VOISINAGE AU SENS DE KNESER POUR

LES RÉSEAUX QUATERNIONIENS

par Christine BACHOC

1. Introduction.

La notion de réseaux voisins fut introduite par M. Kneser ([K1]) pour les réseaux usuels. Deux réseaux L et L′ entiers sur ℤ sont voisins si [L : L∩L′] = [L′ : L∩L′] = 2. Dans [K1], Kneser montre que deux classes d’isométrie de réseaux unimodulaires peuvent toujours être jointes par une chaîne finie de réseaux voisins. Ce résultat lui permet de classifier les réseaux unimodulaires jusqu’à la dimension 16. Cette méthode fut également utilisée par Niemeier pour la classification des réseaux unimodulaires en dimension 24.

Cette notion de voisinage se généralise aux réseaux ayant une structure hermitienne sur un ordre maximal d’un corps de quaternions (appelés réseaux quaternioniens). On démontre un résultat analogue au théorème de Kneser (théorème 3.1), que l’on peut exprimer de la façon suivante : le graphe des voisinages sur les classes d’isométrie de réseaux quaternioniens unimodulaires est connexe.

Le reste de l’article est consacré au corps de quaternions sur ℚ ramifié en 2 et à l’infini. À conjugaison près, celui-ci a un unique ordre maximal 𝔐 appelé l’ordre de Hurwitz. Au paragraphe 4, on classifie les réseaux unimodulaires sur 𝔐 jusqu’à la dimension 28, et l’on construit les graphes correspondants. Le paragraphe 5 concerne la dimension 32 ; on y construit un réseau sur l’ordre de Hurwitz ayant même densité que celui déjà construit par H.-G. Quebbemann ([Q1]), et réalisant donc la meilleure densité connue en dimension 32. Ils ne sont en fait pas isométriques, comme l’a montré l’algorithme de recherche du groupe des isométries d’un réseau conçu et implémenté par W. Plesken and B. Souvignier ([P.S]), que nous remercions ici. Ce résultat renforce la constatation expérimentale selon laquelle la plupart des réseaux intéressants connus dans des dimensions multiples de 4 ont une structure quaternionienne (par exemple les réseaux de Coxeter-todd, de Barnes-Wall, de Leech,...) ([M2]).

La construction du réseau de dimension 32 utilise un code autodual de longueur 8 sur une algèbre de rang 4 sur 𝔽_{2} (paragraphe 5).

mots clés : code, forme hermitienne, quaternions, réseau, .

2. Définitions et terminologie.

Soit K un corps de nombres d’anneau des entiers 𝔒_{K} et soit H un corps de quaternions défini sur K. Soit V un espace vectoriel sur H de dimension m, muni d’une forme hermitienne non dégénérée, c’est-à-dire d’une forme h : V × V → H, vérifiant : pour tout λ appartenant à H et tout x, y appartenant à V, h(y, x) = \overline{h(x, y)} ; h(λx, y) = λh(x, y) ; si h(x, y) = 0 pour tout y appartenant à V, alors x = 0.

Soit 𝔐 un ordre maximal de H fixé. Un réseau quaternionien L est un 𝔐-module contenu dans V et engendrant V. On définit le réseau dual de L par : L^{∗} = {x ∈ V/h(x, V) ⊂ 𝔐}. On dit alors que L est entier si L ⊂ L^{∗} ; que L est unimodulaire si L = L^{∗}.

La somme orthogonale (pour la forme hermitienne) de deux réseaux L et L′ est notée L ⊥ L′. On dit qu’un réseau est irréductible s’il n’est pas somme orthogonale de sous-réseaux.

Une isométrie hermitienne entre deux réseaux L et L′ est un isomorphisme de 𝔐modules de L sur L′ qui conserve la forme h. Le groupe des isométries hermitiennes qui stabilisent un réseau L est appelé groupe unitaire de L et est noté U(L). Si L est un réseau entier et si a est un élément de L tel que h(a, a) = 2, la réflexion hermitienne s_{a}(x) = x − h(x, a)a appartient au groupe unitaire de L. On dit que a est une racine de L. Le sous-groupe de U(L) engendré par les s_{a} est un groupe de rêflexions hermitiennes. Ces groupes ont été classifiés dans [C].

Soit v une place de K. On définit le localisé de L en v par : L_{v} = 𝔒_{K_{v}} ⊗_{𝔒_{K}} L. C’est un réseau hermitien relativement à l’algèbre de quaternions H_{v} = K_{v} ⊗_{K} H, pour la forme induite par la forme h.

Soit x.y = Trace_{K/ℚ}(trd(h(x, y))), où trd est la trace réduite dans H. Cette forme bilinéaire symétrique sur le ℚ-espace vectoriel V est définie positive si et seulement si les conditions suivantes sont réalisées : le corps K est totalement réel ; toutes ses places à l’infini sont ramifiés dans H ; les localisées de la forme h en les places à l’infini de K sont toutes définies positives. Sous ces conditions, que l’on suppose toujours réalisées, on associe à L un réseau au sens usuel par : L_{ℤ} = (L, x.y). Le dual au sens usuel de L_{ℤ} et le dual hermitien de L sont liés par la relation :

(2.1)  L_{ℤ}^{∗} = D_{H/ℚ}^{−1}L^{∗},

où D_{H/ℚ} est le produit des différentes de H ([V]) et de K.

En particulier, si L est unimodulaire, alors L_{ℤ}^{∗} = D_{H/ℚ}^{−1}L, et det(L_{ℤ}) = N(D_{H/ℚ})^{m} = (d_{K} ∏_{𝔭∈Ram(H)} N_{K/ℚ}(𝔭))^{2m}.

Soit 𝔭 un idéal premier de K ; nous allons définir la notion de réseaux 𝔭-voisins. Si 𝔭 est ramifié dans H, alors il existe un idéal 𝔓 bilatère de 𝔐, maximal parmi les idéaux contenus dans 𝔐 contenant 𝔭 et d’ordre à gauche 𝔐, et tel que 𝔭𝔐 = 𝔓^{2}. Le quotient 𝔐/𝔓 est un corps. On dit que deux réseaux L et L′ sont 𝔭-voisins si ce sont des réseaux quaternioniens tels que L/L ∩ L′ ≃ L′/L ∩ L′ ≃ 𝔐/𝔓. Si 𝔭 n’est pas ramifié dans H, alors il y a plusieurs idéaux maximaux à gauche 𝔓_{i} contenus dans 𝔐 et contenant 𝔭, mais les quotients 𝔐/𝔓_{i} sont des 𝔐-modules simples isomorphes. On dit que deux réseaux L et L′ sont 𝔭-voisins si ce sont des réseaux quaternioniens tels que L/L∩L′ ≃ L′/L∩L′ ≃ 𝔐/𝔓_{i}.

3. Connexité du graphe des voisinages.

On fixe un espace hermitien (V, h) non dégénéré de dimension m sur un corps de quaternions H sur un corps de nombres totalement réel K, tel que les places à l’infini de K soient ramifiées dans H. Les notations sont celles du paragraphe précédent.

Dans ce paragraphe, nous démontrons un théorème analogue au théorème de Kneser ([K1]). Il est valable pour une catégorie de réseaux un peu plus générale que celle des réseaux unimodulaires, que nous définissons maintenant : avec les notations du paragraphe précédent, soit 𝔄 un idéal bilatère de l’ordre maximal 𝔐. On dit que le réseau L est 𝔄modulaire si L^{∗} = 𝔄L. Par exemple, un réseau unimodulaire est 𝔐-modulaire ; d’après (2.1), un réseau L tel que L_{ℤ} soit unimodulaire pour la forme x.y est D_{H/ℚ}-modulaire.

Théorème 3.1.

Soient L et L′ deux réseaux quaternioniens 𝔄-modulaires de (V, h). On suppose m ≥ 2. Soit 𝔭 un idéal maximal de K. Alors il existe f appartenant à U(V, h) et il existe une suite de réseaux 𝔄-modulaires L_{1}, L_{2},..,L_{s} tels que L_{1} = L, L_{s} = f(L′), et L_{i} et L_{i+1} sont 𝔭-voisins pour tout i = 1, 2, .., s − 1.

On démontre d’abord deux propositions :

Proposition 3.2. Soit L et L′ deux réseaux quaternioniens 𝔄-modulaires de (V, h). Les propositions suivantes sont équivalentes :

(1) Il existe une suite de réseaux 𝔄-modulaires L_{1}, L_{2},..,L_{s} tels que L_{1} = L, L_{s} = L′, et L_{i} et L_{i+1} sont 𝔭-voisins pour tout i = 1, 2, .., s − 1

(2) Pour tout idéal maximal 𝔮 de K différent de 𝔭, L_{𝔮} = L′_{𝔮}.

Démonstration de la proposition 3.2. L’implication (1) ⇒ (2) est évidente. Supposons que L_{𝔮} = L′_{𝔮} pour tout 𝔮 différent de 𝔭. Alors [L : L ∩ L′]_{𝔒_{K}} = [L′ : L ∩ L′]_{𝔒_{K}} et est une puissance de 𝔭. Nous allons procéder par récurrence sur la valuation de cette puissance. Il suffit de construire un réseau 𝔄-modulaire R qui soit un 𝔭-voisin de L et tel que v_{𝔭}([L′ : R ∩ L′]_{𝔒_{K}}) < v_{𝔭}([L : L ∩ L′]_{𝔒_{K}}). Définissons R par ses localisés : on pose R_{𝔮} = L_{𝔮} pour tout 𝔮 différent de 𝔭.

En l’idéal 𝔭, on a : L_{𝔭}^{∗} = 𝔄_{𝔭}L_{𝔭}. Comme 𝔄_{𝔭} est bilatère, quitte à remplacer la forme h par α_{𝔭}h pour un certain α_{𝔭}, on peut supposer que 𝔄_{𝔭} = 𝔐_{𝔭} si 𝔭 est non ramifié dans H, et que 𝔄_{𝔭} = 𝔐_{𝔭} ou 𝔓 si 𝔭 est ramifié dans H (où 𝔓 est l’unique idéal bilatère maximal contenu dans 𝔐_{𝔭} et contenant 𝔭𝔐_{𝔭}). On a besoin du lemme suivant :

Lemme 3.3. Si L_{𝔭} ≠ L′_{𝔭}, il existe un idéal maximal 𝔓 d’ordre à gauche 𝔐_{𝔭}, entier, contenant 𝔭𝔐_{𝔭} et tel que L_{𝔭} ∩ \overline{𝔓}L′_{𝔭} ⊄ \overline{𝔓}L_{𝔭}.

Démonstration : supposons 𝔭 non ramifié dans H, et L_{𝔭} ∩ \overline{𝔓}L′_{𝔭} ⊂ \overline{𝔓}L_{𝔭} pour tout idéal 𝔓 à gauche de 𝔐_{𝔭} et contenant 𝔭. Soit x un élément de L′_{𝔭} n’appartenant pas à L_{𝔭}. Soit s ≥ 1 le plus petit entier tel que 𝔭^{s}x ⊂ L_{𝔭}. Un tel s existe car [L′_{𝔭} : L_{𝔭} ∩ L′_{𝔭}] est une puissance de 𝔭. Alors, pour tout 𝔓, 𝔭^{s}x ⊂ L_{𝔭} ∩ \overline{𝔓}L′_{𝔭} ⊂ \overline{𝔓}L_{𝔭}. Comme 𝔓\overline{𝔓} = 𝔭𝔐_{𝔭}, 𝔓𝔭^{s}x ⊂ 𝔭L_{𝔭}. Cette relation est vraie pour au moins deux idéaux maximaux d’ordre à gauche 𝔐_{𝔭} contenant 𝔭 (il y a N(𝔭) + 1 tels idéaux); or, si 𝔓 et 𝔓′ sont deux tels idéaux alors 𝔓 + 𝔓′ = 𝔐_{𝔭}. Donc 𝔭^{s}x ⊂ 𝔭L_{𝔭}, soit 𝔭^{s−1}x ⊂ L_{𝔭}, ce qui contredit la définition de s.

Si 𝔭 est ramifié dans H, il y a un seul idéal à gauche de 𝔐_{𝔭} contenant 𝔭 et maximal ; il est bilatère et stable par conjugaison. La démonstration est analogue, en utilisant le plus petit entier s tel que 𝔓^{s}x ⊂ L_{𝔭}. □

Supposons que 𝔄_{𝔭} = 𝔐_{𝔭}. Soit, d’après le lemme précédent, 𝔓 et x tels que x ∈ L_{𝔭}∩\overline{𝔓}L′_{𝔭} et x ∉ \overline{𝔓}L_{𝔭}. On pose

L_{𝔭}^{x} = \{y ∈ L_{𝔭}/h(x, y) ∈ 𝔓\} et R_{𝔭} = L_{𝔭}^{x} + \overline{𝔓}^{−1}x.

Ainsi défini, R est clairement un 𝔭-voisin de L. Montrons qu’il est 𝔄_{𝔭}-modulaire, c’està-dire unimodulaire : on voit facilement que R_{𝔭} est entier si et seulement si h(x, x) ∈ 𝔭, ce qui est réalisé grâce à la condition x ∈ \overline{𝔓}L′_{𝔭}. Montrons que v_{𝔭}([L′_{𝔭} : R_{𝔭} ∩ L′_{𝔭}]_{𝔒_{K𝔭}}) <

v_{𝔭}([L_{𝔭} : L_{𝔭} ∩ L′_{𝔭}]_{𝔒_{K𝔭}}) : en effet, R_{𝔭} ∩ L′_{𝔭} contient strictement L_{𝔭}^{x} ∩ L′_{𝔭} car \overline{𝔓}^{−1}x ⊂ L′_{𝔭} et

\overline{𝔓}^{−1}x ⊄ L_{𝔭}, et L_{𝔭}^{x} ∩ L′_{𝔭} = L_{𝔭} ∩ L′_{𝔭} car, si y appartient à L_{𝔭} ∩ L′_{𝔭}, alors h(y, x) appartient à 𝔓 (x ∈ \overline{𝔓}L′_{𝔭} et L′_{𝔭} est entier).

Finalement, supposons que 𝔭 soit ramifié dans H et que 𝔄_{𝔭} = 𝔓. Soit, d’après le lemme précédent, x tel que x ∈ L_{𝔭} ∩ 𝔓L′_{𝔭} et x ∉ 𝔓L_{𝔭}. Alors h(x, L_{𝔭}) = 𝔓^{−1} et h(x, x) ∈ 𝔭 car x ∈ 𝔓L′_{𝔭}. On pose

L_{𝔭}^{x} = {y ∈ L_{𝔭}/h(x, y) ∈ 𝔐} et R_{𝔭} = L_{𝔭}^{x} + 𝔓^{−1}x.

De façon analogue au cas précédent, on montre que R_{𝔭} est un 𝔭-voisin de L_{𝔭}, qui est 𝔓modulaire car h(x, x) ∈ 𝔭, et qui vérifie : v_{𝔭}([L′_{𝔭} : R_{𝔭} ∩ L′_{𝔭}]_{𝔒_{K𝔭}}) < v_{𝔭}([L_{𝔭} : L_{𝔭} ∩ L′_{𝔭}]_{𝔒_{K𝔭}}). □

Proposition 3.4. Soit L et L′ deux réseaux quaternioniens de (V, h). On suppose que m ≥ 2 et que, pour tout idéal maximal 𝔮 ≠ 𝔭 de K, il existe f_{𝔮} appartenant à U(V_{𝔮}, h) tels que f_{𝔮}(L_{𝔮}) = L′_{𝔮}. Alors, il existe f appartenant à U(V, h) tel que

∀𝔮 ≠ 𝔭 f(L)_{𝔮} = L′_{𝔮}.

Démonstration. C’est une conséquence du théorème d’approximation forte pour le groupe U(V, h). Rappelons de quoi il s’agit : soit G un groupe algébrique linéaire défini sur un corps de nombres K, et soit S un ensemble fini de places de K. On note G_{K} le groupe des points de G rationnels sur K, G_{S} = ∏_{v∈S} G_{K_{v}}, et G_{A} le groupe des adèles de K. On dit que (G, S) vérifie le théorème d’approximation forte si le produit G_{K}G_{S} est dense dans G_{A}. Le groupe U(V, h) est une K-forme du groupe symplectique Sp_{2m} ([K2, §2.6]). A ce titre, il vérifie le théorème d’approximation forte pour tout ensemble de places S tel que G_{S} soit non compact ([K3]).

On prend ici S = {𝔭} ; alors G_{S} = U(V_{𝔭}, h). Montrons que ce groupe est non compact si m est supérieur ou égal à 2. Considérons la forme bilinéaire symétrique sur le K_{𝔭}-espace vectoriel V_{𝔭} donnée par b(x, y) = trd(h(x, y)), où trd est la trace réduite de la K_{𝔭}-algèbre H_{𝔭}. Comme dim_{K_{𝔭}}(V_{𝔭}) = 4m ≥ 5, la forme quadratique associée représente 0. Comme b(x, x) = 2h(x, x), il existe x ∈ V_{𝔭} tel que h(x, x) = 0. Si H_{𝔭} est un corps, alors on montre facilement que V_{𝔭} contient un plan hyperbolique, c’est-à-dire un plan pour lequel

la matrice de la forme hermitienne est ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) . Le groupe unitaire de V_{𝔭} contient donc le

sous-groupe des matrices de la forme ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & λ^{−1} \end{matrix} ) , λ ∈ K_{𝔭}^{∗} qui est non compact. Si H_{𝔭} est

isomorphe à l’algèbre de matrices M_{2}(K_{𝔭}), c’est encore plus simple : le groupe unitaire de V_{𝔭} contient un sous-groupe isomorphe à \{λ ∈ H_{𝔭}/λ\overline{λ} = 1\} (en effet, on voit facilement que la forme hermitienne h est équivalente à ∑_{i=1}^{m} a_{i}x_{i}\overline{y_{i}}, où a_{i} ∈ K_{𝔭}) qui est non compact dans le cas d’une algèbre de matrices (la condition m ≥ 2 n’est donc pas nécessaire si 𝔭 est non ramifié dans H).

L’élément (f_{𝔮})_{𝔮} appartient à G_{A} (complété par 1 en 𝔭 et aux places à l’infini de K) et peut donc être approché par un élément de G_{K}G_{S}. En prenant comme ouvert ∏_{𝔮} U(L_{q}), il existe f ∈ U(V, h) et σ_{𝔮} ∈ U(L_{𝔮}) tels que pour tout 𝔮 ≠ 𝔭, f_{𝔮}σ_{𝔮} = f. Alors L′_{𝔮} = f_{𝔮}(L_{𝔮}) = f(L)_{𝔮}. □

Fin de la démonstration du théorème 3.1. D’après les propositions 3.2 et 3.4, il suffit que les réseaux L et L′ soient localement isométriques. Soit 𝔮 un idéal maximal fixé de K ; si 𝔮 est ramifié dans H, alors H_{𝔮} est un corps et L_{𝔮} et L′_{𝔮} sont isométriques d’après le théorème 6.2 de [J]. Si 𝔮 n’est pas ramifié dans H, le résultat est également bien connu. Faute d’une référence précise, nous donnons une démonstration : l’algèbre H_{𝔮} est isomorphe à M_{2}(K_{𝔮}). A conjugaison près, on peut supposer que 𝔐_{𝔮} = M_{2}(𝔒_{K_{𝔮}}) ([V]). Comme 𝔮 n’est pas ramifié, quitte à changer h en α_{𝔮}h, on peut supposer que L_{𝔮} et L′_{𝔮} sont unimodulaires.

On note 𝔰L_{𝔮} l’idéal bilatère de H_{𝔮} engendré par les h(x, y) lorsque x, y appartiennent à L_{𝔮} et 𝔫L_{𝔮} l’idéal bilatère de H_{𝔮} engendré par les h(x, x) losque x appartient à L_{𝔮}. Grâce à la relation h(x + y, x + y) = h(x, x) + h(y, y) + trd(h(x, y)), on a les inclusions : trd(𝔰L_{𝔮}) ⊂ 𝔫L_{𝔮} ⊂ 𝔰L_{𝔮}. Comme L_{𝔮} est unimodulaire, 𝔰L_{𝔮} = 𝔐_{𝔮}, et comme trd(𝔐_{𝔮}) = 𝔒_{K_{𝔮}}, 𝔫L_{𝔮} = 𝔐_{𝔮}. Par conséquent, il existe e_{1} appartenant à L_{𝔮} tel que h(e_{1}, e_{1}) ∈ 𝔒_{K_{𝔮}}^{∗}. Comme nrd(𝔐_{𝔮}) = det(M_{2}(𝔒_{K_{𝔮}})) = 𝔒_{K_{𝔮}}, on peut supposer que h(e_{1}, e_{1}) = 1. Alors, L_{𝔮} = 𝔐_{𝔮}e_{1} ⊥ L′′_{𝔮}, et par récurrence on montre que L_{𝔮} = 𝔐_{𝔮}e_{1} ⊥ ... ⊥ 𝔐_{𝔮}e_{m} avec h(e_{i}, e_{j}) = δ_{i,j}. Il y a donc une seule classe d’isométrie hermitienne de réseau unimodulaire sur 𝔐_{𝔮}. □

4. Classification des réseaux unimodulaires jusqu’à la dimension 28 sur l’ordre de Hurwitz.

4.1 L’ordre de Hurwitz.

On suppose désormais que H = ℚ + ℚi + ℚj + ℚk, avec i^{2} = j^{2} = −1, ij = −ji = k. A conjugaison près, H a un unique ordre maximal qui est 𝔐 = ℤ[1, i, j, (1 + i + j + k)/2].

L’unique nombre premier ramifié dans H est 2 ; on a 2𝔐 = 𝔓^{2}, où 𝔓 = (1 + i)𝔐 = 𝔐(1 + i) ; le quotient 𝔐/𝔓 est isomorphe au corps fini à quatre éléments 𝔽_{4}.

Le groupe des unités de 𝔐 est le groupe à 24 éléments 𝔐^{∗} = {±1, ±i, ±j, ±k, (±1 ± i ± j ± k)/2}. On note w = (−1 + i + j + k)/2 ; c’est un élément d’ordre 3 de 𝔐^{∗}, dont la classe résiduelle engendre (𝔐/𝔓)^{∗}.

4.2 Réseaux unimodulaires.

Tout espace hermitien (V, h) sur H tel que la forme associée x.y soit définie positive est isomorphe à (H^{m}, ∑_{i=1}^{m} x_{i}\overline{y_{i}}). Sauf mention explicite du contraire, on se place dans cet espace. Toutefois, on considèrera parfois la forme \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{m} x_{i}\overline{y_{i}}. Soit L un réseau unimodulaire sur l’ordre de Hurwitz de dimension m. Le réseau L_{ℤ} est un réseau entier, pair, de dimension n = 4m, de déterminant 2^{2m} d’après le paragraphe 2. On appelle minimum hermitien et on note min(L) le nombre min(L) = min{h(x, x)/x ∈ L − {0}} ; on appelle minimum et on note min(L_{ℤ}) le nombre min(L_{ℤ}) = min{x.x/x ∈ L − {0}} ; on a donc min(L_{ℤ}) = 2 min(L). On note S(L) l’ensemble des vecteurs minimaux de L, c’est-à-dire l’ensemble des éléments de L qui réalisent min(L).

Comme H est de nombre de classes 1, le seul réseau unimodulaire en dimension 1 est L = (𝔐, x\overline{y}). Il est bien connu que L_{ℤ} est isométrique au réseau de racines 𝔻_{4} ([M2]). Remarquons qu’un réseau de minimum hermitien 1 est réductible car il contient des facteurs orthogonaux isométriques à 𝔐.

La construction suivante est due à J. Martinet ; afin de travailler avec des coordonnées entières, on prend sur les réseaux suivants la forme \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{m} x_{i}\overline{y_{i}} :

J_{4m} = {(x_{1}, x_{2}, ..., x_{m}) ∈ 𝔓^{m}/ ∑_{i=1}^{m} x_{i} ∈ 2𝔐}

J′_{4m} = {(x_{1}, x_{2}, ..., x_{m}) ∈ 𝔐^{m}/x_{i} ≡ x_{j} mod 𝔓 et ∑_{i=1}^{m} x_{i} ∈ 2𝔐}.

Proposition 4.1. [M1] On suppose que m est pair.

(1) Si m est supérieur ou égal à quatre, le réseau J′_{4m} est unimodulaire, irréductible, de minimum hermitien 2.

(2) Si m est supérieur ou égal à 6, alors S(J′_{4m}) = S(J_{4m}) et a pour cardinal 24m(4m− 3). Le groupe unitaire U(J′_{4m}) est de cardinal 3.2^{3m−2}.m! ; il est engendré par les permutations des coordonnées et par les transformations (x_{1}, x_{2}, .., x_{m}) → (x_{1}u_{1}, x_{2}u_{2}, .., x_{m}u_{m}), où les u_{i} sont des unités de 𝔐 vérifiant : u_{i} ≡ u_{j} mod 𝔓, et ∑ u_{i} ∈ 2𝔐.

(3) Si m=4, J′_{4m} est isométrique sur ℤ au réseau de Barnes-Wall BW_{16}. L’ensemble de ses vecteurs minimaux est S(J′_{16}) = S(J_{16}) ∪ {(u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4})/u_{i} ∈ 𝔐^{∗}, u_{i} ≡ u_{j} mod 𝔓, ∑ u_{i} ∈ 2𝔐}. Son groupe unitaire est transitif sur l’ensemble de ses vecteurs minimaux.

4.3 Généralités sur les voisinages.

On regroupe dans ce paragraphe quelques résultats techniques faciles à établir sur la recherche des voisins d’un réseau qui seront utilisés au cours des démonstrations. Soit L un réseau unimodulaire sur l’ordre de Hurwitz ; on cherche à décrire ses 2-voisins (ou plus simplement ses voisins).

Les sous-réseaux quaternioniens d’indice 𝔓 de L sont tous de la forme

L^{x} = {y ∈ L/h(y, x) ∈ 𝔓}

où x est un éléments de L n’appartenant pas à 𝔓L. L’ensemble L^{x} ne dépend que de la classe de x dans le quotient L/𝔓L ; la classe d’isométrie de L^{x} ne dépend que de l’orbite de la classe de x sous l’action de U(L) (car σ(L^{x}) = L^{σ(x)}).

Le dual du réseau L^{x} est

(L^{x})^{∗} = L + 𝔓^{−1}x.

Le réseau L^{x} est contenu dans un voisin de L si et seulement si h(x, x) appartient à 2𝔐 (et donc à 2ℤ). Dans ce cas, il est contenu dans exactement cinq réseaux unimodulaires correspondant aux cinq droites de (L^{x})^{∗}/L^{x} qui est un plan sur 𝔽_{4}.

En particulier, si h(x, x) est pair, on pose

L_{x} = L^{x} + 𝔓^{−1}x.

C’est l’un des quatre voisins de L contenant L^{x}.

Nous allons maintenant étudier les voisins irréductibles du réseau L = (𝔐^{m}, ∑_{i=1}^{m} x_{i}\overline{y_{i}}). Soit x = (x_{1}, .., x_{m}) un élément de 𝔐^{m}. Si l’un des x_{i} appartient à 𝔓, alors L^{x} contient un sous-réseau isométrique à 𝔐, et les voisins de L contenant L^{x} sont tous réductibles. Dans le cas contraire, les x_{i} sont tous congrus à une unité modulo 𝔓 ; or U(L) contient tous les (x_{1}, .., x_{m}) → (x_{1}u_{1}, .., x_{m}u_{m}) où u_{i} appartient à 𝔐^{∗} ; on peut donc choisir x = (1, 1, .., 1). On a vu que L^{x} n’est contenu dans un réseau unimodulaire autre que L que si h(x, x) est pair. Or h(x, x) = m. De plus, on voit facilement que U(L) permute les quatre voisins de L contenant L^{(1,1,..,1)} (voir remarque 4.3). Ils sont donc tous isométriques à L_{(1,1,..,1)} dans lequel on reconnait J′_{4m}. Nous avons démontré la proposition :

Proposition 4.2. Si m est impair, le réseau (𝔐^{m}, ∑_{i=1}^{m} x_{i}\overline{y_{i}}) n’a aucun voisin irréductible. Si m est pair, les voisins irréductibles de (𝔐^{m}, ∑_{i=1}^{m} x_{i}\overline{y_{i}}) sont tous isométriques à J′_{4m}.

Remarque 4.3. Jusqu’à la dimension 28, un réseau L unimodulaire est toujours son propre voisin. En effet, quitte à se placer en dimension inférieure, on peut supposer qu’il est irréductible. Alors on verra au paragraphe suivant qu’il est de minimum hermitien 2. Si x appartenant à L est tel que h(x, x) = 2, alors L est voisin de Λ = L_{x} qui est de minimum hermitien 1, donc de la forme 𝔐 ⊥ Λ′. Le groupe unitaire de Λ contient un sous-groupe isomorphe à 𝔐^{∗} (agissant par multiplication à droite sur la composante 𝔐). On peut écrire Λ ∩ L = Λ^{y} avec y = (u, y′) ∈ Λ. Alors le sous-groupe de 𝔐^{∗} U = {ϵ ∈ 𝔐^{∗}/ϵ ≡ 1 mod 𝔓} = {±1, ±i, ±j, ±k} stabilise Λ^{y} et donc opère sur le 𝔽_{4}- espace vectoriel de dimension 2 (Λ^{y})^{∗}/Λ^{y}. L’élément −1 agit trivialement ; les autres induisent l’identité sur la droite Λ/Λ^{y} mais pas sur tout le plan (regarder l’image de (1 + i)^{−1}y) ; comme ils sont d’ordre 2, ils n’ont pas d’autre droite stable que Λ/Λ^{y}. Ainsi, le groupe bicyclique U/{±1} opère sans point fixe sur les quatre réseaux unimodulaires contenant Λ^{y} et distincts de Λ. Il opère donc transitivement, et ces quatre réseaux sont isométriques et voisins les uns des autres.

Le graphe des voisinages présente donc une boucle en chacun de ses sommets jusqu’à la dimension 28, que nous avons omis de représenter dans les figures 1,2,3,4.

4.4 Formes modulaires.

D’après (2.1), le réseau L_{ℤ} vérifie L_{ℤ}^{∗} = (1 + i)^{−1}L_{ℤ} ; l’application x → (1 + i)x est une similitude de rapport \sqrt{2} de L_{ℤ}^{∗} sur L_{ℤ}. Ce réseau est donc, dans le vocabulaire de [Q2], un réseau modulaire de niveau 2. H.-G. Quebbemann démontre ([Q2, §1.2]) que la série theta d’un tel réseau est modulaire de poids dim(L_{ℤ})/2 = 2m pour le groupe de Fricke Γ_{∗}(2), et pour un certain caractère χ. L’étude de l’espace des formes modulaires correspondant montre que

(1)  min(L_{ℤ}) ≤ 2 + 2[m/4]

et que, de plus, lorsque l’égalité est réalisée, la série theta est déterminée et facilement calculable. Avec les notations de [Q2 ], soit θ_{4} la série theta du réseau de racines 𝔻_{4}, et soit Δ_{16} = (η(z)η(2z))^{8} ; un réseau L unimodulaire sur l’ordre de Hurwitz de dimension 24 (m=6) et de minimum 4 a pour série theta θ_{L} = θ_{4}^{6} − 144θ_{4}^{2}Δ_{16} = 1 + 3024q^{2} + ... ; si la dimension est 28, θ_{L} = θ_{4}^{7} − 168θ_{4}^{3}Δ_{16} = 1 + 1512q^{2} + ....

On déduit immédiatement de (1) que, pour les dimensions m = 2, 3, il y a une seule classe de réseau unimodulaire, à savoir (𝔐^{m}, ∑_{i=1}^{m} x_{i}\overline{y_{i}}) ; en effet, un tel réseau a pour minimum hermitien 1. Un argument de H.-G. Quebbemann, que nous restituons ici, montre qu’il y a en dimension 4 une seule classe de réseau unimodulaire irréductible. Soit L un tel réseau ; d’après ce qui précède, min(L) = 2. Soit x l’un de ses vecteurs minimaux. Le réseau L_{x} = L^{x} + 𝔓^{−1}x est unimodulaire sur l’ordre de Hurwitz et de minimum hermitien 1 ; il est donc isométrique à (𝔐^{4}, ∑_{i=1}^{4} x_{i}\overline{y_{i}}). Mais on a vu que celui-ci a (à isométrie près) un seul voisin irréductible qui est J′_{16}.

4.5 Une formule de masse.

Hashimoto a démontré une formule de masse pour les réseaux unimodulaires quaternioniens analogue à la formule de Siegel. Dans le cas particulier que nous considérons, soit E_{m} l’ensemble des classes d’isométrie hermitienne de réseaux unimodulaires de rang m sur l’ordre de Hurwitz ; on a :

(2)  ∑_{[L]∈E_{m}} \frac{1}{#U(L)} = ∏_{k=1}^{m}(2^{k} + (−1)^{k})\frac{B_{2k}}{4k}

où les B_{2k} sont les nombres de Bernoulli ([H, §3 (25)]).

4.6 La dimension 16.

Théorème 4.4.

(1) Le réseau J′_{16} est, à isométrie hermitienne près, le seul réseau irréductible et unimodulaire sur l’ordre de Hurwitz en dimension 16.

(2) Son groupe unitaire est de cardinal 2^{13}.3^{4}.5, et est engendré par les réflexions relatives à ses vecteurs minimaux.

(3) Les classes du quotient J′_{16}/𝔓J′_{16} sont représentées par des éléments de norme hermitienne 0, 2, 3.

(4) Le groupe U(J′_{16}) est transitif sur l’ensemble des classes d’éléments de norme 2 de J′_{16}/𝔓J′_{16} (respectivement sur l’ensemble des classes d’éléments de norme 3).

Démonstration : le (1) est démontré au paragraphe précédent. La formule de masses donne le cardinal de U(J′_{16}) ; en effet, le groupe unitaire de 𝔐^{m} est engendré par les permutations des m coordonées et par les applications de la forme (x_{1}, .., x_{m}) → (x_{1}u_{1}, .., x_{2}u_{2}) avec u_{i} ∈ 𝔐^{∗}, et est donc de cardinal 24^{m}m!. Par ailleurs, on trouve dans [C] un système de racines isométrique à l’ensemble des vecteurs minimaux du réseau J′_{16} ; c’est le système noté S_{3}. Le groupe engendré par ses réflexions est de cardinal 2^{13}.3^{3}.5 ([C,Table 3]) ; c’est un sous-groupe du groupe unitaire de J′_{16} ; il lui est donc égal.

On sait que les classes modulo 2 des vecteurs du réseau de Barnes-Wall ont pour représentants les vecteurs de norme au plus 12 ([C.S1,chap.6,§5]). Montrons que l’on peut en déduire que les classes modulo 𝔓 de J′_{16} ont pour représentants les vecteurs de norme hermitienne 0, 2, 3 : en effet, soit x un élément de J′_{16}. Alors il existe z appartenant à 2J′_{16} tel que ((1 + i)x − z).((1 + i)x − z) ≤ 12, ou encore h(x − (1 + i)^{−1}z, x − (1 + i)^{−1}z) ≤ 3. D’où le résultat, puisque (1 + i)^{−1}z ∈ 𝔓J′_{16}.

On a déjà vu que le groupe unitaire de J′_{16} est transitif sur l’ensemble de ses vecteurs minimaux. Montrons qu’il est transitif sur les classes de vecteurs de norme hermitienne 3. Les vecteurs de norme 3 sont de deux types à permutation des coordonnées près : soit du type (x, u_{1}, u_{2}, u_{3}) avec x\overline{x} = 3 et u_{i} ∈ 𝔐^{∗}, soit du type (x_{1}, x_{2}, x_{3}, 0) avec x_{i} ∈ 𝔓. On voit facilement que les transformations décrites au (2) de la proposition 4.1 permutent transitivement chacun des types modulo 𝔓J′_{16}. Pour passer d’un type à l’autre, on utilise la transformation suivante qui stabilise le réseau J′_{16} :

\frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 − i & 1 − i & 0 & 0 \\ 1 − i & −1 + i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 − i & 1 − i \\ 0 & 0 & 1 − i & −1 + i \end{matrix} ) .

□

[figure: 𝔐_{4} J′_{16}]

Figure 1. Graphe des voisins en dimension 16.

4.7 La dimension 20.

Le cas de la dimension 20 est analogue à celui de la dimension 16 ; on trouve également une seule classe de réseau irréductible unimodulaire, dont on verra la construction explicite au cours de la démonstration du théorème suivant :

Théorème 4.5.

(1) Il y a, à isométrie hermitienne près, un seul réseau irréductible et unimodulaire sur l’ordre de Hurwitz en dimension 20, que l’on note R_{20}.

(2) Son groupe unitaire est isomorphe au groupe SU_{5}(2) × {±1}, et est de cardinal 2^{11}.3^{5}.5.11. Il est engendré par les réflexions relatives à ses vecteurs minimaux.

(3) Les classes du quotient R_{20}/𝔓R_{20} sont représentées par des éléments de norme hermitienne 0, 2, 3.

(4) Le groupe U(R_{20}) est transitif sur l’ensemble des classes d’éléments de norme 2 (respectivement de norme 3) de R_{20}/𝔓R_{20}.

Démonstration : la formule de masse (2) montre l’existence d’au moins un réseau unimodulaire et irréductible ; en effet, les réseaux réductibles de la dimension 20 sont, d’après le théorème 4.4, 𝔐^{5} et 𝔐 ⊥ J′_{16}. Leur groupe unitaire a pour ordre respectivement 24^{5}.5! et 24.2^{13}.3^{4}.5 ; il reste dans la formule de masse le terme 1/(2^{11}.3^{5}.5.11). Soit R un tel réseau ; d’après (1), son minimum hermitien est 2, il est donc voisin d’un réseau réductible. Comme 5 est impair, le réseau 𝔐^{5} n’a pas de voisin irréductible. Le réseau L = 𝔐 ⊥ J′_{16} a, à isométrie près, un seul sous-réseau d’indice 𝔓 et de minimum hermitien 2 grâce au (4) du théorème 4.4, qui est L^{x} avec x = 1 + x_{0}, x_{0} étant un élément de J′_{16} de norme hermitienne 3.

Les quatre réseaux unimodulaires qui contiennent L^{x} sont permutés transitivement par le sous-groupe de U(L) isomorphe à 𝔐^{∗} (agissant sur le facteur 𝔐 de L), et sont donc isométriques. Cela démontre l’unicité à isométrie près du réseau R_{20} que l’on peut prendre égal à L_{x} = L^{x} + 𝔓^{−1}x, pour un choix quelconque de x_{0}.

On trouve dans [C] un système de racines irréductible en dimension 20 défini sur l’ordre de Hurwitz et noté U (Table 2). On peut vérifier qu’il engendre un réseau unimodulaire de minimum hermitien 2, qui est donc isométrique à R_{20}. D’après la Table 3, le groupe engendré par les réflexions relatives à ses racines est d’ordre 2^{11}.3^{5}.5.11 et est isomorphe à P SU_{5}(2) × {±1} ; de plus, il est transitif sur celles-ci. D’après la formule de masse, il est égal au groupe U(R_{20}) (P SU_{5}(2) = SU_{5}(2)).

On vient de voir que le groupe unitaire du réseau R_{20} est transitif sur l’ensemble de ses vecteurs minimaux. Considérons le quotient R_{20}/𝔓R_{20} ; muni de la forme induite de celle du réseau R_{20}, c’est un espace hermitien non dégénéré sur 𝔽_{4} pour le Frobenius de 𝔽_{4}. D’après le théorème de Witt, son groupe unitaire U_{5}(2) est transitif sur l’ensemble de ses vecteurs isotropes non nuls, ainsi que sur l’ensemble de ses vecteurs non isotropes. En utilisant des produits pairs de réflexions, on peut vérifier que SU_{5}(2) est transitif sur les vecteurs non isotropes. Comme l’image de U(R_{20}) dans le groupe unitaire de cet espace est SU_{5}(2), les vecteurs non isotropes du quotient sont représentés par des vecteurs de norme hermitienne 3. Le groupe SU_{5}(2) est au moins transitif sur les droites isotropes. Comme les classes non nulles de 𝔐/𝔓 sont représentées par des unités de 𝔐, on en déduit que les vecteurs isotropes non nuls de R_{20}/𝔓R_{20} sont représentés par les vecteurs minimaux du réseau R_{20}. □

[figure: \begin{aligned}𝔐_{5} & 𝔐 ⊥ J′_{16} \\ & & R_{20} \end{aligned}]

Figure 2. Graphe des voisins en dimension 20.

(D’après la proposition 4.2, les réseaux 𝔐^{5} et R_{20} ne sont pas voisins.)

4.8 La dimension 24.

En dimension 24, on trouve deux classes de réseaux unimodulaires irréductibles. Il y a le réseau J′_{24} (voir proposition 4.1), et un réseau construit à partir du réseau de Coxeter-Todd de la façon suivante : le réseau K_{12} de Coxeter-Todd a une structure de réseau hermitien sur l’anneau des entiers d’Eisenstein (qui est l’anneau des entiers du corps quadratique de discriminant 9) ([F]). De plus, il est unimodulaire sur cet anneau. Si w = (−1+i+j +k)/2, on peut identifier ℤ[w] aux entiers d’Eisenstein, ce qui nous permet de définir le réseau

R_{24} = 𝔐 ⊗_{ℤ[w]} K_{12}.

Comme K_{12} est unimodulaire sur ℤ[w], R_{24} est unimodulaire sur 𝔐. Montrons que son minimum est encore 4 : soit 𝔒 l’ordre ℤ[w]+(i−j)ℤ[w]. Les inclusions 𝔐(1−w) ⊂ 𝔒 ⊂ 𝔐 permettent d’écrire la décomposition orthogonale sur ℤ: R_{24} ⊂ \frac{1−\overline{w}}{3} K_{12} ⊥_{ℤ} (i−j)\frac{1−\overline{w}}{3} K_{12}. La norme d’un élément non nul x de R_{24} est donc de la forme x.x = \frac{1}{3}(x_{1}.x_{1} + 2x_{2}.x_{2}), où x_{1} et x_{2} sont dans K_{12} et donc sont soit nuls soit de norme au moins égale à 4 ; Les facteurs de la décomposition ayant pour intersection avec R_{24} respectivement K_{12} et (i − j)K_{12}, la norme de x est au moins égale à 4.

L’ensemble des vecteurs minimaux de R_{24} contient les éléments de la forme ux où u est une unité de 𝔐 et x un vecteur minimal de K_{12}, ce qui fait 4.756 = 3024 éléments distincts ({±1, ±w, ±w^{2}} ⊂ ℤ[w]). Or la théorie des formes modulaires (§4.4) prévoit qu’un réseau unimodulaire sur l’ordre de Hurwitz en dimension 24 a exactement 3024 vecteurs minimaux ; ils sont donc tous de cette forme.

De plus, on peut remarquer que ces deux réseaux ne peuvent pas être isométriques ; en effet, le réseau R_{24} est engendré par ses vecteurs minimaux, alors que ceux de J′_{24} engendrent J_{24} (proposition 4.1).

Théorème 4.6.

(1) Les réseaux J′_{24} et R_{24} sont, à isométrie hermitienne près, les seuls réseaux irréductibles et unimodulaires sur l’ordre de Hurwitz en dimension 24.

(2) Le groupe unitaire du réseau R_{24} est égal au groupe unitaire du réseau de Coxeter-Todd (comme réseau hermitien sur les entiers d’Eisenstein) qui est engendré par les réflexions relatives à ses vecteurs minimaux ; il est de cardinal 2^{9}.3^{7}.5.7.

(3) Les classes du quotient R_{24}/𝔓R_{24} sont représentées par des éléments de norme hermitienne 0, 2, 3, 4.

(4) Le groupe U(R_{24}) est transitif sur l’ensemble des classes d’éléments de norme 2 (respectivement de norme 3 ; respectivement de norme 4) de R_{24}/𝔓R_{24}.

Démonstration : pour terminer la démonstration du point (1), il suffit de montrer qu’il y a au plus deux classes de réseaux irréductibles. Par un raisonnement analogue à celui du théorème précédent, il suffit de compter les voisins irréductibles des réseaux réductibles de la dimension 24, qui sont : 𝔐^{6}, 𝔐^{2} ⊥ J′_{16} et 𝔐 ⊥ R_{20}. Le réseau 𝔐^{6} a pour seul voisin irréductible J′_{24} (proposition 4.1(1)). Grâce aux assertions (3) et (4) du théorème 4.4, on voit que le réseau 𝔐^{2} ⊥ J′_{16} a, à isométrie près, un seul voisin irréductible, qui correspond à un élément de la forme (1, 1) + x, où x est un vecteur minimal de J′_{16}. De même, grâce au théorème 4.5, le réseau 𝔐 ⊥ R_{20} a, à isométrie près, un seul voisin irréductible, correspondant à un élément de la forme 1 + x, où x est un vecteur de norme hermitienne 3 de R_{20}.

Montrons que le voisin V de 𝔐^{2} ⊥ J′_{16} précédemment décrit est isométrique à J′_{24} : notons y = (1, 1) ∈ 𝔐^{2} ; alors V = (𝔐^{2} ⊥ J′_{16})_{y+x}, et on voit facilement que V est aussi voisin de (𝔐^{2})_{y} ⊥ (J′_{16})_{x} = 𝔐^{6}. La seule possibilité est que V soit isométrique à J′_{24}.

Le groupe U(R_{24}) contient le groupe unitaire de K_{12} ; celui-ci est de cardinal 2^{9}.3^{7}.5.7 et est engendré par les réflexions relatives aux vecteurs minimaux ([F], [S.T]). Ces groupes sont en fait égaux, car si on met dans la formule de masse (2) les cardinaux (connus) des groupes unitaires de 𝔐^{6}, 𝔐^{2} ⊥ J′_{16}, 𝔐 ⊥ R_{20} et J′_{24}, il reste exactement 1/(2^{9}.3^{7}.5.7).

La décomposition 𝔐 = ℤ[w]+(1+i)ℤ[w] montre que R_{24} = K_{12} +(1+i)K_{12} (la somme est une somme directe mais non orthogonale de ℤ-modules). Ainsi, tout élément de R_{24} est congru modulo 𝔓R_{24} à un élément de K_{12}. Or, d’après [C.S2,§3], tout élément de K_{12} est congru modulo 2K_{12} à un élément de norme hermitienne 0, 2, 3 ou 4, et le groupe unitaire de K_{12} est transitif sur chacune de ces catégories (remarquons que les quotients K_{12}/2K_{12} et R_{24}/𝔓R_{24} ont même cardinal). □

Déterminons le graphe des voisins : au cours de la démonstration du théorème 4.6, on a vu que J′_{24} est le seul voisin irréductible de 𝔐^{2} ⊥ J′_{16}, et que R_{24} est le seul voisin irréductible de 𝔐 ⊥ R_{20} (à isométrie près). Pour avoir le graphe complet, il reste à montrer que J′_{24} et R_{24} sont voisins. Soit x un élément de R_{24} de norme hermitienne 4 et appartenant à K_{12}. Nous allons montrer que (R_{24})_{x} est isométrique à J′_{24}. En effet, ce réseau est irréductible (sinon il contiendrait un élément y de norme hermitienne 1, tel que x ≡ (1 + i)y mod 𝔓R_{24} ; or la classe d’un élément de norme hermitienne 4 modulo 𝔓R_{24} ne contient pas d’élément de norme hermitienne 2). De plus, (R_{24})_{x} est clairement voisin de 𝔐 ⊗_{ℤ[w]} (K_{12}^{x} + ℤ[w]\frac{x}{2}). Or K_{12}^{x} + ℤ[w]\frac{x}{2} est isométrique sur ℤ[w] à ℤ[w]^{6} ([F]), donc 𝔐 ⊗_{ℤ[w]} (K_{12}^{x} + ℤ[w]\frac{x}{2}) est isométrique à 𝔐^{6} dont le seul voisin irréductible est J′_{24}.

[figure: \begin{aligned}𝔐_{6} & 𝔐^{2} ⊥ J′_{16} & 𝔐 ⊥ R_{20} \\ & J′_{24} & R_{24} \end{aligned}]

Figure 3. Graphe des voisins en dimension 24.

4.9 La dimension 28.

Nous allons construire trois réseaux non isométriques, irréductibles et unimodulaires en dimension 28. Rappelons qu’un tel réseau a 1512 vecteurs minimaux (§4.4).

Le premier se construit à partir du réseau de racines 𝔼_{7} de la façon suivante : le réseau 𝔼_{7} est de déterminant 2, et son dual 𝔼_{7}^{∗} est tel que : 𝔼_{7}^{∗} = 𝔼_{7} + ℤe, où e est un vecteur de norme 3/2 (e = \frac{1}{4}(1, 1, 1, 1, 1, 1, −3, −3) dans le système de coordonnées pair de E_{8} ([C.S1 chap 4])). On pose alors :

R_{28} = 𝔐 ⊗_{ℤ} 𝔼_{7} + 𝔓e.

On voit facilement que ce réseau est unimodulaire sur l’ordre de Hurwitz ; c’est le seul réseau unimodulaire contenant 𝔐 ⊗_{ℤ} 𝔼_{7}.

Montrons que le minimum hermitien de R_{28} est encore 2 : l’inclusion 𝔐 ⊂ \frac{1}{2}ℤ[1, i, j, k] montre que 𝔐⊗𝔼_{7}^{∗} ⊂ \frac{1}{2}𝔼_{7}^{∗} ⊥_{ℤ} \frac{i}{2}𝔼_{7}^{∗} ⊥_{ℤ} \frac{j}{2}𝔼_{7}^{∗} ⊥_{ℤ} \frac{k}{2} 𝔼_{7}^{∗} ; le minimum hermitien de 𝔐⊗_{ℤ}𝔼_{7}^{∗} est donc égal à 3/2. Comme R_{28} est un sous-réseau entier de ce dernier réseau, son minimum hermitien est au moins égal à 2.

L’ensemble de ses vecteurs minimaux est égal à {ux, u ∈ 𝔐^{∗}, x ∈ S(𝔼_{7})} qui est de cardinal 1512.

Le deuxième réseau est construit comme un voisin du réseau 𝔐^{3} ⊥ J′_{16}. Soit e = (i+j+k, 1, 1, 1) un élément de J′_{16} de norme hermitienne 3. Soit x = (1, 1, 1)+e ∈ 𝔐^{3} ⊥ J′_{16} de norme hermitienne 6. On pose :

R′_{28} = (𝔐^{3} ⊥ J′_{16})_{x}.

Posons L_{16} = (J′_{16})^{e} ; il est engendré par l’ensemble de ses vecteurs minimaux qui apparaît comme système de racines dans [C] sous le nom de S_{1}. Son cardinal est 864 = 24.18. Le réseau 𝔐^{(1,1,1)} est isométrique à J_{12} qui a 648 = 24.27 vecteurs minimaux. Le réseau R′_{28} contient (avec un indice 16) la somme orthogonale L_{16} ⊥ J_{12} ; comme 864+648 = 1512, l’ensemble des vecteurs minimaux de R′_{28} est la réunion S(J_{12})∪S(L_{16}).

Le troisième réseau est un cas particulier d’une construction générale due à J. Martinet et dont les réseaux J′_{4m} font également partie ([M2]). Nous donnons ici le cas particulier qui nous intéresse. Soit 𝔮 et 𝔮′ deux idéaux à gauche de 𝔐 contenant 3𝔐. On prendra 𝔮 = 𝔐(1 − w) et 𝔮′ = 𝔐(1 − w)i, mais le choix est indifférent. On pose :

R′′_{28} = {(x_{1}, x_{2}, .., x_{7}) ∈ 𝔐^{7}/x_{i} ≡ x_{j} mod 𝔮 et ∑_{i=1}^{7} x_{i} ≡ 0 mod 𝔮′},

muni de la forme \frac{1}{3} ∑_{i=1}^{7} x_{i}\overline{y_{i}}.

On montre que ce réseau est unimodulaire sur l’ordre de Hurwitz, de minimum hermitien 2. L’ensemble de ses vecteurs minimaux est, à permutation près des coordonnées, l’ensemble des vecteurs de la forme u((1 − w), v(1 − w), 0, 0, .., 0), où u appartient à 𝔐^{∗} et v appartient à {1, w, w^{2}} ; on peut vérifier que cela fait bien 1512 vecteurs minimaux. Ils engendrent le sous-réseau d’indice 9 suivant : {(x_{1}, x_{2}, .., x_{7}) ∈ 𝔮^{7}/ ∑_{i=1}^{7} x_{i} ∈ 3𝔐}. On peut remarquer que R′′_{28} est un 3-voisin au sens du paragraphe 2 de 𝔐^{7}.

Ces trois réseaux ne peuvent pas être isométriques car les sous-réseaux engendrés par leurs vecteurs minimaux respectifs ne le sont pas : en effet, dans le premier cas il est d’indice 4, dans le deuxième cas il est d’indice 16, et dans le troisième cas, il est d’indice 9.

Théorème 4.7.

(1) Les réseaux R_{28}, R′_{28} et R′′_{28} sont, à isométrie hermitienne près, les seuls réseaux irréductibles et unimodulaires sur l’ordre de Hurwitz en dimension 28.

(2) Le groupe unitaire du réseau R_{28} est isomorphe au produit direct 𝔐^{∗}/{±1} × W (𝔼_{7}), où W (𝔼_{7}) est le groupe de Weil du système de racines 𝔼_{7}. Il est de cardinal 2^{12}.3^{5}.5.7.

(3) Le groupe unitaire du réseau R′_{28} est de cardinal 2^{18}.3^{5}.

(4) Le groupe unitaire du réseau R′′_{28} est le produit direct de {±Id} par le groupe engendré par les réflexions relatives à ses vecteurs minimaux ; il est de cardinal 2.3^{6}.7!.

Démonstration : comme pour le théorème précédent, il suffit de démontrer que les réseaux réductibles ont au plus trois voisins irréductibles non isométriques. D’après les résultats précédents, les réseaux réductibles de la dimension 28 sont : 𝔐^{7}, 𝔐^{3} ⊥ J′_{16}, 𝔐^{2} ⊥ R_{20}, 𝔐 ⊥ R_{24}, 𝔐 ⊥ J′_{24}.

Le résau 𝔐^{7} n’a pas de voisin de minimum hermitien égal à 2.

Le réseau 𝔐^{3} ⊥ J′_{16} a, à isométrie près, un seul voisin irréductible correspondant à un élément de la forme (1, 1, 1) + x, où x est de norme hermitienne 3 dans J′_{16} : en effet, on a vu que le groupe unitaire de J′_{16} est transitif sur les éléments non isotropes du quotient J′_{16}/𝔓J′_{16} (théorème 4.4(4)). Ce réseau est aussi un voisin de 𝔐_{(1,1)}^{2} ⊥ (𝔐 ⊥ J′_{16})_{1+x} qui est isométrique à 𝔐^{2} ⊥ R_{20}.

Le réseau 𝔐^{2} ⊥ R_{20} a, à isométrie près, un seul voisin irréductible correspondant à un élément de la forme (1, 1) + x, où x est de norme hermitienne 2 dans R_{20} : en effet, on a vu que le groupe unitaire de R_{20} est transitif sur les éléments isotropes du quotient R_{20}/𝔓R_{20} (théorème 4.5 (4)).

Le réseau 𝔐 ⊥ R_{24} a, à isométrie près, un seul voisin irréductible correspondant à un élément de la forme 1 + x, où x est de norme hermitienne 3 dans R_{24} : en effet, on a vu que le groupe unitaire de R_{24} est transitif sur les éléments non isotropes du quotient R_{24}/𝔓R_{24} (théorème 4.6(4)).

On a trouvé jusque-là au plus deux classes de réseaux irréductibles ; il reste à examiner les voisins de 𝔐 ⊥ J′_{24}. Soit V un voisin irréductible de L = 𝔐 ⊥ J′_{24} contenant L^{x}. On pose x = 1 + x_{0}, avec x_{0} ∈ J′_{24}. Montrons que S(V) ne peut pas être inclus dans S(L^{x}) ; dans ce cas, S(L^{x}) serait de cardinal 1512, et donc S((J′_{24})^{x_{0}}) serait de cardinal 1488. L’examen de S((J′_{24})^{x_{0}}) montre que cela ne peut pas arriver avec un x_{0} de norme hermitienne impaire. Comme S(V) n’est pas inclus dans L^{x}, on peut écrire V = L^{x} + 𝔐y, avec h(y, y) = 2. Alors L^{∗} = L+𝔓^{−1}x = L+𝔐y ; x et (1+i)y déterminent la même droite du 𝔐/𝔓-espace vectoriel L/𝔓L, la classe de x dans L/𝔓L contient donc un élément de norme hermitienne 4. On est donc ramenés au cas où h(x_{0}, x_{0}) = 3. On voit facilement que, sous l’action du groupe unitaire de J′_{24}, les éléments de norme hermitienne 3 se répartissent en deux orbites : celle de (1, 1, 1, 1, 1, 1), et celle de (1 + i, (1 + i)w, (1 + i)w^{2}, 0, 0, 0). On montre alors que, dans le dernier cas, V contient un sous-réseau isométrique à J_{12} ⊥ L_{16} (considérer {x ∈ V/x_{0} = x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0} ⊥ {x ∈ V/x_{4} = x_{5} = x + 6 = 0}), et que, à isométrie près, il y a un seul réseau irréductible et unimodulaire contenant J_{12} ⊥ L_{16}, qui est également un voisin de 𝔐^{3} ⊥ J′_{16}. Le point (1) est donc démontré.

Le groupe 𝔐^{∗}/{±1}×W (𝔼_{7}) est un sous-groupe du groupe unitaire de 𝔐⊗_{ℤ}𝔼_{7} (agissant par a ⊗ x → au ⊗ f(x)) ; comme R_{28} est le seul réseau unimodulaire contenant 𝔐 ⊗_{ℤ} 𝔼_{7}, il est stable par ce groupe.

Comme les vecteurs minimaux de R′_{28} engendrent J_{12} ⊥ L_{16}, son groupe unitaire est un sous-groupe du produit U(J_{12})×U(L_{16}). Il y a exactement 12 réseaux contenant J_{12} ⊥ L_{16} et isométriques à R′_{28} (correspondants au choix d’un parmi les trois réseaux d’indice 𝔓 de 𝔐^{3} ⊥ J′_{16}, mais distincts de 𝔐^{3} ⊥ L_{16} et de J_{12} ⊥ J′_{16}, puis d’un parmi les quatre réseaux unimodulaires contenant celui-ci et distinct de 𝔐^{3} ⊥ J′_{16}). Ils sont permutés transitivement par le groupe U(J_{12}) × U(L_{16}). Donc #U(L) = \frac{1}{12}#U(J_{12})#U(L_{16}). Il reste à calculer le cardinal du groupe unitaire de L_{16}. On voit facilement que L_{16}^{∗}∩{x/h(x, x) = 2} = S(J′_{16}). Le groupe unitaire de L_{16} est donc un sous-groupe du groupe unitaire de J′_{16} ; comme L_{16} = (J′_{16})^{e}, U(L_{16}) est formé des éléments de U(J′_{16}) qui stabilisent la droite issue de e du 𝔐/𝔓-espace vectoriel J′_{16}/𝔓J′_{16}. Or on a vu (théorème 4.4) que U(J′_{16}) est transitif sur les vecteurs non isotropes de ce quotient. Dans un espace hermitien de dimension 4 sur 𝔽_{4}, il y a 40 droites non isotropes, donc #U(L_{16}) = #U(J′_{16})/40. On trouve finalement que U(R′_{28}) a 2^{18}.3^{5} éléments.

Le groupe engendré par les réflexion relatives aux vecteurs minimaux de R′′_{28} est un sous-groupe de son groupe unitaire ; c’est le groupe de réflexions noté G_{7}({1, w, w^{2}}, {1}) dans [C], il est de cardinal 3^{6}.7!.

Pour chaque classe d’isométrie hermitienne de réseau, on connait un sous-groupe du groupe unitaire ; or la formule de masse donne un reste nul quand on remplace les cardinaux des groupes unitaires par les cardinaux de ces sous-groupes. Ceux-ci sont donc les groupes unitaires tout entiers. □

Déterminons le graphe des voisins : au cours de la démonstration du théorème 4.7, on a montré que 𝔐 ⊥ J′_{24} a deux voisins irréductibles, dont un qu’il partage avec 𝔐^{3} ⊥ J′_{16} et 𝔐^{2} ⊥ R_{20}. Ce dernier est donc R′_{28}. Par ailleurs, si x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), on montre facilement que (𝔐 ⊥ J′_{24})_{x} est isométrique à R_{28}. R′′_{28} est donc l’unique (à isométrie près) voisin irréductible de 𝔐 ⊥ R_{24}.

Dans le système de coordonnées pair de 𝔼_{8}, soit x = (0, −1, 1, −w, w, 0, 0, 0) qui appartient à R_{28}. Alors (R_{28})_{x} est isométrique à R′_{28} (ceci a été vérifié dans le système PARI, en calculant l’indice du sous-réseau engendré par les vecteurs minimaux).

Les voisins irréductibles de R′′_{28} n’ont pas été explorés systématiquement ; nous n’avons pas déterminé si R′_{28} et R′′_{28} sont voisins.

[figure: \begin{aligned}& 𝔐^{6} \\ 𝔐 ⊥ J′_{24} & 𝔐^{3} ⊥ J′_{16} & 𝔐^{2} ⊥ R_{20} & 𝔐 ⊥ R_{24} \\ R_{28} & R′_{28} & & R′′_{28} \end{aligned}]

Figure 4. Graphe des voisins en dimension 28.

5. Réseaux unimodulaires sur l’ordre de Hurwitz en dimension 32.

En dimension 32, l’inégalité (1) laisse la possibilité pour un réseau modulaire de niveau 2 d’avoir un minimum égal à 6. Dans [Q1], H.-G. Quebbemann a construit un tel réseau ; c’est la meilleure densité connue en dimension 32.

Dans ce paragraphe, nous allons construire un réseau Q de minimum 6, modulaire de niveau 2, ayant une structure quaternionienne sur l’ordre de Hurwitz, mais non unimodulaire. (Remarquons que, pour que le réseau L_{ℤ} associé à un réseau L hermitien sur l’ordre de Hurwitz soit entier, il n’est pas nécessaire que la forme h(x, y) prenne des valeurs entières sur L ; il suffit que h(x, y) appartienne à 𝔓^{−1} qui est la codifférente de H). La question de l’existence d’un tel réseau, qui soit en outre unimodulaire sur l’ordre de Hurwitz, reste ouverte ; son existence est toutefois peu probable. Il semble qu’il y ait un trop grand nombre de réseaux de minimum 4 (nous en avons trouvé 9 et cette liste n’est surement pas complète) pour pouvoir utiliser la formule de masses (2).

La méthode s’inspire de la construction bien connue du réseau de Leech comme voisin (au sens de Kneser) du réseau unimodulaire de système de racines 𝔸_{1}^{24}. Ce dernier est construit à l’aide du code de Golay ([C.S1 chap.4-18]). Nous allons d’abord construire un réseau unimodulaire sur l’ordre de Hurwitz, de minimum 4, et ayant pour vecteurs minimaux huit vecteurs deux à deux orthogonaux ainsi que leurs multiples par une unité de 𝔐. Autrement dit, l’ensemble de ses vecteurs minimaux engendre un réseau isométrique à J_{4}^{8}. Notons un tel réseau J̃_{4}^{8}. Pour cela, on utilise un code de longueur 8 sur l’algèbre 𝔐/2𝔐 (qui remplace ℤ/2ℤ dans le cas de 𝔸_{1}^{24}). Ensuite, on cherche Q comme voisin (non entier) de J̃_{4}^{8}.

5.1 Codes sur 𝔐/2𝔐.

L’algèbre 𝔐/2𝔐 a la structure suivante : en identifiant les classes modulo 2𝔐 de 0, 1, w, w^{2} avec le corps 𝔽_{4}, et en notant u la classe de 1 + i,

𝔐/2𝔐 = 𝔽_{4} + 𝔽_{4}u,

avec les relations u^{2} = 0 et uλ = \overline{λ}u, où λ → \overline{λ} est le Frobenius de 𝔽_{4} ; la somme est une somme directe de 𝔽_{4}-espace vectoriel. On note (x, y) l’élément x + yu de 𝔐/2𝔐. Remarquons qu’un tel élément contient une unité de 𝔐 si et seulement si x est non nul.

Un code (linéaire) sur 𝔐/2𝔐 de longueur m est un sous-module C de (𝔐/2𝔐)^{m}. Il n’est pas nécessairement libre, mais admet une matrice génératrice de la forme :

G = ( \begin{matrix}I_{k_{1}} & M_{1} & M_{2} \\ 0 & I_{k_{2}}u & M_{3}u \end{matrix} ) .

où M_{1}, M_{2} sont des matrices à coefficients dans 𝔐/2𝔐 et M_{3} est à coefficients dans 𝔽_{4}. Le code C est libre si et seulement si k_{2} = 0 ; son cardinal est 16^{k_{1}}.4^{k_{2}}. L’orthogonalité dans (𝔐/2𝔐)^{m} est définie relativement à la forme ∑_{i=1}^{m} x_{i}\overline{y_{i}} ; le poids d’un mot est défini en comptant 1 par coordonnée n’appartenent pas à 𝔽_{4}u, et 2 par coordonnée appartenant à 𝔽_{4}u − {0}.

A partir d’un code C on définit un réseau L_{C} hermitien sur l’ordre de Hurwitz par :

L_{C} = {(x_{1}, x_{2}, .., x_{m}) ∈ 𝔐^{m}/(x_{1}, x_{2}, .., x_{m}) mod 2𝔐 ∈ C}

pour la forme \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{m} x_{i}\overline{y_{i}}. Alors L_{C} est un réseau entier si et seulement si C ⊂ C^{⊥}, unimodulaire si et seulement si C = C^{⊥}. Supposons que C ⊂ C^{⊥}. Le minimum du réseau L_{C} est 4 si le poids minimal de C est au moins égal à 4, et le réseau engendré par son système de racines contient (2𝔐)^{m}, qui est isométrique à J_{4}^{m}. Si le poids minimal de C est au moins égal à 6, alors L_{C} ne contient pas d’autre racine.

À un code C sur 𝔐/2𝔐, on associe de façon naturelle deux codes sur 𝔽_{4} de la façon suivante : soit C_{t} = {x ∈ C/ux = 0} la torsion de C. C’est un 𝔽_{4}-espace vectoriel de dimension k_{1} + k_{2}. On pose

T = {(y_{1}, .., y_{m}) ∈ 𝔽_{4}^{m}/(y_{1}u, .., y_{m}u) ∈ C_{t}}.

On définit également un code C_{1} par projection sur la première coordonnée :

C_{1} = {(y_{1}, .., y_{m}) ∈ 𝔽_{4}^{m}/∃(z_{1}, .., z_{m}) ∈ 𝔽_{4}^{m}/(y_{1} + z_{1}u, .., y_{m} + z_{m}u) ∈ C}.

Remarquons que, si C ⊂ C^{⊥}, alors T ⊂ C_{1}^{⊥} (pour la forme ∑ x_{i}y_{i}) : en effet, soit (x_{1}, .., x_{m}) ∈ C_{1} et (y_{1}, .., y_{m}) ∈ T. Alors il existe (z_{1}, .., z_{m}) tel que (x_{1} +z_{1}u, .., x_{m} +z_{m}u) et (y_{1}u, .., y_{m}u) soient dans C. Ils sont donc orthogonaux, ce qui équivaut à la condition ∑ x_{i}y_{i} = 0.

5.2 Construction de J̃_{4}^{8}.

On définit un code C de longueur 8 par la matrice génératrice :

G = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & (1, 1) & (1, \overline{w}) & (0, 1) & (0, w) & (1, 1) \\ 0 & 1 & 0 & (1, 1) & (w, 1) & (\overline{w}, w) & (w, 1) & (\overline{w}, \overline{w}) \\ 0 & 0 & 1 & 1 & (w, w) & (w, \overline{w}) & (\overline{w}, \overline{w}) & (\overline{w}, w) \\ 0 & 0 & 0 & (0, 1) & 0 & (0, w) & (0, w) & (0, 1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & (0, 1) & (0, 1) & (0, 1) & (0, 1) \end{matrix} ) .

Proposition 5.1. Le code C sur 𝔐/2𝔐 de matrice génératrice G a les propriétés suivantes :

(1) C = C^{⊥}

(2) C est de poids minimal 6.

(3) Le réseau L_{C} associé à C est un réseau unimodulaire sur l’ordre de Hurwitz, de minimum hermitien 2 ; ses vecteurs minimaux sont au nombre de 192 et engendent un réseau isométrique à J_{4}^{8}.

Notation : on notera J̃_{4}^{8} le réseau L_{C} ainsi défini.

Démonstration : on vérifie facilement sur la matrice G que C ⊂ C^{⊥}. Le cardinal de C montre que C = C^{⊥}. Remarquons que cela entraine que le poids d’un mot de C est pair.

Pour calculer son poids minimal, on étudie les codes T et C_{1}. Notons e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5} les lignes de la matrice G. Une base de C_{t} est {ue_{1}, ue_{2}, ue_{3}, e_{4}, e_{5}}. On obtient pour matrice génératrice du code T :

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & \overline{w} & w & \overline{w} & w \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \overline{w} & \overline{w} & w & w \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & w & w & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} )

qui est équivalent à :

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \overline{w} & \overline{w} & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \overline{w} & w & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & w & \overline{w} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & w & w & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) .

Le code T est clairement un code sur 𝔽_{4} de poids minimal 3 (pour le poids usuel, c’est-à-dire le nombre de coordonnées non nulles). Le code C_{1} a pour matrice génératrice

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & w & \overline{w} & w & \overline{w} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & w & w & \overline{w} & \overline{w} \end{matrix} ) ,

qui est équivalente à

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & w & w & \overline{w} & \overline{w} \end{matrix} ) .

Le code C_{1} est de poids pair, son poids minimal est 4, et il n’est atteint que sur les mots 10011001 et 01100110.

Soit maintenant c un mot du code C. Notons c_{1} le mot de C_{1} associé à c. Le nombre de coordonnées de c n’appartenant pas à 𝔽_{4}u est égal au poids de c_{1}. Il y a trois cas à considérer : si le poids de c_{1} est 0, alors c appartient à C_{t} ; or on a vu que T est de poids minimal 3, donc C_{t} est de poids minimal 6. Si le poids de c_{1} est au moins égal à 6, alors c a au moins six coordonnées non nulle, et c est de poids au moins égal à 6. Si le poids de c_{1} est 4, il faut montrer qu’au moins une coordonnée de c appartient à 𝔽_{4}u − {0}. Comme C_{1} n’a que deux mots de poids 4, c est de l’un des deux types suivants :

c = (1, 0)(0, 0)(0, 0)(1, 1)(1, \overline{w})(0, 1)(0, w)(1, 1) + t

ou

c = (0, 0)(1, 0)(1, 0)(0, 1)(0, \overline{w})(1, 1)(1, w)(0, 1) + t

avec t appartenant à C_{t}. Pour faire baisser le poids à 4, il faudrait que t annule les coordonnées qui sont dans 𝔽_{4}u (t ne peut pas annuler les autres). Pour cela, t doit être de la forme t = t′u avec t′ ∈ T du type ∗00 ∗ ∗(0, 1)(0, w)∗ dans le premier cas, et 0 ∗ ∗(0, 1)(0, \overline{w}) ∗ ∗(0, 1) dans le deuxième (les ∗ pouvant être n’importe quoi). L’examen du code T montre que c’est impossible.

D’après le paragraphe précédent, le point (3) se déduit du point (2). □

Remarques. 1. On peut aussi construire le réseau J̃_{4}^{8} par voisinages successifs à partir du réseau J′_{32}. On passe alors successivement par des réseaux dont les vecteurs minimaux engendrent des réseaux isométriques à J_{32}, J_{16}^{2}, J_{8}^{4}, 𝔐 ⊗_{ℤ} 𝔻_{4}^{2}, J_{4}^{8}. Cette méthode a été mise en œvre en utilisant le système PARI.

2. Le code C permet d’écrire une base du réseau J̃_{4}^{8}. Elle est donnée par les colonnes de la matrice suivante :

( \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + i \\ 1 & \frac{1−i+j+k}{2} & \frac{−1+i+j+k}{2} & 0 & 1 + i \\ 1 & \frac{1+i+j+k}{2} & \frac{1−i+j+k}{2} & 1 + j & 1 + i & 2 \\ 1 & \frac{1+i+j−k}{2} & \frac{1+i−j−k}{2} & 1 + j & 1 + i & 0 & 2 \\ 1 & \frac{1−i+j−k}{2} & \frac{1+i+j+k}{2} & 1 + i & 1 + i & 0 & 0 & 2 \end{matrix} )

pour la forme \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{8} x_{i}\overline{y_{i}}.

5.3 Construction de Q.

Le code C contient le mot 11111111 (c’est la somme des trois premières lignes de G). Soit e = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) l’élément de J̃_{4}^{8} correspondant. Le réseau (J̃_{4}^{8})^{e} ne contient plus les vecteurs minimaux de J̃_{4}^{8} ; nous avons cherché Q parmi les réseaux contenant (J̃_{4}^{8})^{e} avec un indice 𝔓.

Le calcul montre que les cinq réseaux unimodulaires sur l’ordre de Hurwitz et contenant (J̃_{4}^{8})^{e} ont pour minimum hermitien 2. En faisant décrire à y les classes de (J̃_{4}^{8})^{e}/𝔓(J̃_{4}^{8})^{e}, on trouve que le réseau

Q = (J̃_{4}^{8})^{e} + 𝔓^{−1}y, avec y = (1, 1, 1, 1, 1, 1, −1, 1 − 2k)

a pour minimum hermitien 3. Les calculs numériques ont été effectués dans le système PARI.

Théorème 5.2.

(1) Il existe une isométrie hermitienne σ telle que Q^{∗} = σ(Q).

(2) Le réseau Q_{ℤ} est entier, pair, modulaire de niveau 2, a pour minimum 6 et pour déterminant 2^{16}.

Démonstration : soit σ l’isométrie hermitienne définie par : σ(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7}, x_{8}) = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, −x_{7}, −x_{8}). C’est clairement une isométrie du réseau J̃_{4}^{8}, puisque c’est l’identité sur le code C. Montrons que Q^{∗} = σ(Q), c’est-à-dire que h(x, σ(y)) ∈ 𝔐 pour tout x, y appartenant à Q. Comme Q = (J̃_{4}^{8})^{e} + 𝔓^{−1}y, σ(Q) = σ((J̃_{4}^{8})^{e}) + 𝔓^{−1}σ(y). Or h((J̃_{4}^{8})^{e}, σ((J̃_{4}^{8})^{e})) ⊂ 𝔐 puisque σ conserve J̃_{4}^{8}, et h((J̃_{4}^{8})^{e}, 𝔓^{−1}σ(y)) ⊂ 𝔐 si et seulement si 𝔓^{−1}σ(y) ⊂ ((J̃_{4}^{8})^{e})^{∗} = J̃_{4}^{8} + 𝔓^{−1}e. Or σ(y) = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, −1+2k) = e+(k−1)(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2) appartient bien à 𝔓J̃_{4}^{8}+𝔐e. Puisque σ^{−1} = σ, on a aussi l’inclusion h(σ((J̃_{4}^{8})^{e}), 𝔓^{−1}(y)) ⊂ 𝔐. Enfin, h(y, σ(y)) = 0 appartient à 2𝔐.

Comme y appartient à (J̃_{4}^{8})^{e}, pour que le réseau Q_{ℤ} soit pair, il suffit que h(y, y) appartienne à 2ℤ. Or h(y, y) = 6. Le dual du réseau Q_{ℤ} est (1 + i)^{−1}σ(Q). La transformation x → (1 + i)σ^{−1}(x) est une similitude de rapport \sqrt{2} de Q_{ℤ}^{∗} sur Q.

La valeur du minimum de Q_{ℤ} a été vérifiée dans le système PARI. Il a 261120 vecteurs minimaux, comme prévu par la théorie des formes modulaires. □

Remarque : La méthode de construction de Q permet d’en donner une 𝔐-base :

( \frac{1−i}{2} ; \frac{1−i}{2}  1 ; \frac{1−i}{2}  0  1 ; \frac{1−i}{2}  1  1  1 + i ; \frac{1−i}{2}  \frac{1−i+j+k}{2}  \frac{−1+i+j+k}{2} 0 1 + i ; \frac{1−i}{2}  \frac{1+i+j+k}{2}  \frac{1−i+j+k}{2} 1 + j 1 + i 2 ; \frac{−1+i}{2}  \frac{1+i+j−k}{2}  \frac{1+i−j−k}{2} 1 + j 1 + i 0 2 ; \frac{1−i−2j−2k}{2} \frac{1−i+5j−k}{2}  \frac{3−i−j−k}{2} 1 + i 1 + i −2 −2 2(1 + i) )

pour la forme \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{8} x_{i}\overline{y_{i}}.

Bibliographie

[C] A.M. Cohen, Finite quaternionic reflection groups, J. Algebra 64 (1980), 293–324. [C.S1] J.H. Conway N.J.A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, Heidelberg,

1988. [C.S2] J.H. Conway N.J.A. Sloane, The Coxeter-Todd lattice, the Mitchell group, and related sphere

packings, Math. Proc of the Cambridge Phil. Soc. 93 (1983), 421–440.

[F] W. Feit, Some lattices over ℚ(\sqrt{−3}), J. Algebra 52 (1978), 248–263.

[H] K. Hashimoto, On Brandt matrices associated with the positive definite quaternion hermitian forms, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 27(1) (1980), 227–245.

[J] R. Jacobowitz, Hermitian forms over local fields, Amer. J. Math. 84 (1962), 441–465. [K1 ] M. Kneser, Klassenzahlen definiter quadratischer Formen, Archiv der Math. 8 (1957), 241–250.

[K2] M. Kneser, Lectures on Galois cohomology of classical groups, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1969.

[K3] M. Kneser, Strong approximation, Proc. Sympos. Pure Math., Amer. Math. Soc. 9 (1966).

[M1] J. Martinet, Les réseaux parfaits des espaces euclidiens (livre en préparation).

[M2] J. Martinet, Structures algébriques sur les réseaux, Séminaire de Théorie des Nombres de Paris 1992-1993, Cambridge University Press, à paraître.

[P.S] W. Plesken and B. Souvignier, Computing isometries of lattices, to appear.

[Q1] H.-G. Quebbemann, Lattices with theta-function for G(\sqrt{2}) and linear codes, J. Algebra 105 (1987), 443–450.

[Q2] H.-G. Quebbemann, Modular lattices in euclidean spaces, to appear. [S.T] G.C. Sheppard and J.A. Todd, Finite unitary reflexion groups, Canad. J. Math. 6 (1954), 274–304.

[V] M.-F. Vigneras, Arithmétique des algèbres de quaternions, Lecture Notes in Mathematics 800 (1980), Springer-Verlag.

Recherche effectuée au sein de l’Unitée Mixte C.N.R.S.–Enseignement supérieur U.R.M. 9936.

Laboratoire d’Algorithmique Arithmètique 351, cours de la Libération F-33405 Talence