Université Bordeaux I -- IUFM d'Aquitaine A. Hartmann
Mathématiques CAPET Techno 2008

Feuille 1 - Nombres complexes, fonctions numériques

(L'essentiel des exercices ci-après est extrait du manuel Mathématiques, Spécialités du groupement A, Nathan Technique, 2002.)

Pour me contacter : Andreas.Hartmann@math.u-bordeaux1.fr
Les corrigés de ces feuilles seront ultérieurement mis à disposition à l'adresse :

http://www.math.u-bordeaux.fr/~ hartmann/ENSEIGNEMENTS/capet2008.html

Nombres complexes

Exercice 1. Ecrire sous la forme algébrique $a+bj$, les nombres complexes : a) $z_1=(1+j)^2$,
b) $z_2=(2+j)(3-5j)$, c) $z_3=\frac{\D 1+j}{\D j}$, d) $z_4=\frac{\D 2+j}{\D 3-2j}$.

Exercice 2. Donner le module et un argument des nombres complexes : a) $z_1=1+\sqrt{3}j$,
b) $z_2=-1-\sqrt{3}j$, c) $z_3=\sqrt{2}(1-j)$, d) $z_4=-2j$.

Exercice 3. Ecrire sous forme algébrique $a+bj$ les nombre complexes de module $\rho$ et d'argument $\theta$:
a) $z_1$ : $\rho=2$ et $\theta=\frac{\D \pi}{\D 3}$, b) $z_2$ : $\rho=\sqrt{2}$ et $\theta=\frac{\D -\pi}{\D 4}$, c) $z_3$ : $\rho=2$ et $\theta=\frac{\D 2\pi}{\D 3}$, d) $z_4$ : $\rho=4$ et $\theta=\frac{\D 5\pi}{\D 6}$.

Exercice 4. Dans un repère orthonormal du plan $(O;\vec{u}, \vec{v})$ placer les point $M_i$ d'affixe $z_i$ : a) $z_1=2j$, b) $z_2=1-j$, c) $z_3=\overline{z}_2$, d) $z_4=\frac{\D 1}{\D 2}+\frac{\D \sqrt{3}}{\D 2}j$.

Exercice 5. Dans $\C$, donner l'ensemble des solutions des équations : a) $z^2=-3-4j$, b) $z^2-z+1=0$, c) $z^2+2jz-5=0$, d) $z^2+(3-2j)z-6j=0$.

Exercice 6. Dans $\C$, donner l'ensemble des solutions du système d'équations {$\begin{array}{l} 2z_1+z_2=4\\ 2j\overline{z}_1+\overline{z}_2=0. \end{array}$ . Exercice 7. A l'aide des formules d'Euler, retrouver les formules trigonométriques suivantes :
a) $\cos^2 x=\frac{\D 1}{\D 2}(1+\cos 2x)$, b) $\sin^2 x=\frac{\D 1}{\D 2}(1-\cos 2x)$.

Exercice 8. A l'aide des formules d'Euler, linéariser : a) $\cos 3x \cos 5x$, b) $\sin 2x \sin 3x$, c) $\cos^4 x$.

Exercice 9. Soient $z_1=\frac{\D 1}{\D 2}(-1+\sqrt{3}j)$ et $z_2=\frac{\D 1}{\D 2}(-1-\sqrt{3}j)$. Comparer $(z_1)^2$ à $z_2$. Comparer $(z_2)^2$ à $z_1$. Calculer $1+z_1+z_2$.

Exercice 10. Soit $z\in\C$. On pose $Z=\frac{\D z+2j}{\D 1-zj}$.

1. Déterminer les parties réelles et imaginaires de $Z$.

2. Déterminer l'ensemble des point $M$ d'affixe $z$ tels que a) $Z$ est réel, b) $Z$ est imaginaire pur.

Exercice 11. Soient $a=2(1+e^{j\frac{\pi}{6}})$, $b=2(1+e^{-j\frac{\pi}{6}})$ et $c=1-j\sqrt{3}$.

1. Ecrire $a$ et $b$ sous forme algébrique.

2. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{u}, \vec{v})$; $A$, $B$ et $\C$ sont les points d'affixe $a$, $b$, $c$. Donner le module de $a-2$, de $b-2$ et de $c-2$. En déduire que $A$, $B$ et $\C$ sont sur un même cercle que l'on déterminera.

3. $A'$, $B'$, $C'$ sont les points d'affixe $a-2$, $b-2$, $c-2$. Par quelle transformation géométrique passe-t-on de $A'$ à $A$, de $B'$ à $B$ et de $C'$ à $\C$?

4. Déterminer les coordonnées du centre de cercle circonscrit au triangle $A'B'C'$ et donner son rayon.

Problème (d'après BTS). La fonction de transfert d'un filtre, en régime harmonique, peut s'écrire T(&omega#omega;)=&alpha#alpha;1+ja&omega#omega;1+jb&omega#omega; où $\alpha=\frac{\D R_2}{\D R_1+R_2}$, $a=R_1C$, $b=\alpha a$, $\omega \in \R_+^*$, $0<\alpha<1$. Ici $R_1$ et $R_2$ sont les valeurs (en Ohms) de deux résistors, et $\C$ est la capacité (en Farads) d'un condensateur ; toutes ces valeurs sont donc strictement positives.

Le but du problème est d'ajuster $R_2$ et $\C$ pour obtenir un filtre dont les propriétés sont fixées connaissant $R_1$.

Partie A.

1. Montrer que pour tout $\omega>0$ : T(&omega#omega;)=&alpha#alpha;+(1-&alpha#alpha;)11-j1b&omega#omega;.

2. Le plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{u}, \vec{v})$. Quel est l'ensemble $\Delta$ des points $M$ d'affixe $z=1-j\frac{1}{b\omega}$ noté $\Delta$.

3. Soit la fonction f:^*&&C
z&&f(z)=&alpha#alpha;+(1-&alpha#alpha;)1z, et $F$ la transformation ponctuelle associée qui à tout point $M$ d'affixe $z$ de $\mathcal{P}$ privé de $O$ associe le point $M'$ d'affixe $f(z)$.

a. En utilisant les propriétés de la transformation $z\to\frac{\D 1} {\D z}$ définir l'ensemble $(C_1)$ des points $M_1$ d'affixe $\frac {\D 1}{\D z}$ obtenu quand $M$ décrit $\Delta$.

b. Quelle est la transformation ponctuelle faisant passer de $M_1$ à $M_2$ d'affixe $(1-\alpha)\frac{\D 1}{\D z}$? En déduire l'ensemble $C_2$ décrit par $M_2$ quand $M$ décrit $\Delta$.

c. Soit $M'$ d'affixe $f(z)=\alpha+(1-\alpha)\frac{\D 1}{\D z}$. Quelle est la transformation ponctuelle faisant passer de $M_2$ à $M'$? En déduire l'ensemble $(C')$ décrit par $M'$ quand $M$ décrit $\Delta$.

4. Soit $\theta$ l'argument de $T(\omega)$ tel que $\theta\in ]0,\pi/2[$, déterminer graphiquement le point $N'$ de $(C')$ en lequel $\theta$ est maximum. On note $A$ la valeur maximum de cet argument. Calculer $\sin (A)$ en fonction de $\alpha$.

5. Représenter ces ensembles dans le cas $\alpha=1/3$, on prendra une unité graphique de 9cm.

Partie B.

Dans cette partie on se propose de calculer les valeurs de $\C$ et de $R_2$ de sorte que $A=\pi/6$ pour une fréquence de 1kHz.

1. De $A=\pi/6$, déduire la valeur correspondante de $\alpha$, puis celle de $R_2$.

2. En admettant que $\alpha=1/3$, sur la figure de la partie A, construire le point $N$ de $\Delta$ dont l'image par $F$ est le point $N'$. Calculer la distance $HN$ ($H$ étant le point d'affixe 1). En déduire la valeur correspondante de $b$, puis celle de $\C$.

Fonctions numériques

Exercice 1. Calculer $\ln e\sqrt{e}+\ln e^2+3\ln^2e-\ln\frac{1}{e^3}+2\ln \frac{1} {\sqrt{e}}$. Exprimer en fonction de $\ln 2$, l'expression $\ln 4e-3\ln e^2 -\ln 16e+\ln \frac{1}{8}$.

Exercice 2. Résoudre a) $(\ln x)^2+2\ln x-3=0$, b) $e^{2x}+2e^x-3=0$, c) $7e^x+4e^{-x}-11=0$.

Exercice 3. Résoudre dans $[0,2\pi]$ les équations et inéquations : $2\sin (4t-\frac{\pi}{3})=1$; $2\sin t\le \sqrt{2}$.

Exercice 4. Déterminer les limites en $+\infty$ et $-\infty$ des fonctions définies par $f(x)=\frac{\D 3x-1}{\D x+2}$ et $g(x)=\frac{\D 2x-1}{\D x^2+x+3}$.

Exercice 5. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)= \vert\sin (2x)\vert$. Montrer que $f$ est paire et périodique de période $\pi/2$. Etudier les variations de $f$. Donner la représentation graphique de $f$ sur $[-\pi,2\pi]$. Etudier la continuité et la dérivabilité de $f$.

Exercice 6. Après avoir précisé le (ou les) intervalle(s) où la fonction est dérivable déterminer dans chaque cas la fonction dérivée de a) $f(x)=\frac{\D 5x -2}{\D x+4}$, b) $f(x)=\sqrt{2x+7}$, c) $f(x)=\ln\sqrt{\frac{\D 1-x}{\D 1+x}}$, d) $f(\omega)=\sqrt{R^2+\Big(L\omega-\frac{\D 1}{\D C\omega}\Big)^2}$, $L,C$ étant des paramètres positifs.

Exercice 8. Après avoir précisé le (ou les) intervalle(s) où la fonction est dérivable, calculer les dérivées premières des fonctions $f$ définies par : a) $f(x)=\arctan\frac{\D x+1}{\D x-1}$, b) $f(x)=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}$,
c) $f(x)=\sin(\arctan x)$.

Problème. Un quadripole composé d'une résistance $R>0$, d'une inductance $L>0$ et d'une capacité $C>0$ transforme un signal d'entrée d'une tension alternative $V_1$ de pulsation $\omega$ ($\omega>0$) en un signal de sortie de tension $V_2$. La fonction de transfert en régime sinusoïdal est la fonction $F$ définie sur $]0,+\infty[$ par F(&omega#omega;)=11+jR(C&omega#omega;-1L&omega#omega;).

1. On note $H(\omega)$ le module de $F(\omega)$ [gain du système]. Montrer que H(&omega#omega;)=11+R^2(C&omega#omega;-1L&omega#omega;)^2.

2. a. Soit $U$ la fonction définie sur $I=]0,+\infty[$ par $U(\omega)=1+R^2\Big(C\omega-\frac{1}{L\omega}\Big)^2$. Montrer que U'(&omega#omega;)=2R^2L&omega#omega;(C+1L&omega#omega;^2) (LC&omega#omega;^2-1).

b. En remarquant que H(&omega#omega;)=1U(&omega#omega;)=[U(&omega#omega;)]^-1/2, montrer que $H'(\omega)$ et $U'(\omega)$ sont de signes contraires.

c. Etudier les variations de la fonction $H$ sur $I$. On précisera les limites en 0 et en $+\infty$.

3. Donner l'allure de la représentation graphique de $H$ dans un repère orthonormal.

4. On note $\omega_0$ la valeur de pulsation pour laquelle la fonction $H$ est maximum. On appelle alors pulsation de coupure -3dB toute valeur de $\omega$ telle que $H(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2}}H(\omega_0)$. Montrer graphiquement que le filtre présente deux pulsations de coupure $\omega_1$ et $\omega_2$ ( $0<\omega_1<\omega_2$). Calculer $\omega_1$ et $\omega_2$ (on pourra se ramener à la résolution de 2 équations du second degré).

5. L'intervalle $[\omega_1;\omega_2]$ est appelé bande passante du filtre. Déterminer la longueur de la bande passante du filtre. Seules les fréquences situées dans la bande passante du filtre sont transmises. Ce filtre est donc appelé un ``filtre passe bande''.