Direction des Relations Européennes et Internationales (DREI)

Programme INRIA "Equipes Associées"

I. DEFINITION

Institut de Mathématiques -
MAB Université Bordeaux 1
351, cours de la libération
33405 TALENCE  cedex

Cette première année de foctionnement a été mise à profit pour rapprocher les cultures Anubis-Equipe Problèmes inverses du LAMSIN.

C'est ainsi que les échanges ont essentiellement concerné les chercheurs séniors : J. Henry a donné un mini-cours de 6h sur les facorisation d'opérateurs. B. Ainseba et A. Noussair donneront des conférences dans le cadre du séminaire hebdomadaire du LAMSIN ( visites prévues pour novembre 2006).

Les liens avec Apics et Poems étant plus anciens les échanges ont concerné, essentiellement la mobilité des doctorants, stagiaires de Mastère et jeunes docteurs.

Le contenu scientifique de ces échanges s'articule autour de deux grands thèmes

1-La dynamique des populations

2-Les problèmes inverses en imagerie médicale

1.La dynamique des populations

La collaboration Anubis-Tlemcen a continué à travers les co-directions des deux thèses de C. Ben Osman et S. Fekih.

Celle entre le Lamsin et Marrakech a concerné l'avancement de la thèse de A. Kebir (doctorante du Lamsin) co-dirigée par S. Ben Miled (Lamsin) et H. Hbid (Université Caddi Ayyad, Marrakech).

Cette thèse porte sur la modélisation d'une population de mérous. Le mérou est un poisson emblématique des fonds rocheux méditerranéens et est une espèce à risque sur le plan des effectifs de population. De plus, de par sa place dans la chaîne alimentaire (il appartient à un niveau trophique élevé) et de sa biologie (hermaphrodisme protérogine) causé par des relations sociales complexes, son étude conduit à des modèles mathématiques complexes.

Le travail élaboré durant cette année concerne l'étude mathématique et numérique de deux modèles qui prennent en compte la manière avec laquelle se fait l'inversion sexuelle chez le mérou . Dans le premier modèle l'inversion sexuelle dépend de la compétition durant la croissance des femelles alors que dans le deuxième modèle le choix d'être mâle ou femelle est remis en cause chaque année. Dans le cadre de ce travail de thèse on a comparé ces deux modèles et étudié leurs pertinences.Des équations aux différences sont mises en jeu dans les deux modèles, ce type d 'équations est classique en dynamique des population s la variable de structure est la taille.

Un travail en cours établit un modèle individu-centré basé sur des considérations biologiques du deuxième modèle discret sus-cité. Un simulateur IBM (Individual Based Model) a été programmé afin d'étudier la dynamique de la population par individu.

Pour la collaboration entre Anubis et et l'université de Marrakech, il avait été prévu de s'appuyer sur un projet européen Tempus visant à mettre en oeuvre un mastère de modélisation à Marrakech largement ouvert sur la région. Ce projet n'a pas été accepté cette année mais il est prévu de le resoumettre sous une forme modifiée.

2-Problèmes inverses en imagerie médicale

a) Propagation d’ondes électromagnétiques ; collaboration avec le projet Poems

Deux thèses (l'une au LAMSIN et la deuxième à l'INRIA) portent cette collaboration. Cette collaboration appuie également une thèse sur le retournement temporel ENSTA-LAMSIN.

Cette collaboration s'est enrichie depuis mai 2006 par la co-direction d'un mémoire de Mastère.

Détection de points sources

Dans le cadre de la thèse de Ridha Mdimegh (doctorant LAMSIN) on s'intéresse à la détection de points sources situés à l'intérieur d'un domaine à partir des mesures du champs électrique ou électromagnétique sur la frontière de celui-ci pour une fréquence donnée. L'objectif ici est le design et l'étude d'une nouvelle méthode pour traiter ce problème classique (important par ses applications pratiques: contrôle non-destructif, détection radar, imagerie médicale...) qui évite la démarche naturelle et classique consistant à minimiser de manière itérative l'écart entre champs calculés et champs mesurés. Il s'agit d'adapter des idées de la ``convex scattering method''. Nous exploitons ici le fait que l'objet diffractant est discret. Deux applications sont visées par cette étude. Elles concernent l'identification de sources d'epilepsie (modélisées par des dipôles) et la detection de tumeurs cancéreuses du sein.

L'année 2006 a été consacrée aux problèmes d'identification de points sources situés à l'intérieur d'un domaine à partir des données de Cauchy sur une frontière à distance finie de ces points via l'équation de Helmholtz. R. Mdimegh montré que ce problème inverse admet une solution unique et a également obtenu un résultat de stabilité locale.

Le principe de l'algorithme d'identification repose sur une analyse microlocale du comportement du champ électromagnétique au voisinage des points situés loin de la frontière. Cette analyse permet de repérer les positions des points sources comme étant les pics d'une fonctionnelle évaluée en les noeuds d'un maillage du domaine.

Des expériences numériques utilisant l'environnement Scilab ont été élaborées. Les premiers essais sont satisfaisant pour les points sources éloignés les uns des autres.

Identification de fissures

Il s'agit du travail de thèse de Fabrice Delbary (Poems) co-dirigé par A. Ben Abda (LAMSIN) et H. Haddar (Poems)

On s'intéresse là encore à l'identification de défauts géométriques en utilisant des ondes électromagnétiques. Les défauts visés ici sont des fissures planes ou de forme quelconque. Ce travail rentre dans le cadre des travaux de thèse de Fabrice Delbary.

Cette thèse a été soutenue le 31 mai 2006 .

Un article en cours de rédaction consigne les résultats de la thèse sur les identifications de fissures planes avec prise en compte d'une condition d'impédance.

Dans le dernier chapitre de sa thèse F. Delbary a su combiner les méthodes type linear sampling avec les méthodes développées au LAMSIN : les méthodes de type écart à la réciprocité. La combinaison de ces deux méthodes permet de s' affranchir de la limitation majeure de la méthode type écart à la réciprocité, à savoir le caractère plan des fissures à identifier. Les premier résultats obtenus sont fort encourageants. Ce travail va être étendue dans le cadre du présent programme par F. Ben Hassan, A. Ben Abda et H. Haddar.

Etude théorique et numérique de la méthode du retournement temporel :

Il s'agit du travail de thèse de Ckhokri Ben Amar (LAMSIN) co-dirigé par N. Gmati ( LAMSIN) et Ch. Hazard (Poems).

Le retournement temporel trouve de nombreuses applications dans le domaine médical, on citera par exemple la détection et le traitement sans chirurgie des calculs rénaux. Le principe général du retournement temporel repose sur le principe qu'un signal acoustique émis par une source placée dans un milieu propagatif (non dissipatif) est enregistré par un réseau de transducteurs (émetteurs-récepteurs d'ondes acoustiques). Il est ensuite retourné selon la règle du premier arrivé – dernier reparti, puis réémis dans le même milieu.

Dans sa thèse, Chokri Ben Amar a réussi, dans un premier temps, à modéliser le processus de retournement temporel en régime harmonique, à faire des simulations numériques sur le modèle retenu et à conforter ses résultats par l'expérience physique.

Durant l'année 2006, C. Ben Amar a réussi à établir un lien entre le processus de type champ lointain en régime transitoire et celui en régime harmonique. Il a écrit le modèle « champ lointain » et a pu établir que l'opérateur de retournement temporel décrivant ce modèle transitoire est décomposalbe sur la famille d'opérateurs champs lointains en régime harmonique, c 'est à dire que l'action du processus de retournement temporel sur le signal émis localisé en temps (de spectre fréquentiel continu) s'effectue fréquence par fréquence.

c) Problème inverse en EEG-MEG ; collaboration Apics

La collaboration avec Apics est très ancienne, elle a donné lieu à une habilitation et deux thèses. Par ailleurs deux thèses et deux mémoires de Mastère sont également en cours. Enée prend en charge l'aspect identification de sources d'épilepsie de la collaboration avec Apics.

Dans le problème inverse d'électroencéphalographie, il s'agit de localiser, des foyers d'épilepsie ou des tumeurs dans le cerveau à partir de mesures effectuées sur le scalp. L'épilepsie est détectée par une activité électrique du cerveau modélisée par des dipôles électriques.

Le problème inverse consiste alors à identifier le second membre dans l'équation de conduction.

La présence des tumeurs  est, quant à elle, modélisée par des variations de conductivité.

Le problème inverse consiste alors à localiser les sources ou les inhomogénéités à partir de ces mesures de "frontière" surabondantes.

F. ben Hassen et J. Leblond ont pu établir que dans le cas de domaines tridimensionnels spheriques ou ellipsoidaux, le problèmes d'identification de sourses d'épilepsie est équivalent àune suite deproblèmes 2D et que chacun de ces problèmes consiste à retrouver les singularités (ou le spoints de branchement ) qu'une fonction holomorphe a sur le disque à partir de la connaissance de cette fonction sur le cercle ou l'ellipse frontière.

Par ailleurs l'activité Enée s'est également illustrée par la participation commune (impliquant les partenaires INRIA et Réseau TamTam) à divers colloques et workshop

-PICOF06

-AMINA (www.workshop-amina.org)

-Rencontre Marrakech : MARRAKESH WORLD CONFERENCE on DIFFERENTIAL EQUATIONS and APPLICATIONS (Marrakesh, June 15-20 2006)

-Rencontre Tlemcen (dans le cadre du projet 3+3 de Claude Lobry)

Rapport financier 2006

(*) Ajouter ou supprimer des lignes au tableau ci-dessus de façon à faire figurer tous les organismes ayant contribué au financement de l'équipe associée

Bilan des échanges effectués en 2006

1. Seniors

(1) DR / CR / professeur
(2) colloque, thèse, stage, visite....

2. Juniors

(1) post-doc / doctorant / stagiaire
(2) colloque, thèse, stage, visite....

III. PREVISIONS 2007

Programme de travail

L'objectif principal d'Enée est la formation de compétences en Mathématiques du vivant au sein du réseau TamTam. C'est ainsi que Enée accompagne deux projets de thèse et de Mastère ( La thèse de F. Jday co-dirigée par J. Henry et A. Ben Abda et le Mastère puis la thèse de Y. Boukari co-dirigée par F. Ben Hassen et H. Haddar).

Thèse F. Jday : L'objectif pour l'année 2007, est d'explorer la faisabilité de l'utilisation dans le cadre de la complétion de données de la technique de factorisation de probèmes aux limites. Cette méthode mise en place par J. Henry, en collaboration avec A. Ramos (Université de Madrid) permet d'obtenir une factorisation de problèmes aux limites elliptiques du second ordre en deux problèmes du premier ordre découplés, par plongement invariant relativement à une direction d'espace privilégiée. Cette action démarre par un séjour de deux mois de F. Jday à Bordeaux à la fin 2006.

Il s'agit, durant cette année, de s'approprier une culture contrôle et d'étudier le problème de la reconstruction de données lacunaires à la lumière des technique de factorisation d'opérateur.

Mastère Y. Boukari : L'objectif du stage (qui doit s'achever en mai 2006) est l'imagerie électrostatique via des applications conformes. Il s'agit, en s'appuyant sur les travaux de Kress, Haddar et Akduman d'étuider le cas des inclusions parfaitement isolantes. Les travaux su-cités prennent en charge le sinclusions parfaitement conductrice.

L'année 2007 voit la finalistation des travaux de thèse de C. Ben Amar ainsi que ceux de R. Mdimegh.

A. Ben Abda, F. Ben Hassan et H. Haddar s'interesseront au couplage de deux méthodes rapides d'identiciations de fissures impédantes : la Linear Sampling Method et l'Ecart à la Réciprocité. Ce travail est une extension des travaux de thèse de F. Delbary (soutenus en mai 2006).

Enée se propose également de soutenir fortement le semestre thématique «  Mathématiques dans les Sciences du vivant «  (adresse web)

Enée accueille à partir de 2007 la composante mathématique du vivant de l'équipe IMOGE du LAMSIN.

Cette équipe, pilotée par M. Moakher, s'intéresse à l'imagerie IRM du tenseur de diffusion (IRM-TD)

L'imagerie IRM du tenseur de diffusion (IRM-TD) est une technique relativement récente qui est utilisée dans le domaine médical et plus particulièrement dans l'imagerie du cerveau. Cette technique d'image permet de mesurer la diffusivité des molécules d'eau présentes dans les tissus biologiques. Elle est utilisée pour l'étude de la structure interne de la matière blanche du cerveau. En effet, le cerveau est composé de matière grise et du liquide encéphalo-rachidien qui se charactérisent par une diffusion isotrope, et de la matière blanche constituée de longues fibres reliant les différentes rentes zones entres elles et dont la diffusion est plus importante dans la direction des fibres que dans les directions transversales. En suivant les lignes de forte diffusion, on établit les connexions existant entre les différentes zones cérébrales.

Les images IRM-TD sont éstimées à partir d'une série d'acquisitions par résonance magnétique avec des gradients de champs magnétiques de différentes magnitudes et orientations. Ce qui permet de définir pour chaque pixel un tenseur de diffusion, i.e., une matrice symétrique définie positive d'ordre 3. Généralement, le champ de tenseurs de diffusion obtenu contient une quantité non négligeable de bruit. Il est donc nécessaire d'enlever ou de réduire le bruit avant l'exploitation du champ de tenseurs pour les études de tractographie. La particularité de ce champ de tenseur est qu'il est à valeurs dans une variété différentielle.

Les méthodes classiques de débruitage ne tiennent pas compte des contraintes de positivité et donc ne sont pas appropriées. M. Moakher a  développé tout un cadre Riemannien pour le traitement des données IRM-TD comme le moyennage, l'interpolation et la régularisation. Ce cadre a ouvert de nouvelles pistes pour le traitement de données IRM-TD que seront explorées dans le cadre de Enée.

Une thèse, celle de M. Zarai vient de démarrer sur ce sujet.

Par ailleurs, avec l'accord du responsable de la zone Afrique à la DREI, on envisage l'extension  de l'équipe au laboratoire du Pr Somé à Ouagadougou (LANIBIO). Concrètement M. Zongo qui démarre une thèse sur la modélisation du palud viendra faire un stage à Bordeaux, dans le cadre d'Enée, pour permettre d'envisager un co-encadrement.

Budget prévisionnel 2007

1. Co-financement

- Cette coopération bénéficie-t-elle déjà d'un soutien financier de la part de l'INRIA, de l'organisme étranger partenaire ou d'un organisme tiers (projet européen, NSF, ...) ?
- Dans le cas où votre proposition serait retenue, vous parait-il probable d'obtenir de l'organisme étranger partenaire un soutien financier symétrique ?

2. Echanges

Accueil en France de F. Jday, P. Zongo, Zarai, Mdimegh, Boukari, Benosman qui sont au niveau thèse et de Ben Hassen, post doc. On prévoit six voyages au maghreb de chercheurs d'Anubis, un de Poems et un de Apics. On prévoit aussi d'accueillir dans les différentes équipes INRIA six visiteurs seniors tunisiens et deux mois de séjour.

Remarques ou observations :