1 Cours

Définition : Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles. Alors le vecteur aléatoire \((X,Y)\) à valeurs dans \(\mathbf{R}^2\) est un couple de variables aléatoires. La loi du couple \((X,Y)\) est dite loi jointe du couple. Les variables \(X\) et \(Y\) sont appelées les marginales du couple et les lois de \(X\) et \(Y\) sont les lois marginales du couple.

Par exemple, si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires indépendantes et de loi uniforme sur \([0,1]\), alors on peut considérer les couples
  • \((X,Y)\) à valeurs dans \([0,1]^2\) ;

    plot(1, type="n",xlab=" ",ylab=" ",xlim=c(-0.1,1.1),ylim=c(-0.1,1.1))
    rect(0, 0, 1, 1)
    for(i in 1:100){
      X=runif(1)
      Y=runif(1)
      points(X,Y)
    }
  • \((\min(X,Y),\max(X,Y)\) à valeurs dans \(\{(x,y)\in[0,1]^2 ; y\geq x\}\), c’est-à-dire un triangle ;

    plot(1, type="n",xlab=" ",ylab=" ",xlim=c(-0.1,1.1),ylim=c(-0.1,1.1))
    rect(0, 0, 1, 1)
    polygon(c(0,1,0),c(0,1,1),col=rgb(0,0,1,0.25))
    for(i in 1:100){
      X=runif(1)
      Y=runif(1)
      points(min(X,Y),max(X,Y))
    }

Caractérisation de la loi du couple : Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires. La loi jointe du couple \((X,Y)\) est caractérisée par la donnée de la fonction de répartition \(F_{(X,Y)}\) définie, pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\) par \[ F_{(X,Y)}(x,y)=\mathbf{P}(\{X\leq x\}\cap \{Y\leq y\}). \]

On remarque que pour tout \(x\) dans \(\mathbf{R}\), on a \[ \lim_{y\to\infty} F_{(X,Y)}(x,y)=\lim_{y\to\infty} \mathbf{P}(\{X\leq x\}\cap \{Y\leq y\})=\mathbf{P}(X\leq x)=F_X(x). \] De même, pour tout réel \(y\), \[ \lim_{x\to\infty} F_{(X,Y)}(x,y)==F_Y(y). \] Donc à partir de la loi du couple, on peut trouver la loi des marginales.

Couple continu Un couple de variables aléatoires \((X,Y)\) est dit continu s’il existe un fonction \(f\) de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}\) telle que * \(f\) est positive ; * \(f\) est continue par morceaux ; * pour tout réels \(x\) et \(y\), \(f\) est liée à la fonction de répartition du couple par la formule \[\begin{align*} F_{(X,Y)}(x,y)&=\int_{-\infty}^y\left[\int_{-\infty}^x f(a,b) da\right] db\\ &=\int_{-\infty}^x\left[\int_{-\infty}^y f(a,b) db\right] da\\ &=\int_{]-\infty,x]\times]-\infty,y]} f(a,b) da db. \end{align*}\]
Par exemple, si, \((X,Y)\) est un couple de variables aléatoires indépendantes, pour tout \((x,y)\) dans \(\mathbf{R}^2\), on a
\[\begin{align*} F_{(X,Y)}(x,y)=\mathbf{P}(\{X\leq x\}\cap \{Y\leq y\})&=\mathbf{P}(\{X\leq x\})\mathbf{P} (\{Y\leq y\})=F_X(x)F_Y(y)\\ &=\int_{-\infty}^x f_X(a) da\int_{-\infty}^y f_Y(b) db\\ &=\int_{-\infty}^x \left[\int_{-\infty}^y f_X(a)f_Y(b) db\right] da. \end{align*}\]

Ce qui veut dire que lorsque les marginales sont indépendantes, la densité du couple est le produit des densités marginales !

Par exemple, si \(U\) et \(V\) sont deux variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur \([0,1]\), la densité du couple \((U,V)\) est donnée, pour \((u,v)\in\mathbf{R}^2\) par \[ f_{(U,V)}(u,v)=\mathbf{1}_{[0,1]}(u)\times \mathbf{1}_{[0,1]}(v). \] Remarquons aussi que puisque pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), par définition, on a \[ F_{(X,Y)}(x,y)=\int_{-\infty}^y\left[\int_{-\infty}^x f(a,b) da\right] db \] Alors, pour presque tout \((x,y)\) dans \(\mathbf{R}^2\), on a \[ \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}(x,y)=f(x,y). \] De même, on changeant l’ordre d’intégration : \[ \frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}(x,y)=f(x,y). \] Ceci se vérifie en particulier pour le couple \((U,V)\) dont les marginales sont indépendantes et de même loi uniforme sur \([0,1]\) : pour tout \((u,v)\) dans \(\mathbf{R}^2\), on a \[ F_{(U,V)}(u,v)=F_U(u)F_V(v)=(u\mathbf{1}_{[0,1]}(u)+\mathbf{1}_{]1,\infty[}(u))\times(u\mathbf{1}_{[0,1]}(u)+\mathbf{1}_{]1,\infty[}(u)). \] En dérivant d’abord par rapport à \(u\) puis par rapport à \(v\), on trouve, \[ f(u,v)=\mathbf{1}_{[0,1]}(u)\mathbf{1}_{[0,1]}(v)=\mathbf{1}_{[0,1]^2}(u,v). \] C’est la loi uniforme sur le carré \([0,1]^2\). Plus généralement :

Loi uniforme : Soit \(A\) un sous ensemble de \(\mathbf{R}^2\) acceptable… La loi uniforme sur \(A\) a pour densité, pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \[ f(x,y)=\frac{1}{{\rm Aire}(A)}\mathbf{1}_A(x,y). \]

Par exemple, la densité de la loi uniforme sur le disque \(\mathcal{D}\), de rayon \(1\) centrée en l’origine est donnée, pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), par \[ f(x,y)=\frac{1}{\pi}\mathbf{1}_{\cal D}(x,y). \] Revenons au cas d’un couple \((X,Y)\) de densité \(f\). Nous avons déjà vu que la fonction de répartition de la marginale \(X\) est donnée, pour \(x\in\mathbf{R}\) par \[ F_X(x)=\lim_{y\to\infty} F_{(X,Y)}(x,y). \] Comme le couple est à densité, cela donne \[\begin{align*} F_X(x)&=\lim_{y\to\infty}\int_{-\infty}^y\left[\int_{-\infty}^x f(a,b) da\right] db\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left[\int_{-\infty}^x f(a,b) da\right] db\\ &=\int_{-\infty}^x\left[\int_{-\infty}^\infty f(a,b) db\right] da \end{align*}\] Par identification, puisque l’on a aussi \[ F_X(x)=\int_{-\infty}^xf_X(a)da \] on a donc, \[ f_X(a)=\int_{-\infty}^\infty f(a,b) db. \] De même, pour tout réel \(y\), \[ f_Y(b)=\int_{-\infty}^\infty f(a,b) da. \] Résumons cela :

Densités marginales : Si \((X,Y)\) est un couple de variable aléatoire ayant pour densité \(f_{X,Y}\), alors \(X\) et \(Y\) sont aussi à densité avec pour tout réel \(x\) \[ f_X(x)=\int_{-\infty}^\infty f_{(X,Y)}(x,b) db. \] et pour tout réel \(y\) \[ f_Y(y)=\int_{-\infty}^\infty f_{(X,Y)}(a,y) da. \]

Reprenons l’exemple de la loi uniforme sur le disque. Soit donc \((X,Y)\) de densité donnée pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\) par \[ f(x,y)=\frac{1}{\pi}\mathbf{1}_{\cal D}(x,y)=\frac{1}{\pi}\mathbf{1}_{x^2+y^2\leq 1}. \] Cherchons la densité marginale de \(X\). Remarquons d’abord que \(X\) est à valeurs dans \([-1,1]\). Ensuite, pour \(x\in[-1,1]\), \[ f_X(x)=\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\pi}\mathbf{1}_{x^2+y^2\leq 1} dy= \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\pi}\mathbf{1}_{y^2\leq 1-x^2} dy=\frac1\pi \int_{-\sqrt{1-x^2}}^\sqrt{1-x^2}dy=\frac{2}{\pi}\sqrt{1-x^2}. \] La densité de \(X\) est donc donnée, pour \(x\in\mathbf{R}\), par \[ f_X(x)=\frac{2}{\pi}\sqrt{1-x^2}\mathbf{1}_{[-1,1]}(x). \] Par symétrie, \(Y\) a même loi que \(X\) (et donc même densité) : pour tout réel \(y\), \[ f_Y(y)=\frac{2}{\pi}\sqrt{1-y^2}\mathbf{1}_{[-1,1]}(y). \] Vous remarquerez que le produite des densités de \(X\) et de \(Y\) n’est pas égal à la densité du couple \((X,Y)\) : c’est que les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes !

Densité jointe et indépendance : Des variables aléatoires à densité \(X\) et \(Y\) sont indépendantes si et seulement si la densité du couple est égal au produit des densités marginales.

Voyons maintenant comment l’on calcule l’espérance de la fonctionnelle d’un couple à densité.

Théorème de transfert (et en partie de Fubini) : Soit \((X,Y)\) un couple a densité et \(g\) une fonction de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}\) soit positive, soit bornée, soit telle que l’espérance \(\mathbf{E}(|g(X,Y)|)\) est finie, alors : \[ \mathbf{E}(g(X,Y))=\int_\mathbf{R}\left[\int_{\mathbf{R}} g(x,y)f_{(X,Y)}(x,y)dx\right]dy=\int_\mathbf{R}\left[\int_{\mathbf{R}} g(x,y)f_{(X,Y)}(x,y)dy\right]dx. \]

En particulier, si \(X\) et \(Y\) admettent une variance, on a \[ \mathbf{E}(XY)=\int_\mathbf{R}\left[\int_{\mathbf{R}} xyf_{(X,Y)}(x,y)dx\right]dy=\int_\mathbf{R}\left[\int_{\mathbf{R}} xyf_{(X,Y)}(x,y)dy\right]dx. \] Ce qui permet de calculer la covariance d’un couple de variables aléatoires.

Covariance : Nous avons déjà vu que la covariance de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par : \[ {\rm Cov}(X,Y)=\mathbf{E}((X-\mathbf{E}(X))(Y-\mathbf{E}(Y)))=\mathbf{E}(XY)-\mathbf{E}(X)\mathbf{E}(Y). \] Lorsque \({\rm Cov}(X,Y)=0\), on dit que \(X\) et \(Y\) sont non corrélées. L’indépandance implique la non corrélation mais la réciproque est fausse.

Vous pouvez montrer que si \((X,Y)\) suit la loi uniforme sur le disque unité, alors \((X,Y)\) sont non corrélées. On a vu par ailleurs que \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.

Lorsque deux variables aléatoires ne son tpas indépendantes, il peut être intéressant de déterminer la loi de l’une sachant l’autre.

Densité conditionnelle : Soit \((X,Y)\) un couple ayant pour densité \(f_{(X,Y)}\). Soit un réel \(x\) tel que \(f_X(x)\neq0\). Alors la densité de \(Y\) sachant \(X=x\) est donnée, pour tout réel \(y\) par \[ f_{Y|X=x}(y)=\frac{f_{(X,Y)}(x,y)}{f_X(x)}. \] De même, soit un réel \(y\) tel que \(f_Y(y)\neq0\). Alors la densité de \(X\) sachant \(Y=y\) est donnée, pour tout réel \(x\) par \[ f_{X|Y=y}(x)=\frac{f_{(X,Y)}(x,y)}{f_Y(y)}. \]

En particulier, l’espérance conditionnelle se calcule comme suit, lorsque \(f_Y(y)\neq0\), \[ \mathbf{E}(X|Y=y)=\int_{\mathbf{R}}x\frac{f_{(X,Y)}(x,y)}{f_Y(y)}dx. \]

Poursuivons l’exemple du disque unité. On sait que la loi jointe est donnée par \[ \forall(x,y)\in\mathbf{R}^2,\quad f_{(X,Y)}(x,y)=\frac1\pi \mathbf{1}_{x^2+y^2\leq1} \] et que pour tout réel \(y\), \[ f_Y(y)=\frac{2}{\pi}\sqrt{1-y^2}\mathbf{1}_{[-1,1]}(y). \] Donc si \(y\in]-1,1[\), on a \(f_Y(y)\neq0\) et donc, pour tout réel \(x\), \[ f_{X|Y=y}(x)=\frac{f_{(X,Y)}(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{\frac1\pi \mathbf{1}_{x^2+y^2\leq1}}{\frac{2}{\pi}\sqrt{1-y^2}\mathbf{1}_{[-1,1]}(y)}=\frac{1}{2\sqrt{1-y^2}}\mathbf{1}_{[-\sqrt{1-y^2},\sqrt{1-y^2}]}(x). \] Donc \(X\) sachant \(Y=y\) suit la loi uniforme sur \([-\sqrt{1-y^2},\sqrt{1-y^2}]\).

2 Exercices

Exercice 1: Soit \(g\) la fonction à deux variables définie par : \[ g(x, y) =\left\{\begin{array}{ll}c + x - xy &\text{si } x\in [0, 1] \text{ et } y\in[0, 1],\\ 0& \text{sinon.} \end{array}\right. \]
  1. Montrer qu’il existe une constante \(c\) réelle telle que \(g\) soit une densité de probabilité d’un couple de variables aléatoires. Soit \((X, Y )\) un couple de variables aléatoires dont la densité est \(g\).
  2. Calculer la loi marginale de \(X\) et celle de \(Y\) .
  3. Pour quelles valeurs de \(y\) peut-on calculer la densité conditionnelle de \(X\) sachant \(Y = y\) ? Calculer cette densité conditionnelle. De même, calculer la densité conditionnelle de \(Y\) sachant que \(X = x\) pour toutes les valeurs possibles de \(x\).
  4. Calculer l’espérance conditionnelle de \(X\) sachant que \(Y = 1/4\).
  5. Calculer la covariance du couple \((X, Y)\).
Exercice 2: Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur \([0,1]\). On considère le couple \[ Z=(\min(X,Y),\max(X,Y)). \]
  1. Quelles sont les valeurs possibles pour \(Z\) ? On pourra faire un dessin.
  2. Pour \((a,b)\in[0,1]^2\), montrer que la fonction de répartition de \(Z\) est donnée par \[ \mathbf{P}(\{\min(X,Y)\leq a\}\cap\{ \max(X,Y)\leq b\})=b^2-(b-a)^2\mathbf{1}_{\{(x,y)\in[0,1]^2 ; y>x\}}(a,b). \]
  3. En déduire que la densité de \(Z\) est donnée, pour \((a,b)\in\mathbf{R}^2\), par \[ f_Z(a,b)=2\mathbf{1}_{\{(x,y)\in[0,1]^2 ; y>x\}}(a,b). \] On dit que \(Z\) suit la loi uniforme dans le triangle \(\Delta\) de sommets \(O=(0,0)\), \((1,1)\) et \((0,1)\).
  4. On tire au hasard un point dans le triangle \(\Delta\) puis on trace la parallèle à l’axe des abscisses passant par ce point. Cette droite coupe le triangle en deux points \(A\) et \(B\). Quelle-est l’aire moyenne du triangle \(OAB\) ?
Exercice 3: On considère un couple \((X,Y)\) ayant pour densité la fonction \(g\) définie par \[ \forall(x,y)\in\mathbf{R}^2,\quad g(x,y)=c y\mathbf{1}_D(x,y) \]\(D\) est le domaine \[ D=\left\{(x,y)\in\mathbf{R}^2~;~x\geq1,~0< y\leq\frac{1}{x^2}\right\}. \]
  1. Dessiner \(D\).
  2. Vérifier que \[ \forall(x,y)\in\mathbf{R}^2,\quad \mathbf{1}_D(x,y)=\mathbf{1}_{\left]0,\frac{1}{x^2}\right]}(y)\mathbf{1}_{[1,\infty[}(x)=\mathbf{1}_{]0,1]}(y)\mathbf{1}_{\left[1,\frac{1}{\sqrt{y}}\right]}(x). \]
  3. Montrer que \(c=6\).
  4. On s’intéresse à la loi marginale de \(X\).
    • Calculer la densité marginale de \(X\).
    • Calculer l’espérance de \(X\).
    • On pose \(Z=\frac1X\). Dans quel ensemble la variable aléatoire \(Z\) prend-elle ses valeurs ? Calculer la fonction de répartition de \(Z\).
    On admet que la densité de \(Y\) est donnée par \[ \forall y\in\mathbf{R},\quad f_Y(y)=6\sqrt{y}(1-\sqrt{y})\mathbf{1}_{]0,1]}(y). \] et que \(\mathbf{E}(Y)=\frac{2}{5}\).
  5. Pour quelles valeurs de \(y\) la densité conditionnelle de \(X\) sachant \(Y=y\) est-elle bien définie ? La calculer lorsque c’est possible.
  6. Calculer \(\mathbf{E}(XY)\) puis \(\text{cov}(X,Y)\).
  7. Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
Exercice 4 : Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires continues indépendantes ayant pour densités \(f_X\) et \(f_Y\).
  1. Quelle-est la densité du couple \((X,Y)\) ?
  2. On s’intéresse à la densité de \(Z=X+Y\).
    • Montrer que la fonction de répartition de \(Z\) peut s’écrire, pour \(t\in\mathbf{R}\) : \[ \mathbf{P}(Z\leq t)=\int_{-\infty}^t \left[\int_\mathbf{R} f_X(x)f_Y(z-x) d x\right] d z. \] On procèdera par changement de variable (unidimensionnel) dans l’expression de \(\mathbf{P}(X+Y\leq t)\).
    • En déduire une expression de la densité de \(X+Y\).
    • On suppose maintenant que \(Y\) est à valeurs positives. En procédant de façon similaire, donner une expression de la densité de la variable aléatoire \(W=X/Y\).
  3. Soient \(V_1\) et \(V_2\) deux variables aléatoires indépendantes de loi du \(\chi^2\) de paramètres \(d_1\) et \(d_2\).
    • Rappeler les densités de \(V_1\) et \(V_2\).
    • En déduire les densités de \(V_1/d_1\) et de \(V_2/d_2\).
    • On note \(F=\frac{V_1/d_1}{V_2/d_2}\). Donner une expression de la densité de \(F\).\ On dit que \(F\) suit une loi de Fisher de paramètres \(d_1\) et \(d_2\).