Aide mémoire du raisonnement algébrique

Q0) : Démontrer que A = ∅. R0) : Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe x ∈ A. Alors,...

Q1) : Démontrer que A ⊂ B. R1) : Soit x ∈ A. Montrons que x ∈ B. En effet,...

Q2) : Démontrer que A = B (où A et B sont deux ensembles). R2) : Nous allons montrer que A ⊂ B et que B ⊂ A. Soit donc x ∈ A, montrons

que x ∈ B. En effet,... Réciproquement, soit x ∈ B. Montrons que x ∈ A. En effet.

Q3) : Démontrer que l’application f de A dans B est injective. R3) : a) Soient x et y dans A tels que f(x) = f(y). Montrons que x = y. En

effet,..

b) Si f est un homomorphisme de groupes ou d’anneaux : Soit x ∈ A tel que f(x) = e_{B}. Montrons que x = e_{A} (e_{A} et e_{B} désignent les

éléments neutres de A et de B.)

Q4) : Démontrer que l’application f de A dans B est surjective. R4) : a) Soit y ∈ B. Montrons qu’il existe x ∈ A tel que f(x) = y. En effet,...

b) Dans le cas particulier où A et B sont des ensembles finis ayant le même nombre d’éléments (resp. des espaces vectoriels de même dimension finie), on peut raisonner comme suit.

Puisque les cardinaux de A et B sont finis et égaux (resp. puisque A et B sont des espaces vectoriels de même dimension), pour montrer que f est surjective, il suffit de montrer que f est injective. Voir réponse 3.

Remarque : il est souvent plus facile de montrer qu’une application est injective que surjective.

Q5) : Démontrer que l’application f de A dans B est bijective. R5) : a) Montrons d’abord que f est injective. Voir réponse 3. Montrons main-

tenant que f est surjective. Voir réponses 4.

b) Soit g de B dans A l’application définie de la manière suivante... Montrons que f ∘ g = g ∘ f = id. En effet, soit x ∈ A nous devons montrer que g(f(x)) = x. En effet, on a g(f(x)) = ⋯ = x. Réciproquement, soit y ∈ B. Nous devons montrer que f(g(y)) = y. En effet, on a f(g(y)) = ⋯ = y.

Q6) : Démontrer que l’application f de A dans B est un homomorphisme (de groupes, resp. d’anneaux).

R6) : Soient x et y dans A. Montrons que f(xy) = f(x)f(y) (resp. f(x + y) = f(x) + f(y) et f(xy) = f(x)f(y)).

Q7) : Démontrer que l’application \overline{f} de A/N dans B est bien définie. Cette question est formulée de manière légerement incorrecte, mais cette formu-

lation est quand même fréquemment utilisée. Une formulation correcte serait :

Q7’) : Soit q la surjection canonique de A dans A/N, et f une application de A dans B. Démontrer qu’il existe une application \overline{f} de A/N dans B telle que \overline{f} ∘ q = f.

R7) : Soient x et x′ deux éléments de la même classe de A/N. Montrons que f(x) = f(x′). En effet, montrons d’abord que N est inclus dans le noyau de f.

Voir réponse 1. Ensuite, comme x − x′ ∈ N (resp. x^{−1}x′ ∈ N) et que N est inclus dans le noyau de f, on a f(x − x′) = 0 (resp. f(x^{−1}x′) = 1) donc puisque f est un homomorphisme on a f(x) = f(x′).

Q8) : Sachant que f est un homomorphisme, démontrer que l’application \overline{f} de A/N dans B est un homomorphisme.

R8) : Montrons d’abord que \overline{f} est bien définie. Voir réponse 7. D’autre part, il faut montrer que pour tout \overline{x} et \overline{y} appartenant à A/N on a \overline{f}(\overline{x}\overline{y}) = \overline{f}(\overline{x})\overline{f}(\overline{y}), c’est à dire que f(xy) = f(x)f(y) pour tous représentants x de \overline{x} et y de \overline{y}, ce qui est le cas puisque f est un homomorphisme.

Q9) : Démontrer que H est un sous-groupe de G.

R9) : Montrons tout d’abord que H ⊂ G. Voir réponse 1. Montrons maintenant que H est non vide, et pour cela montrons par exemple que 1_{G} ∈ H (en effet si H est un sous-groupe, on doit avoir 1_{G} ∈ H). En effet,... Enfin, soient x et y quelconques dans H. Montrons que xy^{−1} ∈ H (d’après la Proposition 1.1.6 cela suffira a montrer que H est un sous-groupe). En effet,...

Q10) : Démontrer que H est un sous-groupe distingué de G.

R10) : a) Montrons tout d’abord que H est un sous-groupe. Voir réponse 9. Soit maintenant x ∈ G. Nous devons montrer que xHx^{−1} ⊂ H. Soit donc y ∈ H. Montrons que xyx^{−1} ∈ H. En effet,...

b) Soit f l’application de G dans un autre groupe G′ définie comme suit.... Alors f est un homomorphisme de groupes. Voir réponse 6. Montrons maintenant que H = ker(f). Voir réponse 2. Comme H est le noyau d’un homomorphisme de groupes, on en déduit que H est un sous-groupe distingué.

Q11) : Démontrer que f de A dans B est un isomorphisme.

R11) : Montrons d’abord que f est un homomorphisme. Voir réponse 6. Montrons maintenant que f est bijective. Voir réponse 5.

Q12) : Démontrer que H est isomorphe à G.

R12) : Soit f l’application de H dans G définie de la manière suivante... Montrons que f est un isomorphisme. Voir réponse 11.

Q13) : Démontrer que B est un sous-anneau de A.

R13) : Soient x et y dans B. Montrons que x − y ∈ B et xy ∈ B. En effet,...

Q14) : Démontrer que I est un idéal de A.

R14) : a) Soient x et y dans I. Montrons que x + y (ou x − y, cela n’a pas d’importance) appartient aussi à I. En effet,... Nous avons donc déja démontré que I est un sous-groupe additif. Soient maintenant x ∈ I et a ∈ A un elément quelconque. Montrons que ax ∈ I. En effet,...

b) Soit f l’application de A dans un autre anneau B définie comme suit.... Alors f est un homomorphisme d’anneaux. Voir réponse 6. Montrons maintenant que I = ker(f). Voir réponse 2. Comme I est le noyau d’un homomorphisme d’anneaux, on en déduit que I est un idéal de A.