantiennes aléatoires
    Le dixième problème de Hilbert pour le corps des nombres rationnels pose la question de l'existence d'un algorithme décidant si une équation diophantienne homogène possède une solution en nombres rationnels non tous nuls. Ce problème est toujours ouvert. Fixons le degré $d$ et le nombre d'inconnues $m$ des équations considérées. Poonen et Voloch ont conjecturé que si $m>d$ et si les équations diophantiennes sont choisies aléatoirement alors, avec probabilité $1$, l'algorithme vérifiant l'existence de solutions non triviales partout localement devrait donner la réponse exacte à la question de l'existence d'une solution rationnelle non triviale. Je décrirai un travail récent en commun avec Tim Browning et Will Sawin dans lequel nous utilisons des méthodes de géométrie des nombres pour établir cette conjecture pour presque toutes les valeurs de $d$ et $m$.
  • Le 29 novembre 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Alexandre Maksoud Université du Luxembourg
    Théorie d'Iwasawa des représentations d'Artin et des formes modulaires de poids 1
    La théorie d'Iwasawa s'intéresse à la construction d'un analogue p-adique analytique de la fonction L complexe d'un motif M, et à son interprétation en terme de l'arithmétique de M. Bien que de nature p-adique, elle a des applications à des problèmes globaux tels que la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Nous discutons ici du cas des motifs attachés à des représentations d'Artin sur Q, et plus particulièrement à la représentation de Deligne-Serre d'une forme modulaire primitive de poids 1.
  • Le 6 décembre 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Ivan Fesenko Nottingham
    Residue characteristic 2 and effective estimates in IUT, and applications
    I will talk about a recent work of 5 coauthors: Sh. Mochizuki, W. Porowski, A. Minamide, Yu. Hoshi and I. This work slightly extends the IUT theory of Shinichi Mochizuki (for an updated short description of the study of IUT see https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/rapg.pdf). It incorporates the residue characteristic at $p=2$. Using computations of Sijsling (2019) of $4$ special cases of $j$-invariants, it then produces effective estimates of constants. This leads to the proof of effective form of one of $abc$ inequalities. In applications of this form of $abc$ inequality to diophantine equations one can use two additional tools: bounds from below on their solutions and some computer verifications. This opens a vast area of further developments. In the particular case of FLT, using bounds from below obtained by Inkeri (1987) and computations by Coppersmith (1990) and Hart-Harvey-Ong (2016), this recent work proves the first case of FLT for all prime exponents and the second case of FLT for all prime exponents except those between $2^{31}$ and $9.6\times 10^{13}$.
  • Le 13 décembre 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Dimitrios Chatzakos IMB
    Quantum ergodicity and the Prime geodesic theorem on 3-manifolds
    Quantum Ergodicity results have their origin in mathematical physics. The Quantum Unique Ergodicity of Rudnick and Sarnak is now resolved for the case of arithmetic Riemann surfaces by Lindenstrauss and Soundararajan. Prime geodesic theorems describe the asymptotic behaviour of primitive closed geodesics on hyperbolic manifolds and can be viewed as geometric analogues of the Prime number theorem. In this talk I will describe some of our recent work on these two problems for arithmetic 3-manifolds. Using triple product formulas and the Kuznetsov trace formula, the study of these two problems can be reduced to subconvexity estimates for related L-functions.
  • Le 20 décembre 2019 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Relâche

  • Le 10 janvier 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Jean-Marc Couveignes IMB
    Décrire et compter les corps de nombres
    Il existe plusieurs façons de décrire un corps de nombres : polynôme minimal d'un élément primitif, table de multiplication d'une $\mathbf{Q}$-base, traces d'une famille d'éléments, etc. Une description synthétique des corps de nombres permet de construire et donc de compter les corps de nombres de degré donné et de discriminant borné. Des tables construites par Cohen, Diaz et Olivier et une conjecture de Linnik suggèrent que le nombre de classes d'isomorphisme de corps de nombres de degré $n$ et de discriminant inférieur ou égal à $H$ est équivalent à $c(n)H$ quand $n>1$ est fixé et $H$ tend vers l'infini. Cette estimation est prouvée pour n=3 par Davenport et Heilbronn et pour $n=4,5$ par Bhargava. Pour $n$ quelconque Schmidt a prouvé une majoration de la forme $c(n)H^{(n+2)/4}$ à l'aide du théorème de Minkowski. Sa preuve est très effective et a permis de construire des tables. Ellenberg et Venkatesh ont montré que l'exposant de H est asymptotiquement moins que sous-exponentiel en $\log (n)$. Je rappellerai ce contexte et montrerai que l'exposant est moins que $O(\log(n)^3)$.
  • Le 17 janvier 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Stephen Lichtenbaum Brown University
    Reporté

  • Le 24 janvier 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Oscar Rivero Salgado Barcelone
    Exceptional zeros, p-adic L-functions and Euler systems..
    Beginning in the 80s with the celebrated work of Mazur, Tate and Teitelbaum, the study of exceptional zeros for p-adic L-functions has become a very fruitful area in number theory. One example is the recent proof of Gross' conjecture, which crucially relies on the theory of p-adic deformations of modular forms. In this talk, we give a historical survey of several applications of the theory of exceptional zeros, which incudes certain cases of the p-adic Birch and Swinnerton-Dyer conjecture and the Gross--Stark conjectures. We connect this with a recent result obtained in a joint work with V.Rotger, and which can be seen as a Gross--Stark formula for the adjoint of a weight one modular form. Finally, we take a glance to the theory of exceptional zeros from the point of view of Euler systems, exploring some tantalizing connections between the analytic and the algebraic world.
  • Le 31 janvier 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Ziyang Gao IMJ-PRG
    Borner le nombre de points rationnels sur une courbe
    Mazur a conjecturé, après la démonstration de la conjecture de Mordell-Weil par Faltings, que le nombre de points rationnels sur une courbe de genre g définie sur un corps de nombres de degré d est borné par g, d et le rang de Mordell-Weil. Dans cet exposé je vais expliquer comment démontrer cette conjecture. J'insisterai sur les applications de la théorie de transcendance sur les corps de fonctions et de la théorie d'intersections atypiques dans la preuve. Il s'agit d'un travail en commun avec Vesselin Dimitrov et Philipp Habegger.
  • Le 7 février 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Kęstutis Česnavičius Orsay
    The Manin constant and the modular degree
    By the modularity theorem, an elliptic curve $E$ over $\mathbf Q$ of conductor $N$ admits a surjection $\varphi$ from the modular curve $X_0(N)$. The Manin constant $c$ of such a modular parametrization of $E$ is the integer that scales the differential associated to the normalized newform on $\Gamma_0(N)$ determined by the isogeny class of $E$ to the $\varphi$-pullback of a Néron differential of $E$. For optimal $\varphi$ Manin conjectured his constant to be $1$, and we show that in general it divides $\operatorname{deg}(\varphi)$ under mild assumptions at the primes $2$ and $3$. This gives new restrictions on the primes that could divide the Manin constant. The talk is based on joint work with Michael Neururer and Abhishek Saha.
  • Le 14 février 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Benjamin Wesolowski IMB
    Discrete logarithms in quasi-polynomial time in finite fields of small characteristic
    We prove that the discrete logarithm problem can be solved in quasi-polynomial expected time in the multiplicative group of finite fields of fixed characteristic. In 1987, Pomerance proved that this problem can be solved in expected subexponential time $L(1/2)$. The following 30 years saw a number of heuristic improvements, but no provable results. The quasi-polynomial complexity has been conjectured to be reachable since 2013, when a first heuristic algorithm was proposed by Barbulescu, Gaudry, Joux, and Thomé. We prove this conjecture, and more generally that this problem can be solved in the field of cardinality $p^n$ in expected time $(pn)^{2 log_2(n)+O(1)}$.
  • Le 21 février 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Matthias Flach California Institute of Technology
    Zeta functions of arithmetic surfaces and the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer..
    We discuss a special value conjecture for the Zeta function of an arithmetic surface at $s=1$, and how it is equivalent to the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for the Jacobian of the generic fibre. Along the way we slightly generalize a formula due to Geisser relating the Brauer group and the Tate-Shafarevich group, and we develop some results on the eh-topology for varieties over finite fields.
  • Le 11 mars 2020 à 11:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle 385
    Cathy Swaenepoel (Montréal)\n Attention à l'horaire et au lieu inhabituels : mercredi 11 mars à 11h en salle 385
    Nombres premiers avec des chiffres préassignés
    Bourgain (2015) a estimé le nombre de nombres premiers avec une proportion $c>0$ de chiffres préassignés en base 2 (c est une constante absolue non précisée). Nous présenterons une généralisation de ce résultat à toute base $g \geq 2$ et nous donnerons des valeurs explicites pour la proportion $c$ en fonction de $g$. Notre preuve, qui développe, précise et prolonge la stratégie de Bourgain, est fondée sur la méthode du cercle et combine des techniques d'analyse harmonique avec des résultats sur les zéros des fonctions $L$ de Dirichlet, notamment une région sans zéro très fine due à Iwaniec.
  • Le 13 mars 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    K. Buyukboduk Dublin
    ANNULÉ

  • Le 20 mars 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    F. Pazuki Copenhague/Bordeaux
    Sans titre

  • Le 27 mars 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Fabrizio Barroero Roma Tre
    REPORTÉ

  • Le 3 avril 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    A. Queguiner-Mathieu Paris 13
    Sans titre

  • Le 10 avril 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    F. Campagna Copenhague
    Sans titre

  • Le 15 mai 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    K. Kedlaya UCSD
    Sans titre

  • Le 5 juin 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Stefan Schröer Düsseldorf
    Sans titre

  • Le 12 juin 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Anna Cadoret IMJ
    Sans titre

  • Le 25 septembre 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Francesco Campagna Copenhague
    Singular moduli and $S$-units
    A remarkable property of singular invariants of CM elliptic curves (singular moduli) is that they are algebraic integers. Hence it makes sense to ask, for a fixed set of rational primes S, how many singular moduli are S-units. When the set S is empty, Yu. Bilu, P. Habegger and L. Kühne have answered this question by proving that singular units do not exist. What happens now if we allow S to be a non-empty set of primes? We will discuss this problem and give partial answers.
  • Le 2 octobre 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférence (en visio)
    Francesca Balestrieri American University of Paris
    Strong approximation for homogeneous spaces of linear algebraic groups
    Building on work by Yang Cao, we show that any homogeneous space of the form $G/H$ with $G$ a connected linear algebraic group over a number field $k$ satisfies strong approximation off the infinite places with étale-Brauer obstruction, under some natural compactness assumptions when $k$ is totally real. We also prove more refined strong approximation results for homogeneous spaces of the form $G/H$ with $G$ semisimple simply connected and $H$ finite, using the theory of torsors and descent. (This latter result is somewhat related to the Inverse Galois Problem.)
  • Le 9 octobre 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférence (en visio)
    Efthymios Sofos Glasgow
    Schinzel Hypothesis with probability 1 and rational points
    Joint work with Alexei Skorobogatov, preprint: https://arxiv.org/abs/2005.02998. Schinzel's Hypothesis states that every integer polynomial satisfying certain congruence conditions represents infinitely many primes. It is one of the main problems in analytic number theory but is completely open, except for polynomials of degree 1. We describe our recent proof of the Hypothesis for 100% of polynomials (ordered by size of coefficients). We use this to prove that, with positive probability, Brauer--Manin controls the Hasse principle for Châtelet surfaces.
  • Le 16 octobre 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle 2
    Elena Berardini LIX - École polytechnique
    Codes géométriques sur des familles de surfaces algébriques
    Le but de cet exposé est de borner la distance minimale de codes géométriques algébriques construits sur des surfaces définies sur les corps finis. Dans un premier temps, nous étudions les codes sur deux grandes familles de surfaces algébriques : celles dont le diviseur anti-canonique est strictement nef ou anti-nef et celles qui ne contiennent pas de courbes irréductibles de petit genre. Puis, nous améliorerons ces bornes dans des familles particulières, notamment pour les surfaces minimales fibrées et les surfaces abéliennes, en utilisant la géométrie propre à ces surfaces. Il s'agit d'un travail conjoint avec Y. Aubry, F. Herbaut et M. Perret, preprint: https://arxiv.org/abs/1912.07450, à paraître dans Contemporary Maths, AMS.
  • Le 23 octobre 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle 2 (en visio)
    Raphael Steiner ETH\, Zurich
    Fourth moments of eigenforms, the sup-norm problem, and theta functions
    It is a classical problem in harmonic analysis to bound L^p-norms of eigenfunctions of the Laplacian on (compact) Riemannian manifolds in terms of the eigenvalue. A general sharp result in that direction was given by Hörmander and Sogge. However, in an arithmetic setting, one ought to do better. Indeed, it is a classical result of Iwaniec and Sarnak that exactly that is true for Hecke-Maass forms on arithmetic hyperbolic surfaces. They achieved their result by considering an amplified second moment of Hecke eigenforms. Their technique has since been adapted to numerous other settings. In my talk, I shall explain how to use Shimizu's theta function to express a fourth moment of Hecke eigenforms in geometric terms suitable for further analysis. In joint work with Ilya Khayutin and Paul Nelson, we give sharp bounds for said fourth moments in the weight and level aspect. As a consequence, we improve upon the best known bounds for the sup-norm in these aspects. In particular, we prove a stronger than Weyl-type subconvexity result.
  • Le 13 novembre 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    En Visio
    Marta Pieropan Utrecht
    Campana points, a new number theoretic challenge
    This talk introduces Campana points, an arithmetic notion, first studied by Campana and Abramovich, that interpolates between the notions of rational and integral points. Campana points are expected to satisfy suitable analogs of Lang's conjecture, Vojta's conjecture and Manin's conjecture, and their study introduces new number theoretic challenges of a computational nature.
  • Le 20 novembre 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    En Visio
    Xenia Spilioti Aahrus
    Non-commutative harmonic analysis, spectral theory of automorphic forms and applications
    In this talk we will present some recent results on the dynamical zeta functions of Ruelle and Selberg and the Fried's conjecture. Moreover, we will present topics related to spectral identities for Fourier coefficients of automorphic forms, and methods developed by Reznikov to derive Rankin-Selberg identities.
  • Le 27 novembre 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    En Visio
    Ariyan Javanpeykar Mayence
    Hilbert's irreducibility theorem for abelian varieties
    We will discuss joint work with Corvaja, Demeio, Lombardo, and Zannier in which we extend Hilbert's irreducibility theorem (for rational varieties) to the setting of abelian varieties. Roughly speaking, given an abelian variety $A$ over a number field $k$ and a ramified covering $X$ of $A$, we show that $X$ has "less" $k$-rational points than $A$.
  • Le 4 décembre 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    En Visio
    Gabriel Dill Oxford
    Torsion points on isogenous abelian varieties
    The Manin-Mumford conjecture, proven by Raynaud, predicted that a subvariety of an abelian variety over a field of characteristic zero contains a Zariski dense set of torsion points if and only if it is a union of torsion cosets, i.e. of translates of abelian subvarieties by torsion points. We study subvarieties of abelian schemes that contain a Zariski dense set of torsion points that lie on pairwise isogenous fibers. If the abelian scheme has maximal variation, conjectures of Zannier and Pink characterize such subvarieties. If everything is defined over the algebraic numbers, we prove one half of the conclusion of these conjectures: the geometric generic fiber of an irreducible such subvariety over its projection to the base is a union of torsion cosets. Our proof is based on a strategy due to Lang, Serre, Tate, and Hindry of using Galois automorphisms that act as homotheties on the torsion points. If the abelian scheme is a fibered power of the Legendre family of elliptic curves, this method yields explicit and uniform results. It also yields uniform Manin-Mumford results within a given isogeny class.
  • Le 11 décembre 2020 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    En Visio
    Jiandi Zou Versailles
    Représentations supercuspidales de $GL(n,F)$ distinguées par un sous-groupe unitaire
    Soit $G = GL(n,F)$ avec $F$ un corps local non-archimédien de caractéristique résiduelle $p$ different de 2. On prouve que les représentations lisses supercuspidales de $G$ soient distinguées par une sous-groupe unitaire $H$, c'est-à-dire les représentations aient une forme linéaire non-triviale $H$-invariante, si et seulement si qu'elles soient invariantes par l'action galoisienne, et dans ce cas la dimension de l'espace de distinction soit 1. Ce résultat est connu et prouvé par Jacquet et Feigon-Lapid-Offen, si F est $p$-adique et les représentations sont complexes. Notre méthode, basée au théorie de type développé par Bushnell-Kutzko, est totalement différente, qui marche aussi pour les représentations $l$-modulaires avec $l$ different de $p$.
  • Le 8 janvier 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    En Visio
    Ronan Terpereau Dijon
    Structures réelles sur des variétés presque homogènes
    Dans cet exposé nous allons nous intéresser aux structures réelles de certaines variétés algébriques complexes munies d'une action d'un groupe algébrique réductif : les variétés presque homogènes. Nous verrons comment déterminer si de telles structures existent et, le cas échéant, comment les décrire et les dénombrer. En particulier, nous tâcherons d'illustrer notre approche sur deux familles classiques de variétés presque homogènes : les variétés horosphériques (qui incluent les variétés toriques et les variétés de drapeaux) et les SL(2)-variétés presque homogènes de dimension 3. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Lucy Moser-Jauslin (IMB, Dijon).
  • Le 22 janvier 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    En Visio
    Sid Mathur Düsseldorf
    Searching for the impossible Azumaya Algebra
    In two 1968 seminars, Grothendieck used the framework of etale cohomology to extend the definition of the Brauer group to all schemes. Over a field, the objects admit a well-known algebro-geometric description: they are represented by $\mathbb{P}^n$-bundles (equivalently: Azumaya Algebras). Despite the utility and success of Grothendieck's definition, an important foundational aspect remains open: is every cohomological Brauer class over a scheme represented by a $\mathbb{P}^n$-bundle? It is not even known if smooth proper threefolds over the complex numbers have enough Azumaya algebras! In this talk, I will outline a strategy to construct a Brauer class that cannot be represented by an Azumaya algebra. Although the candidate is algebraic, the method will leave the category of schemes and use formal-analytic line bundles to create Brauer classes. I will then explain a strange criterion for the existence of a corresponding Azumaya Algebra. At the end, I will reveal the unexpected conclusion of the experiment.
  • Le 29 janvier 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Robert Tichy Graz\, CIRM
    Diophantine equations and linear recurrences

  • Le 5 février 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Gautier Ponsinet MPIM Bonn
    Normes universelles de représentations galoisiennes $p$-adiques et la courbe de Fargues-Fontaine
    En 1996, Coates et Greenberg ont calculé le module des normes universelles d'une variété abélienne dans une extension de corps perfectoïde. Une description précise de ce module est essentielle en théorie d'Iwasawa, notamment pour étudier les groupes de Selmer dans des extensions de corps algébriques infinies. Coates et Greenberg ont alors demandé si leur résultat pouvait s'étendre à d'autres motifs. Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle approche de cette question se servant de la classification des fibrés vectoriels sur la courbe de Fargues-Fontaine et permettant d'y répondre positivement dans de nouveaux cas.
  • Le 12 février 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Annamaria Iezzi Université de la Polynésie française
    Un résultat sur les fonctions rationnelles sur un corps fini à l'aide de la borne d'Hasse–Weil
    La borne d'Hasse–Weil donne une estimation du nombre de points rationnels d'une courbe définie sur un corps fini et trouve plusieurs applications dans l'arithmétique sur les corps finis. En effet, dans l'étude des équations polynomiales sur les corps finis, elle représente un outil pour prouver des énoncés de type "asymptotique", c'est-à-dire quand la cardinalité du corps fini est suffisamment grande. Des exemples de tels résultats asymptotiques apparaissent, par exemple, dans la littérature des polynômes de permutation sur les corps finis. Dans cet exposé nous verrons, alors, comment utiliser cette borne pour démontrer un résultat curieux sur les fonctions rationnelles définies sur un corps fini. Ceci est un travail en commun avec Xiang-dong Hou.
  • Le 26 février 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Fabrizio Barroero Rome
    On the Zilber-Pink conjecture for complex abelian varieties and distinguished categories.
    I will report on recent joint work with Gabriel Dill in which we proved that the Zilber-Pink conjecture for a complex abelian variety A can be deduced from the same statement for its trace, i.e., the largest abelian subvariety of A that can be defined over the algebraic numbers. This gives some unconditional results, e.g., the conjecture for curves in complex abelian varieties (over the algebraic numbers this is due to Habegger and Pila) and the conjecture for arbitrary subvarieties of powers of elliptic curves that have transcendental j-invariant. While working on this project we realised that many definitions, statements and proofs were formal in nature and we came up with a categorical setting that contains most known examples and in which (weakly) special subvarieties can be defined and a Zilber-Pink statement can be formulated. We obtain some conditional as well as some unconditional result.
  • Le 5 mars 2021 à 16:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Türkü Özlüm Çelik Simon Fraser University\, Vancouver
    KP equation in Symbolic, Numerical and Combinatorial Algebraic Geometry
    The Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation is a partial differential equation that describes nonlinear wave moves. It is known that algebro-geometric approaches to the KP equation provide solutions coming from a complex algebraic curve, in terms of the Riemann theta function associated with the curve. Reviewing this relation, I will introduce an algebraic object and discuss its geometric features: the so-called Dubrovin threefold of a complex algebraic curve, which parametrizes the solutions. Mentioning the relation of this threefold with the classical algebraic geometry problem, namely the Schottky problem, I will report a procedure that is via the threefold and based on numerical algebraic geometric tools, which can be used to deal with the Schottky problem from the lens of computations. I will finally focus on the geometric behaviour of the threefold when the underlying curve degenerates. This is joint work with Daniele Agostini and Bernd Sturmfels.
  • Le 12 mars 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Alexandre Bailleul ENS Lyon
    Zéros réels de fonctions $L$ d'Artin et biais de Tchebychev dans les corps de nombres
    Le biais de Tchebychev est un phénomène observé pour la première fois par Tchebychev dans les années 1850. Celui-ci prédit qu'il y a "plus souvent" plus de nombres premiers congrus à $3$ modulo $4$ que de nombres premiers congrus à $1$ modulo $4$, autrement dit que $\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)$ "la plupart du temps". Ce phénomène a été expliqué par Rubinstein et Sarnak en 1994, puis généralisé aux corps de nombres par Ng en 2000. Dans l'exposé, j'expliquerai comment on peut montrer que certains zéros réels de fonctions $L$ d'Artin peuvent avoir une influence considérable sur ce phénomène de biais.
  • Le 19 mars 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Abhishek Saha Queen Mary University\, London
    Some analytic aspects of automorphic forms and L-functions
    The eigenfunctions (of the Laplacian) on various geometric spaces constitute a class of mathematical objects of fundamental importance. From the point of view of quantum mechanics, the eigenfunctions correspond to particles moving with a certain energy, which leads naturally to questions motivated by subfields of physics. For example, one also has the so-called sup-norm problem, which asks how high the peaks of an eigenfunctions can be. There is also the famous "Quantum Unique Ergodicity" problem for which Lindenstrauss won a Fields medal. In this talk, I will give a gentle introduction to some of these problems in a setting where number theory plays a key role. In the special case when the manifold is a surface of constant negative structure, and is constructed from "quaternion algebras", a famous result of Iwaniec and Sarnak improves upon the trivial bound for the sup-norm using number-theoretic techniques. I will explain this result, and then talk about recent progress on an analogous question where the underlying surface is itself allowed to vary (the level aspect). I will also explain the interesting connections between these questions and deep problems in number theory such as the subconvexity problem.
  • Le 26 mars 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Giacomo Cherubini Prague
    Prime geodesic theorem over $\mathbb{Z}$ and $\mathbb{Z}[i]$
    I will give an overview of the status of the prime geodesic theorem over $\mathbb{Z}$ and $\mathbb{Z}[i]$. In the last few years this topic has been an active area of research in analytic number theory and I will describe the most recent results. The proofs rely mainly on the spectral theory of automorphic forms, but have connections to L-functions, class numbers and Kloosterman sums.
  • Le 2 avril 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Roberto Svaldi EPFL Lausanne
    Minimal model program and foliations
    A foliation on an algebraic variety is a partition of the variety into 'parallel' disjoint immersed complex submanifolds. Foliations naturally appears in a wide range of problems in algebraic geometry. I will explain recent progress in the birational classification of algebraic foliations in low dimension inspired by the theory of the Minimal Model Program. I will try to use key examples that exemplify the richness of the foliated world both in analogy and in opposition to the classical case of algebraic varieties. The talk will feature joint work with Calum Spicer.
  • Le 9 avril 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Corentin Darreye IMB
    Oscillations dans la suite des coefficients d'une forme modulaire
    Le but de cet exposé est de présenter certains résultats récents concernant la majoration, la minoration et le signe des coefficients de Fourier d'une forme modulaire de poids demi-entier. Ce sujet s'inscrit dans une thématique assez générale qui consiste à mettre en évidence des oscillations et des compensations dans la suite des coefficients d'une forme modulaire. En effet, ce genre de problème est intimement lié à des questions purement arithmétiques et notamment à de nombreux résultats d'équirépartition en théorie des nombres. Ainsi, après avoir fait les rappels nécessaires et afin de motiver au maximum la finalité de mon exposé, j'en profiterai pour présenter certaines de ces applications et j'insisterai particulièrement sur celles découlant du cas particulier des formes modulaires de poids demi-entier.
  • Le 16 avril 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Asbjørn Nordentoft Bonn
    Wide moments of automorphic L-functions
    Calculating the moments of L-function is a central theme in analytic number theory with applications to subconvexity and non-vanishing (which in turn has deep arithmetic implications for equidistribution problems and points counts). In this talk we will give a gentle introduction to a certain type of "wide moments", which in many cases can be calculated using geometric methods. In particular we will consider the case of Rankin--Selberg L-functions of $GL_2$ automorphic forms twisted by class group characters of an imaginary quadratic field, in which case the "wide moments" are connected to equidistribution of Heegner points using Waldspurger's formula. We will also present applications to non-vanishing.
  • Le 30 avril 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Nicole Raulf Lille
    Sur le comportement d'un produit de fonctions L
    Le comportement asymptotique de moments de fonctions L est d'un intérêt particulier en théorie des nombres. Il existe plusieurs conjectures qui prédisent le comportement asymptotique pour des familles de fonctions L qui ont le même type de symétrie, mais malheureusement il n'y a que quelque résultats pour les premiers moments connus. Dans cet exposé je vais discuter le comportement asymptotique d'un produit d'une fonction L de Hecke et d'une fonction L du carré symétrique. Il s'agit d'un travail en commun avec O. Balkanova, G. Bhowmik et D. Frolenkov.
  • Le 7 mai 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Angelos Koutsianas Clermont-Ferrand
    Solving generalized Fermat equations with Frey hyperelliptic curves
    In this talk, I will talk about Darmon's program and the resolution of the generalized Fermat equation of signature (p,p,5) using Frey hyperelliptic curves. This is joint work with Imin Chen (Simon Fraser University).
  • Le 21 mai 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Margaret Bilu IST Austria
    Produits eulériens motiviques et théorèmes de Bertini
    Le groupe de Grothendieck des variétés est le quotient du groupe abélien libre sur les classes d'isomorphisme de variétés algébriques par des relations qui permettent de découper une variété en une sous-variété et son complémentaire. Il a également une structure d'anneau provenant du produit de variétés. De nombreux résultats de théorie des nombres ont des analogues, dits motiviques, qui peuvent être formulés dans cet anneau et qui sont de nature plus géométrique. Nous allons présenter un résultat obtenu en collaboration avec Sean Howe, qui est un analogue motivique d'un célèbre théorème de Poonen; il s'agit de comprendre la probabilité qu'un polynôme homogène à n variables satisfasse certaines conditions sur son développement de Taylor en tout point, lorsque le degré tend vers l'infini. Un outil essentiel est l'introduction d'une notion de produit eulérien motivique pour écrire la valeur de la probabilité limite.
  • Le 28 mai 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Alice Pellet-Mary IMB
    Random Self-reducibility of Ideal-SVP via Arakelov Random Walks
    The objective of this talk is to provide a worst case to average case reduction for the shortest vector problem in ideal lattices (ideal-SVP). More formally, the ideal-SVP problem asks, given as input an ideal of a number field (seen as a lattice), to find a soemhow short vector of the ideal. With our worst-case to average-case reduction, we show that, given as input any ideal, it is possible to re-randomize it in a way that any short vector of the rerandomized ideal can be transformed back into a short vector of the input ideal. In other words, this shows that in order to solve ideal-SVP for all lattices, it is sufficient to be able to solve it with non-negligible probability for a random ideal. The rerandomizetion procedure uses a random walk in the Arakelov class group, which was shown to provide a ``uniform'' ideal (for some appropriate definition of ``uniform''). This is a joint work with Koen de Boer, Léo Ducas and Benjamin Wesolowski
  • Le 4 juin 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Bouchaïb Sodaïgui UPHF Valenciennes
    Structure galoisienne de puissances de la différente
    Je présenterai le problème des classes galoisiennes réalisables par des puissances de la différente et quelques conjectures. Ensuite, je traiterai le cas où le groupe de Galois est d'ordre un nombre premier.
  • Le 11 juin 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Alexandre Maksoud Luxembourg
    Conjectures principales et extra zeros pour les motifs d'Artin
    La théorie d'Iwasawa est un outil puissant permettant, entre autres, d'attaquer la conjecture de Bloch et Kato prédisant un lien entre valeurs spéciales de fonctions L et certains invariants arithmétiques. Dans les grandes lignes, cela nécessite de construire une fonction L p-adique attachée à un motif M et un nombre premier p donnés, d'analyser ses zéros triviaux lorsqu'ils existent, et prouver une "conjecture principale d'Iwasawa" pour le motif M. Le but de cet exposé est de formaliser cette approche lorsque M provient d'une représentation d'Artin non-ramifiée en p. Nous montrerons aussi en quoi nos conjectures généralisent et unifient diverses conjectures et théorèmes apparaissant dans la littérature, telles que la conjecture de Gross-Stark ou la récente conjecture principale "en rang supérieur" de Burns, Kurihara et Sano. Enfin, si le temps le permet, nous donnerons une application inconditionnelle de nos techniques à la conjecture de Gross-Kuz'min.
  • Le 18 juin 2021 à 16:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Peter Humphries Virginia
    Zeroes of Rankin-Selberg L-Functions and Nonsplit Quantum Ergodicity
    Rudnick and Sarnak have conjectured that the L^2-mass of Laplacian eigenfunctions of a negatively curved surface should equidistribute in the large Laplacian eigenvalue limit. This is known as the quantum unique ergodicity conjecture. When this surface is the modular surface, these eigenfunctions are a type of automorphic form called Maass forms, and this conjecture is implied by nontrivial bounds for special values of certain Rankin-Selberg L-functions associated to these automorphic forms. I will discuss a generalisation of this conjecture involving the restriction to the modular surface of automorphic forms associated to quadratic number fields, and how progress towards this conjecture is dependent on nontrivial bounds for certain Rankin-Selberg L-functions. This is joint work with Jesse Thorner.
  • Le 25 juin 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Visio
    Farrell Brumley Sorbonne Paris Nord
    Equidistribution simultanée des orbites toriques
    Un résultat bien connu de Duke montre que les courbes elliptiques ayant de la multiplication complexe par l'anneau des entiers d'un corps quadratique imaginaire de grand discriminant s'équidistribuent, selon la mesure de Poincaré, sur la courbe modulaire. La preuve moderne de ce théorème s'appuie sur une borne sous-convexe des fonctions L tordues par un caractère quadratique. On parlera dans cet exposé des variantes du théorème de Duke sur deux copies de la courbe modulaire, ou, plus généralement, sur deux courbes de Shimura, distinctes ou pas. Dans ce contexte, l'équidistribution simultanée des points CM n'est plus gouvernée pas une borne de sous-convexité, mais par des propriétés analytiques plus fines, inaccessibles sans l'hypothèse de Riemann. Il s'agit d'un travail en commun avec Blomer et Khayutin.
  • Le 2 juillet 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Javier Fresán École polytechnique
    Une fonction E non hypergéométrique
    Les fonctions E sont des séries entières à coefficients algébriques qui satisfont à une équation différentielle et à certaines conditions de croissance ; elles ont été introduites par Siegel dans un article révolutionnaire de 1929 avec le but de généraliser les théorèmes de transcendance pour les valeurs de la fonction exponentielle. Outre l'exponentielle, des exemples incluent les fonctions de Bessel et une famille riche de séries hypergéométriques. Siegel a posé la question : est-ce que toute fonction E peut s'écrire comme une expression polynomiale en des fonctions hypergéométriques ? Dans un travail récent, Fischler et Rivoal montrent qu'une réponse positive à cette question contredirait une forme de la conjecture de périodes de Grothendieck. Dans mon exposé, j'expliquerai comment la théorie de Galois différentielle fournit une réponse négative inconditionnelle à la question de Siegel, et même des exemples explicites de fonctions E qui ne sont pas de type hypergéométrique. Il s'agit d'un travail en commun avec Peter Jossen.
  • Le 24 septembre 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Dimitrios Chatzakos IMB\, Patras
    Distribution of lattice points on hyperbolic circles
    Using motivation from results for lattice points on the euclidean plane, we'll discuss some refined equidistribution results for lattice points arising from the action of the modular group on the hyperbolic plane. This is a joint work with P. Kurlberg, S. Lester and I. Wigman.
  • Le 1er octobre 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Florian Luca University of the Witwatersrand\, Johannesburg
    Universal Skolem Sets..
    Coauthors: J. Ouaknine (Max--Planck Saabr"ucken), J. B. Worrell (Oxford). The celebrated Skolem--Mahler--Lech theorem asserts that if ${\bf u}:=(u_n)_{n\ge 0}$ is a linearly recurrent sequence of integers then the set of its zeros, that is the set of positive integers $n$ such $u_n=0$, form a union of finitely many infinite arithmetic progressions together with a (possibly empty) finite set. Except for some special cases, is not known how to bound effectively all the zeros of ${\bf u}$. This is called {\it the Skolem problem}. In this talk we present the notion of a {\it universal Skolem set}, which an infinite set of positive integers ${\mathcal S}$ such that for every linearly recurrent sequence ${\bf u}$, the solutions $u_n=0$ with $n\in {\mathcal S}$ are effectively computable. We present a couple of examples of universal Skolem sets, one of which has positive lower density as a subset of all the positive integers.
  • Le 7 octobre 2021 à 11:30
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    http://www-math.sp2mi.univ-poitiers.fr/~efloris/sitoBdPo21.html
    Rencontre Bordeaux-Poitiers de Géométrie Algébrique

  • Le 8 octobre 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Lola Thompson Utrecht
    Summing $\mu(n)$: an even faster elementary algorithm
    We present a new elementary algorithm for computing $M(x) = \sum_{n \leq x} \mu(n),$ where $\mu(n)$ is the M"{o}bius function. Our algorithm takes \[\begin{aligned} \mathrm{time} \ \ O_\epsilon\left(x^{\frac{3}{5}} (\log x)^{\frac{3}{5}+\epsilon} \right) \ \ \mathrm{and}\ \ \mathrm{space} \ \ O\left(x^{\frac{3}{10}} (\log x)^{\frac{13}{10}} \right)\end{aligned},\] which improves on existing combinatorial algorithms. While there is an analytic algorithm due to Lagarias-Odlyzko with computations based on the integrals of $\zeta(s)$ that only takes time $O(x^{1/2 + \epsilon})$, our algorithm has the advantage of being easier to implement. The new approach roughly amounts to analyzing the difference between a model that we obtain via Diophantine approximation and reality, and showing that it has a simple description in terms of congruence classes and segments. This simple description allows us to compute the difference quickly by means of a table lookup. This talk is based on joint work with Harald Andr'{e}s Helfgott.
  • Le 15 octobre 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Roberto Pirisi Rome Sapienza
    Brauer groups of moduli stacks via cohomological invariants
    Given an algebraic variety X, the Brauer group of X is the group of Azumaya algebras over X, or equivalently the group of Severi-Brauer varieties over X, i.e. fibrations over X which are étale locally isomorphic to a projective space. It was first studied in the case where X is the spectrum of a field by Noether and Brauer, and has since became a central object in algebraic and arithmetic geometry, being for example one of the first obstructions to rationality used to produce counterexamples to Noether's problem of whether given a representation V of a finite group G the quotient V/G is rational. While the Brauer group has been widely studied for schemes, computations at the level of moduli stacks are relatively recent, the most prominent of them being the computations by Antieau and Meier of the Brauer group of the moduli stack of elliptic curves over a variety of bases, including Z, Q, and finite fields. In a recent series of joint works with A. Di Lorenzo, we use the theory of cohomological invariants, and its extension to algebraic stacks, to completely describe the Brauer group of the moduli stacks of hyperelliptic curves, and their compactifications, over fields of characteristic zero, and the prime-to-char(k) part in positive characteristic. It turns out that the Brauer group of the non-compact stack is generated by elements coming from the base field, cyclic algebras, an element coming from a map to the classifying stack of étale algebras of degree 2g+2, and when g is odd by the Brauer-Severi fibration induced by taking the quotient of the universal curve by the hyperelliptic involution. This paints a richer picture than in the case of elliptic curves, where all non-trivial elements come from cyclic algebras. Regarding the compactifications, there are two natural ones, the first obtained by taking stable hyperelliptic curves and the second by taking admissible covers. It turns out that the Brauer group of the former is trivial, while for the latter it is almost as large as in the non-compact case, a somewhat surprising difference as the two stacks are projective, smooth and birational, which would force their Brauer groups to be equal if they were schemes.
  • Le 22 octobre 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle 1
    Luming Zhao IMB
    Cohomologie galoisienne des corps $p$-adiques et $(\varphi, \tau)$-modules.
    Dans cet exposé, je construirai plusieurs complexes de Herr explicites qui calculent la cohomologie galoisienne d'une représentation p-adique du groupe de Galois absolu des corps de valuation discrète complets de caractéristique $0$ à corps résiduels parfaits de caractéristique $p$, en utilisant les $(\varphi,\tau)$-modules associés (définis par Xavier Caruso), au lieu des $(\varphi,\Gamma)$-module. Je donnerai également une application aux groupes $p$-divisibles.
  • Le 29 octobre 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Federico Scavia UCLA\, Los Angeles
    Dimension essentielle et déformations
    La dimension essentielle d'un objet algébro-géométrique est le nombre de paramètres indépendants nécessaires pour le décrire. Soit G un groupe algébrique linéaire. Je discuterai du comportement en familles de la dimension essentielle des G-variétés génériquement libres et je donnerai des applications de saveur géométrique et arithmétique. Il s'agit d'un travail commun avec Z. Reichstein.
  • Le 12 novembre 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Robin Riblet Nancy
    Ensembles de Sidon
    Un ensemble de Sidon d'un semi-groupe est un ensemble dont toutes les sommes de deux éléments sont distinctes. Des travaux de Erdös, Turàn, Chowla et Singer établissent que le cardinal maximal d'un ensemble de Sidon dans un intervalle d'entiers de cardinal $n$ est équivalent à $\sqrt{n}$. Nous nous intéresserons au cardinal maximal d'un ensemble de Sidon dans l'union (de cardinal $n$) de deux intervalles. Un résultat d'Abbott affirme qu'il est supérieur à $0,0805\sqrt{n}$. Nous améliorerons cette borne et prouverons que ce cardinal est en fait supérieur à $0,8444\sqrt{n}$. D'autre part, nous montrerons qu'il est également inférieur à $\sqrt{n}$. Nous parlerons également d'autres résultats à propos des ensembles de Sidon et d'une de leurs généralisations : les ensembles $B_2[g]$.
  • Le 19 novembre 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle 1
    Ana-Maria Castravet Versailles Paris Saclay
    Non-polyhedral effective cones
    I will discuss joint work with Antonio Laface, Jenia Tevelev and Luca Ugaglia on constructing examples of projective toric surfaces whose blow-up at a general point has a non-polyhedral effective cone. A class of such surfaces can be constructed from what we call Lang-Trotter polygons; in this case, the effective cone is non-polyhedral in characteristic 0 and in characteristic p, for an infinite set of primes p of positive density. As a consequence, we prove that the effective cone of the Grothendieck-Knudsen moduli space of stable rational curves with n markings is not polyhedral for n>=10, both in characteristic 0 and in every prime characteristic p.
  • Le 26 novembre 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Abhinandan IMB
    Crystalline representations and Wach modules in the relative case
    In this talk, we will introduce the notion of Wach modules in the relative setting, generalizing the arithmetic case. Over an unramified base, for a p-adic representation admitting such structure, we will examine the relationship between its relative Wach module and filtered $(\varphi, \partial)$-module. Further, we will show that such a representation is crystalline (in the sense of Brinon), and one can recover its filtered $(\varphi, \partial)$-module from the relative Wach module. Conversely, for low Hodge-Tate weights [0, p-2], we will construct relative Wach modules from free relative Fontaine-Laffaille modules (in the sense of Faltings).
  • Le 3 décembre 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Giuseppe Ancona Strasbourg
    La conjecture standard de type Hodge pour les variétés abéliennes de dimension quatre
    Soient S une surface algébrique, V le Q-espace vectoriel des diviseurs sur S modulo équivalence numérique et d la dimension de V. Le produit d'intersection définit un accouplement parfait sur V. Le théorème de l'indice de Hodge dit qu'il est de signature (1,d-1). Dans les années soixante Grothendieck a conjecturé une généralisation de cet énoncé aux cycles de codimension quelconque sur des variétés de dimension arbitraire. En caractéristique zéro cette conjecture est une conséquence des relations de Hodge-Riemann. En caractéristique positive assez peu est connu. A l'aide de formules du produit classiques sur les formes quadratiques nous allons traduire cette question de signature en un problème p-adique. Il se trouve que ce dernier peut être attaqué avec la théorie de Hodge p-adique. Cela nous permettra de démontrer la question originale pour les variétés abéliennes de dimension quatre.
  • Le 10 décembre 2021 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Thomas Geisser Rikkyo University\, Tokyo
    A Weil-etale version of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
    We'll explain the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture for abelian varieties over global fields. If the field is of characteristic p, we give a reformulation in terms of Weil-etale cohomology of the Neron-model and show that it holds if the Tate-Shafarevich group is finite.
  • Le 7 janvier 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Séminaire reporté.
    --

  • Le 14 janvier 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Léo Poyeton IMB
    Relèvement du corps des normes
    Un outil intéressant pour étudier les représentations p-adiques du groupe de Galois absolu d'une extension finie de Qp est la théorie des (phi,Gamma)-modules cyclotomiques de Fontaine, qui repose notamment sur un relèvement en caractéristique 0 du corps des normes de l'extension cyclotomique. Dans cet exposé, on s'intéressera à la question suivante : par quelles extensions galoisiennes L/K peut-on remplacer l'extension cyclotomique pour construire une théorie des (phi,Gamma)-modules ? On montrera que, sous une hypothèse additionnelle portant sur le Frobenius, une telle extension est nécessairement engendrée par les points de torsion d'un groupe de Lubin-Tate relatif, et que les séries donnant l'action du groupe de Galois de l'extension L/K sont, à twist près, semi-conjuguées aux endomorphismes du même groupe de Lubin-Tate relatif.
  • Le 21 janvier 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Julia Schneider Toulouse
    Generating the plane Cremona group by involutions
    Cremona groups are the groups of birational transformations of a projective space. The structure of these groups depends on the dimension of the projective space, and on the field over which the transformations are defined. In this talk I consider the Cremona group of the plane over a perfect field and proof that they are generated by involutions. I will explain how to decompose such birational maps into Sarkisov links and how this gives a generating set of the plane Cremona group. Afterwards, I will decompose them into involutions, among them are Geiser and Bertini involutions as well as reflections in an orthogonal group associated to a quadratic form. This is joint work with Stéphane Lamy.
  • Le 28 janvier 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    En visio
    Andrea Di Lorenzo Humboldt\, Berlin
    Integral Chow ring of moduli of stable 1-pointed curves of genus two
    Moduli of curves play a prominent role in algebraic geometry. In particular, their rational Chow rings have been the subject of intensive research in the last forty years, since Mumford first investigated the subject. There is also a well defined notion of integral Chow ring for these objects: this is more refined, but also much harder to compute. In this talk I will present the computation of the integral Chow ring of moduli of stable 1-pointed curves of genus two, obtained by using a new approach to this type of questions (joint work with Michele Pernice and Angelo Vistoli).
  • Le 4 février 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Farrell Brumley Paris Nord
    La conjecture de mélange de Michel--Venkatesh
    Les problèmes de Linnik, résolus par Duke il y a une trentaine d'années, portent sur l'équirépartition des orbites toriques de grand discriminant dans les espaces homogènes associés au groupe des unités des algèbres de quaternions. L'exemple le plus concret est celui de la répartition uniforme des points entiers sur la sphère, parfois appelés points de Linnik (on peut également penser aux points CM sur la courbe modulaire). La résolution complète des problèmes de Linnik, achevée par Michel et Venkatesh, a marqué une période d'échange fructueuse entre la théorie ergodique et les formes automorphes. Par leur description comme orbite torique, les points de Linnik reçoivent une action transitive du groupe de Picard d'un ordre quadratique. Dans les actes de l'ICM en 2006, Michel et Venkatesh proposent une conjecture, dite ``de mélange”, qui mesure la complexité de cette action, et qui se traduit par un énoncé d'équirépartition sur le groupe produit G x G; il s'agit donc d'un raffinement quadratique des problèmes de Linnik. Après avoir expliqué la progression de ces idées, j'expliquerai une preuve de la conjecture, conditionnelle sous l'hypothèse de Riemann généralisée, qui fait intervenir un joli mélange d'objets en théorie analytique des nombres: les formes automorphes et leurs périodes, un point de vue probabiliste sur le comportement des valeurs spéciales des fonctions L en familles, ainsi que les valeurs moyennes des fonctions multiplicatives. Travail en commun avec Valentin Blomer et Ilya Khayutin.
  • Le 11 février 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Vladimiro Benedetti Dijon
    Automorphismes de sections linéaires de Grassmanniennes
    Il s'agit d'un travail en commun avec L. Manivel. Etant donnée une Grassmannienne complexe généralisée, on étudie les sections hyperplanes linéaires de son plongement minimal. En particulier, on montre que, sauf des cas bien compris, tous les automorphismes d'une section lisse s'étendent en un automorphisme de la Grassmannienne ambiante. Pour obtenir ce résultat, on étudie les espaces linéaires et les quadriques contenues dans la Grassmannienne et dans la section hyperplane.
  • Le 18 février 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Gregorio Baldi IHES
    The Hodge locus
    I will report on a joint work with Klingler and Ullmo. Given a polarizable variation of Hodge structure on a smooth quasi projective variety S (e.g. the one associated to a family of pure motives over S), Cattani, Deligne and Kaplan proved that its Hodge locus (the locus of closed points of S where exceptional Hodge tensors appear) is a *countable* union of closed algebraic subvarieties of S. In this talk I will discuss when this Hodge locus is actually algebraic. If time permits I will explain how such algebraicity result complements the Lawrence-Venkatesh method.
  • Le 25 février 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Vacances d'Hiver

  • Le 4 mars 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Lucile Devin Université du Littoral
    Disparité dans la répartition des premiers de Gauss
    Etant donné un premier congru à 1 modulo 4, on peut l'écrire de façon unique comme une somme de deux carrés d'entiers positifs $a^2 +4b^2$, l'un pair et l'autre impair. Que peut-on dire de la répartition de l'entier impair a modulo 4 ? Une conséquence de résultats de Hecke est que les classes 1 et 3 sont asymptotiquement autant représentées. Cependant, les données sont surprenantes, il semble qu'il y a plus de premiers avec a congru à 1 modulo 4. On donnera un argument heuristique basé sur la généralisation de l'approche de Rubinstein et Sarnak des biais de Chebyshev pour expliquer cette observation.
  • Le 11 mars 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Kazim Buyukboduk University College Dublin
    Heegner cycles in families and Gross-Zagier at critical slope
    I will report on joint work with R. Pollack and S. Sasaki, where we prove a p-adic Gross–Zagier formula for critical slope (but non-\theta-critical) p-adic L-functions. Besides the strategy for our proof, which involves interpolation of Heegner cycles in Coleman families, I will illustrate two applications. The first is the proof of a conjecture of Perrin-Riou, which predicts an explicit (p-adic) construction of a generator of the Mordell–Weil group of an elliptic curve of analytic rank one. The second is a BSD formula for elliptic curves of analytic rank one.
  • Le 18 mars 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Fabio Bernasconi EPFL Lausanne
    Sur les relèvements des surfaces globalement F-scindée
    Étant donné une variété projective X sur un corps algébriquement clos k de caractéristique positive, c'est intéressante comprendre les éventuelles obstructions géométriques et arithmétiques à l'existence d'un relèvement en caractéristique nulle. Motivée par le cas des variétés abéliennes et des surfaces K3, on conjecture que les variétés de Calabi-Yau ordinaires devraient admettre un relèvement sur l'anneau des vecteurs de Witt W(k). Je rapporterai un travail conjoint avec I. Brivio, T. Kawakami et J. Witaszek où nous montrons que les surfaces globalement F-scindées (qui peuvent être pensée comme des surfaces log Calabi-Yau qui se comportent arithmétiquement bien) sont relevable sur W(k). Comme corollaire, on déduit la borne de Bogomolov sur le nombre de points singuliers des surfaces klt del Pezzo F-scindées.
  • Le 25 mars 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    João Pedro Dos Santos Paris\, Montpellier
    Groupes de Galois pour les équations différentielles sur un trait.
    Dans cet exposé, je parlerai de quelques propriétés des schémas en groupes affines sur un trait R qui apparaissent comme des groupes de Galois différentiels. La théorie de Galois différentielle -- dans le contexte classique -- a pour objectif associer des groupes linéaires aux EDOs. Dès que les équations dépendent d'un paramètre (D-modules sur R), deux théories s'imposent: les schémas en groupes affines, et les catégories tannakiennes. Avec quelques exemples simples, je montrerai comment ces deux théories se rencontrent dans le contexte "D-Galoisien.'' Dans la suite, j'introduirai les éclatements de Néron et "formels" pour donner une idée du type de schémas en groupes qui peuvent jouer un rôle dans la théorie différentielle. Enfin, je parlerai d'une façon importante pour calculer explicitement. Dans la théorie classique, un résultat central, le théorème de Schlesinger, permet le calcul à partir de l'analyse complexe: pour les "singularités régulières" le groupe de Galois est la clôture du groupe de monodromie. J'expliquerai comment obtenir un tel théorème dans le contexte relatif et montrerai que des exemples de schémas en groupes assez exotiques apparaissent naturellement.
  • Le 1er avril 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle 2
    Dorian Berger (Université de Caen) null
    Morphismes étales entre espaces de Berkovich sur Z : critères par fibres et structure locale
    La géométrie de Berkovich a pour avantage de permettre la construction d'espaces analytiques sur un anneau de Banach quelconque. En particulier, on peut construire des espaces analytiques sur Z muni de la valeur absolue usuelle et on obtient dans ce cas des espaces naturellement fibrés en espaces analytiques complexes et p-adiques. Dans cet exposé, on se propose d'étudier les morphismes étales entre de tels espaces, induisant un isomorphisme local entre les fibres complexes et un morphisme étale au sens classique entre les fibres p-adiques. On détaillera plus particulièrement les arguments de restriction à la fibre. Les méthodes utilisées permettent d'obtenir les résultats sur une classe d'anneaux plus générale, comprenant les corps valués complets, les anneaux d'entiers de corps de nombres et les anneaux de valuation discrète.
  • Le 8 avril 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Sara Mehidi (IMB) null
    Prolongement des torseurs via les log schéma
    "On présente ici une approche du problème de prolongement des torseurs définis sur la fibre générique d'une famille de courbes. La question est de prolonger chacun du groupe structural et de l'espace total du torseur au dessus de la famille.L'origine de ce problème remonte au travaux de Grothendieck, qui, au début des années 1960, a donné une bonne définition du groupe fondamental de variétés algébriques, basée sur la notion de revêtements étales galoisiens. Le problème du prolongement des torseurs sous un groupe constant, d'ordre premier à la caractéristique résiduel, a été résolu. Lorsqu'on est intéressé par les variétés algébriques d'un point de vue arithmétique, il est naturel de considérer des torseurs sous un groupe fini non nécessairement constant : on parle de torseurs fppf. On se donne alors un torseur fppf pointé sur une courbe et on cherchera à le prolonger sur un modèle régulier de cette dernière. On sait déjà qu'un prolongement fppf n'existe pas toujours, on se placera alors dans une catégorie plus large, à savoir, celle des torseurs logarithmiques. On montrera en particulier que l'existence d'un tel prolongement revient à prolonger des schémas en groupes et des morphismes entre eux. Puis, on cherchera à calculer l'obstruction à relever le torseur log prolongé en un torseur fppf."
  • Le 6 mai 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Gal Porat (Chicago) null
    Locally analytic vector bundles on the Fargues-Fontaine curve
    The category of p-adic representations of $Gal(\overline{Q_p}/Q_p)$ embeds fully faithfully into the category of equivariant vector bundles on the Fargues-Fontaine curve. In this talk we present recent work, where we show every such equivariant vector bundle descends canonically to a locally analytic vector bundle, an object equipped with a connection. Next, we shall focus on potentially semistable locally analytic vector bundles (for example, these coming from potentially semistable representations of $Gal(\overline{Q_p}/Q_p))$. We shall explain how to interpret invariants of these objects in terms of solutions to p-adic differential equations on the locally analytic vector bundle.
  • Le 13 mai 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Giulio Codogni (Rome Tor Vergata) null
    Characterizing Jacobians via the KP equation and via flexes and degenerate trisecants to the Kummer variety: an algebro-geometric approach.
    "I will present algebro-geometric proofs of a theorem by T. Shiota, and of a theorem by I. Krichever. These results characterize Jacobians of algebraic curves among all irreducible principally polarized abelian varieties. Shiota's characterization is in terms of the KP equation. Krichever's characterization is in terms of trisecant lines to the Kummer variety; I will discuss only the degenerate case of his result. The proofs rely on a new theorem asserting that the base locus of a complete linear system on an abelian variety is reduced. The talk is based on a joint work with E. Arbarello and G. Pareschi."
  • Le 20 mai 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Stefan Schröer (Düsseldorf) null
    Para-abelian varieties and the Albanese map
    We show that for each scheme that is separated and of finite type over a field, and whose affinization is connected and reduced, there is a universal morphism to some para-abelian variety. The latter are schemes that acquire the structure of an abelian variety after some ground field extension. This extends a classical result of Serre. The proof relies on the corresponding result in the proper case, which was obtained before in a joint work with Bruno Laurent. The open case also relies on Macaulayfication, removal of singularities by alterations, pseudo-rational singularities, and Bockstein maps.
  • Le 3 juin 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle 1
    Jean-Louis Verger-Gaugry (Université Savoie Mont Blanc) null
    An attack of the Conjecture of Lehmer by the dynamical zeta function of the $beta$-shift, and the modulo $p$ problem
    "The present work proposes an attack of the Conjecture of Lehmer by the dynamical zeta function of the $\beta$-shift to prove that this Conjecture is true (math NT> arXiv:1911.10590(29 Oct 2021)). In 1933 Lehmer asked the question about the existence of integer polynomials having a Mahler measure different of one, smaller than Lehmers number (and arbitrarily close to one). The problem of Lehmer became a Conjecture, stating that there exists a universal lower bound $> 1$ to the Mahler measures of the nonzero algebraic integers which are not roots of unity. The problem of the minoration of the Mahler measure of algebraic integers is a very deep one and has been extended in the theory of heights in arithmetic geometry.The main ingredients arise from the lenticular poles of the dynamical zeta functions $\zeta_\beta(z)$ of the RényiParry arithmetical dynamical ($\beta$-shift), with $\beta> 1$ any real number tending to one, to which a lenticular measure can be associated, satisfying a Dobrowolski-type inequality with the dynamical degree of $\beta$ . When $\beta$ runs over the set of nonzero reciprocal algebraic integers, under some assumptions, the lenticular poles are identified with conjugates of $\beta$, using Kala-Vavras periodic representation theorem (2019), and this lenticular measure is identified with a minorant of the Mahler measure of $\beta$.Though expressed as hypergeometric functions (Mellin, 1915) the lenticularity of the poles only appears when using their Poincaré asymptotic expansions, in the angular sector guessed by M. Langevin, G. Rhin and C. Smyth, G. Rhin and Q. Wu.We show that the search for very small Mahler measures calls for investigating the factorization of integer polynomials in a class of lacunary polynomials canonically associated to the functions $\zeta_\beta(z)$, that this problem is linked to the number of zeroes of these polynomial in $\mathbb{F}_p$, to their asymptotic limit when $p$ tends to infinity, and questions on the existence of modular forms by the Langlands program.Whether Lehmers number is the smallest Mahler measure $>1$ of algebraic integers remains open."
  • Le 10 juin 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Alice Bouillet (Rennes) null
    Espace de modules des $p$ algèbres de Lie.
    "Sur les corps de caractéristique p>0, l'algèbre de Lie d'un groupe ne donne pas autant d'information qu'en caractéristique 0. Cependant, une structure supplémentaire appelée""p-application"" nous permet de reconstruire au moins les noyaux de Frobenius du groupe.Dans cet exposé, nous donnerons les définitions et les propriétés essentielles pour mieux comprendre les ""p-applications"", puis nous allons décrire le lieu restreignable de l'algèbre de Lie universelle(i.e. le lieu où elle admet une p-application), et l'espace de modules des p-algèbres de Liesur la stratification applatissante de son centre (car nous verrons que ce dernier joue un rôle clé).Enfin, nous revisiterons l'exemple classique de l'espace de modules L_3 des algèbres de Lie de rang 3en montrant qu'il est représentable sur l'anneau des entiers. En utilisant la très jolie théorie de la liaison,nous montrerons qu'il est plat, de présentation finie, avec deux composantes irréductibles plates sur Z,avec des fibres géométriques intègres et Cohen-Macaulay.Grâce à cette description de L_3 et grâce à une extension de l'équivalence de catégorie classique entreles groupes de hauteur 1 et les p-algèbres de Lie, nous pourrons décrire l'espace des modules des groupes algébriques de hauteur 1 d'ordre p^3."
  • Le 17 juin 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Joaquín Rodrigues Jacinto (Paris Saclay) null
    Représentations localement analytiques solides de groupes de Lie p-adiques
    J'expliquerai un travail en commun avec Juan Esteban Rodríguez Camargo où on reformule la théorie des représentations localement analytiques de Schneider-Teitelbaum à l'aide des mathématiques condensées de Clausen et Scholze. On appliquera ce formalisme pour généraliser des théorèmes classiques de comparaison entre différents types de cohomologie (continue, localement analytique et de l'algèbre de Lie) de telles représentations dûs à Lazard, ainsi que pour démontrer un nouveau résultat de comparaison.
  • Le 23 septembre 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Elena Berardini (TU Eindhoven) null
    Nombre de points rationnels des courbes sur une surface de $\mathbb{P}^3$
    "Le nombre de points rationnels dune courbe $C$ projective lisse absolument irréductible de genre $g$ définie sur le corps fini $\mathbb{F}_q$ est borné par la célèbre borne de SerreWeil, à savoir $\#C(\mathbb{F}_q) \le q + 1 + g\lfloor 2\sqrt{q}\rfloor$. Cette borne a été étendue aux courbes singulières par Aubry et Perret. Dans leur ouvrage fondamental de 1986, Stöhr et Voloch ont introduit les ordres de Frobenius dune courbe projective et les ont utilisés pour donner une borne supérieure sur le nombre de points rationnels de la courbe. Près de 30 ans plus tard, Homma a prouvé que le nombre de $\mathbb{F}_q$points sur une courbe non dégénérée de degré $\delta$ plongée dans $\mathbb{P}^n$, avec $n\ge 3$, ne dépasse pas $q(\delta  1) + 1$. Tous ces résultats améliorent la borne originale de SerreWeil pour un régime de paramètres, et traitent souvent de courbes plus générales, e.g. réductibles et/ou singulières. De telles bornes sont intéressantes en soi, et savèrent également utiles pour des applications à la théorie des codes.Dans cet exposé, nous allons montrer que le nombre de points rationnels dune courbe irréductible de degré $\delta$ définie sur un corps fini $\mathbb{F}_q$ et plongée dans une surface $S$ de $\mathbb{P}^3$ de degré $d$ est, sous certaines conditions, borné par $\delta(d+q1)/2$. Dans un certain intervalle de $\delta$ et $q$, ce résultat améliore toutes les autres bornes connues dans le contexte des courbes de $\mathbb{P}^3$. La méthode utilisée sinspire des techniques développées par Stöhr et Voloch. Après avoir rappelé quelques résultats généraux sur la théorie des ordres dune courbe de $\mathbb{P}^3$, nous allons étudier les propriétés arithmétiques des courbes plongées sur une surface de $\mathbb{P}^3$, pour ensuite prouver la borne.Il sagit dun travail en commun avec J. Nardi."
  • Le 30 septembre 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Comité d'organisation : Philippe Lebacque\, Cecília Salgado\, Fabien Pazuki. null
    Diophantine Geometry and L-functions: Hindry 65 - 26-30 septembre 2022 - Salle de conférences IMB

  • Le 7 octobre 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Anne Quéguiner-Mathieu (Paris 13) null
    Formes quadratiques, Groupes algébriques et équivalence motivique.
    Deux formes quadratiques sont dites motiviquement équivalentes si les quadriques projectives associées ont des motifs isomorphes. Vishik a donné une caractérisation purement algébrique de léquivalence motivique. Cette dernière montre que le motif dune quadrique encode les propriétés de déploiement de la forme quadratique sous-jacente. Dans cet exposé, nous expliquerons comment ce résultat sétend au cadre plus général des groupes algébriques. Il sagit dun travail commun avec Charles De Clercq et Maksim Zhykhovich.
  • Le 14 octobre 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Sanoli Gun (IMSc\, Chennai) null
    Bound of Fourier coefficients of half integer weight cusp forms
    "After a review of the known results,we will report on a work with W. Kohnen andK. Soundararajan about lower bound of Fouriercoefficients of half integral weightcusp forms at fundamental discriminants."
  • Le 21 octobre 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle 2
    Riccardo Brasca null
    Formalisation des mathématiques et l'assistant de preuve Lean
    "Je vais parler dans cet exposé de formalisation des mathématiques, le processus ""d'expliquer"" des théorèmes à un ordinateur. J'expliquerai comment fonctionnent les assistants de preuve et pourquoi ils peuvent être utiles pour les mathématiciens. Je raconterai aussi l'histoire d'un projet dont le but était la formalisation d'un résultat très récent de Clausen et Scholze. Je terminerai en montrant en pratique Lean, un des assistants de preuve les plus utilisés aujourd'hui. Cet exposé n'est pas à propos des fondements des mathématiques, en particulier aucune connaissance autour de la formalisation est requise."
  • Le 28 octobre 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle 2
    Gautier Ponsinet (IMB) null
    "Groupes de Bloch-Kato, corps perfectoïdes et théorie d'Iwasawa

    \n"
    "Les groupes de Selmer de Bloch-Kato associés à une représentationgéométrique du groupe de Galois d'un corps de nombres interviennent dansles conjectures de Bloch et Kato sur les valeurs spéciales de fonctionsL. En théorie d'Iwasawa, on s'intéresse à la structure de ces groupessur des extensions de corps infinies. Pour ce faire, il est nécessaired'étudier certains groupes de Bloch-Kato locaux définis via la théoriede Hodge p-adique. Dans cet exposé, je présenterai de nouveaux résultatsconcernant ces groupes de Bloch-Kato locaux sur les corps perfectoïdes.Ces résultats locaux permettent de donner une description plus maniabledes groupes de Selmer de Bloch-Kato comme groupes de Selmer « à laGreenberg » sur de nombreuses extensions de corps infinies, et jeprésenterai quelques conséquences immédiates de cette description enthéorie d'Iwasawa."
  • Le 18 novembre 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle 1
    Daniele Turchetti (Warwick\, ETH Zürich) null
    Modèles des courbes et géométrie analytique non-archimédienne
    La théorie des modèles sur un anneau à valuation discrète se situe au croisement de la théorie de nombres et de la géométrie algébrique, et est riche en applications Diophantiennes, aux représentations Galoisiennes et à la cryptographie, entre autres. Dans les années 60, Deligne et Mumford ont démontré quune courbe C sur un corps à valuation discrète K admet un modèle semi-stable quitte à faire une extension des scalaires finie. Létude de lextension minimale L|K qui rend C semi-stable amène naturellement à beaucoup de questions encore ouvertes. Dans cet exposé, je vais présenter des résultats sur le comportement des modèles par changement de base. Les premiers (avec Lorenzo Fantini) explorent le lien entre modèles réguliers, la géométrie de lanalytification (à la Berkovich) de C et lextension L|K. Ensuite, je parlerai dun résultat plus précis (avec Andrew Obus) consacré à létude de L|K dans le cas de réduction potentiellement multiplicative. Cela nous permet dobtenir des résultats dans un cadre de ramification sauvage.
  • Le 25 novembre 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Cécile Dartyge (Université de Lorraine) null
    Valeurs polynomiales quartiques avec un grand facteur premier, les cas diédraux et cycliques.
    "Soit $P$ un polynôme à coefficients entiers, unitaire, irréductible, de degré 4 et de groupe de Galois diédral ou cyclique.Nous montrons qu'il existe $c_P >0$ tel que pour une proportion positive d'entiers $n$, $P(n)$ ait un facteur premier supérieur à $n^{1+c_P}$.Il s'agit d'un travail réalisé avec James Maynard."
  • Le 2 décembre 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Margaret Bilu (IMB) null
    Fonctions zêta enrichies et topologie des points réels
    La fonction zêta d'une variété $X$ sur un corps fini $\mathbf{F}_q$ est définie en termes des nombres de points de $X$ dans toutes les extensions finies de $\F_q$. Par les conjectures de Weil, elle est rationnelle et contient des informations sur la topologie des points complexes d'un relevé de $X$. Nous allons introduire une version enrichie de (la dérivée logarithmique de) la fonction zêta, à coefficients dans l'anneau de Grothendieck-Witt, définie dans le cadre de la théorie de la $\mathbf{A}^1$-homotopie stable, et nous allons présenter un résultat de rationalité pour certains types de variétés. De plus nous allons montrer comment cette nouvelle fonction zêta permet de récupérer des informations sur la topologie des points réels. C'est un travail en collaboration avec W. Ho, P. Srinivasan, I. Vogt et K. Wickelgren.
  • Le 9 décembre 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Loïs Faisant (Institut Fourier\, Grenoble) null
    « Comptage » de courbes rationnelles de grand degré
    "En géométrie diophantienne, le principe de Batyrev-Manin-Peyre décrit conjecturalement le comportement du nombre de points rationnels de hauteur bornée dune variété de Fano définie sur un corps de nombres, lorsque ladite borne tends vers linfini. Étant donnée une variété de Fano sur C(t), un analogue géométrique de ce principe consiste à considérer lespace de modules des courbes rationnelles de « grand degré » dans un modèle propre de cette variété. Un cadre naturel pour une telle étude est celui de lintégration motivique ; il sagit alors de questionner la convergence, après une normalisation adéquate dans un anneau dintégration motivique, de la classe de lespace de module des courbes de degré arbitrairement grand. Il est de plus attendu que son hypothétique limite puisse être décrite par un produit eulérien motivique, jouant ainsi le rôle du nombre de Tamagawa défini par Peyre dans le cadre arithmétique. Dans cet exposé, on énoncera un tel principe, en donnant notamment une description de la limite attendue et des exemples pour lesquels des résultats sont connus. Puis on montrera quil est commode d'affiner ce principe, en introduisant une notion déquidistribution de courbes. Cette notion permet de saffranchir du choix dun modèle et d'exhiber ainsi de nouveaux exemples de variétés satisfaisant un principe de Batyrev-Manin-Peyre motivique."
  • Le 16 décembre 2022 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Emanuele Tron (IMB) null
    Soutenance de Thèse : Problèmes d'intersections improbables en arithmétique
    Dans cette thèse on considère quelques problèmes provenant de la théorie des intersections improbables qui peuvent être résolus avec des méthodes principalement arithmétiques. Dans le premier chapitre, on considère un problème de type André-Oort dont la preuve non-effective a été donnée par Pila et Tsimerman. Ici on démontre le cas n=3 effectif de leur théorème en bornant les triplets de modules singuliers qui sont multiplicativement dépendants. La démonstration combine une analyse détaillée des propriétés archimédiennes du j-invariant avec des arguments galoisiens pour établir une relation linéaire entre les exposants. Dans le deuxième chapitre, on donne une borne de type Bugeaud-Corvaja-Zannier pour le groupe algébrique G_a x G_m dont la preuve est élémentaire. Dans le troisième chapitre, on continue l'étude des problèmes de PGCD pour les groupes algébriques, et on montre la propriété d'Ailon-Rudnick forte pour G_a x G_m. On considère ensuite le groupe G_a x E où E est une courbe elliptique, pour lequel on peut définir une suite de PGCD indexée par les idéaux de l'anneau de multiplication complexe. On démontre une propriété de Ailon-Rudnick analogue pour cette suite généralisée. La preuve combine des arguments élémentaires de crible avec l'étude des réductions de E.
  • Le 6 janvier 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Thibault Poiret -
    Jacobiennes compactifiées, courbes logarithmiques et modèles de Néron
    À toute courbe lisse, on peut naturellement associer une variété abélienne, sa Jacobienne.L'espace de modules des courbes lisses de genre fixé peut être compactifié en un espace de modules de courbes nodales. Cela soulève la question d'étendre la définition de Jacobienne aux courbes nodales, en préservant au mieux ses propriétés et sa modularité. Nous discuterons des difficultés que cela présente, et d'outils permettant de les affronter.
  • Le 13 janvier 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Wouter Castryck Louvain
    Scrollar invariants, syzygies and representations of the symmetric group

  • Le 20 janvier 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Adrien Morin IMB
    Valeurs spéciales de fonctions L pour les faisceaux Z-constructibles en dimension 1
    La cohomologie Weil-étale est une théorie cohomologique (en partie conjecturale) pour les schémas arithmétiques, qui se comporte mieux que la cohomologie étale et a des liens conjecturaux aux valeurs spéciales de fonctions zêta. Dans cet exposé, j'expliquerai comment on peut définir en dimension 1 la cohomologie Weil-étale à support compact à coefficients un faisceau Z-constructible, et j'établirai un lien avec la valeur spéciale en s=0 d'une fonction L naturellement associée aux coefficients considérés. Il y a 3 cas particuliers intéressants : on obtient une formule cohomologique pour la valeur spéciale en s=0 de la fonction zêta du spectre d'un ordre dans un corps de nombres, ce qui généralise la formule analytique du nombre de classes; on obtient aussi une formule pour la valeur spéciale en s=0 des fonctions L d'Artin associées à une représentation rationnelle du groupe de Galois d'un corps global; et enfin la formule pour un faisceau constructible permet de retrouver la formule de Tate pour la caractéristique d'Euler d'un corps de nombres.
  • Le 26 janvier 2023 à 15:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle 2
    François Hennecart Saint-Etienne
    Le théorème de Kneser dans les groupes abéliens $\sigma$-finis.
    Résoudre un problème inverse en théorie additive des nombres consiste à fournir une description fine de la structure d'ensembles satisfaisant une condition contraignante portant sur la taille de leur somme. Cette description sera d'autant plus fine que la contrainte est proche de l'optimal. Par exemple la somme $A+B$ de deux ensembles finis non vides de nombres réels a pour taille (ici le cardinal) minimale la sommes des cardinaux moins un : $|A+B|\geq |A|+|B|-1$.Le problème inverse associé consiste à décrire les paires $(A,B)$ telle que l'égalité a lieu. L'environnement générique est celui d'un groupe $G$ (ou d'un semi-groupe) abélien fini ou non. Il faut y définir la notion de taille d'une partie et comparer les tailles de $A$, $B$ et $A+B$ afin de poser un problème inverse susceptible d'être résolu. Si $\tau(A)$ désigne la taille d'une partie $A$ de $G$, on dit que $(A,B)$ est une paire critique si $\tau(A+B)<\tau(A)+\tau(B)$. Le théorème de Kneser (1953) dans les groupes abéliens affirme que si $(A,B)$ est une paire critique (pour le cardinal), alors il existe un sous-groupe $H$ tel que $A+B=A+B+H$ et $|A+B|=|A+H|+|B+H|-|H|$.L'autre fameux théorème de Kneser porte sur les paires critiques de suites d'entiers que l'on mesure à travers leur densité asymptotique inférieure. Kneser (1956) a ensuite établi un énoncé qui porte sur les sous-ensembles de groupes abéliens localement compacts munis de leur mesure de Haar. Beaucoup plus récemment Jin (2006, 2007, 2010) et Griesmer (2013) ont démontré des résultats en termes de densité, notamment dans les groupes abéliens dénombrables.Le long de cet exposé, je donnerai des éléments historiques plus ou moins récents sur ces questions et traiterai un cas du théorème de Kneser qui se situe à l'interface des résultats initiaux de Kneser et ceux de Griesmer, à savoir celui des groupes abéliens $\sigma$-finis. Ce travail a été conduit en collaboration avec P-Y. Bienvenu (Dublin).
  • Le 3 février 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Paul Péringuey Nancy
    Une généralisation de la conjecture d'Artin parmi les presque premiers
    La conjecture d'Artin stipule que l'ensemble des nombres premiers pour lesquels un entier a différent de -1 ou un carré parfait est racine primitive admet une densité asymptotique parmi tous les premiers. En 1967 C.Hooley démontra cette conjecture sous l'hypothèse de Riemann généralisée. La notion de racine primitive peut être étendue modulo un entier quelconque en considérant alors les éléments du groupe multiplicatif engendrant des sous-groupes de tailles maximales. Je parlerai de l'ensemble des presque premiers pour lesquels un nombre a est racine primitive généralisée, et montrerai que l'on obtient, sous GRH, des résultats similaires à la conjecture d'Artin pour les racines primitives.
  • Le 10 février 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Kevin Destagnol Paris-Saclay
    Moyennes de fonctions arithmétiques évaluées en des polynômes et applications
    On expliquera comment estimer la moyenne d'une fonction arithmétique évaluée en des polynômes pourvu que la fonction arithmétique se comporte bien dans les progressions arithmétiques et que le nombre de variables des polynômes soit suffisamment grand. On donnera alors quelques applications au problème de Loughran--Smeets qui étudie la probabilité avec laquelle une équation diophantienne choisie au hasard au sein d'une famille possède une solution rationnelle. Il s'agit d'un travail en commun avec Efthymios Sofos et Leonard Hochfilzer.
  • Le 24 février 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Daniel Kriz Sorbonne Université
    Les conjectures principales supersingulières, la conjecture de Sylvester et la conjecture de Goldfeld
    Je présenterai un théorème « p-converse » à rang 0 et 1 pour les courbes elliptiques sur les rationnels à multiplication complexe (CM) dans le cas où le nombre premier p est ramifié dans le corps CM. Ce théorème a des applications à deux problèmes classiques d'arithmétique: il vérifie la conjecture de Sylvester de 1879 sur les nombres premiers exprimables comme une somme de deux cubes rationnels et établit la conjecture de Goldfeld pour la famille des nombres congruents. La démonstration répose sur la formulation et la preuve d'une nouvelle conjecture principale d'Iwasawa, qui à leur tour utilisent de nouvelles méthodes issues des interactions entre les objets théoriques d'Iwasawa et la théorie de Hodge p-adique relative sur les courbes de Shimura à niveau infini.
  • Le 3 mars 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Andrés Jaramillo Puentes Essen
    Intersections Tropicales Enrichies Quadratiquement
    La géométrie tropicale est un outil calculatoire puissant en géométrie énumérative réelle et complexe. Les résultats récents de la théorie homotopique motivique nous permettent d'étudier des questions de géométrie énumérative sur un corps arbitraire k. Dans cet exposé, on présente un des premiers exemples d'utilisation de la géométrie tropicale afin de résoudre des questions de la géométrie énumérative sur k : un théorème de Bézout enrichi quadratiquement. On expliquera les notions nécessaires de la géométrie énumérative valuée dans l'anneau de Grothendieck-Witt des formes quadratiques sur k. On définira une multiplicité d'intersection motivique valuée sur cet anneau et on prouve comment la calculer de façon combinatoire.Finalement, on utilisera ces idées pour prouver le théorème de Bézout enrichi quadratiquement. Si le temps le permet, on expliquera comment généraliser cette preuve pour montrer un analogue du théorème de Bernstein-Kushnirenko et sa correspondance avec l'intersectiondes hypersurfaces dans les variétés toriques.
  • Le 10 mars 2023 à 13:30
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Rencontre ANR FRACASSO : Marta Pieropan (Utrecht) null
    On rationally connected varieties over $C_1$ fields of characteristic 0
    In the 1950s Lang studied the properties of $C_1$ fields, that is, fields over which every hypersurface of degree at most n in a projective space of dimension n has a rational point. Later he conjectured that every smooth proper rationally connected variety over a $C_1$ field has a rational point. The conjecture is proven for finite fields (Esnault) and function fields of curves over algebraically closed fields (GraberHarrisde JongStarr), but it is still open for the maximal unramified extensions of $p$-adic fields. I use birational geometry in characteristic 0 to reduce the conjecture to the problem of finding rational points on Fano varieties with terminal singularities, and I provide some evidence in dimension 3.
  • Le 17 mars 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Veronika Ertl Ratisbonne
    Un approche rigide à la cohomologie de Hyodo--Kato
    La cohomologie de Hyodo-Kato joue un rôle important dans la géométrie arithmétique, en particulier dans la théorie de Hodge p-adique. Elle permet de munir la cohomologie de de Rham d'un schéma (propre de réduction sémistable) sur un anneau de valuation discrète complet avec un structure de (Æ,N)-module. Je vais présenter une approche à la théorie de Hyodo-Kato fondée sur des méthodes rigides analytique, qui permet d'étudier des schémas plus généraux (en particulier non-nécessairement propre). Dans un cas particulier, je vais expliquer comment cette construction permet de comprendre la relation entre la cohomologie rigide de Berthelot et la cohomologie de Hyodo-Kato. (Travail en cours en commun avec Kazuki Yamada, Keio University.)
  • Le 24 mars 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Dino Lorenzini Georgia
    Torsion and Tamagawa numbers
    Associated with an abelian variety A/K over a number field K is a finite set of integers greater than 1 called the local Tamagawa numbers of A/K. Assuming that the abelian variety A/K has a K-rational torsion point of prime order N, we can ask whether it is possible for none of the local Tamagawa numbers to be divisible by N. The ratio (product of the Tamagawa numbers)/|Torsion in E(K)| appears in the conjectural leading term of the L-function of A in the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, and we are thus interested in understanding whether there are oftencancellation in this ratio.We will present some finiteness results on this question in the case of elliptic curves. More precisely, let d>0 be an integer, and assume that there exist infinitely fields K/Q of degree d with an elliptic curve E/K having a K-rational point of order N. We will show that for certain such pairs (d,N), there are only finitely many fields K/Q of degree d such that there exists an elliptic curve E/K having a K-rational point of order Nand none of the local Tamagawa numbers are divisible by N. The lists of known exceptions are surprisingly small when d is at most 7."
  • Le 31 mars 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Quentin Gazda École Polytechnique
    Cohomologie motivique en arithmétique des corps de fonctions
    Des valeurs zêta intéressantes apparaissent en arithmétique des corps de fonctions comme valeur spéciales de fonctions L de A-motifs d'Anderson. Je réfléchis actuellement à l'analogue d'une conjecture de Beilinson dans ce cadre, liant ces valeurs spéciales au déterminant d'un régulateur. Dans cet exposé, je présenterai mes premiers pas dans ce programme : après un rappel général sur les A-motifs et leur théorie, j'expliquerai comment définir une « cohomologie A-motivique ». On définira ensuite un régulateur, et je conclurai sur quelques calculs récents obtenus avec Andreas Maurischat dans le cas des twists de Carlitz.
  • Le 7 avril 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Adel Betina Copenhague
    La conjecture des zéros exceptionnels pour les fonctions L p-adiques de Katz.
    Dans un travail commun avec M.L. Hsieh, on démontre une variante de la conjecture de Gross-Stark pour les fonctions L p-adiques de Katz associées à des corps CM, i.e. on donne une formule pour la dérivée en s = 0 le long de la direction cyclotomique. Notre méthode est basée sur l'étude des congruences entre des familles P-adiques de type CM et non-CM via la méthode de Rankin-Selberg p-adique. On construit une famille de Hida non-CM qui est congruente à une famille de Hida CM pour la spécialisation 1+µ en dehors des coefficients en p, et telle que les coefficients en p sont explicitement liées à la dérivée en s = 0 de la fonction L p-adique anticyclotomique de Katz. On détermine les coefficients en p infinitésimalement via une variante très générale du lemme de Ribet en déformations Galoisiennes qu'on démontre (la représentation résiduelle est scalaire localement en p !)
  • Le 14 avril 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Ratko Darda Bâle
    Une nouvelle classe de hauteurs sur les champs et conjecture de Manin
    La conjecture de Manin prédit le comportement asymptotique du nombre de points rationnels de hauteur bornée sur les variétés de Fano. Plus précisément, pour une variété de Fano lisse, nous attendons que, en dehors d'un ensemble mince, le nombre de points rationnels de hauteur moins que $B$ soit asymptotique à $C B^{a}\log(B)^b$ pour certains $C, a, b>0$. Cette prédiction est (formellement) très similaire à la prédiction de Malle sur le nombre d'extensions galoisiennes ayant le groupe de Galois fixe et le discriminant borné. Les deux conjectures sont concernées par des points rationnels sur les champs de Deligne-Mumford. Nous présentons une nouvelle classe de hauteurs sur ces champs. Nous les utilisons pour donner une version de la conjecture de Manin pour les champs (de Deligne-Mumford), plus forte que celle d'Ellenberg, Satriano et Zureick-Brown, ayant les conjectures de Manin et de Malle comme conséquences. C'est un travail en commun avec T. Yasuda.
  • Le 28 avril 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Francesco Lemma IMJ Paris
    Cycles algébriques et fonctorialité de Langlands de $G_2$ à $PGSp(6)$.
    On considérera la composante de la cohomologie d'une variété de Siegel de dimension 6 correspondant à une représentation automorphe cuspidale de $PGSp(6)$ qui provient du groupe exceptionnel $G_2$. Gross et Savin ont conjecturé que la droite Galois invariante qu'on y trouve est engendrée par la classe de cohomologie d'une sous-variété de Hilbert. On présentera un travail en commun avec Cauchi et Rodrigues Jacinto permettant de ramener la démonstration de la conjecture à la non-nullité d'une intégrale archimédienne (arXiv:2202.09394).
  • Le 5 mai 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Séverin Philip Kyoto
    Groupes de monodromie finie et variétés abéliennes CM
    Après un peu de contexte sur les variétés abéliennes et la semi-stabilité j'introduirai les groupes de monodromie finie ainsi que leur lien avec la réduction semi-stable. Je présenterai sans détails un résultat de type local-global relatif pour ces groupes. On verra ensuite comment utiliser la théorie CM pour produire des gros groupes de monodromie, ce qui passera par la résolution de problèmes de Grunwald pour certains produits en couronne. Avec le principe local-global précédent cette construction permet de borner le degré de semi-stabilité en fonction de la dimension.
  • Le 12 mai 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Relâche

  • Le 19 mai 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Relâche

  • Le 26 mai 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Luca Tasin Milan
    Sasaki-Einstein metrics on spheres
    It is a classical problem in geometry to construct interesting metrics on spheres. Sasaki-Einstein metrics are the analogous of Kähler-Einstein metrics for odd dimensional real manifolds. I will report on a joint work with Yuchen Liu and Taro Sano in which we construct infinitely many Sasaki-Einstein metrics on odd-dimensional spheres that bound parallelizable manifolds, proving in this way conjectures of Boyer-Galicki-Kollár and Collins-Székelyhidi. The construction is based on showing the K-stability of certain Fano weighted orbifold hypersurfaces.
  • Le 2 juin 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Eknath Ghate TIFR Bombay et IHES
    Zig-zag holds for Galois representations
    I will give a survey of recent work on the description of the explicit shape of the reductions of two-dimensional local Galois representations, concentrating on our recent proof of the zig-zag conjecture.

  • Le 9 juin 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Olivier Wittenberg Université Sorbonne Paris Nord
    Descente hyper-résoluble pour les points rationnels
    Le formalisme aujourd'hui classique de la descente sous des tores introduit
    par Colliot-Thélène et Sansuc dans les années 1980 admet un analogue dans
    lequel les tores sont remplacés par des groupes finis hyper-résolubles.
    J'expliquerai ce formalisme et en discuterai des applications, notamment
    aux points rationnels des espaces homogènes de groupes linéaires et au
    problème inverse de Galois avec normes prescrites (généralisation des
    travaux de Frei-Loughran-Newton). Il s'agit d'un travail en commun avec
    Yonatan Harpaz.

  • Le 22 septembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Abhinandan (University of Tokyo)
    Prismatic F-crystals and Wach modules
    For an unramified extension $K/\mathbb{Q}_p$ with perfect residue field, by works of Fontaine, Colmez, Wach and Berger, it is well-known that the category of Wach modules over a certain integral period ring $\mathbf{A}_K^+$ is equivalent to the category of lattices inside crystalline representations of $G_K$, i.e. the absolute Galois group of $K$. Moreover, by recent work of Bhatt and Scholze, we also know that lattices inside crystalline representations of $G_K$ are equivalent to the category of prismatic $F$-crystals over $O_K$, i.e. the ring of integers of $K$. The goal of this talk is to present a direct construction of the categorical equivalence between Wach modules over $\mathbf{A}_K^+$ and prismatic $F$-crystals over $O_K$. If time permits, we will also mention generalisation of our construction to the relative case as well as relationships between relative Wach modules, $q$-connections and filtered $(\varphi, \partial)$-modules.
  • Le 29 septembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Sophie Marques (Stellenbosch University)
    La géométrie des espaces de modules : classification des extensions de corps à isomorphisme près
    Dans cet exposé, on se focalise sur la classification des extensions de corps à isomorphisme près, une tâche qui nécessite la création d'un système de classification solide. L'objectif est de mieux comprendre la structure des extensions de corps en étudiant les familles de polynômes associées. L'analyse s'approfondit en examinant les cas
    spécifiques des extensions cubiques, quartiques et radicales, y compris celles qui ne sont pas nécessairement galoisiennes, en introduisant des concepts tel que la fermeture radicale et l'Artin-Schreier. Pour faire cela, une attention particulière est portée aux extensions cyclotomiques.
    (joint with Jacob Ward, Mpendulo Cele, Elizabeth Merma, Chad Brache)
  • Le 6 octobre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Luis Santiago Palacios (IMB - Université de Bordeaux)
    Geometry of the Bianchi eigenvariety at non-cuspidal points
    An important tool to study automorphic representations in the framework of the Langlands program is to produce $p$-adic variation. Such variation is captured geometrically in the study of certain rigid analytic spaces, called eigenvarieties.
    In this talk, we first introduce Bianchi modular forms, that is, automorphic forms for $\mathrm{GL}_2$ over an imaginary quadratic field, and then discuss its contribution to the cohomology of the Bianchi threefold. Further, we present the Bianchi eigenvariety and state our result about its geometry at a special non-cuspidal point. Time permitting, we will give some ideas about the proof. This is a joint work in progress with Daniel Barrera (Universidad de Santiago de Chile).
  • Le 13 octobre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Riccardo Pengo (Leibniz Universität Hannover)
    Théorie d'Iwasawa pour les graphes et mesures de Mahler p-adiques
    La théorie d'Iwasawa étudie l'évolution de certains invariants, comme le nombres des classes d'idéaux d'un corps de nombres, dans une tour d'objets, donnée par exemple par la tour des corps cyclotomiques. En regardant les analogies entre corps de nombres, corps de fonctions des courbes sur les corps finis, nœuds et graphes, la théorie d'Iwasawa a été étendue à ces types d'objets. Pour le cas des graphes, plusieurs auteurs ont montré que les valuations p-adiques des nombres d'arbres couvrants dans une tour l-adique des graphs, qui est l'invariant analogue au nombre des classes d'idéaux, satisfait des analogues des théorèmes classiques de Iwasawa (quand l et p coincident) et Washington (quand l est différent de p), et d'une conjecture de Greenberg. Dans cet exposé, basé sur un travail en commun avec Daniel Vallières, nous montrerons comment ces résultats se globalisent, en considérant une tour des graphs dont le groupe de Galois est isomorphe aux entiers. En particulier, nous montrerons que dans ce cas les invariants d'Iwasawa peuvent être calculés grâce à un polynôme associé à la tour, et à ses mesures de Mahler p-adiques, qui mesurent la distribution p-adique des racines du polynôme en question. Enfin, nous montrerons comment ce théorème peut être utilisé pour récupérer des résultats antécédents autours des asymptotiques des nombres d'arbres couvrants de certains types de graphes, qui généralisent les graphes de Petersen, et pour montrer une formule explicite pour les valuations p-adiques des nombres de Fibonacci, due à Lengyel.
  • Le 20 octobre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Cathy Swaenepoel (Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche)
    Nombres premiers réversibles
    Les propriétés des chiffres des nombres premiers et de diverses autres suites de nombres entiers ont suscité beaucoup d'intérêt ces dernières années. Pour tout nombre entier naturel $k$, nous notons $\overleftarrow{k}$ le miroir de $k$ en base 2, défini par
    $$ \overleftarrow{k} = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_j\,2^{n-1-j}
    \quad
    \mbox{ où }
    \quad
    k = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_{j} \,2^j$$
    avec $\varepsilon_j \in \{0,1\}$, $j\in\{0, \ldots, n-1\}$, $ \varepsilon_{n-1} = 1$. Une question naturelle est d'estimer le nombre de nombres premiers $p\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $\overleftarrow{p}$ est également premier. Nous présenterons un résultat fournissant une majoration de l'ordre de grandeur attendu. Notre méthode est fondée sur une technique de crible. Elle nous permet aussi de montrer qu'il existe une infinité de nombres entiers $k$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ ont au plus 8 facteurs premiers, comptés avec multiplicité.
    Enfin, nous présenterons une formule asymptotique pour le nombre de nombres
    entiers $k\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ sont sans facteur carré.

    Il s'agit d'un travail en commun avec Cécile Dartyge, Bruno Martin, Joël Rivat et Igor Shparlinski.
  • Le 27 octobre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Sary Drappeau (Institut de Mathématiques de Marseille)
    Formes modulaires quantiques de poids non-nul
    Dans un travail récent avec Sandro Bettin ((Gênes)), on étudie les applications $f : \mathbb{Q} → \mathbb{C}$ qui satisfont des équations fonctionnelles du type suivant : pour tout $γ ∈ SL(2, \mathbb{Z})$, la différence $h_γ(x) := f(γ x) - |cx + d|^{-k} f(x)$ a de bonnes propriétés de régularité. Ici k est un nombre complexe. Cette définition est due à Zagier ((2010)), et une telle applications f est dite "modulaire quantique". Parmi les exemples naturels notables, on trouve les intégrales d'Eichler de formes modulaires classiques ou de formes de Maass, ou bien des sommes de cotangentes. Dans cet exposé on s'intéressera au cas où $Re(k)eq 0$, et à l'existence de fonctions limites qui nous permettent de prédire la répartition des valeurs de f sur les rationels dont le dénominateur tend vers l'infini.
  • Le 10 novembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Matilde Maccan (IRMAR)
    Variétés homogènes projectives rationnelles en caractéristique positive
    Toute variété homogène, projective et rationnelle peut s’écrire comme quotient d’un groupe semisimple par un sous-groupe dit parabolique. Dans cet exposé, on généralisera les résultats de Wenzel, Haboush et Lauritzen en traitant le cas des sous-groupes paraboliques sur un corps algébriquement clos de caractéristique petite, achevant ainsi leur classification en toute caractéristique.
  • Le 17 novembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Daniel Vargas-Montoya (IMPAN)
    Congruences, indépendance algébrique et Monodromie
    Récemment Adamczeswki Bell et Delaygue ont donné un critère d’indépendance algébrique pour les séries à coefficients dans Z qui vérifient certaines congruences modulo p pour une infinité de nombres premiers p. À savoir : les congruences de type «Lucas». Il s’avère que la plupart des séries qui vérifient telles congruences sont des G-functions. Dans un premier temps, nous allons donc voir comment obtenir ce type de congruences lorsque la série est une solution d’un opérateur différentiel. Les outils essentiels sont d’une part l’étude p-adique de l’opérateur différentiel, structure de Frobenius forte, et d’autre part la notion classique de monodromie unipotente maximale. Dans un deuxième temps, je vais introduire un nouvel ensemble de G-functions dénoté MF. Nous montrons donc que les éléments de MF vérifient des congruences assez convenables. Dans un troisième temps, nous verrons que pour certains éléments de MF ces congruences sont aussi pertinentes pour établir leur indépendance algébrique.
  • Le 24 novembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Michel Brion (Université Grenoble Alpes)
    Automorphismes infinitésimaux des courbes algébriques
    L'exposé portera sur les courbes algébriques projectives sur un corps de caractéristique positive. Leurs groupes d'automorphismes ont été beaucoup étudiés, mais les schémas en groupes d'automorphismes (par exemple, les champs de vecteurs) sont bien plus mystérieux. En particulier, la correspondance classique entre automorphismes des courbes projectives normales et de leurs corps de fonctions ne
    s'étend pas aux schémas en groupes. L'exposé introduira une notion de "normalisation équivariante" qui permet de remédier à ce problème, et il présentera quelques propriétés des courbes "G-normales", dont leur structure pour un schéma en groupes G fini et diagonalisable.
  • Le 1er décembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Sylvain Brochard (Université de Montpellier 2)
    Critères de platitude : deux conjectures de C. Khare
    Soit $(A,m,k)$ un anneau local noethérien et soit P un complexe de longueur $d$ (finie) de $A$-modules libres de rangs finis. On note $edim(A)=dim_k(m/m^2)$ la dimension de plongement de $A$, et $D(A)$ la catégorie dérivée des complexes de A-modules. On suppose que le morphisme naturel $A\rightarrow End_{D(A)}(P)$ se factorise par un anneau local noethérien $B$ dont la dimension de plongement est inférieure ou égale à $edim(A)-d$. Une conjecture de Khare prédit alors que le dernier groupe d'homologie de $P$ est un $B$-module libre. Je présenterai et motiverai cette conjecture, et ses liens avec les méthodes dites de "patching" couramment utilisées par les théoriciens des nombres dans les problèmes de relèvement modulaire. Puis je donnerai quelques résultats partiels obtenus en collaboration avec S. Iyengar et C. Khare. Si le temps le permet, je présenterai rapidement une autre conjecture de Khare dans l'esprit du critère numérique de Taylor et Wiles revisité par Diamond.
  • Le 8 décembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Benoit Loisel (Université de Poitiers)
    Sur certains sous-groupes arithmétiques des groupes de Chevalley
    Soit $\mathcal{C}$ une courbe projective lisse géométriquement intègre sur $\mathbb{F}$. Si $S$ est un ensemble fini de points fermés, on peut considérer l'anneau d'entiers des fonctions régulières sur $\mathcal{C}$ hors de $S$, noté $\mathcal{O}_S$ et son corps des fractions $k$. L'enjeu de la théorie des groupes $S$-arithmétiques est de comprendre la structure et les propriétés des groupes $G(\mathcal{O}_S)$ pour un schéma en groupes $\mathbb{G}$.

    Dans le cas particulier du groupe $\mathbf{G}=\mathrm{SL}_2$ et d'un singleton $S=\{P\}$, Serre a décrit la structure de ces groupes via leur action sur l'arbre de Bruhat-Tits, ce qui permet de les réaliser comme amalgames de groupes. Dans le cas de la droite projective $\mathbb{P}^1$ privée de son point à l'infini, i.e. $\mathcal{O}_{\infty}=\mathbb{F}[t]$, et d'un groupe déployé $\mathbf{G}$, Soulé obtient que l'espace des orbites de l'action de $\mathbf{G}(\mathbb{F}[t])$ sur l'immeuble de Bruhat-Tits est isomorphe à un quartier de cet immeuble.

    Dans cet exposé, en adaptant des techniques utilisées par Mason sur $\mathrm{SL}_2$, nous verrons que l'espace des orbites de l'action d'un groupe déployé arbitraire sur l'anneau d'entier associé à un point fermé de la courbe projective est constitué d'une quantité de quartiers en lien avec le groupe de Picard de l'anneau d'entiers, et quelques conséquences de ces techniques.

    Il s'agit d'un travail en commun avec Claudio Bravo.
  • Le 15 décembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Christian Maire (Université de Franche-Comté)
    Extensions modérément ramifiées, corps gouvernants et obstructions
    Soit $K$ un corps de nombres et soit $G^{ta}$ le groupe de Galois de l'extension galoisienne maximale $K^{ta}$ de $K$, modérément ramifiée.
    Soit $p$ un nombre premier. Dans cet exposé on s'intéresse aux pro-$p$-quotients de $G^{ta}$, dans l'esprit du théorème de Scholz-Reichardt.
    En particulier, on fera ressortir le lien entre une obstruction à un problème de plongement et un corps gouvernant.
    C'est un travail en commun avec Farshid Hajir, Michael Larsen et Ravi Ramakrishna.
  • Le 19 janvier 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Pierre Charollois (IMJ-PRG)
    Sur le rêve de jeunesse d'Eisenstein pour les corps cubiques complexes
    Dans un article méconnu de 1844, G. Eisenstein suggère une piste pour étendre la théorie des fonctions elliptiques au cas de "réseaux de rang 3". Il indique également que la nouvelle classe de produits infinis méromorphes qu’il considère possède de riches applications arithmétiques. Je présenterai des résultats de nature expérimentale et théorique qui donnent à penser qu’il avait effectivement mis à jour un analogue pour les corps cubiques complexes de la théorie CM des unités elliptiques.
    Il s’agit d’un travail en commun avec Nicolas Bergeron et Luis Garcia.
  • Le 26 janvier 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Peter Koymans (ETH Zürich)
    Value sets of binary forms
    Given a binary form F with integer coefficients, we define its value set $Val(F)$ to be the set $F(x, y)$ for integers $x, y$. For two binary forms $F$ and $G$, what can we say if $Val(F) = Val(G)$? The goal of this talk is to show how one may give a complete answer to this question. This is joint work with Etienne Fouvry.
  • Le 2 février 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Rubén Muñoz--Bertrand (Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines)
    Witt, vite
    Du point de vue algorithmique, les opérations dans l'anneau des vecteurs de Witt sont coûteuses. Jusqu'à présent seul l'algorithme de Finotti, introduit en 2014, parvenait à faire mieux que le calcul direct des polynômes à coefficients entiers définissant ces opérations. Nous verrons comment l'application d'un isomorphisme d'Illusie permet de donner un nouvel algorithme pour l'addition de vecteurs de Witt à coefficients polynomiaux, plus efficace que celui de Finotti. Nous donnerons ensuite une application de cet algorithme au comptage de points employant des méthodes de cohomologie p-adique.
  • Le 9 février 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Anneloes Viergever (Leibniz Universität Hannover)
    The compactly supported $\mathbb{A}^1$-Euler characteristic of the symmetric powers of a cellular variety
    To a variety over a characteristic zero field, one can associate its compactly supported $\mathbb{A}^1$-Euler characteristic using motivic homotopy theory, as was done in work of Arcila-Maya, Bethea, Opie, Wickelgren and Zakharevich. These are quadratic forms, which carry a lot of information, but they are often difficult to compute in practice. I will discuss joint work in progress with Jesse Pajwani and Herman Rohrbach in which we apply the machinery of power structures on the Grothendieck-Witt ring as introduced in work of Pajwani and Pál to calculate the compactly supported $\mathbb{A}^1$-Euler characteristic of the symmetric powers of a cellular variety.
  • Le 16 février 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    David Solomon (University College London)
    Les SIC, les groupes de Heisenberg et les unités de Stark dans la $p^\infty$-tour sur un corps quadratique réel
    Les SIC, ou SIC-POVM, sont des systèmes maximaux de droites dites équiangulaires dans ${\mathbb C}^d$, $d>3$. Objets d'intérêt de la physique quantique et du "Design Theory" depuis les années 1970, on a constaté heuristiqument:
    a) que tous, sauf un, admettent une action unitaire du groupe de Heisenberg ${\mathcal{H}}({\mathbb Z}/d{\mathbb Z})$, l'ensemble des matrices unipotentes $3\times 3$ modulo $d$, et plus récemment,
    b) qu'ils ont les angles déterminés par des unités de Stark sur le corps quadratique réel $k={\mathbb Q}(\sqrt{(d-3)(d+1)})$.
    Ces derniers sont des célèbres unités spéciales dans les extensions abéliennes de $k$, dont l'existence, conjecturée par Harold Stark en 1976, mènerait à une solution du 12-ième problème sur $k$ de Hilbert, le "Jugendtraum" de Kronecker).

    Après avoir examiné ces phenomènes, encore assez mystérieux, d'un peu plus près, j'esquisserai des travaux en cours: en prenant $d=p^n$, pour un nombre premier $p$ décomposé dans $k$, et en faisant $n\rightarrow \infty$ on arrive à une théorie $p$-adique mettant en évidence une action de ${\mathcal{H}}({\mathbb Z}_p)$ sur les mesures $p$-adiques ainsi que les séries formelles de Coleman. On cherche ainsi à étudier l'action de Galois sur les unités de Stark à travers le groupe d'automorphismes ${\rm Aut}({\mathcal{H}}({{\mathbb Z}}_p))$ et certaines intégrales $p$-adiques.
  • Le 23 février 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Cédric Pépin Université Sorbonne Paris Nord
    Morphismes de Satake mod p dérivés pour les poids p-petits
    Soient $G$ un groupe réductif connexe déployé sur $\mathbf{Z}_p$, et $L$ une
    représentation algébrique irréductible de $G$ de poids dominant $p$-petit.
    Pour tout parabolique $P=MN$ de $G$, on construit un morphisme de la
    Ext-algèbre de Hecke sphérique de $G(\mathbf{Q}_p)$ vers la Ext-algèbre de Hecke
    sphérique de $M(\mathbf{Q}_p))$, à coefficients dans la réduction mod $p$ de $L$. En
    degré $0$, il coïncide avec le morphisme de Satake mod $p$ défini par Herzig
    et Henniart-Vignéras. Il s'agit d'un travail avec Karol Koziol.
  • Le 23 février 2024 à 15:30
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Yi Ouyang UST of China Hefei
    Unboundedness of Tate-Shafarevich groups in fixed cyclic extensions
    In this talk we prove two unboundedness results about the Tate-Shafarevich groups of abelian varieties in a fixed nontrivial cyclic extension $L/K$ of global fields, firstly in the case that $K$ is a number field and the abelian varieties are elliptic curves, secondly in the case that $K$ is a global field, $[L : K]$ is a $2$-power and the abelian varieties are principally polarized. This is a joint work with Jianfeng Xie.
  • Le 8 mars 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Matthew Satriano (University of Waterloo)
    Unifying the Batyrev-Manin and Malle Conjectures
    The Batyrev-Manin conjecture gives a prediction for the asymptotic growth rate of rational points on varieties over number fields when we order the points by height. The Malle conjecture predicts the asymptotic growth rate for number fields of degree d when they are ordered by discriminant. The two conjectures have the same form and it is natural to ask if they are, in fact, one and the same. We develop a theory of point counts on stacks and give a conjecture for their growth rate which specializes to the two aforementioned conjectures. This is joint work with Jordan Ellenberg and David Zureick-Brown. No prior knowledge of stacks will be assumed for this talk.
  • Le 15 mars 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Francesco Baldassarri (Padova University)
    Analyse de Fourier sur Qp et un analogue p-adique des séries de Dirichlet
    Je cherche à donner une extension "canonique" des fonctions L de Dirichlet p-adiques de $\mathbf{Z}_p$ à $\mathbf{Q}_p$. On veut des fonctions localement analytiques, bien-sûr, mais aussi on pourrait demander que ces fonctions soient somme de leur série de Fourier, en un sens à définir, uniformément sur tout un voisinage tubulaire de $\mathbf{Q}_p$ dans la droite analytique sur $\mathbf{Q}_p$.

    Cela donnerait sinon l'existence, au moins l'unicité de l'extension. Je travaille avec des caractères additifs de $\mathbf{Q}_p$ qui ont justement la propriété ci-dessus et qui me rappellent les séries de Dirichlet classiques.
  • Le 22 mars 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Cédric Pilatte (Oxford University)
    Bornes améliorées pour les corrélations logarithmique de fonctions multiplicatives
    La fonction de Liouville $\lambda(n)$ est définie comme étant égale à $+1$ si $n$ est un produit d'un nombre pair de nombres premiers, et à $-1$ dans le cas contraire. Le comportement statistique de $\lambda$ est étroitement lié à la distribution des nombres premiers. À bien des égards, la fonction de Liouville est supposée se comporter comme une séquence aléatoire de $+1$ et de $-1$. Par exemple, la conjecture de Chowla (binaire) prédit que la moyenne de $\lambda(n)\lambda(n+1)$ pour $n < x$ tend vers zéro lorsque $x$ tend vers l'infini. Dans cet exposé, je discuterai des bornes quantitatives pour une version logarithmique de ce problème.
  • Le 29 mars 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Thomas Buchet (Université Côte d'Azur)
    Courbes de genre 4 : invariants et reconstruction
    Dans cet exposé, nous allons introduire des invariants algébriques pour les courbes non-hyperelliptiques de genre 4, qui caractérisent les classes d'isomorphismes de ces courbes (sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle). Ces invariants sont définis à l'aide d'opérateurs différentiels et rendent leur calcul très effectif. Il est donc facile de vérifier si, géométriquement, deux courbes sont dans la même classe d'isomorphisme.
    L'étude des classes d'isomorphismes des courbes non-hyperelliptiques de genre 4 se ramène à l'étude de certaines algèbres de polynômes sous l'action de groupes linéairement réductifs. Cela conduit à la recherche d'un système générateur de fonctions invariantes par ces actions, qui nous fournit ces fameux invariants algébriques. Après avoir introduit quelques outils de théorie classique des invariants qui nous ont permis de résoudre ce problème, nous donnerons les idées des preuves des principaux résultats.
    Enfin, nous expliciterons un algorithme qui, donné une liste d'invariants, reconstruit une courbe non-hyperelliptique de genre 4 qui possède ces invariants.
    Cet algorithme généralise celui de Mestre pour les formes binaires, et il fonctionne dans un cadre plus général que celui de l'exposé.
  • Le 5 avril 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Liana Heuberger (University of Bath)
    Construction des varitétés de Fano
    L'inversion de Laurent est un algorithme pour construir des déformations qui sont au centre de la symétrie miroir des variétés de Fano. Le but de cette construction c'est de trouver une variété de Fano peu singulière à partir d'un certain polynôme de Laurent $f$. Je présenterai mes progrès dans le cas $ 3 $-dimensionnel.
    Soit $f$ un polynôme de Laurent dont le support est un polytope $P$, auquel on associe un variété de Fano torique $X_P$. Dans le cas le plus général, l'inversion de Laurent construit un plongement de $X_P$ dans une variété torique ambiente $Y$. Si en plus $X_P$ est une intersection complète donnée par des fibrés en droites sur $Y$, alors une section générale de ces fibrés est une variété de Fano $X$ dont une dégénéresence torique est $X_P$. La difficulté est donc d'en trouver un tel $Y$ permettant que $X$ soit le plus lisse que possible.
  • Le 12 avril 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Julia Schneider (University of Zürich)
    TBA
    ...
  • Le 19 avril 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Xenia Dimitrakopoulou (University of Warwick)
    TBA
    ...
  • Le 3 mai 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Aurore Boitrel (Paris-Saclay)
    TBA
    ...
  • Le 17 mai 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Dino Lorenzini (tbc) (UGA)
    TBA
    ...
  • Le 24 mai 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Maria Montanucci (Technical University Copenaghen)
    TBA
    ...
  • Le 31 mai 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Salim Rostam Université de Tours
    TBA
    TBA
  • Le 7 juin 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Stefano Morra LAGA (Paris 13)
    Un modèle local pour les représentations potentiellement Barsotti–Tate
    Les anneaux de déformation potentiellement Barsotti–Tate sont un outil essentiel pour l’obtention de résultats profonds en arithmétique, comme la conjecture de Shimura–Taniyama–Weil ou la conjecture de Breuil–Mézard. Néanmoins leur géométrie n’est pas encore bien comprise, et présente de comportement variés avec la parution de points irréguliers ou non-normaux (comme montré par des exemples et conjectures de Caruso–David–Mézard). Dans cet exposé nous discuterons comment les champs de modules de Breuil–Kisin peuvent être utilisés pour décrire la géométrie des champs des représentations potentiellement et modérément Barsotti–Tate (en rang 2, pour des extension non ramifiées de $\mathbf{Q}_p$), en utilisant la théorie des modèles locaux des groupes des lacets en caractéristique mixte. L’outil technique principal est une analyse de la p-torsion d’un complexe tangent pour relever des cartes affines pour des images schématiques entre champs de Breuil–Kisin et des représentations Galoisiennes. Avec ce procédé, nous obtenons un algorithme pour calculer des présentations explicites des anneaux de déformation potentiellement modérément Barsotti–Tate pour les représentations Galoisiennes de dimension 2 pour des extensions non-ramifiées de $\mathbf{Q}_p$. Ceci est un travail en commun avec B. Le Hung et A. Mézard.

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