Université Bordeaux 1
Laboratoire A2X

François DRESS   






polynômes donnant beaucoup de valeurs premières

(version provisoire)


Premier problème "n sur n" : polynômes prenant n valeurs premières pour n valeurs consécutives de la variable

à titre d'exemple, deux polynômes de la préhistoire :
x2 + x + 17
16 valeurs premières pour 16 valeurs consécutives de la variable, de x = 0 à x = 15 : 17 19 23 29 37 47 59 73 89 107 127 149 173 199 227 257
2x2 + 29
29 valeurs premières pour 29 valeurs consécutives de la variable, de x = 0 à x = 28 : 29 31 37 47 61 79 101 127 157 191 229 271 317 367 421 479 541 607 677 751 829 911 997 1 087 1 181 1 279 1 381 1 487 1 597
le polynôme d'Euler (1772) :
x2 + x + 41
40 valeurs premières pour 40 valeurs consécutives de la variable, de x = 0 à x = 39 : 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 797 853 911 971 1 033 1 097 1 163 1 231 1 301 1 373 1 447 1 523 1 601
il y en a d'autres, par exemple :
8x2 + 6x ­ 661
40 valeurs premières pour 40 valeurs consécutives de la variable, de x = ­19 à x = 20 : 2 113 1 823 1 549 1 291 1 049 823 613 419 241 79 ­67 ­197 ­311 ­409 ­491 ­557 ­607 ­641 ­659 ­661 ­647 ­617 ­571 ­509 ­431 ­337 ­227 ­101 41 199 373 563 769 991 1 229 1 483 1 753 2 039 2 341 2 659
les records après Euler :
47x2 + 9x ­ 5 209 (Fung, 1988)
43 valeurs premières pour 43 valeurs consécutives de la variable, de x = ­24 à x = 18 : 21 647 19 447 17 341 15 329 13 411 11 587 9 857 8 221 6 679 5 231 3 877 2 617 1 451 379 ­599 ­1 483 ­2 273 ­2 969 ­3 571 ­4 079 ­4 493 ­4 813 ­5 039 ­5 171 ­5 209 ­5 153 ­5 003 ­4 759 ­4 421 ­3 989 ­3 463 ­2 843 ­2 129 ­1 321 ­419 577 1 667 2 851 4 129 5 501 6 967 8 527 10 181
36x2 + 18x ­ 1 801 (Ruby, 1989)
45 valeurs premières pour 45 valeurs consécutives de la variable, de x = ­33 à x = 11 : 36 809 34 487 32 237 30 059 27 953 25 919 23 957 22 067 20 249 18 503 16 829 15 227 13 697 12 239 10 853 9 539 8 297 7 127 6 029 5 003 4 049 3 167 2 357 1 619 953 359 ­163 ­613 ­991 ­1 297 ­1 531 ­1 693 ­1 783 ­1 801 ­1 747 ­1 621 ­1 423 ­1 153 ­811 ­397 89 647 1 277 1 979 2 753
66x3 + 83x2 ­13 735x + 30 139 (Dress et Landreau, 1999)
46 valeurs premières pour 46 valeurs consécutives de la variable, de x = ­26 à x = 19 : ­716 659 ­605 861 ­504 797 ­413 071 ­330 287 ­256 049 ­189 961 ­131 627 ­80 651 ­36 637 811 32 089 57 593 77 719 92 863 103 421 109 789 112 363 111 539 107 713 101 281 92 639 82 183 70 309 57 413 43 891 30 139 16 553 3 529 ­8 537 ­19 249 ­28 211 ­35 027 ­39 301 ­40 637 ­38 639 ­32 911 ­23 057 ­8 681 10 613 35 221 65 539 101 963 144 889 194 713 251 831
(3/4)x4 + (1/2)x3 ­ (4 323/4)x2 + (34 415/2)x ­ 62 099 (Dress et Landreau, 2000)
49 valeurs premières pour 49 valeurs consécutives de la variable, de x = ­16 à x = 32 : ­566 987 ­527 099 ­487 391 ­448 121 ­409 529 ­371 837 ­335 249 ­299 951 ­266 111 ­233 879 ­203 387 ­174 749 ­148 061 ­123 401 ­100 829 ­80 387 ­62 099 ­45 971 ­31 991 ­20 129 ­10 337 ­2 549 3 319 7 369 9 721 10 513 9 901 8 059 5 179 1 471 ­2 837 ­7 499 ­12 251 ­16 811 ­20 879 ­24 137 ­26 249 ­26 861 ­25 601 ­22 079 ­15 887 ­6 599 6 229 23 059 44 371 70 663 102 451 140 269 184 669
il y a aussi
(9/4)x4 + (5/2)x3 ­ (5 077/4)x2 ­ (24 951/2)x ­ 347
49 pour 49

Deuxième problème "k sur n" : polynômes prenant k valeurs premières pour n valeurs consécutives de la variable

à titre d'exemple, les records pour n = 100 et n = 1 000 :
41x2 + 33x ­ 43 321 (Boston et Greenwood, 1995)
90 valeurs premières pour 100 valeurs consécutives de la variable, de x = ­57 à x = 42
x2 + x ­ 1 354 363 (Dress et Olivier, 1998)
698 valeurs premières pour 1 000 valeurs consécutives de la variable, de x = 574 à x = 1 573

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dress@math.u-bordeaux.fr
dernière mise à jour : 22 décembre 2000