Classes logarithmiques signées des corps de nombres^{∗}

Jean-François Jaulent

Version corrigée

Résumé. Nous définissons le 2-groupe des classes logarithmiques signées d’un corps de nombres par analogie avec le groupe des classes d’idéaux au sens restreint et nous établissons les résultats de base de l’arithmétique des classes logarithmiques signées.

Abstract. We introduce the signed logarithmic 2-class group of a number field as a cyclotomic analogue of the restricted ideal class group and we establish the fundamental results of the arithmetic of signed logaritmic classes.

Introduction

Le ℓ-groupe des classes logarithmiques d’un corps de nombres a été introduit dans [J1] en liaison avec les noyaux des ℓ-symboles sauvages de la K-théorie. On peut dire schématiquement que son interprétation via la théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. [J2]) revient, par rapport à celle classique du ℓ-groupe des classes d’idéaux, à substituer la notion d’extension (localement) cyclotomique à celle d’extension (localement) non ramifiée : pour chaque place finie 𝔭 du corps de nombre K considéré, le complété K_{𝔭} de K en 𝔭 admet entre autres deux ℤ_{ℓ}-extensions remarquables, la non ramifiée K_{𝔭}^{nr} et la cyclotomique K_{𝔭}^{c}, qui se trouvent coïncider lorsque 𝔭 ne divise pas ℓ, mais diffèrent substantiellement dans le cas contraire ; et le passage du cas classique au cas logarithmique revient à échanger leurs rôles respectifs. En d’autres termes, la définition des groupes de classes au sens logarithmique consiste à remplacer la valuation habituelle v_{𝔭} définie sur le compactifié R_{𝔭} de K_{𝔭}^{×} à valeurs dans ℤ_{ℓ}, qui induit le plongement naturel de R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} dans le ℓ-groupe des idéaux I_{K} = ⨁ 𝔭^{ℤ_{ℓ}}, par son analogue logarithmique ṽ_{𝔭} défini à partir du logarithme de la valeur absolue ℓadique attachée à la place finie 𝔭.

Lorsque ℓ vaut 2, il est possible d’affiner cette définition pour prendre en compte la contribution des places réelles : on tombe alors sur la notion de classes logarithmiques au sens restreint introduite dans [S2] par analogie avec la notion habituelle de classes d’idéaux au sens restreint. Tout bien considéré, il apparaît cependant que cette dernière notion n’est pas totalement aboutie : s’il est vrai que c’est le concept d’extension localement cyclotomique qui est au coeur de la théorie, il faut considérer que la notion de "signe" ne concerne pas seulement alors les places réelles . Pour ℓ = 2, en effet, la pro-ℓ-extension cyclotomique K_{𝔭}[ζ_{2^{∞}}] d’un corps local K_{𝔭} n’est pas toujours une ℤ_{ℓ}-extension : cela est clair pour les places réelles, pour lesquelles K_{𝔭}[ζ_{2^{∞}}] = ℂ est de degré 2 sur K_{𝔭} = ℝ ; mais cela se produit aussi pour les places 2-adiques, où il peut arriver que la ℤ_{2}-extension cyclotomique K_{𝔭}^{c} de K_{𝔭} ne contienne pas les racines quatrièmes de l’unité, auquel cas K_{𝔭}^{c}[i] est encore de degré 2 sur K_{𝔭}^{c}, ce qui se traduit par l’existence d’une fonction "signe" aux places 2-adiques. D’où l’intérêt , à l’image de ce qui a été fait dans [AJ] pour les corps de fonctions, de généraliser proprement le concept de classes logarithmiques signées en cohérence avec les correspondances données par la théorie 2-adique du corps de classes.

∗J. Théor. Nombres Bordeaux 12 (2000), 455–474 & 14 (2002), 1–5.

1. Fonction signe attachée à une place non complexe

Le nombre premier ℓ = 2 étant désormais fixé, nous utilisons dans ce qui suit le formalisme de la théorie ℓ-adique du corps de classes tel qu’exposé dans [J_{2}].

Rappelons qu’en chaque place non complexe 𝔭 d’un corps de nombres K est défini sur le compactifié 2-adique R_{𝔭} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×2^{n}} du groupe multiplicatif K_{𝔭}^{×} du complété de K en 𝔭 une valeur absolue 2-adique, à valeurs dans ℤ_{2}^{×} = 1 + 2ℤ_{2}, donnée par la formule :

| x |_{𝔭} = \{ \begin{matrix}sg_{𝔭}(x) & si 𝔭 est réelle, \\ N𝔭^{−v_{𝔭}(x)} & pour 𝔭 ∤ 2∞, \\ N_{K_{𝔭}/ℚ_{2}}(x)N𝔭^{−v_{𝔭}(x)} & enfin, pour 𝔭 | 2. \end{matrix}

Dans celle-ci, sg_{𝔭}(x) est la fonction signe attachée au plongement réel correspondant à la place 𝔭 ; N𝔭 est la norme absolue de l’idéal 𝔭 ; et v_{𝔭} est la valuation 𝔭-adique attachée à 𝔭.

La famille (| |_{𝔭})_{𝔭} des valeurs absolues 2-adiques lorsque 𝔭 parcourt l’ensemble des places non complexes de K peut ainsi être regardée comme un morphisme sur le 2-groupe des idèles J_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{𝔭} à valeurs dans ℤ_{2}^{×} ; et il est bien connu (cf. [J_{3}], prop. 1.8.) que les idèles principaux, i.e. les éléments du tensorisé 2adique R_{K} = ℤ_{2} ⊗_{ℤ} K^{×} regardé comme sous-groupe de J_{K}, vérifient la formule du produit :

∀ x ∈ R_{K} ∏_{𝔭} | x |_{𝔭} = 1.

Maintenant, la décomposition canonique ℤ_{2}^{×} ≃ {±1} × (1 + 4ℤ_{2}) ≃ 𝔽_{2} ⊕ ℤ_{2} permet d’écrire tout élément x de ℤ_{2}^{×} comme produit de son signe ε(x) ∈ {±1} et de sa composante "positive" ε(x)x ∈ 1+4ℤ_{2}. Cette observation naïve conduit à étendre comme suit la notion de signe aux places non réelles :

Définition 1. Nous appelons fonction signe attachée à une place non complexe 𝔭 de K l’application à valeurs dans {±1} définie sur le compactifié 2-adique R_{𝔭} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×2^{n}} du groupe K_{𝔭}^{×} par la formule :

sg_{𝔭}(x) = ε(| x |_{𝔭}),

où ε est la fonction signe canonique sur ℤ_{2}^{×}.

Il est commode de dire qu’une place est signée lorsque la fonction signe attachée est non trivale. Les places réelles sont évidemment signées. Plus généralement :

Proposition 2. Soit P lS l’ensemble des places signées du corps K. On a : 𝔭 ∈ P lS ⟺ i ∉ K_{𝔭}.

Preuve. Il s’agit de vérifier que la fonction signe sg_{𝔭} est triviale si et seulement si le complété K_{𝔭} contient les racines 4-ièmes de l’unité ; ce qui est bien évident pour les places à l’infini. Pour les places finies, distinguons :

Si 𝔭 est impaire (i.e. 𝔭 ∤ 2), il vient directement :

𝔭 ∉ P lS ⇔ N𝔭 ≡ 1 [mod 4] ⇔ i ∈ K_{𝔭}.

Si 𝔭 est paire (i.e. 𝔭 | 2), introduisons la 2-sous-extension maximale K′_{𝔭} de K_{𝔭} abélienne sur ℚ_{2}, et observons que le groupe de normes (dans le compactifié profini R_{2} de ℚ_{2}^{×}) associé à l’extension abélienne ℚ_{2}[i]/ℚ_{2} par la théorie ℓadique locale du corps de classes est (1 + 4ℤ_{2}) 2^{ℤ_{2}}. Nous obtenons donc :

i ∈ K_{𝔭} ⇔ ℚ_{2}(i) ⊂ K′_{𝔭} ⇔ (1 + 4ℤ_{2}) 2^{ℤ_{2}} ⊃ N_{K_{𝔭}/ℚ_{2}}(R_{𝔭}) ⇔ sg_{𝔭}(R_{𝔭}) = {+1},

comme annoncé.

Corollaire 3. Nous disons que le corps K est signé lorsqu’il existe au moins une place 𝔭 de K qui est signée ; ce qui a lieu si et seulement si on a i ∉ K.

Preuve. Le théorème de Čebotarev montre qu’un corps signé admet une infinité de places signées : ce sont celles qui ne se décomposent pas dans l’extension quadratique K[i]/K.

Nous supposerons implicitement dans tout ce qui suit que K est signé. En fait, nous allons même faire apparaître une condition plus forte, celle de corps logarithmiquement signé, en dehors de laquelle la définition des classes signées est de peu d’intérêt. Nous avons besoin pour cela d’introduire la notion d’élément totalement positif (au sens logarithmique).

Définition 4. Nous appelons sous-groupe des éléments positifs de R_{𝔭} et nous notons R_{𝔭}^{+}, le noyau dans R_{𝔭} de la fonction signe sg_{𝔭}. Le 2-groupe R_{𝔭}^{+} est donc d’indice 2 dans R_{𝔭} si 𝔭 est signée ; il coïncide avec R_{𝔭} sinon.

Le sous-groupe Ũ_{𝔭}^{+} = Ũ_{𝔭} ∩ R_{𝔭}^{+} (où Ũ_{𝔭} = {x_{𝔭} ∈ R_{𝔭}| |x_{𝔭}|_{𝔭} = ±1}) est le groupe des unités logarithmiques positives dans R_{𝔭} ; c’est aussi le noyau dans R_{𝔭} de la valeur absolue 𝔭-adique | |_{𝔭}.

Enfin, le produit Ũ_{K}^{+} = ∏_{𝔭} Ũ_{𝔭}^{+} est ainsi le sous-groupe de Ũ_{K} = ∏_{𝔭} Ũ_{𝔭} formé des unités logarithmiques (locales) positives.

Remarque. Aux places finies impaires, nous avons Ũ_{𝔭}^{+} = Ũ_{𝔭} ; aux places réelles, Ũ_{𝔭} = R_{𝔭} = {±1} et Ũ_{𝔭}^{+} = R_{𝔭}^{+} = 1 ; aux places paires mais non signées, Ũ_{𝔭}^{+} = Ũ_{𝔭} et R_{𝔭}^{+} = R_{𝔭} ; enfin, aux places signées paires, il faut distinguer :

(i) pour i ∈ K_{𝔭}^{c}, le groupe Gal(K_{𝔭}^{c}[i]/K_{𝔭}) ≃ R_{𝔭}/Ũ_{𝔭}^{+} est procyclique, isomorphe à ℤ_{2}, ce qui permet d’écrire :

R_{𝔭} = Ũ_{𝔭}^{+} π^{ℤ_{2}} et R_{𝔭}^{+} = Ũ_{𝔭}^{+} π^{2ℤ_{2}}, avec R_{𝔭}/R_{𝔭}^{+} ≃ 𝔽_{2} et Ũ_{𝔭}/Ũ_{𝔭}^{+} ≃ 1 ;

(ii) pour i ∉ K_{𝔭}^{c}, le groupe Gal(K_{𝔭}^{c}[i]/K_{𝔭}) ≃ R_{𝔭}/Ũ_{𝔭}^{+} est bicyclique, isomorphe à ℤ_{2} ⊕ 𝔽_{2}, de sorte que l’on a : Ũ_{𝔭} = < ϵ_{𝔭} > Ũ_{𝔭}^{+}, pour une unité logarithmique ϵ_{𝔭} ∉ Ũ_{𝔭}^{+} dont le carré est dans Ũ_{𝔭}^{+}, puis :

R_{𝔭} = Ũ_{𝔭} π_{𝔭}^{ℤ_{2}} et R_{𝔭}^{+} = Ũ_{𝔭}^{+} π_{𝔭}^{ℤ_{2}}, avec π_{𝔭} ∈ R_{𝔭}^{+} et R_{𝔭}/R_{𝔭}^{+} ≃ Ũ_{𝔭}/Ũ_{𝔭}^{+} ≃ 𝔽_{2} .

Notons que lorsque [K_{𝔭} : ℚ_{2}] est impair, il vient sg_{𝔭}(−1) = | − 1|_{𝔭} = −1, ce qui permet de choisir ϵ_{𝔭} = −1 et donne R_{𝔭} = {±1} Ũ_{𝔭}^{+} π_{𝔭}^{ℤ_{2}} avec π_{𝔭} ∈ R_{𝔭}^{+}. Ce choix est, bien entendu, impossible lorsque [K_{𝔭} : ℚ_{2}] est pair.

Définition & Proposition 5. Nous appelons logarithmiquement signées celles des places du corps K qui vérifient i ∉ K_{𝔭}^{c}. L’ensemble P LS_{K} des places de K qui sont logarithmiquement signées est donc formé :

(i) des places réelles d’une part,

(ii) et de celles des places 2-adiques pour lesquelles le groupe de Galois Gal(K_{𝔭}^{c}[i]/K_{𝔭}) n’est pas procyclique, d’autre part.

Preuve. Pour chaque place 𝔭 de K, notons K_{𝔭}^{c} l’extension locale associée à la ℤ_{2}-extension cyclotomique de K. Il s’agit de caractériser les conditions locales i ∈ K_{𝔭}^{c}. Or :

(i) pour 𝔭 finie impaire, la condition i ∈ K_{𝔭}^{c} est automatiquement satisfaite ; (ii) pour 𝔭 infinie, nous avons K_{𝔭}^{c} = K_{𝔭} et la condition précédente s’écrit

tout simplement K_{𝔭} = ℂ ;

(iii) pour 𝔭 finie et paire, enfin, il peut arriver que le groupe |R_{𝔭}|_{𝔭} ≃ Gal(K_{𝔭}^{c}[i]/K_{𝔭}) ne soit pas procyclique (i.e. que |R_{𝔭}|_{𝔭} contienne −1) ; ce cas se produit si et seulement si on a i ∉ K_{𝔭}^{c} .

Définition 6. Par groupe des signatures logarithmiques d’un corps de nombres K, nous entendons le 𝔽_{2}-espace vectoriel défini par :

Sgℓ_{K} = Ũ_{K}/Ũ_{K}^{+} = ⊕_{𝔭} Ũ_{𝔭}/Ũ_{𝔭}^{+} = ⊕_{𝔭∈P LS_{K}} R_{𝔭}/ R_{𝔭}^{+}

qui a pour dimension le nombre s_{K} de places de P LS_{K}.

Lorsque s_{K} n’est pas nul, nous disons que le corps K est logarithmiquement signé ; ce qui a lieu si et seulement si l’extension K^{c}[i]/K^{c} attachée à la ℤ_{2}-extension cyclotomique K^{c} de K n’est pas localement triviale partout , en d’autres termes si et seulement si l’élément i n’appartient pas à la 2-extension abélienne localement cyclotomique maximale K^{lc} de K.

Il est alors commode de poser Ũ_{K}^{∗} = {(u_{𝔭})_{𝔭} ∈ Ũ_{K} | ∏_{𝔭} | u_{𝔭} |_{𝔭} = +1} et

S̃gℓ_{K} = Ũ_{K}^{∗}/Ũ_{K}^{+} = ˜⊕_{𝔭} Ũ_{𝔭}/Ũ_{𝔭}^{+} = ˜⊕_{𝔭∈P LS_{K}} R_{𝔭}/ R_{𝔭}^{+}

en indiquant par un tilde la restriction induite par la formule du produit.

Exemple. Les corps quadratiques logarithmiquement signés sont les corps quadratiques réels et les corps quadratiques imaginaires ℚ[\sqrt{−d}] avec d ≠ 1, 2 [mod 8].

2. Construction du 2-groupe des classes logarithmiques signées

Rappelons que la valuation logarithmique ṽ_{𝔭} attachée à une place finie 𝔭 est définie sur le compactifié 2-adique R_{𝔭} de K_{𝔭}^{×} par la formule :

ṽ_{𝔭}(x) = − | x |_{𝔭}/ deg 𝔭,

où deg 𝔭 est choisi de telle sorte que ṽ_{𝔭}(R_{𝔭}) soit égale à ℤ_{2} (cf. [J1], Déf 1.1). Le noyau Ũ_{𝔭} de ṽ_{𝔭} est, par définition, le sous-groupe des unités logarithmiques de R_{𝔭} ; il coïncide avec le sous groupe de torsion U_{𝔭} = μ_{𝔭} de R_{𝔭} pour 𝔭 ∤ 2∞, mais en diffère généralement sinon.

Introduisons maintenant le 2-adifié J_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{𝔭} du groupe des idèles de K ; écrivons J̃_{K} le sous-groupe des idèles de degré nul (i.e. l’image réciproque de {±1} par l’application ∏_{𝔭} | |_{𝔭}) ; et notons Ũ_{K} = ∏_{𝔭} Ũ_{𝔭} le sous- groupe des unités logarithmiques locales. Le quotient

D̃ℓ_{K} = J̃_{K}/Ũ_{K} = ⊕_{𝔭} ℤ_{2} 𝔭

est le 2-groupe des diviseurs logarithmiques (de degré nul) du corps K ; on peut le regarder comme l’ensemble des combinaisons linéaires ∑_{𝔭} ν_{𝔭} 𝔭 de places finies de K à coefficients dans ℤ_{2} qui satisfont la condition de degré ∑_{𝔭} ν_{𝔭} deg 𝔭 = 0. L’image P̃ℓ_{K} dans D̃ℓ_{K} du 2-groupe des idèles principaux R_{K} = ℤ_{2} ⊗_{ℤ} K^{×} (considéré comme un sous-groupe de J̃_{K}) est alors, par définition, le 2-groupe des diviseurs logarithmiques principaux. La condition de degré mise à part, le quotient

C̃ℓ_{K} = D̃ℓ_{K}/P̃ℓ_{K}

peut être tenu comme l’analogue logarithmique du 2-groupe des classes d’idéaux du corps K. C’est le 2-groupe des classes logarithmiques du corps considéré. Il est d’ailleurs fini sous les conjectures ℓ-adiques standard (cf. [J1]) et s’interprète par la théorie 2-adique du corps de classes comme groupe de Galois Gal(K^{lc}/K^{c}) attaché à la 2-extension abélienne localement cyclotomique maximale K^{lc} de K relativement à la ℤ_{2}-extension cyclotomique K^{c}.

Pour construire le 2-groupe des classes logarithmiques au sens restreint, il est tentant de procéder par analogie avec le cas classique en remplaçant simplement le sous-groupe principal P̃ℓ_{K} au dénominateur de C̃ℓ_{K} par le sousgroupe P̃ℓ_{K}^{+} engendré par les seuls éléments totalement positifs (au sens logarithmique). Malheureusement la formule du produit pour les valeurs absolues introduit ici une complication supplémentaire dont il est indispensable de tenir compte scrupuleusement pour respecter la cohérence avec les isomorphismes du corps de classes global. Précisons ce que nous entendons par là :

Définition 7. Dans un corps logarithmiquement signé K, nous disons qu’un idèle de degré nul (x_{𝔭})_{𝔭} ∈ J̃_{K} est :

(i) globalement positif, lorsqu’il satisfait la formule du produit pour les fonctions signes sg_{𝔭}. Le groupe des idèles globalement positifs est ainsi :

J̃_{K}^{∗} = {(x_{𝔭})_{𝔭} ∈ J̃_{K} | ∏_{𝔭} sg_{𝔭}(x_{𝔭}) = +1} = {(x_{𝔭})_{𝔭} ∈ J_{K} | ∏_{𝔭} | x_{𝔭} |_{𝔭} = 1}. Son sous-groupe unité (au sens logarithmique) est de même :

Ũ_{K}^{∗} = Ũ_{K} ∩ J̃_{K}^{∗} = {(u_{𝔭})_{𝔭} ∈ Ũ_{K} | ∏_{𝔭} sg_{𝔭}(u_{𝔭}) = +1}.

(ii) logarithmiquement positif, lorsqu’il est d’image triviale dans le groupe des signatures Sgℓ_{K}. Le groupe des idèles logarithmiquement positifs est ainsi :

J̃_{K}^{+} = {(x_{𝔭})_{𝔭} ∈ J̃_{K} | sg_{𝔭}(x_{𝔭}) = +1 ∀𝔭 ∈ P LS_{K}}.

Son sous-groupe unité (au sens logarithmique) est de même :

Ũ_{K}^{+} = Ũ_{K} ∩ J̃_{K}^{+} = {(u_{𝔭})_{𝔭} ∈ Ũ_{K} | sg_{𝔭}(u_{𝔭}) = +1 ∀𝔭 ∈ P LS_{K}}. (iii) totalement positif, lorsqu’il l’est globalement et logarithmiquement. Le

sous-groupe des idèles totalement positifs est ainsi :

J̃_{K}^{∗+} = J̃_{K}^{∗} ∩ J̃_{K}^{+} = {(x_{𝔭})_{𝔭} ∈ J̃_{K}^{∗} | sg_{𝔭}(x_{𝔭}) = +1 ∀𝔭 ∈ P LS_{K}}. En particulier, le groupe des éléments globaux totalement positifs est le noyau

R_{K}^{+} = R_{K} ∩ J̃_{K}^{+} dans R_{K} du morphisme signature sgl_{K} à valeurs dans Sgℓ_{K}.

Remarques.

(i) On prendra garde que les idèles totalement positifs sont pris dans J̃_{K}^{∗}, et qu’ils vérifient donc la condition de positivité globale ∏_{𝔭} sg_{𝔭}(x_{𝔭}) = +1. Les idèles principaux sont, eux, globalement positifs en vertu de la formule du produit pour les valeurs absolues.

(ii) On a bien Ũ_{K}^{+} ⊂ Ũ_{K}^{∗} et R_{K} ⊂ J̃_{K}^{∗} mais non J̃_{K}^{+} ⊂ J̃_{K}^{∗}, le quotient J̃_{K}^{+}/J̃_{K}^{∗+} ≃ J̃_{K}/J̃_{K}^{∗} ≃ Gal(K^{c}[i]/K^{c}) étant d’ordre 1 ou 2.

(iii) Dans la correspondance du corps de classes, J̃_{K} est le groupe de normes attaché à la ℤ_{2}-extension cyclotomique globale K^{c} ; tandis que son sousgroupe Ũ_{K}R_{K} correspond à la 2-extension abélienne localement cyclotomique maximale K^{lc}. De façon semblable, J̃_{K}^{∗} correspond à la 2-extension cyclotomique K^{c}[i] et le sous-groupe Ũ_{K}^{∗}R_{K} = Ũ_{K}R_{K} ∩ J̃_{K}^{∗} à l’extension composée K^{lc}[i].

Lemme 8. On a l’identité J̃_{K}^{∗} = J̃_{K}^{∗+}R_{K}, d’où l’isomorphisme entre quotients :

J̃_{K}^{∗}/Ũ_{K}^{+}R_{K} ≃ J̃_{K}^{∗+}/Ũ_{K}^{+}R_{K}^{+}.

Preuve. L’égalité annoncée est une conséquence facile du théorème d’approximation simultanée ; l’isomorphisme en résulte immédiatement puisqu’on a :

J̃_{K}^{∗+} ∩ Ũ_{K}^{+}R_{K} = R_{K}^{+}.

Définition & Proposition 9. Soit K un corps de nombres quelconque. (i) Nous appelons 2-groupe des classes logarithmiques signées le quotient

C̃ℓs_{K} = J̃_{K}^{∗}/Ũ_{K}^{+}R_{K} ≃ J̃_{K}^{∗+}/Ũ_{K}^{+}R_{K}^{+}.

(ii) En termes de diviseurs, le groupe C̃ℓs_{K} s’identifie d’une part au quotient

C̃ℓs_{K} ≃ D̃ℓs_{K}/P̃ℓs_{K}

du 2-groupe des diviseurs logarithmiques signés de degré nul D̃ℓs_{K} = J̃_{K}^{∗}/Ũ_{K}^{+} par son sous-groupe principal P̃ℓs_{K} = R_{K} Ũ_{K}^{+}/Ũ_{K}^{+} ; et d’autre part au quotient

C̃ℓs_{K} ≃ D̃ℓ_{K}^{∗}/P̃ℓ_{K}^{+}

du 2-groupe des diviseurs logarithmiques globalement positifs D̃ℓ_{K}^{∗} = J̃_{K}^{∗+}/Ũ_{K}^{+}

de degré nul par son sous-groupe principal totalement positif P̃ℓ_{K}^{+} = R_{K}^{+} Ũ_{K}^{+}/Ũ_{K}^{+}.

(iii) Et la théorie 2-adique du corps de classes interprète le groupe de classes logarithmiques signées comme groupe de Galois relatif

C̃ℓs_{K} ≃ Gal(K^{lcs}/K^{cs})

de la plus grande pro-2-extension abélienne K^{lcs} du corps K qui est complètement décomposée sur K^{cs} = K^{c}[i] en chacune de ses places.

Preuve. Les isomorphismes énoncés résultent directement du Lemme 8. Cela étant, comme expliqué plus haut, le groupe J̃_{K}^{∗} fixe K^{cs} ; et le sous-groupe Ũ_{K}^{+}R_{K} fixe K^{lcs}. D’où les interprétations annoncées.

Remarques. Nous n’avons pas fait ci-dessus d’hypothèse de signature sur K :

(i) Pour i ∈ K^{c}, on a banalement J̃_{K}^{∗} = J̃_{K} et Ũ_{K}^{+} = Ũ_{K}, d’où l’identité :

C̃ℓs_{K} = C̃ℓ_{K} ;

et la notion de signe n’apporte rien par rapport à la construction de [J1].

(ii) Pour i ∈ K^{lc} \ K^{c}, en revanche, on a (J̃_{K} : J̃_{K}^{∗}) = 2 et Ũ_{K}^{+} = Ũ_{K}, de sorte que C̃ℓs_{K} est alors d’indice 2 dans C̃ℓ_{K}, lequel est donc non trivial ici.

(iii) Pour i ∉ K^{lc}, enfin (c’est à dire pour K logarithmiquement signé), on a (J̃_{K} : J̃_{K}^{∗}) = 2 mais Ũ_{K}^{∗} ≠ Ũ_{K} donc J̃_{K} = J̃_{K}^{∗} Ũ_{K}, d’où la suite exacte courte :

1 ⟶ S̃gℓ_{K} ⟶ D̃ℓs_{K} ⟶ D̃ℓ_{K} ⟶ 1.

Plus précisément dans ce cas :

Corollaire 10. Dans un corps logarithmiquement signé, diviseurs logarithmiques signés et diviseurs au sens ordinaire sont liés par la suite exacte courte :

1 ⟶ S̃gℓ_{K} ⟶ D̃ℓs_{K} ⟶ D̃ℓ_{K} ⟶ 1
∥  ∥  ∥
1 ⟶ Ũ_{K}^{∗}/Ũ_{K}^{+} ⟶ J̃_{K}^{∗}/Ũ_{K}^{+} ⟶ J̃_{K}/Ũ_{K} ⟶ 1

En particulier, le noyau S̃gℓ_{K} de la formule du produit dans le 2-groupe des signatures Sgℓ_{K} s’identifie au sous-groupe de torsion de D̃ℓs_{K} ; et D̃ℓ_{K} au quotient D̃ℓs_{K}/S̃gℓ_{K}, de sorte qu’on a (non canoniquement) :

D̃ℓs_{K} ≃ D̃ℓ_{K} ⊕ S̃gℓ_{K}.

Remarque. Même lorsque les places 2-adiques ne sont pas signées, le 2-groupe des classes signées C̃ℓs_{K} ne coïncide donc pas en général avec le 2-groupe des classes logarithmiques au sens restreint C̃ℓ_{K}^{res} défini dans [S2], du fait de la condition de positivité globale introduite dans la définition 9.

Comme dans le cas classique, le groupe des classes signées est un invariant arithmétique plus fin que son homologue au sens ordinaire. Plus précisément, si Ẽ_{K} = R_{K} ∩ Ũ_{K} désigne le groupe des unités logarithmiques (globales) du corps K et Ẽ_{K}^{+} = R_{K} ∩ Ũ_{K}^{+} son sous-groupe totalement positif (au sens logarithmique), on a une suite exacte canonique :

1 ⟶ Ẽ_{K}/Ẽ_{K}^{+} ⟶ S̃gℓ_{K} ⟶ C̃ℓs_{K} ⟶ C̃ℓ_{K} ⟶ 1.

En particulier, il suit :

Proposition 11. Sous la conjecture de Gross généralisée, le 2-groupe C̃ℓs_{K} attaché à un corps logarithmiquement signé K est un 2-groupe fini, d’ordre :

|C̃ℓs_{K}| = |C̃ℓ_{K}| (S̃gℓ_{K} : sgl_{K}(Ẽ_{K}) ).

Et, pour tout corps logarithmiquement signé K, on a donc l’équivalence :

C̃ℓs_{K} = 1 ⇔ \begin{cases}C̃ℓ_{K} = 1 et \\ K contient des unités logarithmiques de toutes \\ signatures à la formule du produit près. \end{cases}

3. Formule des 2-classes logarithmiques signées ambiges

Comme pour les 2-classes logarithmiques au sens ordinaire, le problème de la propagation de la trivialité du 2-groupe des classes logarithmiques signées se pose naturellement dans le cadre des 2-extensions (i.e. des extensions galoisiennes L/K de degré une puissance de 2), où l’on peut espérer relier l’ordre du sous-groupe des points fixes dans C̃ℓs_{L} pour l’action de G = Gal(L/K) à celui de C̃ℓs_{K} par une formule explicite ne faisant intervenir que des invariants arithmétiques simples de l’extension considérée, à l’image du classique résultat de Chevalley sur les classes ambiges d’idéaux.

L’expérience montrant toutefois qu’une telle formule est rarement exploitable en dehors du cas cyclique, du fait de l’occurence de facteurs cohomologiques difficilement calculables en toute généralité, et la formule du produit venant apporter des complications supplémentaires par rapport au cas des idéaux, nous n’hésitons pas dans cette section à faire quelques hypothèses simplificatrices, quitte à renvoyer l’étude générale à la section suivante consacrée aux classes logarithmiques centrales, dont la définition est plus directement reliée aux outils habituels de la théorie du corps de classes.

Considérons donc une 2-extension galoisienne de corps de nombres logarithmiquement signés L/K, et notons G = Gal(L/K) son groupe de Galois. Sous l’hypothèse de primitivité H^{1}(G, D̃ℓ_{L}^{∗}) = 0 (que nous discuterons plus loin), partant de la suite exacte courte qui définit le 2-groupe C̃ℓs_{L} = D̃ℓ_{L}/P̃ℓ_{L}^{+}, prenant les points fixes par G, et comparant la suite exacte obtenue avec celle définissant C̃ℓs_{K}, nous obtenons le diagramme commutatif (où les flèches verticales sont induites par les morphismes canoniques d’extension) :

0 ⟶ P̃ℓ_{K}^{+} ⟶ D̃ℓ_{K}^{∗} ⟶ C̃ℓs_{K} ⟶  0
↓p̃l_{L/K}^{+}  ↓d̃l_{L/K}^{∗}  ↓c̃ls_{L/K}
0 ⟶ P̃ℓ_{L}^{+}^{G} ⟶ D̃ℓ_{L}^{∗}^{G} ⟶ C̃ℓs_{L}^{G} ⟶ H^{1}(G, P̃ℓ_{L}^{+}) ⟶ 0.

Formant alors le diagramme du serpent, nous obtenons immédiatement l’identité entre ordres de groupes finis (avec | Ker p̃l_{L/K}^{+}| = | Ker d̃l_{L/K}| = 1) :

\frac{| Coker d̃l_{L/K}^{∗}|}{| Ker d̃l_{L/K}^{∗}|} = \frac{| Coker p̃l_{L/K}^{+}|}{| Ker p̃l_{L/K}^{+}|} \frac{| Coker c̃ls_{L/K}|}{| Ker c̃ls_{L/K}|} \frac{1}{|H^{1}(G, P̃ℓ_{L}^{+})|}.

D’où la formule (où les deux membres sont simultanément finis ou infinis) :

|C̃ℓs_{L}^{G}| = |C̃ℓs_{K}| \frac{(D̃ℓ_{L}^{∗ G} : D̃ℓ_{K}^{∗})}{(P̃ℓ_{L}^{+ G} : P̃ℓ_{K}^{+})} |H^{1}(G, P̃ℓ_{L}^{+})|.

Cela étant, il vient successivement :

Lemme 12. Sous la condition de primitivité forte H^{1}(G, D̃ℓ_{L}^{∗}) = 0, l’indice (D̃ℓ_{L}^{∗ G} : D̃ℓ_{K}^{∗}) est donné à partir des indices de ramification logarithmiques ẽ_{𝔭}(L/K) par la formule :

(D̃ℓ_{L}^{∗ G} : D̃ℓ_{K}^{∗}) = ( ∏_{𝔭} ẽ_{𝔭}(L/K))/[L^{cs} : K^{cs}].

Preuve. C’est le résultat établi dans [J1] (cf. Prop. 4.4), sous la condition H^{1}(G, D̃ℓ_{L}) = 0, qui exprime en termes cohomologiques la primitivité de la ramification logarithmique.

Lemme 13. Lorsque l’extension galoisienne L/K est cyclique, les relations entre la cohomologie des diviseurs logarithmiques principaux totalement positifs et celle des unités logarithmiques totalement positives fournissent l’identité :

\frac{|H^{1}(G, P̃ℓ_{L}^{+})|}{(P̃ℓ_{L}^{+ G} : P̃ℓ_{K}^{+})} = \frac{((Ẽ_{K}^{+} ∩ N_{L/K}(R_{L}^{+})) : N_{L/K}(Ẽ_{L}^{+})) (Ẽ_{L}^{+ G} : Ẽ_{K}^{+})}{|H^{1}(G, Ẽ_{L}^{+})|} \frac{|H^{1}(G, R_{L}^{+})|}{(R_{L}^{+ G} : R_{K}^{+})}

Preuve. Partons de la suite exacte courte qui définit le groupe P̃ℓ_{L}^{+} ; formons la suite de cohomologie associée, et comparons la à la même suite écrite pour P̃ℓ_{K}^{+}. Le diagramme obtenu commence ainsi :

0 ⟶ Ẽ_{K}^{+} ⟶ R_{K}^{+} ⟶ P̃ℓ_{K}^{+} ⟶  0
↓  ↓  ↓
0 ⟶ Ẽ_{L}^{+ G} ⟶ R_{L}^{+ G} ⟶ P̃ℓ_{L}^{+ G} ⟶ H^{1}(G, Ẽ_{L}^{+}) ⟶ ...

Et le lemme du serpent nous donne la suite exacte longue :

0 ⟶ Ẽ_{L}^{+ G}/Ẽ_{K}^{+} ⟶ R_{L}^{+ G}/R_{K}^{+} ⟶ P̃ℓ_{L}^{+ G}/P̃ℓ_{K}^{+} ⟶ H^{1}(G, Ẽ_{L}^{+}) ⟶ ...

... ⟶ H^{1}(G, R_{L}^{+}) ⟶ H^{1}(G, P̃ℓ_{L}^{+}) ⟶ H^{2}(G, Ẽ_{L}^{+}) ⟶ H^{2}(G, R_{L}^{+}) ⟶ ...

Maintenant, si G est cyclique, il vient :

H^{2}(G, Ẽ_{L}^{+}) ≃ Ẽ_{L}^{+ G}/N_{L/K}(Ẽ_{L}^{+}) et H^{2}(G, R_{L}^{+}) ≃ R_{L}^{+ G}/N_{L/K}(R_{L}^{+}).

ce qui permet de remplacer la seconde partie de la suite exacte précédente par :

... ⟶ H^{1}(G, R_{L}^{+}) ⟶ H^{1}(G, P̃ℓ_{L}^{+}) ⟶ (Ẽ_{L}^{+ G} ∩ N_{L/K}(R_{L}^{+}))/N_{L/K}(Ẽ_{L}^{+}) ⟶ 1

Et le résultat annoncé suit, compte tenu de l’égalité entre groupes de normes : Ẽ_{K}^{+} ∩ N_{L/K}(R_{L}^{+}) = Ẽ_{L}^{+ G} ∩ N_{L/K}(R_{L}^{+}).

Lemme 14. Toujours lorsque l’extension L/K est cyclique, le quotient de Herbrand attaché au 2-groupe des unités logarithmiques globales totalement positives est donné, sous la conjecture de Gross généralisée, par la formule ;

q(G, Ẽ_{L}^{+}) = |H^{2}(G, Ẽ_{L}^{+})|/|H^{1}(G, Ẽ_{L}^{+})| = ∏_{𝔭∈P l_{K}^{∞}} d_{𝔭}(L/K),

où d_{𝔭}(L/K) = |D_{𝔭}| désigne le degré local en 𝔭 de l’extension L/K et 𝔭 parcourt l’ensemble P l_{K}^{∞} des places à l’infini du corps K.

Preuve. Le groupe Ẽ_{L}^{+} étant d’indice fini dans Ẽ_{L}, il a le même quotient de Herbrand. Le lemme résulte donc directement du calcul de q(G, Ẽ_{L}) effectué dans [J1] (cf. cor. 3.7).

Lemme 15. On a l’égalité :

\frac{|H^{1}(G, R_{L}^{+})|}{(R_{L}^{+ G} : R_{K}^{+})} = \frac{|Sgℓ_{L}^{G}|}{|Sgℓ_{K}|} = 2^{−|P LD_{L/K}^{2}|},

où P LD_{L/K}^{2} désigne l’ensemble des places 2-adiques de K qui se dessignent dans l’extension L/K.

Preuve. Partons du diagramme commutatif (où nous avons remplacé par 0 le groupe de cohomologie H^{1}(G, R_{L}) en vertu du théorème 90 de Hilbert) :

0 ⟶ R_{K}^{+} ⟶ R_{K} ⟶ Sgℓ_{K} ⟶  0
↓  ∥  ↓^{sgl}_{L/K}
0 ⟶ R_{L}^{+ G} ⟶ R_{L}^{G} ⟶ Sgℓ_{L}^{G} ⟶ H^{1}(G, R_{L}^{+}) ⟶ 0.

Nous obtenons immédiatement les isomorphismes :

R_{L}^{+ G}/R_{K}^{+} ≃ Ker sgl_{L/K} et H^{1}(G, R_{L}^{+}) ≃ Coker sgl_{L/K},

d’où l’identité attendue :

\frac{|H^{1}(G, R_{L}^{+})|}{(R_{L}^{+ G} : R_{K}^{+})} = \frac{|Cokersgl_{L/K}|}{| Ker sgl_{L/K}|} = \frac{|Sgℓ_{L}^{G}|}{|Sgℓ_{K}|}

Convention. Convenons de dire qu’une place logarithmiquement signée du corps K se dessigne dans l’extension L/K lorsqu’aucune des places au-dessus n’est signée dans L. Ecrivons alors l’ensemble P LS_{K} des places logarithmiquement signées du corps K comme la réunion disjointe

P LS_{K} = P LD_{L/K} ∪ P LS_{L/K}

du sous-ensemble formé des places 𝔭 qui se déssignent dans L/K et du sousensemble formé de celles qui restent logarithmiquement signées dans L ( de sorte que P LS_{K}^{∞} = P LD_{L/K}^{∞} ∪ P LS_{L/K}^{∞} est la partition naturelle de l’ensemble des places réelles de K entre celles qui se complexifient dans L/K et celles qui se décomposent complètement).

Cela étant, il vient :

Lemme 16. Avec les notations précédentes, on a :

Sgℓ_{L} ≃ ⨁_{𝔭∈P LS_{L/K}} 𝔽_{2}[G/D_{𝔭}] ; et \frac{|Sgℓ_{K}|}{|Sgℓ_{L}^{G}|} = 2^{|P LD_{L/K}^{2}|},

où D_{𝔭} est un sous-groupe de décomposition de la place 𝔭 dans l’extension L/K.

Preuve. La définition du groupe des signatures logarithmiques nous donne :

Sgℓ_{L} = ⨁_{𝔭_{L}∈P LS_{L}} 𝔽_{2} \overline{𝔭}_{L} = ⨁_{𝔭_{K}∈P LS_{L/K}} ( ⨁_{𝔭_{L}|𝔭_{K}} 𝔽_{2} \overline{𝔭}_{L}) ≃ ⨁_{𝔭∈P LS_{L/K}} 𝔽_{2}[G/D_{𝔭}] ;

d’où la première formule. Il suit :

Sgℓ_{L}^{G} ≃ ⨁_{𝔭∈P LS_{L/K}} 𝔽_{2}(Σ_{σ∈G/D_{𝔭}} \overline{𝔭}_{L}^{σ}) ; puis |Sgℓ_{L}^{G}| = 2^{|P LS_{L/K}|},

L’identité |Sgℓ_{K}| = 2^{|P LS_{K}|} donne alors le résultat annoncé.

En fin de compte, nous pouvons énoncer comme suit le théorème fondamental de cette section :

Théorème 17. Dans une 2-extension cyclique L/K de corps de nombres logarithmiquement signés, le nombre de 2-classes logarithmiques signées invariantes par G = Gal(L/K) est donné, sous la condition de primitivité H^{1}(G, D̃ℓ_{L}^{∗}) = 0, par la formule :

|C̃ℓs_{L}^{G}| = \frac{|C̃ℓs_{K}|}{2^{|P LD_{L/K}^{2}|}} \frac{∏_{𝔭} ẽ_{𝔭}(L/K)}{[L^{cs} : K^{cs}] (Ẽ_{K}^{+} : Ẽ_{K}^{+} ∩ N_{L/K}(R_{L}^{+}))}

où P LD_{L/K}^{2} est l’ensemble des places 2-adiques du corps K qui sont logarithmiquement signées dans K mais non dans L , et ẽ_{𝔭}(L/K) est l’indice de ramification logarithmique de la place 𝔭 dans l’extension L/K.

Remarque. L’hypothèse H^{1}(G, D̃ℓ_{L}^{∗}) = 0 est appelée ci-dessus condition de primitivité forte, car elle s’écrit encore (Dℓ_{L}^{I_{G}} : D̃ℓ_{L}^{∗ I_{G}}) = 1, de sorte qu’elle contient bien la condition de primitivité faible (Dℓ_{L}^{I_{G}} : D̃ℓ_{L}^{I_{G}}) = 1 introduite dans [J1].

4. Formule des 2-classes logarithmiques signées centrales

Pour aborder maintenant le cas des 2-extensions (galoisiennes) en toute généralité, nous allons nous intéresser non plus au plus grand sous-groupe invariant C̃ℓs_{L}^{G} du groupe des classes logarithmiques signées, mais plutôt à son plus grand quotient ^{G}C̃ℓs_{L} qui est invariant pour l’action du groupe de Galois G de l’extension L/K considérée. Contrairement au sous-groupe ambige C̃ℓs_{L}^{G}, le quotient ^{G}C̃ℓs_{L} admet , en effet, une interprétation galoisienne particulièrement simple, ce qui le rend plus accessible aux techniques classiques de la théorie du corps de classes.

Bien entendu, si G est cyclique (et C̃ℓs_{L} fini), on a banalement :

|^{G}C̃ℓs_{L}| = |C̃ℓs_{L}^{G}|,

ce qui redonne la formule du théorème 17, mais en général ces deux quantités ne coïncident pas.

Il est commode d’introduire d’abord le genre logarithmique signé :

Définition 18. Le 2-corps des genres logarithmiques signés relatif à une 2extension L/K de corps de nombres logarithmiquement signés est la plus grande pro-2-extension L^{lcs} ∩ LK^{ab} de L qui est complètement décomposée sur L^{cs} = L^{c}[i] = LK^{cs} et provient (par composition avec L) d’une pro-2-extension abélienne de K.

Le groupe de Galois G̃ℓs_{L/K} = Gal(L^{lcs} ∩ LK^{ab}/L^{cs}) est, par définition, le 2-groupe des genres logarithmiques signés de l’extension L/K.

Comme expliqué plus haut, la détermination du genre logarithmique signé d’une 2-extension L/K relève des méthodes du corps de classes 2-adique. Considérons, en effet, le schéma de corps :

L^{cs}  LK^{lcs}  L^{lcs} ∩ LK^{ab}  L^{lcs}
|  |  |
L^{cs} ∩ K^{ab}  L^{lcs} ∩ K^{ab}
|  |
L^{cs} ∩ K^{lcs}  K^{lcs}
|
K^{cs}

Notons pour simplifier N la norme arithmétique N_{L/K} attachée à l’extension L/K. Comme expliqué dans la section 2, la 2-extension cyclotomique L^{cs} = LK^{cs} de L est associée au 2-groupe d’idèles J̃_{L}^{∗}, et la pro-2-extension abélienne L^{lcs} au sous-groupe Ũ_{L}^{+} R_{L}. D’après la théorie du corps de classes, leurs sous-extensions maximales L^{cs} ∩ LK^{ab} et L^{lcs} ∩ LK^{ab} qui proviennent (par composition avec L) d’une 2-extension abélienne de K sont donc respectivement associées aux saturés pour la norme ^{−1}N(N(J̃_{L}^{∗})R_{K}) et ^{−1}N(N(Ũ_{L}^{+})R_{K}) des groupes précédents. En particulier, il vient ainsi :

G̃ℓs_{L/K} ≃ Gal((L^{lcs}∩ K^{ab})/(L^{cs}∩ K^{ab})) ≃ ^{−1}N(N(J̃_{L}^{∗})R_{K})/^{−1}N(N(Ũ_{L}^{+})R_{K}),

et, par suite :

|G̃ℓs_{L/K}| = (N(J̃_{L}^{∗})R_{K} : N(Ũ_{L}^{+})R_{K}) = \frac{(J̃_{K}^{∗} : Ũ_{K}^{+}R_{K})(Ũ_{K}^{+}R_{K} : N(Ũ_{L}^{+})R_{K})}{(J̃_{K}^{∗} : N(J̃_{L}^{∗})R_{K})} .

Dans la formule obtenue le facteur (J̃_{K}^{∗} : Ũ_{K}^{+}R_{K}) n’est autre que C̃ℓs_{K} ; le dénominateur (J̃_{K}^{∗} : N(J̃_{L}^{∗})R_{K}) est égal à [L^{cs} ∩ K^{ab} : K^{cs}] ; et le dernier facteur s’écrit encore :

(Ũ_{K}^{+}R_{K} : N(Ũ_{L}^{+})R_{K}) = \frac{(Ũ_{K}^{+} : N(Ũ_{L}^{+}))}{(R_{K} ∩ Ũ_{K}^{+} : R_{K} ∩ N(Ũ_{L}^{+}))} = \frac{∏_{𝔭}(Ũ_{𝔭}^{+} : N_{L_{𝔓}/K_{𝔭}}(Ũ_{𝔓}^{+}))}{(Ẽ_{K}^{+} : Ẽ_{K}^{+} ∩ N_{L/K}(Ũ_{L}^{+}))}

puisque l’intersection de R_{K} avec N_{L/K}(Ũ_{L}^{+}) est évidemment contenue dans le sous-groupe Ẽ_{K}^{+} des unités logarithmiques positives globales du corps K.

Lemme 19. Pour chaque place 𝔭 du corps K, l’indice normique e_{𝔭}^{ab+}(L/K) = (Ũ_{𝔭}^{+} : N_{L_{𝔓}/K_{𝔭}}(Ũ_{𝔓}^{+})) est donné par la formule suivante (où e_{𝔭}^{ab}(L/K) désigne l’indice de ramification abélianisé de la place 𝔭 dans l’extension L/K) :

(i) e_{𝔭}^{ab+}(L/K) = e_{𝔭}^{ab}(L/K) = 1, lorsque 𝔭 est réelle ;

(ii) e_{𝔭}^{ab+}(L/K) = e_{𝔭}^{ab}(L/K), lorsque 𝔭 est finie impaire ;

(iii) e_{𝔭}^{ab+}(L/K) = \{ \begin{matrix}e_{𝔭}^{ab}(L/K), pour 𝔭 paire non contenue dans P LD_{L/K}, \\ \frac{1}{2} e_{𝔭}^{ab}(L/K), pour 𝔭 paire contenue dans P LD_{L/K}. \end{matrix}

Preuve. Pour chaque place 𝔭 de K et 𝔓 arbitraire de L au-dessus de 𝔭, désignons par L_{𝔭}^{ab} la sous-extension maximale de L_{𝔓} qui est abélienne sur K_{𝔭}.

Si 𝔭 et réelle, nous avons trivialement Ũ_{𝔭}^{+} = 1, d’où e_{𝔭}^{ab+}(L/K) = 1 ; si 𝔭 est finie mais impaire nous avons Ũ_{𝔭}^{+} = Ũ_{𝔭} et Ũ_{𝔓}^{+} = Ũ_{𝔓}, d’où directement : (Ũ_{𝔭}^{+} : N_{L_{𝔓}/K_{𝔭}}(Ũ_{𝔓}^{+})) = (Ũ_{𝔭} : N_{L_{𝔓}/K_{𝔭}}(Ũ_{𝔓})) = (Ũ_{𝔭} : N_{L_{𝔭}^{ab}/K_{𝔭}}(Ũ_{𝔭}^{ab})) = e_{𝔭}^{ab}(L/K) par définition de l’indice de ramification logarithmique (cf. [J1]) ; enfin, si 𝔭 est paire, nous pouvons écrire (en abrégeant N_{L_{𝔓}/K_{𝔭}} par N) :

e_{𝔭}^{ab+}(L/K) = (Ũ_{𝔭}^{+} : N(Ũ_{𝔓}^{+})) = \frac{(Ũ_{𝔭} : N(Ũ_{𝔓}))(N(Ũ_{𝔓}) : N(Ũ_{𝔓}^{+}))}{(Ũ_{𝔭} : Ũ_{𝔭}^{+})} ;

Maintenant, l’indice (Ũ_{𝔭} : Ũ_{𝔭}^{+}) au dénominateur est égal à 1 ou 2 ; et le deuxième cas n’a lieu que si la place 𝔭 est logarithmiquement signée dans K. Dans cette hypothèse, l’indice (N(Ũ_{𝔓}) : N(Ũ_{𝔓}^{+})) au numérateur n’est lui même égal à 2 que si les places 𝔓 au-dessus de 𝔭 sont encore logarithmiquement signées dans L. En fin de compte le quotient (Ũ_{𝔭} : Ũ_{𝔭}^{+})/(N(Ũ_{𝔓}) : N(Ũ_{𝔓}^{+})) vaut donc 2 si 𝔭 est dans P LD_{L/K} et 1 dans tous les autres cas. Quant à l’indice (Ũ_{𝔭} : N(Ũ_{𝔓})), c’est tout simplement e_{𝔭}^{ab}(L/K), comme plus haut.

Nous pouvons donc énoncer :

Théorème 20. Dans une 2-extension L/K de corps de nombres, le genre logarithmique signé est donné par la formule :

|G̃ℓs_{L/K}| = \frac{|C̃ℓs_{K}|}{[L^{cs} ∩ K^{ab} : K^{cs}]} \frac{∏_{𝔭} e_{𝔭}^{ab}(L/K)}{2^{|P LD_{L/K}^{2}|}(Ẽ_{K}^{+} : Ẽ_{K}^{+} ∩ N_{L/K}(Ũ_{L}^{+}))}

Dans celle-ci Ẽ_{K}^{+} désigne le 2-groupe des unités logarithmiques positives de K et , pour chaque place 𝔭 du corps de base, e_{𝔭}^{ab}(L/K) est l’indice de ramification logarithmique de la sous-extension abélienne maximale L_{𝔭}^{ab}/K_{𝔭} associée à l’extension locale L_{𝔓}/K_{𝔭}.

Remarques.

(i) Contrairement à la formule des classes ambiges qui ne vaut que dans le cas cyclique, la formule des genres ne requiert aucune hypothèse sur la nature de l’extension L/K. Elle ne suppose pas non plus que K vérifie la conjecture de Gross (pour le premier 2 : lorsque celle-ci est en défaut dans K, la formule obtenue montre que G̃ℓs_{L/K} est infini, et le corps L ne la vérifie pas non plus.

(ii) Pour K fixé (en particulier dès que C̃ℓs_{K} et Ẽ_{K} sont donnés), la formule obtenue ne fait intervenir que les propriétés galoisiennes ou locales de l’extension considérée, et non ses propriétés globales.

Corollaire 21. Dans une 2-extension abélienne L/K de corps de nombres logaritmiquement signés, le genre logarithmique signé est donné par la formule :

|G̃ℓs_{L/K}| = \frac{|C̃ℓs_{K}|}{[L^{c} : K^{c}]} \frac{∏_{𝔭} ẽ_{𝔭}(L/K)}{2^{|P LD_{L/K}^{2}|} (Ẽ_{K}^{+} : Ẽ_{K}^{+} ∩ N_{L/K}(Ũ_{L}^{+}))}

Preuve. Seule reste à vérifier l’égalité [L^{cs} : K^{cs}] = [L^{c} : K^{c}], qui résulte du fait qu’on a i ∉ L^{c}, puisque le corps L est réputé logarithmiquement signé.

Le corollaire 21 ci-dessus nous donne ainsi une condition nécessaire de trivialité du 2-groupe des classes logarithmiques signées dans une 2-extension abélienne de corps de nombres, qui généralise exactement celle obtenue dans le cas cyclique à l’aide de la formule des classes ambiges. Pour obtenir en retour un critère suffisant, il convient cependant de remplacer le quotient des genres par un invariant plus fin, le 2-groupe des classes logarithmiques signées centrales, que nous allons maintenant introduire :

Définition & Théorème 22. Nous appelons 2-groupe des classes logarithmiques signées centrales attaché à une 2-extension (galoisienne) L/K de corps de nombres le plus grand quotient ^{G}C̃ℓs_{L} = C̃ℓs_{L}/C̃ℓs_{L}^{I_{G}} = J̃_{L}^{∗}/J̃_{L}^{∗I_{G}} Ũ_{L}^{+}R_{L} du groupe C̃ℓs_{L} sur lequel le groupe de Galois G = Gal(L/K) opère trivialement.

(i) La condition ^{G}C̃ℓs_{L} = 0 caractérise les 2-extensions L de K qui ont un 2-groupe C̃ℓs_{L} trivial. En d’autres termes, on a : C̃ℓs_{L} = 0 ⇔ ^{G}C̃ℓs_{L} = 0.

(ii) Le nombre de classes logarithmiques centrales est donné, avec les notations du théorème précédent par la formule :

|^{G}C̃ℓs_{L}| = \frac{|C̃ℓs_{K}|}{[L^{cs} ∩ K^{ab} : K^{cs}]} \frac{∏_{𝔭} e_{𝔭}^{ab}(L/K) κ_{L/K}}{2^{|P LD_{L/K}^{2}|}(Ẽ_{K}^{+} : N(R_{L}) ∩ N(Ũ_{L}^{+}))} c_{L/K},

où N_{L/K}^{loc} est le sous-groupe de R_{K} formé des éléments qui sont normes locales, κ_{L/K} = (N_{L/K}^{loc} : N_{L/K}R_{L}) désigne le nombre de noeuds de l’extension L/K et

l’indice c_{L/K} = (J_{L}^{I_{G}} Ũ_{L}^{+}R_{L} : J̃_{L}^{∗I_{G}} Ũ_{L}^{+}R_{L}) est induit par la formule du produit pour les valeurs absolues.

Remarque. Comme expliqué dans [J1] et [AJ], le nombre de noeuds κ_{L/K} est un invariant purement galoisien de l’extension L/K. Par exemple, si G est abélien, il est égal à l’indice dans le carré extérieur G ∧ G de G du sous-groupe engendré par les D_{𝔭} ∧ D_{𝔭} lorsque D_{𝔭} décrit les groupes de décomposition des places de K. En particulier, il vaut 1 dans le cas cyclique.

Preuve du théorème. L’assertion (i) est purement algébrique : si G est un 2groupe fini, l’idéal d’augmentation I_{G} de l’algèbre 2-adique ℤ_{2}[G] est topologiquement nilpotent, de sorte que pour tout ℤ_{2}[G]-module noéthérien M, on a, en notations additives : M = 0 ⇔ M = I_{G} M, en vertu du lemme de Nakayama. Et tout le problème est donc d’évaluer le nombre de classes centrales.

Ecrivons le pour cela comme produit de trois entiers sous la forme :

|^{G}C̃ℓs_{L}| = (J̃_{L}^{∗} : J̃_{L}^{∗I_{G}} Ũ_{L}^{+}R_{L}) = abc avec \{ \begin{matrix}a = (J̃_{L}^{∗} : ^{−1}N(N(Ũ_{L}^{+})R_{K})) \\ b = (^{−1}N(N(Ũ_{L}^{+})R_{K}) : J_{L}^{I_{G}} Ũ_{L}^{+}R_{L}) \\ c = (J_{L}^{I_{G}} Ũ_{L}^{+}R_{L} : J̃_{L}^{∗I_{G}} Ũ_{L}^{+}R_{L}) ; \end{matrix}

et examinons successivement chacun des trois facteurs :

(a) Le premier facteur a n’est autre que le nombre de genres signés |Gℓs_{L/K}| puisque l’égalité L^{cs} = LK^{cs} entraîne ^{−1}N(N(J̃_{L}^{∗})R_{K}) = ^{−1}N(J̃_{K}^{∗}) = J̃_{L}^{∗}.

(b) Transporté par la norme globale N = N_{L/K}, le second b s’écrit encore :

(N(Ũ_{L}^{+})(R_{K}∩N(J_{L})) : N(Ũ_{L}^{+})N(R_{L})) = \frac{(R_{K} ∩ N(J_{L}) : N(R_{L}))}{((R_{K} ∩ N(Ũ_{L}^{+})N(R_{L})) : N(R_{L}))}; or :

Lemme 23. Soit N_{L/K} = R_{K} ∩ N_{L/K}(J_{L}). Alors, dans le quotient précédent,

(i) le numérateur (R_{K} ∩ N(J_{L}) : N(R_{L})) = (N_{L/K} : N(R_{L})) est le nombre de noeuds de l’extension L/K,

(ii) et le dénominateur vaut (Ẽ_{K}^{+} ∩ N(Ũ_{L}^{+}) : N(R_{L}) ∩ N(Ũ_{L}^{+})).

Preuve. On a : (R_{K} ∩N(Ũ_{L}^{+})N(R_{L}))/N(R_{L}) ≃ R_{K} ∩N(Ũ_{L}^{+})/N(R_{L})∩N(Ũ_{L}^{+}).

(c) Enfin, il est intéressant de remarquer que le dernier facteur c s’écrit :

c = c_{L/K} = (J_{L}^{I_{G}} Ũ_{L}^{+}R_{K} : J̃_{L}^{I_{G}} Ũ_{L}^{+}R_{K})(J̃_{L}^{I_{G}} Ũ_{L}^{+}R_{K} : J̃_{L}^{∗I_{G}} Ũ_{L}^{+}R_{K}),

les deux indices étant induits par la formule du produit, le premier pour les valuations logarithmiques, le second pour les signatures.

Corollaire 24. Sous les hypothèses du théorème, le 2-groupe C̃ℓs_{L} des classes logarithmiques signées du corps L est trivial si et seulement si les trois conditions suivantes sont réalisées :

(i) a = 1, i.e. |G̃ℓs_{L/K}| = 1 ;

(ii) b = 1, i.e. (Ẽ_{K}^{+} ∩ N(Ũ_{L}^{+}) : N(R_{L}) ∩ N(Ũ_{L}^{+})) = κ_{L/K} ;

(iii) c = 1, i.e. J_{L}^{I_{G}} Ũ_{L}^{+}R_{L} = J̃_{L}^{I_{G}} Ũ_{L}^{+}R_{L} = J̃_{L}^{∗I_{G}} Ũ_{L}^{+}R_{L}.

Remarque. En dehors du cas cyclique, où s’applique le principe de Hasse, le calcul de l’indice normique (Ẽ_{K} : N_{L/K}R_{L} ∩ N_{L/K}U_{L}^{+}) ne relève pas des seules méthodes locales mais fait intervenir de façon effective l’arithmétique globale de l’extension considérée.

Index des principales Notations

Notations attachées à un corps local K_{𝔭} :

R_{𝔭} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×2^{n}} : le compactifié 2-adique du groupe multiplicatif K_{𝔭}^{×} ; μ_{𝔭} = R_{𝔭}^{× tor} : le 2-groupe des racines de l’unité dans K_{𝔭} ; v_{𝔭}( ) : la valuation (au sens ordinaire) sur R_{𝔭} à valeurs dans ℤ_{2} ; U_{𝔭} = Ker v_{𝔭} le sous-groupe unité de R_{𝔭} ; ṽ_{𝔭}( ) : la valuation logarithmique sur R_{𝔭} à valeurs dans ℤ_{2} ; Ũ_{𝔭} = Ker ṽ_{𝔭} : le sous-groupe des unités logarithmiques dans R_{𝔭} ; | |_{𝔭} : la valeur absolue 2-adique sur R_{𝔭} à valeurs dans ℤ_{2}^{×} ; Ũ_{𝔭}^{+} = Ker | |_{𝔭} : le sous-groupe des unités logarithmiques positives de R_{𝔭} ; sg_{𝔭}( ) = ε(| |_{𝔭}) : la fonction signe sur R_{𝔭} à valeurs dans ±1 ; R_{𝔭}^{+} = Ker sg_{𝔭} : le sous-groupe des éléments positifs de R_{𝔭}.

Notations attachées à un corps de nombres K :

J_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{𝔭} : le 2-adifié du groupe des idèles de K ; R_{K} = ℤ_{2} ⊗_{ℤ} K^{×} : le sous-groupe des idèles principaux ; Ũ_{K} = ∏_{𝔭} Ũ_{𝔭} : le groupe des unités logarithmiques locales ; Ẽ_{K} = R_{K} ∩ Ũ_{K} : le groupe des unités logarithmiques globales ; Dℓ_{K} ≃ J_{K}/Ũ_{K} : le groupe des diviseurs logarithmiques (au sens ordinaire) ; J̃_{K} le sous-module des éléments de degré nul dans J_{K} ; D̃ℓ_{K} ≃ J̃_{K}/Ũ_{K} : le groupe des diviseurs logarithmiques de degré nul ; P̃ℓ_{K} ≃ R_{K}/Ẽ_{K} : le sous-groupe des diviseurs logarithmiques principaux ; C̃ℓ_{K} = D̃ℓ_{K}/P̃ℓ_{K} : le groupe des classes logarithmiques (au sens ordinaire) ; J̃_{K}^{∗} : le noyau dans J_{K} de la formule du produit pour les valeurs absolues ; Ũ_{K}^{∗} = Ũ_{K} ∩ J̃_{K}^{∗} : le sous-groupe unité de J̃_{K}^{∗} ; J̃_{K}^{+} : le sous-groupe logarithmiquement positif de J̃_{K}^{∗} ; R_{K}^{+} = R_{K} ∩ J̃_{K}^{+} : le sous-groupe logarithmiquement positif de R_{K} ; Ũ_{K}^{+} = Ũ_{K} ∩ J̃_{K}^{+} : le sous-groupe unité de J̃_{K}^{+} ; Ẽ_{K}^{+} = Ẽ_{K} ∩ J̃_{K}^{+} : le sous-groupe logarithmiquement positif de Ẽ_{K} ; P̃ℓ_{K}^{+} ≃ R_{K}^{+}/Ẽ_{K}^{+} : le sous-groupe principal totalement positif de D̃ℓ_{K} ; C̃ℓ_{K}^{+} = D̃ℓ_{K}/P̃ℓ_{K}^{+} : le groupe des classes logarithmiques positives ; D̃ℓs_{K} ≃ J̃_{K}^{∗}/Ũ_{K}^{+} : le groupe des diviseurs logarithmiques signés ; P̃ℓs_{K} ≃ R_{K}/Ẽ_{K}^{+} : le sous-groupe principal de D̃ℓs_{K} ; C̃ℓs_{K} = D̃ℓs_{K}/P̃ℓs_{K} : le groupe des classes logarithmiques signées ;

S̃gℓ_{K} ≃ J̃_{K}^{∗}/J̃_{K}^{+} : le groupe des signatures logarithmiques du corps K ;

Notations attachées à une 2-extension L/K de corps de nombres :

P LS_{L/K} : l’ensemble des places logarithmiquement signées dans L/K ; P LD_{L/K} : l’ensemble des places logarithmiquement dessignées dans L/K ; κ_{L/K} = (N_{L/K}^{loc} : N_{L/K}R_{L}) : le nombre de noeuds de l’extension L/K.

Bibliographie

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[S1] F. Soriano, Classes logarithmiques ambiges des corps quadratiques, Acta Arith. 78 (1997), 201-219.

[S2] F. Soriano, Classes logarithmiques au sens restreint, Manuscripta Math. 93 (1997), 409-420.

[S3] F. Soriano, Classes logarithmiques généralisées ambiges, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 68 (1998) , 329-338.

Jean-François Jaulent Institut de Mathématiques Université Bordeaux I 351, cours de la Libération F-33405 Talence Cedex email : jaulent@math.u-bordeaux.fr