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== Bouts des variétés hyperboliques de dimension 3 ==

Soit $\Gamma$ un sous-groupe discret de $PSL_2(C)$ (groupe Kleinien). Il existe un plus grand ouvert invariant $\Omega_\Gamma$ (éventuellement vide) de la sphère $\widehat{C}=\partial H^3$ sur lequel l'action 
de $\Gamma$ est discontinue, c'est le domaine de discontinuité de $\Gamma$. Le terme "groupe Kleinien" est parfois réservé au cas $\Omega_\Gamma\neq \emptyset$. L'ensemble limite de
$\Gamma$, noté $\Lambda_\Gamma$ est le plus petit-fermé non vide de $\widehat{C}$ invariant par $\Gamma$. On peut le définir indiféremment comme le complétaire de $\Omega_\Gamma$ ou comme l'ensemble des points d'accumulation d'une orbite de  $\Gamma$ (dans $H^3$ ou dans $\widehat{C})$. C'est l'adhérence de l'ensemble des
points fixes des éléments hyperboliques (resp. paraboliques, s'il en existe) de $\Gamma$.

Un groupe Kleinien $\Gamma$ est élémentaire s'il admet une orbite finie sur la boule ; son 
ensemble limite est alors fini (de cardinal 0, 1 ou 2). Si $\Gamma$ n'est pas élémentaire, 
l'ensemble limite est infini non dénombrable sans points isolés. 

'''Définition''' (Coeur convexe) Soit $M = \Gamma\backslash H^3$ une variété hyperbolique complète
de dimension 3 et soit $C(\Lambda_\Gamma)$ l'enveloppe convexe de l'ensemble limite $\Lambda_\Gamma$.
Le coeur convexe de $M$ est défini par $C(M)= \Gamma\backslash C(\Lambda_\Gamma)$.

On notera que dans le modèle de Klein de l'espace hyperbolique, pour lequel les géodésiques sont des 
arcs de droites affines, $C(\Lambda_\Gamma)$ est l'enveloppe convexe au sens de $R^3$ de l'ensemble limite $\Lambda_\Gamma$ qui est compact. Cet ensemble est donc compact dans la boule et relativement fermé dans $H^3$. Quand $C(M)\neq M$, la projection sur coeur convexe définit une 
rétraction par déformation et l'inclusion $C(M)\subset M$ est une équivalence
d'homotopie ; le bord $\partial C(M)$ du coeur convexe est une surface, généralement plissée le long d'une lamination géodésique. De plus, la métrique de longueur induite sur $\partial C(M)$ est hyperbolique.  
 
A partir d'ici, on ne considère que des variétés $M= \Gamma\backslash H^3$ dont le 
groupe fondamentale $\Gamma$ n'a pas d'éléments paraboliques.

'''Définition''' ([[Bout géométriquement fini]]) Un bout d'une variété hyperbolique complète 
est géométriquement fini s'il admet un voisinage qui ne rencontre pas le coeur convexe.

Un bout $\mathcal{E}$ géométriquement fini de $M$ correspond à une composante $S_\mathcal{E}$
du bord $\partial C(M)$ et admet un voisinage homéomorphe à $S_\mathcal{E}\times [0,\infty[$.
L'aire de la section $S_t$ de $\mathcal{E}$ (surface à distance $t \geq 0$ de $S_\mathcal{E}$ 
croît comme $exp(2t)$.

''Exemple.'' Si $\Gamma$ est quasi-fuschien (son ensemble limite est un quasi-cercle, c'est-à-dire 
l'image d'un cercle par un homéomorphisme quasi-conforme de la sphère), alors $\Gamma\backslash H^3$
a deux bout géométriquement finis. Dans le cas (dégénéré) où $\Gamma$ est fuschien, le coeur convexe
est réduit à une surface.

''Contre-exemple.'' Soit $M$ la suspension d'un pseudo-Anosov d'une surface $S$ de genre au moins 2.
D'après Thurston, $M$ est hyperbolique. Soit $N$ le revêtement cyclique associé à la fibration
de $M$ sur le cercle. L'ensemble limite de $\pi_1 N$ (distingué dans $\pi_1 M$) est le même
que celui de $\pi_1 M$, c'est-à-dire la sphère puisque $M$ est compacte. La variété $N$ est homéomorphe à $S\times R$, elle a deux bouts homéomorphe à ceux de l'exmple précédent mais
géométriquement infinis.

'''Définition''' ([[Surface hyperbolique simpliciale]]) Soit $M$ une variété
hyperbolique complète de dimension 3. Une surface hyperbolique simpliciale est l'image $S=f(T)$ 
d'une application $f:T\to M$ d'une surface $T$ munie d'une structure de $\Delta$-complexe (par exemple triangulée) dans $M$ telle que 
#  sur chaque triangle $f$ est une immersion totalement géodésique,
#  la somme des angles à chaque sommet est $\geq 2\pi$.

'''Théorème''' (Lemme du diamètre borné)
Soit $0< \delta < \mu$, où $\mu$ est la constante de Margulis et soit $S$ une surface simpliciale dans une variété hyperbolique complète $M$. On suppose que toute courbe fermée simple essentielle de 
$S$ de longueur inférieure à $\delta$ n'est pas homotopiqumeent triviale dans $M$ (on dira que 
$S$ est $\pi_1$ injective sur les courbes $\delta$-courtes). Alors il existe une constante
$C_0=C_0(\chi(S),\delta,\mu)$ telle que deux points arbitraires $x$ et $y$ de $S$ peuvent être reliés
par un arc $\alpha$ dans $S$ vérifiant $long(\alpha\smallsetminus M_{\leq \mu}) \leq C_0$. 
Autrement dit le diamètre de $S$ modulo la partie mince de $M$ est borné par $C_0$.  

Preuve. Soit $S=S_{\leq \epsilon} \cup S_{\geq \epsilon}$ la décomposition mince-épaisse intrinsèque de $S$. L'hypothèse d'injectivité en $\pi_1$ sur les petites courbes entraîne que la partie 
mince  $S_{\leq \epsilon}$ est incluse dans $M_{\leq \epsilon}$. Soient 
$B_1(\delta/2),\ldots,B_N(\delta/2)$ des 
boules disjointes de $S$, centrées sur $S_{\geq \epsilon}$ et de rayon $\delta/2$. Si $N$ est maximal,
les boules de rayon double $B_1(\delta),\ldots,B_N(\delta)$ recouvrent $S_{\geq \epsilon}$.
Le diamètre de  $S_{\geq \epsilon}$ modulo $M_{\leq \epsilon}$ est donc majoré par $2N\delta$.
Les boules $B_i(\delta)$ sont plongées et comme la courbure de $S$ est $\leq 0$ (en fait $\leq -1$),
y compris aux sommets, on a  $Aire(B_i(\delta/2)) \geq \pi (\delta/2)^2$ pout tout $i$. D'après 
Gauss-Bonnet, on a par ailleurs $Aire(S)\leq 2\pi|\chi(S)|$. Par suite $N$ est inférieur
à $2|\chi(S)|/\delta^2$, d'où le résultat.


Soit $C$ un coeur compact de $M$. Tout bout $\mathcal{E}$ de $M$ est bordé par une composante 
$S_\mathcal{E}$ du  bord de $C$. On note $r$ une rétraction de $\mathcal{E}$
sur $S_\mathcal{E}$.

'''Définition''' (Bout simplement dégénéré) Un bout $\mathcal{E}$ de $M$ est simplement dégénéré
s'il admet un voisinage homéomorphe à un produit $S_\mathcal{E} \times [0,\infty[$
et s'il existe une suite de surfaces simpliciales hyperboliques $S_n$ d'aire finie qui "converge" 
vers $\mathcal{E}$ et telle que $r|S_\mathcal{E}$ soit homotope à un homéomorphisme
$S_n\simeq S_\mathcal{E}$.


Un bout $\mathcal{E}$ de $M$ est dit "géométriquement modéré" s'il est 
géométriquement fini ou simplement dégénéré. Un objectif pour la suite est d'établir 
le résultat suivant.

'''Théorème''' (critère de modération) Soit $M=\Gamma\backslash H^3$ une variété hyperbolique 
complète dont le groupe fondamental $\Gamma$ est de type fini (et sans parabolilques). Soit
$C$ un coeur compact de $M$ et soit $\mathcal{E}$ un bout de $M$ et soit $S_\mathcal{E}$ la 
composante de $\partial C$ associé à $\mathcal{E}$. On suppose qu'il existe une suite 
$S_n$ de surfaces fermées telles que 
# la suite $S_n$ converge vers $\mathcal{E}$,
# $S_n$ est une surface hyperbolique simpliciale et $genre(S_n)\leq genre(S_\mathcal{E})$,
# $[S_n]= [S_\mathcal{E}]$ dans $H_2(M\smallsetminus C)$ ($S_n$ sépare homologiquement le coeur $C$ et $\mathcal{E}$).
Alors le bout $\mathcal{E}$ est géométriquement (et topologiquement) modéré.


''Remarque.'' Un bout $\mathcal{E}$ topologiquement modéré qui vérifie (1), (2) et (3) est 
géométriquement modéré. En effet, par (3), la rétraction de $\mathcal{E}$ sur le bord du coeur
compact $C$ induit une application de degré 1 de $S_n$ dans $S_\mathcal{E}$. On en déduit 
que $genre(S_n) = genre(S_\mathcal{E})$ et que $r|S_n$ est homotope à un homéomorphisme.