Classes logarithmiques et capitulation^{∗}

par

Jean-François Jaulent

Résumé. Nous étudions un analogue logarithmique du Théorème d’Artin-Furtwängler sur la capitulation en transposant dans le cadre des classes logarithmiques les arguments mis en œuvre dans la preuve algébrique classique du Théorème de l’idéal principal. Abstract. We study a logarithmic version of the classical result of Artin-Furwängler on principalization of ideal classes in the Hilbert class-field by applying the group theoretic description of the transfert map to logarithmic class-groups of degree 0.

1. Introduction

Le célèbre Théorème d’Artin-Furwängler (cf. [2, 4, 3]) affirme que le groupe des classes d’idéaux Cl_{K} d’un corps de nombres K capitule dans son corps des classes de Hilbert L = H_{K} ; en d’autres termes que les idéaux de K se principalisent dans son extension abélienne non ramifiée maximale L.

Et, comme l’extension des classes d’idéaux est injective pour les ℓ-parties dans une extension de degré étranger à ℓ, cela revient à dire que, pour tout nombre premier ℓ, le ℓ-sous-groupe de Sylow du groupe des classes d’idéaux d’un corps de nombres capitule dans le ℓ-corps des classes de Hilbert de ce corps i.e. dans sa ℓ-extension abélienne non ramifiée maximale.

La preuve du Théorème d’Artin-Furwängler repose sur deux éléments, le premier de nature arithmétique, le second purement algébrique : d’une part, la Théorie du corps de classes interprète le groupe de classes d’idéaux Cl_{K} comme groupe de Galois G_{K} de l’extension abélienne H_{K}/K, l’homomorphisme d’extension j_{L/K} : Cl_{K} → Cl_{L} correspondant dans cette description au morphisme de transfert Ver_{L/K} : G_{K} → G_{L}; d’autre part, des considérations de théorie des groupes montrent alors que le transfert est nul dans la situation étudiée :

K L = H_{K} G_{K} = G/G′  H_{L} G_{L} = G′ G = Gal(H_{L}/K)

∗Functiones et Approximatio 54 (2016), 227–239.

Comme noté dans [7], ce résultat s’étend à diverses situations arithmétiques, notamment aux groupes de classes de rayons, qui conduisent à des situations formellement comparables. Il était donc tentant d’essayer de le transposer à des groupes de classes présentant des analogies remarquables avec les objets précédents.

Il est ainsi défini dans [9], pour chaque nombre premier ℓ et tout corps de nombres K, un groupe de classes logarithmiques noté Cℓ_{K}, obtenu en remplaçant les valuations ordinaires ν_{𝔭} attachées à chaque place finie 𝔭 de K par leurs analogues formels ν̃_{𝔭} définis à partir du logarithme ℓ-adique de la valeur absolue ℓ-adique attachée à la place 𝔭. La Théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. [10, 5]) interprète alors le groupe de classes Cℓ_{K} comme groupe de Galois de la pro-ℓ-extension abélienne localement cyclotomique maximale K^{lc} du corps K.

Mais une première difficulté apparaît alors : la pro-ℓ-extension abélienne K^{lc} contient évidemment la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c} de K, de sorte que le groupe Cℓ_{K} ≃ Gal(K^{lc}/K) n’est jamais fini. Pour obtenir un groupe fini, il est ainsi nécessaire de se restreindre au sous-groupe des classes logarithmiques de degré nul C̃ℓ_{K} ≃ Gal(K^{lc}/K^{c}). Et la conjecture de Gross-Kuz’min, souvent appelée conjecture de Gross généralisée (cf. [8, 9, 10, 12])– affirme que cette restriction nécessaire est aussi suffisante, i.e. que le groupe obtenu C̃ℓ_{K} est effectivement un ℓ-groupe fini.

Lorsqu’elle est satisfaite, l’extension localement cyclotomique K^{lc} provient alors, par composition avec K^{c}, d’une extension abélienne L de K (que l’on peut supposer linéairement disjointe de K^{c}) et il est naturel d’introduire la proℓ-extension abélienne localement cyclotomique maximale L^{lc} du corps L et de considérer le morphisme d’extension j̃_{L/K} : C̃ℓ_{K} → Cℓ_{L}. Dans le schéma obtenu cependant arrive une deuxième difficulté :

K K^{c}  L Γ  K^{lc} = L^{c}  L^{lc} G^{C̃ℓ^{K}}  ^{C̃ℓ^{L}}

le sous-corps K^{lc} = L^{c} de L^{lc} n’est plus alors le sous-corps maximal de L^{lc} qui est abélien sur K^{c}, mais celui qui est abélien sur K; de sorte qu’on ne peut plus écrire comme plus haut C̃ℓ_{L} ≃ G′ et C̃ℓ_{K} ≃ G/G′ avec G = Gal(L^{lc}/K^{c}), mais qu’il nous faut prendre en compte aussi l’action du groupe procyclique Γ = Gal(K^{c}/K).

Le but de cette note est d’étudier la transposition dans ce contexte logarithmique des résultats classiques d’Artin-Furtwängler et de Tannaka-Terada sur la capitulation dans le corps des classes de Hilbert ou dans le corps des genres relatif à une extension cyclique non ramifiée (devenant ici procyclique).

2. Bref rappel sur les classes logarithmiques

Classiquement, le groupe des classes d’idéaux d’un corps de nombres K est défini comme conoyau Cl_{K} du morphisme naturel partant du groupe multiplicatif K^{×} à valeurs dans le groupe des idéaux Id_{K} donné par la famille des valuations ν = (ν_{𝔭})_{𝔭∈P l_{K}} attachées aux places finies de K.

1 → E_{K} → K^{×} ⟶^{ν} Id_{K} → Cl_{K} → 1.

Par produit tensoriel avec ℤ_{ℓ}, son ℓ-sous-groupe de Sylow apparaît comme conoyau du morphisme ν étendu au tensorisé R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} et à valeurs dans le ℤ_{ℓ}-module libre construit sur ces mêmes places : Dℓ = ⊕_{𝔭∈P l_{K}} ℤ_{ℓ}𝔭.

Le groupe des classes logarithmiques est le groupe analogue Cℓ_{K} obtenu en remplaçant les valuations classiques ν_{𝔭} par leurs homologues ℓ-adiques ν̃_{𝔭} définis à partir des logarithmes des valeurs absolues ℓ-adiques (cf. [9]) :

1 → E_{K} → R_{K} \underrightarrow{ν̃} Dℓ_{K} → Cℓ_{K} → 1.

Contrairement au groupe de classes d’idéaux, c’est donc un objet ℓ-adique.

Pour chaque place finie 𝔭 de K, soit R_{𝔭} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{n}} le compactifié ℓ-adique du groupe K_{𝔭}^{×} et J_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{𝔭} le ℓ-adifié du groupe des idèles de K.

Du point de vue local, le noyau U_{𝔭} de ν_{𝔭} dans R_{𝔭} (autrement dit le sousgroupe des unités de R_{𝔭}) est le groupe de normes associé à la ℤ_{ℓ}-extension non ramifiée de K_{𝔭}; tandis que le noyau Ũ_{𝔭} de ν̃_{𝔭} (i.e. le sous-groupe des unités logarithmiques) correspond, lui, à sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique. Par la Théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. [5, 9, 10]), le ℓ-goupe des classes d’idéaux s’interprète comme groupe de Galois de la ℓ-extension abélienne non ramifiée maximale K^{nr} de K; et le ℓ-groupe des classes logarithmiques Cℓ_{K} ≃ J_{K}/ ∏_{𝔭} Ũ_{𝔭}R_{K} comme groupe de Galois de sa pro-ℓ-extension abélienne localement cyclotomique maximale K^{lc}. Le corps K^{lc} est ainsi la plus grande pro-ℓ-extension abélienne de K qui est complètement décomposée au-dessus de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c}. En particulier K^{lc} contient K^{c} et Cℓ_{K} n’est jamais fini.

La surjection canonique du ℓ-adifié J_{K} du groupe des idèles de K dans le groupe procycliqe Gal(K^{c}/K) ≃ ℤ_{ℓ} fournit cependant un morphisme degré :

deg : J_{K} → ℤ_{ℓ};

dont le noyau J̃_{K} est, par construction, le sous-groupe normique de J_{K} attaché à K^{c}. Le noyau

C̃ℓ_{K} ≃ J̃_{K}/ ∏_{𝔭} Ũ_{𝔭}R_{K} ≃ Gal(K^{lc}/K^{c})

de l’application induite sur Cℓ_{K} est ainsi le groupe des classes logarithmiques de degré nul, qui est l’objet de cette note.

La Conjecture de Gross-Kuz’min (pour le corps K et le premier ℓ) postule précisément la finitude de ce groupe. Comme expliqué dans [8], c’est une conséquence d’une conjecture plus générale d’indépendance ℓ-adique de nombres algébriques, qui résulte elle-même de la conjecture de Schanuel ℓ-adique.

Comme établi par Greenberg, le résultat de transcendance de Baker-Brumer (cf. e.g. [5, 6, 8]) assurent que la conjecture de Gross-Kuz’min vaut en particulier dès que le corps considéré K est abélien sur ℚ. La même conclusion vaut encore sous des hypothèses plus larges, lorsque K est totalement réel, en vertu d’un raffinement du théorème de Baker-Brumer dû à M. Waldschmidt et précisé par M. Laurent puis D. Roy (cf. [11]). Le cas général reste actuellement ouvert.

3. Le schéma galoisien de la capitulation

Partons donc d’un corps de nombre arbitraire, vérifiant la conjecture de Gross-Kuz’min pour un premier donné ℓ. Notons K^{c} sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K et K^{lc} la pro-ℓ-extension abélienne localement cyclotomique de K. Comme expliqué plus haut, le groupe Gal(K^{lc}/K) s’identifie alors au pro-ℓ-groupe des classes logarithmiques Cℓ_{K} de K et le sous-groupe Gal(K^{lc}/K^{c}) au ℓ-groupe C̃ℓ_{K} des classes logarithmiques de degré nul.

Soit maintenant L une ℓ-extension abélienne de K telle qu’on ait LK^{c} = K^{lc} et C̃ℓ_{L} son (pro)-ℓ-groupe des classes logarithmiques de degré nul. Il s’agit de voir que C̃ℓ_{K} capitule dans C̃ℓ_{L}. Quitte à remplacer L par un sous-corps convenable L′, nous pouvons supposer L/K linéairement disjointe de K^{c}/K sans restreindre aucunement la généralité de notre preuve, puisque la capitulation dans C̃ℓ_{L′} entraînera la capitulation dans C̃ℓ_{L}.

Cela fait, introduisons la pro-ℓ-extension abélienne localement cyclotomique maximale L^{lc} de L et notons G le groupe de Galois Gal(L/K). Le corps L^{lc} est lui-même une pro-ℓ-extension de K; soit donc U = Gal(L^{lc}/K) son groupe de Galois et A le sous-groupe Gal(L^{lc}/L), qui s’identfie au pro-ℓ-groupe des classes logarithmiques Cℓ_{L}. Les sous-groupes de degré nul respectifs de U et de A (i.e. les noyaux des morphismes de restriction à K^{c}) sont respectivement Ũ = Gal(L^{lc}/K^{c}) et Ã = Gal(L^{lc}/L^{c}) ≃ C̃ℓ_{L}; et Ã est aussi le sous-groupe dérivé de U, puisque L^{c} = LK^{c} est, par construction la sous-extension maximale de L^{lc} qui est abélienne sur K. L’ensemble de cette discussion peut donc se résumer par le schéma de corps :

K K^{c}  L G Γ  Γ K^{lc} = L^{c}  L^{lc} Ũ  Ã = U′^{C̃ℓ^{K}}  ^{C̃ℓ^{L}}A U

Maintenant, dans le formalisme du corps de classes, l’extension des idèles (côté arithmétique) correspond au transfert (côté théorie des groupes) ; de sorte que pour montrer que C̃ℓ_{K} capitule dans C̃ℓ_{L}, il s’agit de vérifier que le transfert

Ver_{U/A} : U/U′ → A

envoie le sous-groupe Ũ/U′ de degré nul de U/U′ sur le sous-groupe nul de Ã.

Il est classique de partir pour cela de l’isomorphisme G = U/A ≃ Ũ/Ã en faisant choix de représentants des classes de G formé d’éléments de Ũ, disons (u_{τ})_{τ∈G} (avec la convention u_{τ^{−1}} = u_{τ}^{−1}) et d’introduire le système de facteurs

a_{σ,τ} = u_{σ}u_{τ} u_{στ}^{−1} ∈ Ã

dont la classe dans H^{2}(G, A) définit la loi sur U à isomorphisme près.

4. Interprétation en termes d’algèbre linéaire

En analogie avec le cas classique, nous pouvons alors constuire un ℤ_{ℓ}-module résolvant B en formant la somme directe :

B = A ⊕ I_{G} = A ⊕ ( ⊕_{τ≠1}ℤ_{ℓ}(τ − 1)),

munie de l’action de G définie par :

σ ∗ a = a^{σ} & σ ∗ (τ − 1) = a_{σ,τ} + σ(τ − 1).

Suivant Artin-Tate (cf. [3], Ch. 13, §4), nous avons un diagramme commutatif :

[figure: Cℓ_{K}; ∼; j_{L/K}; U/U′; ∼; _{Ver_{U/A}}; B/I_{G} ∗ B; _{Tr_{B/A}}; Cℓ_{L}; ∼; A; A]

où l’isomorphime en haut à droite est donné par le logarithme :

au_{τ} U′ ↦ a + (τ − 1) + I_{G} ∗ B;

de sorte que l’homomorphisme d’extension j_{L/K} à gauche correspond au morphisme de transfert Ver_{U/A} au centre et à la trace Tr_{B/A} = ∑_{τ∈G} τ à droite.

Comme indiqué dans l’introduction, nous sommes intéressés par la restriction de j_{L/K} au sous-groupe des classes logarithmiques de degré nul. Définissons donc le degré d’un élément b = a + ∑ λ_{τ} (τ − 1) de B par la formule : deg b = deg a. Le sous-module des éléments de degré nul dans B est alors :

B̃ = Ã ⊕ I_{G} = Ã ⊕ ( ⊕_{τ≠1}ℤ_{ℓ}(τ − 1)).

Observons que B̃ contient I_{G} ∗B; et que le quotient B̃/I_{G} ∗B est encore l’image par le logarithme du sous-groupe Ũ/U′ des éléments de degré nul du quotient U/U′; ce que nous pouvons résumer par le diagramme commutatif :

[figure: C̃ℓ_{K}; ∼; j_{L/K}; Ũ/U′; ∼; _{Ver_{U/A}}; B̃/I_{G} ∗ B; _{Tr_{B/A}}; _{C̃ℓ_{L}}; ∼; Ã; Ã]

En fin de compte, montrer que les classes logarithmiques de degré nul du corps K capitulent dans L revient à vérifier que pour B = A ⊕ I_{G}, muni de l’action de G définie plus haut, l’opérateur trace Tr_{B/A} = ∑_{τ∈G} τ est nul sur le sous-module B̃ = Ã ⊕ I_{G}.

Avant d’aller plus loin, il peut être intéressant de préciser le dénominateur I_{G} ∗B qui intervient dans le quotient à droite du diagramme : l’isomomorphisme canonique de ℤ_{ℓ}[G]-modules B/A ≃ I_{G} nous donne l’inclusion : I_{G} ∗B ⊂ A⊕I_{G}^{2}.

Pour établir l’égalité, il suffit par conséquent de comparer les deux indices (B̃ : I_{G} ∗ B) et (B̃ : Ã ⊕ I_{G}^{2}). Or, nous avons :

— d’un côté B̃/I_{G} ∗ B ≃ Ũ/U′ ≃ C̃ℓ_{K} ≃ G, conformément au diagramme ;

— et directement : B̃/(Ã ⊕ I_{G}^{2}) = (Ã ⊕ I_{G})/(Ã ⊕ I_{G}^{2}) ≃ I_{G}/I_{G}^{2} ≃ G; d’où l’égalité annoncée :

I_{G} ∗ B = Ã ⊕ I_{G}^{2}.

5. Approche par la méthode d’Artin-Furtwängler

La méthode classique, telle qu’exposée dans [3], consiste à écrire le ℓ-groupe G comme produit direct de s sous-groupes cycliques ⟨τ_{i}⟩ d’ordres respectifs e_{i}; et à considérer les éléments b_{i} = τ_{i} − 1 de B̃ pour i = 1, ⋯, s.

Dans le cas classique le module résolvant B est engendré par les (b_{i})_{i}; dans le cadre logarithmique qui nous intéresse ici, c’est plus compliqué, du fait qu’il nous faut considérer le sous-module B̃ des éléments de degré nul.

Relevons Γ = Gal(K^{c}/K) dans U = Gal(L^{lc}/K en faisant choix d’un prolongement γ à L^{lc} d’un progénérateur arbitraire de Γ. L’isomorphisme

B/I_{G} ∗ B ≃ U/U′ ≃ Γ × G

montre que B est engendré, comme ℤ_{ℓ}[G]-module, conjointement par γ et les (b_{i})_{i}. Et les identités e_{j}b_{i} ∈ I_{G} ∗ B s’écrivent ainsi :

e_{i}b_{i} = ∑_{j=1}^{s} λ_{ij} ∗ b_{j} + μ_{i} ∗ γ

avec les λ_{ij} et les μ_{i} dans I_{G}. Notant alors M la matrice de terme général m_{ij} = e_{i}δ_{ij} − λ_{ij}, nous obtenons :

M ∗ [ b_{1} ; ⋮ ; b_{s} ] = [ μ_{1} ; ⋮ ; μ_{s} ] ∗ γ ;

puis, par multiplication à gauche par la transcomatrice M̃ de M :

det M ∗ [ b_{1} ; ⋮ ; b_{s} ] = M̃M ∗ [ b_{1} ; ⋮ ; b_{s} ] = M̃[ μ_{1} ; ⋮ ; μ_{s} ] ∗ γ = [ ν_{1} ; ⋮ ; ν_{s} ] ∗ γ

c’est-à-dire : det M ∗ b_{i} = ν_{i} ∗ γ pour un ν_{i} de I_{G}, pour chaque i = 1, ⋯, s.

L’isomorphisme B̃/Ã ≃ I_{G} montre alors que det M ∈ ℤ_{ℓ}[G] est un multiple de la trace, disons : det M = κ Tr_{B/A}, pour un κ dans ℤ_{ℓ}. Et un calcul de degré dans l’algèbre de groupe donne alors directement : deg(det M) = det([deg(m_{ij})]_{ij}) = det([e_{i}δ_{ij}]_{ij}) = ∏ e_{i} = | G | = deg Tr_{B/A}; d’où, comme attendu : det M = Tr_{B/A} et finalement l’inclusion :

Tr_{B/A}(B̃) ⊂ I_{G} ∗ γ

puisque B̃ est ℤ_{ℓ}[G]-engendré par les b_{i} (pour i = 1, …, s) et I_{G} ∗ γ; de sorte que Tr_{B/A}(B̃) est engendré par les Tr_{B/A}(b_{i}) pour i = 1, …, s. Ainsi :

Proposition 1. Avec les notations ci-dessus, l’image dans Cℓ_{L} du sous-groupe des classes logarithmiques de degré nul C̃ℓ_{K} s’identifie au sous-module Tr_{B/A}(B̃) du ℤ_{ℓ}[G]-module I_{G} ∗ γ construit sur un relèvement du groupe procyclique Γ.

Remarque. La méthode ne donne donc pas la trivialité du groupe Tr_{B/A}(B̃), comme dans le cas classique, mais seulement une inclusion.

6. Interprétation en termes de théorie des genres

Pour aller plus loin dans la description de la capitulation logarithmique, nous pouvons nous inspirer des méthodes initiées par T. Tannaka et F. Terada pour généraliser le Théorème de l’idéal principal dans le contexte de la théorie cyclique des genres (cf. [13, 14, 15, 16]).

Introduisons le sous-corps L_{K^{c}}^{lc} de L^{lc} fixé par le sous-groupe dérivé Ũ′ de Ũ = Gal(L^{lc}/K^{c}). Par construction L_{K^{c}}^{lc}/K^{c} est la plus grande sous-extension de L^{lc}/K^{c} qui est abélienne sur K^{c} et nous avons : Gal(L_{K^{c}}^{lc}/L^{c}) ≃ Ã/Ũ′. Cela étant, L^{c}, qui est la plus grande sous-extension de L_{K^{c}}^{lc}/K^{c} qui provient par composition avec K^{c} d’une extension abélienne de K, est donc le corps des genres de L_{K^{c}}^{lc} relativement à l’extension procyclique K^{c}/K; en particulier Gal(L^{c}/K^{c}) est le plus grand quotient de Ũ/Ũ′ = Gal(L_{K^{c}}^{lc}/K^{c}) sur lequel Γ = Gal(K^{c}/K) opère trivialement ; et nous avons donc : Gal(L_{K^{c}}^{lc}/L^{c}) ≃ (Ũ/Ũ′)^{ω}; d’où, finalement :

Ã/Ũ′ = (Ũ/Ũ′)^{(γ−1)},

si γ désigne un relèvement arbitraire dans A = Gal(L^{lc}/K) d’un générateur topologique de Γ. Et l’ensemble de cette discussion peut être résumé par le schéma de corps :

K K^{c}  L G Γ  K^{lc} = L^{c}  L_{K^{c}}^{lc}  L^{lc} Ũ  Ã = U′ Ũ/Ã  Ã/Ũ′ = (Ũ/Ũ′)^{ω}  Ũ′ A U

où nous avons noté ω = γ − 1.

Précisons quelques points. Comme Γ ≃ γ^{ℤ_{ℓ}} opère trivialement sur le quotient U/A ≃ G, nous pouvons écrire :

u_{τ}^{γ} = γu_{τ} γ^{−1} = a_{τ} u_{τ}

pour tout τ ∈ G, avec

a_{τ} = u_{τ}^{γ}u_{τ}^{−1} = [γ, u_{τ}] = γ^{1−τ} ;

Convenons de noter Ũ^{ω} le sous-groupe de Ã qui est engendré par les a_{τ} lorsque τ décrit G. Cela étant, nous avons :

Lemme 2. Avec ces conventions, il vient : Ã = Ũ′Ũ^{ω}.

Preuve. C’est une conséquence immédiate de l’égalité Ã/Ũ′ = (Ũ/Ũ′)^{(ω)} donnée par la théorie des genres.

7. Approche par la méthode de Tannaka-Terada

Revenons maintenant sur le module résolvant B. Rappelons que nous avons fait choix d’un relèvement γ dans A = Gal(L^{lc}/L) d’un générateur topologique de Γ, ce qui nous a permis de définir les éléments a_{τ} pour τ ∈ G. En termes d’algèbre linéaire, i.e. en notations additives, il vient ainsi :

a_{τ} = u_{τ}^{γ}u_{τ}^{−1} = [γ, u_{τ}] = γ^{1−τ} = (1 − τ) ∗ γ ∈ I_{G} ∗ γ ⊂ Ã;

et nous pouvons transporter l’action de Γ sur U au module B en posant :

γ ∗ (τ − 1) = a_{τ} + (τ − 1).

En particulier B peut ainsi être regardé comme un module sur l’algèbre Λ[G] construite sur l’algèbre d’Iwasawa Λ = ℤ_{ℓ}[[ω]] en l’indéterminée ω = γ − 1. De fait l’identité ci-dessus donne immédiatement :

ω^{2} ∗ (τ − 1) = ω ∗ a_{τ} = 0,

de sorte que B est annulé par ω^{2}. Plus précisément :

Lemme 3. Avec les conventions précédentes, on a : ω ∗ B̃ = Ũ^{ω} = I_{G} ∗ γ. Et B̃ est Λ[G]-engendré par les éléments b_{i} = τ_{i} − 1, pour i = 1, …, s.

Preuve. Il vient, effet :

ω ∗ B̃ = ω ∗ (Ã ⊕ I_{G}) = ω ∗ I_{G} = ∑_{τ∈G}ℤ_{ℓ} ω ∗ (τ − 1) = ∑_{τ∈G}ℤ_{ℓ} a_{τ} = Ũ^{ω};

d’où, par passage au quotient à partir de l’isomorphisme : B̃/I_{G} ∗ B̃ ≃ Ũ/Ũ′ :

B̃/(I_{G} ∗ B̃ + ω ∗ B̃) ≃ Ũ/Ũ′Ũ^{ω} = Ũ/Ã ≃ G;

de sorte que B̃, regardé comme Λ[G]-module, est engendré par les s éléments b_{i} = τ_{i} − 1 construits sur un système minimal de générateurs de G.

Ce point acquis, les identités e_{j}b_{i} ∈ I_{G} ∗ B + ω ∗ B̃ s’écrivent :

e_{i}b_{i} = ∑_{j=1}^{s} μ_{ij} ∗ b_{j} + ω ∗ ∑_{j=1}^{s} ν_{ij} ∗ b_{j}

avec les μ_{ij} dans I_{G} et les ν_{ij} dans ℤ_{ℓ}[G]. Notant alors M la matrice de terme général m_{ij} = e_{i}δ_{ij} − λ_{ij} et N celle de terme général ν_{ij}, nous obtenons :

[M − ωN] ∗ [ b_{1} ; ⋮ ; b_{s} ] = [ 0 ⋮ 0 ] ; donc : det[M − ωN] ∗ B̃ = 0.

Un calcul modulo Ã montre alors, comme précédemment, que le déterminant de la matrice M coïncide avec la trace Tr_{B/A}, de sorte que le déterminant d = det[M − ωN] (calculé modulo ω^{2}) est de la forme :

d = Tr_{B/A} −ωδ

pour un certain δ ∈ ℤ_{ℓ}[G]. En particulier :

Proposition 4. Comme opérateur sur B̃, la trace s’écrit : Tr_{B/A} = ωδ; et il suit :

Tr_{B/A}(B̃) = δω ∗ B̃ = δI_{G} ∗ γ.

8. Capitulation des classes invariantes

La Proposition 4 ci-dessus précise naturellement l résultat obtenu à la fin de la section 5 par le procédé d’Artin-Furtwängler, puisqu’elle décrit précisément le sous-module image Tr_{B/A}(B̃) des classes logarithmique étendues ; mais elle ne donne pas d’information directe sur le sous-groupe de C̃ℓ_{K} qui capitule dans C̃ℓ_{L}. Nous allons voir que la méthode de Tannaka-Terada donne cependant des éléments de réponse :

Théorème 5. Le noyau de la trace Tr_{B/A} regardé dans le quotient B̃/I_{G} ∗ B̃ contient le sous-groupe ambige (B̃/I_{G} ∗ B̃)^{Γ} = ^{−1}ω(I_{G} ∗ B̃)/I_{G} ∗ B̃.

En d’autres termes, on a l’implication :

ω(b̃) ∈ I_{G} ∗ B̃ ⇒ Tr_{B/A}(b̃) = 0.

Remarque. Le quotient B̃/I_{G}∗B̃ ≃ Ũ/Ũ′ est annulé par ω^{2}. Le théorème affirme seulement que le sous-groupe annulé par ω est contenu dans le noyau de Tr_{B/A}.

Preuve. Le noyau Ã ∩ I_{G} ∗ B̃ du morphisme naturel A → B̃/I_{G} ∗ B̃ ≃ Ũ/Ũ′ étant Ũ′, nous avons Ã ∩ I_{G} ∗ B̃ = Ũ′, donc :

ωB̃ ∩ I_{G} ∗ B̃ = ωB̃ ∩ Ã ∩ I_{G} ∗ B̃ = Ũ^{ω} ∩ Ũ′.

Et le Théorème sera établi si nous montrons que l’opérateur δ est nul sur Ũ′.

Observons pour cela que le groupe Ũ est engendré par Ã et les (u_{τ})_{τ∈G}; de sorte que son sous-groupe dérivé Ũ′, lui, est engendré conjointement

— par les commutateurs [a, u_{τ}] = a^{(1−τ)} avec a ∈ Ã et τ ∈ G et

— par les [u_{σ}, u_{τ}], lorsque σ et τ parcourent un système générateur de G. Introduisons le sous-module ∂B̃ de B̃ qui est engendré par les commutateurs : [b_{i}, b_{j}] = b_{i} ∗ b_{j} − b_{j} ∗ b_{i} = (τ_{i} − 1)∗(τ_{j} − 1)−(τ_{j} − 1)∗(τ_{i} − 1) = a_{τ_{i},τ_{j}} − a_{τ_{j},τ_{i}}.

Traduites en notations additives, les observations précédentes nous donnent l’identité :

Ũ′ = I_{G} ∗ A + ∂B̃.

Supposons établie la trivialité de δ sur le sous-module ∂B̃. Il vient alors :

δ ∗ Ũ′ = δ ∗ I_{G} ∗ Ã = δI_{G} ∗ (Ũ′ + ω ∗ B̃) = I_{G} ∗ (δ ∗ Ũ′) ;

d’où :

δ ∗ Ũ′ = 0,

ce qui est précisément le résultat attendu. Ainsi, le Théorème résulte du :

Lemme 6 (Lemme d’Adachi). L’opérateur δ est nul sur le sous-module ∂B̃.

Preuve. Il s’agit de vérifier que l’on a : δb_{i} ∗ b_{j} = δb_{j} ∗ b_{i}, pour tout (i, j) ; ce qui se fait en transposant mutatis mutandis dans le cadre procyclique considéré ici les calculs de déterminants effectués par N. Adachi dans son rapport sur le Théorème de l’idéal principal [1] consacré au Théorème de Tannaka-Terada.

Remarque. Le quotient B̃/I_{G}∗B̃ ≃ Ũ/Ũ′ étant réputé fini, le noyau de ω regardé comme endomorphisme de B̃/I_{G}∗B̃, a même ordre que son conoyau. On a donc :

(^{−1}ω(I_{G} ∗ B̃) : I_{G} ∗ B̃) = (Ũ : Ũ′Ũ^{ω}) = (Ũ : Ã) = |G|.

Et le noyau de capitulation est au moins d’ordre |G| = | C̃ℓ_{K}| (mais dans Ũ/Ũ′).

9. Conclusion

Contrairement à ce qui se produit pour les ℓ-groupes de classes au sens habituel, on voit que les méthodes classiques, même très élaborées, ne permettent pas de conclure dans le cadre logarithmique à un analogue complet du résultat d’Artin-Furtwängler, puisque la capitulation y apparait comme un sous-groupe éventuellment strict du groupe des classes total.

De fait cette observation, a priori décevante, se trouve confirmée par l’expérimentation numérique. Donnons un contre-exemple simple qui ruine clairement tout espoir de transposer naïvement dans le cadre logarithmique le classique théorème 94 de Hilbert sur la capitulation :

Scolie 7. Pour ℓ = 3, il existe des corps quadratiques imaginaires K dont le 3-groupe des classes logarithmiques de degré nul est cyclique d’ordre 3 et qui possèdent une extension cyclique L de degré [L : K] = 3 logarithmiquement non ramifiée pour lesquelles l’homomorphisme j_{L/K} : C̃ℓ_{K} → C̃ℓ_{L} est injectif.

Preuve. Sous la conjecture de Gross-Kuz’min (et donc en pratique dans tous les exemples numériques étudiés), le quotient de Herbrand q(G, Ẽ_{L}) attaché aux unités logarithmiques dans une extension cyclique L/K vaut 1, en vertu de l’expression du caractère du ℤ_{ℓ}[G]-module Ẽ_{L} donnée dans [9]. En particulier, dès que le groupe H^{2}(G, Ẽ_{L}) est trivial, il en est dès lors de même du groupe H^{1}(G, Ẽ_{L}) qui s’identifie précisément à la capitulation logarithmique Ker j_{L/K}.

Les calculs numériques effectués par Karim Belabas avec pari, montrent que c’est, par exemple, le cas pour K = ℚ[\sqrt{−31}] et L = K[x], où x est racine du polynôme X^{3} + 3X + (θ + 9)/2 avec θ^{2} = −31.

On voit par là une différence essentielle d’avec le cas des groupes de classes au sens habituel : pour les unités au sens ordinaire, le quotient de Herbrand q(G, E_{L}) relatif à une extension cyclique de corps de nombres L/K n’est jamais trivial ; il est égal au degré [L : K] de l’extension, de sorte que le premier groupe de cohomologie H^{1}(G, E_{L}), qui mesure précisément la capitulation dès lors que l’extension considérée L/K est non ramifiée, n’est pas trivial non plus. Et c’est la clef du théorème 94. Dans le cadre logarithmique en revanche, la trivialité du quotient de Herbrand interdit toute minoration de la capitulation ; ce que confirme le calcul.

A contrario, le même argument fournit une majoration de la capitulation logarithmique meilleure que celle que l’on a dans le cas classique :

Proposition 8. Soient L/K une ℓ-extension cyclique de corps de nombres logarithmiquement non ramifiée et G son groupe de Galois. Sous la conjecture de Gross-Kuz’min, l’ordre du sous-groupe des classes logarithmiques de K qui capitulent dans L satisfait la majoration :

|C̃ap_{L/K}| = |H^{1}(G, Ẽ_{L})| = |H^{2}(G, Ẽ_{L})| ≤ (r_{K} + c_{K} + δ_{K})^{[L:K]},

où r_{K} et c_{K} représentent les nombres de places réelles et complexes du corps K et δ_{K} vaut 0 ou 1 suivant que K contient ou pas les racines ℓ-ièmes de l’unité.

Preuve. Le groupe Ẽ_{K} des unités logarithmiques de K est alors, en effet, le produit du sous-groupe μ_{K} des racines d’ordre ℓ-primaire de l’unité contenues dans K et d’un ℤ_{ℓ}-module libre de dimension r_{K} + c_{K} (cf. [9], §3).

Références

[1] N. Adachi, Reports on principal ideal theorems, Mem. School Sci. Engin., Waseda Univ. 37 (1973), 81–90.

[2] E. Artin, Idealklassen in Oberkörpern und allgemeine Rezprozitätsgesetz, Abh. Math. Sem. Hamburg 7 (1930), 46–51.

[3] E. Artin & J. Tate Class Field Theory, Addison-Wesley (1968).

[4] P. Furtwängler, Beweis des Hauptidealsatzes für die Klassenkörper algebraischer Zahlkörper, Abh. Math. Sem. Hamburg 7 (1930), 14–36.

[5] G. Gras, Class Field Theory : From Theory To Practice, Springer-Verlag, 2003.

[6] R. Greenberg, On a certain ℓ-adic representation, Inv. Math. 21 (1973) 117–124.

[7] J. Herbrand, Sur les théorèmes du genre principal et des idéaux principaux, Abh. Math. Sem. Hamburg 9 (1932), 84–92.

[8] J.-F. Jaulent, Sur l’indépendance ℓ-adique de nombres algébriques, J. Numb. Th. 20 (1985), 149–158 .

[9] J.-F Jaulent, Classes logarithmiques des corps de nombres, J. Théor. Nombres Bordeaux 10 (1994), 301–325.

[10] J.-F. Jaulent, Théorie ℓ-adique globale du corps de classes, J. Théor. Nombres Bordeaux 10 (1998), 355–397.

[11] J.-F. Jaulent, Classes logarithmiques des corps totalement réels, Acta Arithmetica 103 (2002), 1–7.

[12] L. V. Kuz’min, The Tate module of algebraic number fields, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 36 (1972), 267-327.

[13] T. Tannaka & F. Terada, A generalization of the principal ideal theorem, Proc. Japan Acad. 25 (1949), 7–8.

[14] T. Tannaka, Some remarks concerning the principal ideal theorem, Tôhoku Math. J. 1 (1949), 270–278.

[15] F. Terada, On a generalization of the principal ideal theorem, Tôhoku Math. J. 1 (1949), 229–269.

[16] F. Terada, A principal ideal theorem in the genus field, Tôhoku Math. J. 23 (1971), 697–718.

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