Un domaine pas si fondamental
Exemple
Voici le domaine fondamental d'un groupe Fuchsien, avec les recollements correspondants. L'ensemble limite est tout le cercle. Le quotient est un tore percé de type rectangulaire. Le percement est de type pointe (parabolique).
Voici le pavage corresponant.
Voici l'image du domaine fondamental D par a,b,a-1 et b-1 où a et b sont les générateurs du groupe, qui recollent les faces de D entre elles. Le groupe est libre ($\simeq\mathbb{Z}\ast\mathbb{Z}$) et (a,b) en constitue une base.
On pourrait s'amuser à changer b, disons qu'on le compose avec un glissement le long du bord supérieur. Voici alors les images de D par a,b et leurs inverses.
Le quotient de D par a et b est une surface de Riemann légitime, qui est encore isomorphe à un tore percé par un trou de type pointe. Considérons la structure hyperbolique induite par le disque unité sur ce quotient. Cette métrique hyperbolique est bien de courbure constante négative mais elle n'est pas complète. En effet voici la réunion des images de D par le groupe <a,b>.
On constate qu'il reste des zones non couvertes (en rouge) ! Les images de D sont bien disjointes, mais D n'est plus un domaine fondamental pour le groupe <a,b> sur le disque (il l'est pour l'action de <a,b> sur un domaine plus petit: le disque moins les zones rouges).
Par curiosité voici un domaine fondamental légitime, le domaine de Dirichlet associé au centre du disque. Sur l'image ci-dessous nous avons indiqué l'orbite du centre ainsi que le pavage par le domaine de Dirichlet.
On voit que l'élément parabolique du groupe associé à faire le tour du percement du tore a été remplacé par un élément hyperbolique, sur l'axe duquel s'enroulent les pointes de D. Le trou est passé du type pointe au type trompette .
Modèle simplifié
Avec une bande verticale dans le demi-plan de Poincaré recollée par un hyperbolique.
