Sur les formules asymptotiques le long des ℤ_{ℓ}-extensions^{∗}

par

Jean-François Jaulent, Christian Maire & Guillaume Perbet

Résumé. Soit K_{∞} une ℤ_{ℓ}-extension d’un corps de nombres K. Dans ce travail, nous précisons les formules asymptotiques données par Jaulent-Maire dans [5] pour les ordres des quotients d’exposant ℓ^{n} des ℓ-groupes de T -classes S-infinitésimales Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) des étages finis K_{n} de la tour K_{∞}/K, en fonction des invariants structurels ρ_{T}^{S}, μ_{T}^{S} et λ_{T}^{S} du module d’Iwasawa X_{T}^{S} := \underleftarrow{lim} Cℓ_{T}^{S} (K_{n}). Nous montrons en particulier que le paramètre lambda de ces quotients peut différer sensiblement de l’invariant structurel λ_{T}^{S} et nous illustrons ces résultats par des exemples explicites dans lesquels il peut être rendu arbitrairement grand ou même arbitrairement négatif.

Abstract. Let K_{∞} be a ℤ_{ℓ}-extension of a number field K. In this paper we clarify some asymptotic formulas given by Jaulent-Maire in [5], relating orders of ℓ^{n}-quotients of S-infinitesimal T -classes ℓ-groups Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) associated to finite layers K_{n} of the tower K_{∞}/K to structural invariants ρ_{T}^{S}, μ_{T}^{S} and λ_{T}^{S} of the Iwasawa module X_{T}^{S} := \underleftarrow{lim} Cℓ_{T}^{S} (K_{n}). We especially show that the lambda invariant λ̃_{T}^{S} of those quotients can sensibly differ from the structural invariant λ_{T}^{S}, and we illustrate this fact with explicit examples, where it can be made as large as desired, positive or negative.

1 Introduction

Supposons donnés un corps de nombres K, un premier ℓ et une ℤ_{ℓ}-extension K_{∞} de K.

Le résultat emblématique de la théorie d’Iwasawa (cf. e.g. [8]) affirme que les ordres respectifs ℓ^{x(n)} des ℓ-groupes de classes d’idéaux Cℓ(K_{n}) attachés aux étages finis de la tour K_{∞}/K, de degrés respectifs [K_{n} : K] = ℓ^{n} sont donnés pour n assez grand par une formule explicite de la forme :

x(n) = μℓ^{n} + λn + ν,

où ν est un entier relatif (éventuellement négatif), mais où λ et μ sont des entiers naturels déterminés par la pseudo-décomposition de la limite projective X = \underleftarrow{lim} Cℓ(K_{n}), regardée comme module de torsion sur l’algèbre d’Iwasawa Λ = ℤ_{ℓ}[[γ −1]] construite sur un générateur topologique γ du groupe procyclique Γ = Gal(K_{∞}/K). Il est alors commode de réécrire l’égalité précédente sous une forme ne faisant intervenir que ces deux derniers paramètres :

x(n) ≈ μℓ^{n} + λn,

en convenant de tenir pour équivalentes deux suites d’entiers dont la différence est ultimement constante. L’identité obtenue vaut alors identiquement si l’on remplace les ℓ-groupes Cℓ(K_{n}) par leurs quotients respectifs d’exposant ℓ^{n} (ou ℓ^{n+k}, pour k fixé), comme expliqué dans [2].

Soient maintenant S et T deux ensembles finis disjoints de places de K; et soit Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) le pro-ℓ-groupe des T -classes S-infinitésimales de K_{n}. Ce pro-ℓ-groupe correspond, par la théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. [3]), à la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K_{n} qui est non-ramifiée en dehors des places divisant celles de S et totalement décomposée aux places audessus de celles de T ; et c’est en particulier un ℤ_{ℓ}-module de type fini. Son quotient d’exposant ℓ^{n}, disons ^{ℓ^{n}}Cℓ_{T}^{S} (K_{n}), est ainsi un ℓ-groupe ; et on s’attend à ce que la ℓ-valuation x_{T}^{S} (n) de son ordre s’exprime asymptotiquement de façon simple à partir des invariants structurels du module d’Iwasawa limite projective pour les applications normes :

∗Ann. Math. Quebec 37 (2013), 63–78

X_{T}^{S} := \underleftarrow{lim} Cℓ_{T}^{S} (K_{n}).

C’est le programme initié dans [2], puis développé dans [5] et dans [4]. La formule obtenue

x_{T}^{S} (n) ≈ ρ_{T}^{S} nℓ^{n} + μ_{T}^{S} ℓ^{n} + λ_{T}^{S} n,

en dehors du cas spécial décrit plus loin (cf. Proposition 3), fait ainsi intervenir la dimension ρ_{T}^{S} du Λ-module X_{T}^{S} (i.e. la dimension sur le corps des fractions Φ de l’anneau Λ du tensorisé Φ ⊗_{Λ} X_{T}^{S}) ainsi que la ℓ-valuation μ_{T}^{S} et le degré λ_{T}^{S} du polynôme caractéristique de son sous-module de Λ-torsion T_{T}^{S}.

Or, si cette formule est bien vérifiée dans nombre de situations (en particulier dés que le Λmodule X_{T}^{S} est de torsion), les calculs de Salle [7] font clairement apparaître qu’elle peut être en défaut, y compris dans le cas particulier des extensions cyclotomiques, par exemple lorsque l’invariant ρ_{T}^{S} est non nul et l’ensemble T non vide.

Le but du présent article est de rectifier les deux corollaires erronés (1.7 & 1.8) énoncés sans démonstration dans [4] et de produire une formule exacte. Le point essentiel est que les groupes de classes Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) ne sont pas donnés de façon simple (en dehors du cas spécial) comme quotients des genres à partir de leur limite projective X_{T}^{S}, mais mettent en jeu non trivialement un module arithmétique, d’impact effectivement négligeable lorsque le Λ-module X_{T}^{S} est de torsion, mais non en général. La formule corrigée (cf. Théorème 5)

x_{T}^{S} (n) ≃ ρ_{T}^{S} nℓ^{n} + μ_{T}^{S} ℓ^{n} + (λ_{T}^{S} − κ_{T}^{S}) n,

fait alors apparétre un nouvel invariant κ_{T}^{S}, qui s’interprète comme le degré d’un polynôme cyclotomique convenable. La conséquence la plus spectaculaire est que le paramètre lambda effectif, qui intervient dans la formule i.e.

λ̃_{T}^{S} := λ_{T}^{S} − κ_{T}^{S}

peut être strictement négatif. Nous donnons en particulier des exemples trés simples de tours cyclotomiques dans lesquelles, par un choix convenable de S et de T, il peut être rendu arbitrairement grand ou, au contraire, arbitrairement négatif.

2 Énoncé du Théorème principal

2.1 Notations et conventions

Pour la commodité du lecteur, nous regroupons dans cette section les principales notations que nous utilisons tout au long de l’article.

— ℓ est un nombre premier (qui peut être 2) ;

— K est un corps de nombres et K_{∞} une ℤ_{ℓ}-extension arbitraire de K;

— K_{n} est l’unique sous-corps de K_{∞} de degré ℓ^{n} sur K (on a ainsi K = K_{0}) ;

— Γ = γ^{ℤ_{ℓ}} est le groupe procyclique Gal(K_{∞}/K) et γ un (pro-)générateur ;

— Λ = ℤ_{ℓ}[[γ − 1]] est l’algèbre d’Iwasawa associée à Γ ;

— Φ = ℚ_{ℓ}((γ − 1)) est le corps des fractions de l’anneau Λ ;

— ω_{n} est le polynôme γ^{ℓ^{n}} − 1 de l’anneau ℤ_{ℓ}[γ − 1] = ℤ_{ℓ}[γ] ;

— ω_{n,e} désigne le quotient ω_{n}/ω_{e} pour n > e (les ω_{i+1,i} sont ainsi les polynômes cyclotomiques ; ils sont irréductibles dans l’anneau ℤ_{ℓ}[γ − 1]) ;

— ∇_{n} est l’idéal de Λ engendré par le polynôme ω_{n} et l’élément ℓ^{n}.

— S et T sont deux ensembles finis disjoints (éventuellement vides) de places de K; — T^{td} l’ensemble des places de T totalement décomposées dans la tour K_{∞}/K et T^{fd} celui

des places de T finiment décomposées dans la tour ;

— R est l’ensemble des places ultimement ramifiées dans K_{∞}/K (dans le cas de la tour cyclotomique, c’est l’ensemble des places de K au-dessus de ℓ) ;

— Pour un ensemble V de places de K, on note V_{∞} l’ensemble des places de K_{∞} au-dessus de celles de V.

— Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) est le pro-ℓ-groupe des T -classes S-infinitésimales du corps K_{n} (que la théorie du corps de classes identifie au groupe de Galois de la pro-ℓ-extension abélienne S-ramifiée T -décomposée maximale de K_{n}) ;

— x_{T}^{S} (n) = ν_{ℓ}(|^{ℓ^{n}}Cℓ_{T}^{S} (K_{n})|) est la valuation ℓ-adique du cardinal du quotient d’exposant ℓ^{n} du ℤ_{ℓ}-module Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) ;

— ρ_{T}^{S}, μ_{T}^{S} et λ̃_{T}^{S} sont les paramètres asymptotiques de la suite x_{T}^{S} (n) (voir la définition 2) ;

— X_{T}^{S}, limite projective des Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) pour la norme, s’identifie au groupe de Galois de la pro-ℓ-extension abélienne S_{∞}-ramifiée T_{∞}-décomposée maximale de K_{∞};

— ρ_{T}^{S}, μ_{T}^{S} et λ_{T}^{S} sont les invariants d’Iwasawa du Λ-module noethérien X_{T}^{S}.

Précisons enfin quelques définitions :

Définition 1. Soient (a_{n})_{n∈ℕ} et (b_{n})_{n∈ℕ} deux suites d’entiers relatifs.

(i) Nous écrivons a_{n} ≃ b_{n}, lorsque la différence a_{n} − b_{n} est bornée. (ii) Nous écrivons a_{n} ≈ b_{n} lorsqu’elle est ultimement constante.

Définition 2. Nous disons qu’une suite (a_{n})_{n∈ℕ} d’entiers relatifs est (i) paramétrée par le triplet (ρ, μ, λ̃) lorsqu’on a : a_{n} ≃ ρnℓ^{n} + μℓ^{n} + λ̃n; (ii) strictement paramétrée par (ρ, μ, λ̃) lorsqu’on a : a_{n} ≈ ρnℓ^{n} + μℓ^{n} + λ̃n.

Dans les deux cas, nous disons alors que ρ, μ et λ̃ sont les paramètres asymptotiques de la suite (a_{n})_{n∈ℕ}.

Remarque. Les conventions ci-dessus différent légèrement de celle de [5] où sont considérés les quotients de ℓ^{n+1}-torsion, ce qui amène à écrire ρ(n + 1)ℓ^{n} au lieu de ρnℓ^{n}. La différence est purement technique et sans conséquence fondamentale comme expliqué plus loin (cf. Scolie 7).

2.2 Codescente arithmétique

La théorie du corps de classes montre que les pro-ℓ-groupes Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) des T -classes S-infinitési-males s’identifient aux groupes de Galois respectifs des pro-ℓ-extensions abéliennes S-ramifiées T - décomposées maximales H_{T}^{S}(K_{n}) des corps K_{n}. Ce sont en particulier des ℤ_{ℓ}-modules noethériens.

Leur limite projective X_{T}^{S} = \underleftarrow{lim} Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) est un Λ-module noethérien, qui s’interprète comme groupe de Galois de la pro-ℓ-extension abélienne S-ramifiée T -décomposée maximale H_{T}^{S}(K_{∞}) du corps K_{∞}.

Le probléme classique de la codescente arithmétique consiste à exprimer les Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) à partir de la limite X_{T}^{S}. Commençons par traiter le cas spécial où les H_{T}^{S}(K_{n}) contiennent K_{∞}, ce qui se produit lorsque l’extension K_{∞}/K est S-ramifiée et T -décomposée, i.e. lorsque T = T^{td} et que S contient l’ensemble R des places ramifiées dans la tour K_{∞}/K.

Dans ce cas, H_{T}^{S}(K_{n}) n’est autre que le sous-corps de H_{T}^{S}(K_{∞}) fixé par ω_{n}X_{T}^{S} (en notations additives) ; et le schéma de corps se présente comme suit :

K K_{n} K_{∞} Γ  Γ_{n} Γ^{ℓ^{n}}  H_{T}^{S}(K_{n})  H_{T}^{S}(K_{∞}) X_{T}^{S}  ω_{n}X_{T}^{S} Cℓ_{T}^{S} (K_{n})  G_{T}^{S}(K)

Proposition 3 (codescente dans le cas spécial). Lorsque la ℤ_{ℓ}-extension K_{∞}/K est S-ramifiée et T -décomposée, pour tout n ⩾ 0 on a la décomposition directe :

Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) ≃ Γ^{ℓ^{n}} ⊕ X_{T}^{S}/ω_{n}X_{T}^{S}.

Ce cas mis à part, les extensions H_{T}^{S}(K_{n})/K_{n} et K_{∞}/K_{n} sont linéairement disjointes pour n assez grand et les groupes Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) apparéssent naturellement comme quotients de leur limite X_{T}^{S}. Plus précisément :

Proposition 4 (codescente dans le cas générique). En dehors du cas spécial, notons e le plus petit entier tel que, dans K_{∞}/K_{e}, les places de R non contenues dans S soient totalement ramifiées et celles de T^{fd} soient non décomposées. Il existe un ℤ_{ℓ}-sous-module noethérien Y_{e} de X_{T}^{S} tel que la somme Y_{e} + ω_{e}X_{T}^{S} soit un Λ-sous-module de X_{T}^{S} et que pour tout n ⩾ e on ait canoniquement :

Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) ≃ X_{T}^{S}/(ω_{n,e}Y_{e} + ω_{n}X_{T}^{S}).

La preuve en est classique (voir par exemple [9], dans le cas S = T = ∅). Précisons néanmoins quelques points. Par un argument de projectivité, le groupe de Galois G_{T}^{S} = Gal(H_{T}^{S}(K_{∞})/K) s’identifie au produit semi-direct de son quotient Γ = γ^{ℤ_{ℓ}} par le sous-groupe normal X_{T}^{S} = Gal(H_{T}^{S}(K_{∞})/K_{∞}) :

G_{T}^{S} ≃ X_{T}^{S} ⋊ Γ;

de sorte que tout élément de G_{T}^{S} s’écrit de façon unique γ^{α}x, avec α ∈ ℤ_{ℓ} et x ∈ X_{T}^{S}, après avoir fait le choix d’un relèvement arbitraire de γ dans G_{T}^{S}(K).

Notons P_{∞} l’ensemble fini des places de K_{∞} qui sont ultimement ramifiées dans la tour K_{∞}/K mais non dans S_{∞}, ou encore contenues dans T_{∞}^{fd}. Pour chaque place de P_{∞}, choisissons une place 𝔭_{∞} de H_{T}^{S}(K_{∞}) qui soit au-dessus ; puis notons G_{𝔭_{∞}} son sous-groupe de décomposition dans G_{T}^{S}(K_{e}) = Gal(H_{T}^{S}(K_{∞})/K_{e}) si 𝔭_{∞} est au-dessus de T_{∞}^{fd}, d’inertie sinon. Par construction, chacun de ces groupes G_{𝔭_{∞}} est procyclique et possède un générateur topologique de la forme γ_{e} x_{𝔭_{∞}} avec γ_{e} = γ^{ℓ^{e}}. De plus, si 𝔭_{∞}^{x} est conjuguée de 𝔭_{∞}, le groupe G_{𝔭_{∞}^{x}} est topologiquement engendré par le conjugué x(γ_{e} x_{𝔭_{∞}})x^{−1} = γ_{e} x_{𝔭_{∞}}x^{γ_{e}−1}.

Il en résulte que la sous-extension maximale de H_{T}^{S}(K_{∞}) qui est abélienne sur K_{e} et simultanément S-ramifiée et T -décomposée est celle fixée par X_{T}^{S (γ_{e}−1)} et les γ_{e} x_{𝔭_{∞}} pour 𝔭_{∞} ∈ P_{∞}. Fixant arbitrairement l’une 𝔭_{∞}^{∘} des places de P_{∞}; posant y_{𝔭_{∞}} = x_{𝔭_{∞}}/x_{𝔭_{∞}^{∘}} ; et notant Y_{e} le ℤ_{ℓ}-module multiplicatif engendré par les y_{𝔭_{∞}}, nous obtenons, comme attendu :

X_{T}^{S} ∩ Gal(H_{T}^{S}(K_{∞})/H_{T}^{S}(K_{e})) = X_{T}^{S (γ_{e}−1)}Y_{e},

ce qui, traduit en notations additives, donne bien :

Cℓ_{T}^{S} (K_{e}) ≃ X_{T}^{S}/(Y_{e} + ω_{e}X_{T}^{S}).

Ce point acquis, le passage de K_{e} à K_{n} pour n ⩾ e se fait en prenant l’image du dénominateur par l’opérateur norme ω_{n,e} = ω_{n}/ω_{e} et donne, comme annoncé :

Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) ≃ X_{T}^{S}/ω_{n,e}(Y_{e} + ω_{e}X_{T}^{S}) = X_{T}^{S}/(ω_{n,e}Y_{e} + ω_{n}X_{T}^{S}).

En résumé l’ensemble de cette discussion peut être illustré par le diagramme :

K K_{n} K_{∞} Γ  Γ^{ℓ^{n}}  H_{T}^{S}(K_{n}) K_{∞}H_{T}^{S}(K_{n})  H_{T}^{S}(K_{∞}) X_{T}^{S} ω_{n}X_{T}^{S} + ω_{n,e}Y_{e} Cℓ_{T}^{S} (K_{n})  G_{T}^{S}(K)

2.3 Le Théorème des paramètres

Nous sommes dés lors en mesure d’énoncer le théorème principal de ce travail qui corrige les résultats de [4] et [5].

Théorème 5 (Théorème des paramètres). Soit K_{∞} une ℤ_{ℓ}-extension d’un corps de nombres K ; et S et T deux ensembles finis disjoints de places de K ; enfin, soit X_{T}^{S} := \underleftarrow{lim} Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) la limite projective (pour la norme) des pro-ℓgroupes de T -classes S-infinitésimales des étages finis K_{n} (de degrés respectifs ℓ^{n}) de la tour K_{∞}/K.

(i) Si l’extension K_{∞}/K est elle-même S-ramifiée et T -décomposée (i.e. dans le cas spécial), la suite x_{T}^{S} (n) des ℓ-valuations des ordres des quotients d’exposant ℓ^{n} des groupes Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) vérifie l’estimation asymptotique :

x_{T}^{S} (n) ≈ ρ_{T}^{S} nℓ^{n} + μ_{T}^{S} ℓ^{n} + (λ_{T}^{S} + 1) n,

où ρ_{T}^{S}, μ_{T}^{S} et λ_{T}^{S} sont les invariants structurels du module d’Iwasawa X_{T}^{S}. (ii) Sinon, il existe un entier naturel κ_{T}^{S} ⩽ ρ_{T}^{S} ℓ^{e}, où e est l’entier défini dans la proposition 4,

tel qu’on ait asymptotiquement :

x_{T}^{S} (n) ≃ ρ_{T}^{S} nℓ^{n} + μ_{T}^{S} ℓ^{n} + (λ_{T}^{S} − κ_{T}^{S}) n,

Précisons quelques situations dans lesquelles le paramètre κ_{T}^{S} est trivial :

Scolie 6. En dehors du cas spécial, le paramètre κ_{T}^{S} se trouve être nul :

(i) lorsque le module X_{T}^{S} est de Λ-torsion (i.e. lorsqu’on a : ρ_{T}^{S} = 0) ;

(ii) et lorsque l’union de l’ensemble des places de R_{∞} non contenues dans S_{∞} et de l’ensemble

des places de T_{∞}^{fd} est un singleton, cas dit trivial. Dans ces deux cas, la suite x_{T}^{S} (n) est paramétrée par les invariants structurels ρ_{T}^{S}, μ_{T}^{S} et λ_{T}^{S} du module d’Iwasawa X_{T}^{S}.

Preuve. Comme nous le verrons plus loin, le paramètre κ_{T}^{S} provient de la contribution de Y_{e} dans la partie libre de X_{T}^{S}. Dans le cas (i), la partie libre de X_{T}^{S} est nulle tandis que dans le cas trivial, le module Y_{e} est nul par construction.

Concluons ce paragraphe en précisant ce qui se passe lorsqu’on remplace les quotients d’exposant ℓ^{n} des groupes Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) par les quotients d’exposant ℓ^{(n+k)}, pour un entier relatif k fixé :

Scolie 7. Sous les hypothèses du Théorème, pour tout entier relatif k fixé, les ℓ-valuations des ordres des quotients d’exposant ℓ^{(n+k)} des pro-ℓ-groupes Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) sont données asymptotiquement par la formule :

x_{T}^{S} (n, k) ≈ ρ_{T}^{S} (n + k)ℓ^{n} + μ_{T}^{S} ℓ^{n} + (λ_{T}^{S} + 1) n,

dans le cas spécial ; et :

x_{T}^{S} (n, k) ≃ ρ_{T}^{S} (n + k)ℓ^{n} + μ_{T}^{S} ℓ^{n} + (λ_{T}^{S} − κ_{T}^{S}) n,

en dehors du cas spécial.

3 Preuve du Théorème des paramètres

Pour chaque entier naturel n, notons ∇_{n} l’idéal de l’anneau Λ engendré par le polynôme ω_{n} et l’élément ℓ^{n}. Nous allons procéder différemment suivant la nature de la codescente galoisienne dans la ℤ_{ℓ}-extension K_{∞}/K.

3.1 Le cas spécial et le cas trivial

Dans le cas spécial où la ℤ_{ℓ}-extension K_{∞}/K est S-ramifiée et T -décomposée, la codescente est décrite par la Proposition 3 :

Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) ≃ Γ^{ℓ^{n}} ⊕ X_{T}^{S}/ω_{n}X_{T}^{S}.

Le cas trivial se produit, lui, lorsque l’union de l’ensemble des places de R_{∞} non contenues dans S_{∞} et de l’ensemble des places de T_{∞}^{fd} est un singleton. Le sous-module Y_{e}, qui intervient dans la codescente décrite dans la proposition 4, est alors trivial ; de sorte que l’on a tout simplement :

Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) ≃ X_{T}^{S}/ω_{n}X_{T}^{S}.

Dans les deux cas, pour évaluer asymptotiquement les ordres des quotients ^{ℓ^{n}}Cℓ_{T}^{S} (K_{n}), il suffit donc d’estimer les indices (X_{T}^{S} : ∇_{n}X_{T}^{S}). C’est ce qui est fait dans [2] et [4]. Pour cela, on se raméne d’abord à un module élémentaire :

Lemme 8 ([4], lemme 1.12). Soit φ : X_{T}^{S} → E un pseudo-isomorphisme entre Λ-modules. Alors il existe des modules finis A et B tels que, pour n assez grand, on ait les suites exactes :

0 → A → X_{T}^{S}/∇_{n}X_{T}^{S} ⟶^{φ} E/∇_{n}E → B → 0.

Le calcul de v_{p}(|E/∇_{n}E|) pour un module élémentaire E est effectué dans [4] et conduit directement aux formules asymptotiques annoncées^{1} :

Théorème 9 ([4], théorème 1.4). Dans le cas spécial, il existe une constante ν_{T}^{S} ∈ ℤ telle que l’on ait :

x_{T}^{S} (n) = ρ_{T}^{S} nℓ^{n} + μ_{T}^{S} ℓ^{n} + (λ_{T}^{S} + 1)n + ν_{T}^{S}.

Dans le cas trivial (i.e. en dehors du cas spécial, mais lorsque le sous-module de descente Y_{e} est trivial), il existe une constante ν_{T}^{S} ∈ ℤ telle que l’on ait :

x_{T}^{S} (n) = ρ_{T}^{S} nℓ^{n} + μ_{T}^{S} ℓ^{n} + λ_{T}^{S} n + ν_{T}^{S}.

1. Avec les différences de conventions rappelées dans la remarque en fin de section 2.1

3.2 Le cas générique

Venons en maintenant au cas général pour lequel le sous-module Y_{e} peut être non trivial. Comme précédemment, nous pouvons toujours nous ramener au cas élémentaire par pseudoisomorphisme :

Lemme 10. Soit φ : X_{T}^{S} → E un pseudo-isomorphisme entre Λ-modules et Y_{e} un sous-ℤ_{ℓ}-module de X_{T}^{S}. On note Y_{e} = φ(Y_{e}). On a :

ν_{ℓ}(|X_{T}^{S}/(∇_{n}X_{T}^{S} + ω_{n,e}Y_{e})|) ≈ ν_{ℓ}(|E/(∇_{n}E + ω_{n,e}Y_{e})|).

Preuve. Pour chaque n assez grand, le lemme 8 fournit les suites exactes :

0 → A → X_{T}^{S}/∇_{n}X_{T}^{S} ⟶^{φ} E/∇_{n}E → B → 0 ;

puis les morphismes entre quotients finis :

X_{T}^{S}/(∇_{n}X_{T}^{S} + ω_{n,e}Y_{e}) ⟶^{φ} E/(∇_{n}E + ω_{n,e}Y_{e}),

de conoyau B et de noyaux A/(A∩ω_{n,e}Y_{e}). Les noyaux vont croissant et sont de cardinal borné par |A| donc stationnaire. La différence entre ℓ-valuations des ordres est ainsi ultimement constante.

Ce point acquis, nous pouvons remplacer X_{T}^{S} par le Λ-module élémentaire E auquel il est pseudo-isomorphe, puis Y_{e} par son image Y_{e} dans E. Et nous sommes alors amenés à déterminer la ℓ-valuation des quotients finis :

E/(∇_{n}E + ω_{n,e}Y_{e}),

pour un module élémentaire E = Λ^{ρ} ⊕ (⊕_{i=1}^{d}Λ/Λf_{i}), avec ρ = ρ_{T}^{S}.

Pour effectuer ce calcul, il n’est pas possible de découper directement selon les facteurs directs de E à cause de la présence du sous-ℤ_{ℓ}-module ω_{n,e}Y_{e}. Pour contourner cette difficulté, nous allons estimer séparément les contributions respectives de la partie libre L = Λ^{ρ} et du sous-module de torsion F = ⊕_{i}Λ/Λf_{i}, en écrivant :

(E : (∇_{n}E + ω_{n,e}Y_{e})) = (E : (F + ∇_{n}E + ω_{n,e}Y_{e})) (F : F ∩ (∇_{n}E + ω_{n,e}Y_{e})) et en évaluant séparément les deux facteurs.

3.2.1 La partie libre

Il s’agit ici de calculer l’indice

(E : (F + ∇_{n}E + ω_{n,e}Y_{e})) = (L : (∇_{n}L + ω_{n,e}Y′_{e})),

où Y′_{e} désigne l’image de Y_{e} dans le quotient E/F ≃ L.

On découpe le calcul de la façon suivante, en posant Z_{e} = ω_{e}L + Y′_{e}, ce qui donne :

(L : (∇_{n}L + ω_{n,e}Y′_{e})) = (L : (ℓ^{n}L + Z_{e}))(Z_{e} : (ℓ^{n}L ∩ Z_{e} + ω_{n,e}Z_{e})).

Pour déterminer le premier indice (L : (ℓ^{n}L + Z_{e})), il est commode d’introduire le pseudoisomorphisme donné par le théorème de structure :

L/Z_{e} ∼ ⊕_{i=1}^{r}Λ/g_{i}Λ,

où les g_{i} sont des polynômes divisant ω_{e}. Il vient alors :

(L : (ℓ^{n}L + Z_{e})) ≈ (Λ^{r} : ⊕(g_{i}Λ + ℓ^{n}Λ)),

quantité qui est paramétrée par le triplet (0, 0, deg(∏ g_{i})). Un calcul de ℤ_{ℓ}-rangs permet alors d’obtenir l’inégalité :

ρℓ^{e} = rg_{ℤ_{ℓ}}(L/ω_{e}L)
⩾ rg_{ℤ_{ℓ}}(L/Z_{e})
= rg_{ℤ_{ℓ}}(⊕_{i=1}^{r}Λ/g_{i}Λ)
= deg (∏ g_{i}).

Le calcul du second indice est un peu plus technique. On se ramène au calcul des deux premiers termes de la suite exacte

(ℓ^{n}L ∩ Z_{e} + ω_{n,e}Z_{e})/ℓ^{n}Z_{e} + ω_{n,e}Z_{e} ↪ Z_{e}/ℓ^{n}Z_{e} + ω_{n,e}Z_{e} ↠ Z_{e}/ℓ^{n}L ∩ Z_{e} + ω_{n,e}Z_{e}

Le Λ-module Z_{e} est sans torsion de rang ρ donc il existe un pseudo-isomorphisme Z_{e} ∼ Λ^{ρ}, qui nous informe que le terme central de la suite est paramétré par (ρ, 0, −ρℓ^{e}). Reste à voir que le noyau est stationnaire. On a

(ℓ^{n}L ∩ Z_{e} + ω_{n,e}Z_{e})/(ℓ^{n}Z_{e} + ω_{n,e}Z_{e}) ≃ (ℓ^{n}L ∩ Z_{e})/(ℓ^{n}Z_{e} + ℓ^{n}L ∩ ω_{n,e}Z_{e}).

Notons ℓ^{−n}Z_{e} = {x ∈ L | ℓ^{n}x ∈ Z_{e}}, de telle sorte que la suite (ℓ^{−n}Z_{e})_{n} est une suite croissante de sous-Λ-modules de L. Cette suite est stationnaire par noethérianité donc il existe un entier α tel que l’on ait : ℓ^{−n}Z_{e} = ℓ^{−α}Z_{e} pour n ⩾ α. Pour de tels n, on a ℓ^{n}L ∩ Z_{e} = ℓ^{n}(ℓ^{−α}Z_{e}) et ℓ^{n}L ∩ ω_{n,e}Z_{e} = ω_{n,e}ℓ^{n}(ℓ^{−α}Z_{e}) par factorialité de L. Ainsi, il vient :

\begin{aligned}(ℓ^{n}L ∩ Z_{e})/(ℓ^{n}Z_{e} + ℓ^{n}L ∩ ω_{n,e}Z_{e}) & = & ℓ^{n}(ℓ^{−α}Z_{e})/ℓ^{n}(Z_{e} + ω_{n,e}(ℓ^{−α}Z_{e})) \\ & ≃ & ℓ^{−α}Z_{e}/(Z_{e} + ω_{n,e}(ℓ^{−α}Z_{e})), \end{aligned} ,

le dernier isomorphisme se justifiant par l’absence de torsion. Et le noyau est stationnaire dés lors que le quotient ℓ^{−α}Z_{e}/Z_{e} est fini. Mais L/ω_{e}L est de type fini sur ℤ_{ℓ}, donc son sous-module ℓ^{−α}Z_{e}/ω_{e}L aussi ; et par suite, son quotient ℓ^{−α}Z_{e}/Z_{e} aussi. Ce dernier quotient étant par définition tué par ℓ^{α}, il est fini.

Finalement, on obtient :

ν_{ℓ}(E : (F + ∇_{n}E + ω_{n,e}Y_{e})) ≈ ρ_{T}^{S} nℓ^{n} − κ_{T}^{S} n,

avec κ_{T}^{S} = ρ_{T}^{S} ℓ^{e} − ∑ deg(g_{i}) compris entre 0 et ρ_{T}^{S} ℓ^{e}.

3.2.2 La partie de torsion

Étudions maintenant le second facteur, i.e. l’indice : (F : F ∩(∇_{n}E+ω_{n,e}Y_{e})). C’est évidemment une fonction décroissante du module de descente Y_{e}. Nous en obtenons donc une majoration très simple en remplaçant Y_{e} par 0 ; et une minoration en remplaçant Y_{e} par la somme directe Y_{e}^{∘} ⊕ Ŷ_{e} = Y_{e}^{∘} ⊕ (⊕_{i=1}^{d}Y_{e}^{(i)}) de ses projections sur les d + 1 facteurs directs L et Λ/f_{i}Λ de la décomposition E = L ⊕ (⊕_{i=1}^{d}Λ/f_{i}Λ).

Dans le premier cas, nous obtenons :

F/(F ∩ ∇_{n}E) = F/∇_{n}F = ⊕_{i=1}^{d}Λ/(∇_{n} + f_{i}Λ) ;

tandis que dans le second, il vient :

F/(F ∩ (∇_{n}E + ω_{n,e}(Y_{e}^{∘} ⊕ Ŷ_{e}))) = F/(∇_{n}F + ω_{n,e}Ŷ_{e})
= ⊕_{i=1}^{d}Λ/(∇_{n} + f_{i}Λ + ω_{n,e}Y_{e}^{(i)}).

Le calcul de l’indice (Λ : ∇_{n} + fΛ) est mené à bien dans [4] §1.2. On a :

(i) ν_{ℓ}((Λ : ∇_{n} + fΛ)) ≈ ℓ^{m}, pour f = ℓ^{m}; et

(ii) ν_{ℓ}((Λ : ∇_{n} + fΛ)) ≈ deg(P) n, si f est un polynôme distingué P. Et il reste à voir qu’on obtient essentiellement le même résultat, lorsqu’on remplace (∇_{n} + fΛ) par (∇_{n} + fΛ + ω_{n,e}Z), pour un ℤ_{ℓ}-module de type fini Z.

Considérons donc le quotient : C = (∇_{n} + fΛ + ω_{n,e}Z)/(∇_{n} + fΛ).

(i) Pour f = ℓ^{m} et n ⩾ m, il vient directement :

C ≃ ω_{n,e}Z/(ω_{n,e}Z ∩ (ℓ^{m}Λ + ω_{n}Λ)) ≃ Z/(Z ∩ (ℓ^{m}Λ + ω_{e}Λ)).

(ii) Et, pour f distingué, le lemme 1.6 de [4] donne, pour n ⩾ n_{∘} assez grand :

(ω_{n,e}Z + ∇_{n} + fΛ)/fΛ = (ℓ^{n−n_{∘}}(ω_{n_{∘},e}Z + ∇_{n_{∘}}) + fΛ)/fΛ ; d’oé : C ≃ (ℓ^{n−n_{∘}}(ω_{n_{∘},e}Z + ∇_{n_{∘}}) + fΛ)/(∇_{n} + fΛ) ≃ ω_{n_{∘},e}Z/(ω_{n_{∘},e}Z ∩ (∇_{n_{∘}} + fΛ)).

En fin de compte, on voit que dans tous les cas le module C est ultimement constant. On a donc

ν_{ℓ}((F : F ∩ (∇_{n}E + ω_{n,e}Y_{e}))) ≃ μ_{T}^{S} ℓ^{n} + λ_{T}^{S} n

ce qui achève la démonstration du Théorème des paramètres.

4 Illustrations arithmétiques

Nous allons maintenant illustrer le résultat obtenu en montrant que le paramètre λ̃_{T}^{S} peut prendre des valeurs arbitrairement grandes, positives comme négatives dans le cas réputé le plus simple des ℤ_{ℓ}-extensions cyclotomiques.

Nous nous appuyons pour cela sur les identités de dualité obtenues par Jaulent et Maire [5], que nous commençons par rappeler.

4.1 Identités du miroir

Supposons que le corps de nombres K contienne le groupe μ_{2ℓ} des racines 2ℓ-ièmes de l’unité. Dans [5], il est alors établi, le long de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K, des identités de dualité mettant en jeu, les paramètres (ρ_{T}^{S} , μ_{T}^{S} , λ̃_{T}^{S}) de x_{T}^{S} (n) et ceux de x_{S}^{T} (n). Ces identités ne sont pas affectées par l’erreur corrigée dans le présent article puisque les suites (x_{T}^{S} (n))_{n∈ℕ} et (x_{S}^{T} (n))_{n∈ℕ} sont paramétrées en vertu du Théorème 5. En ce qui concerne les deux premiers invariants, il est possible de les extraire directement du Théorème 6 de [5] ; pour le troisième invariant, il y a lieu, en revanche, de remplacer l’invariant structurel λ par le paramètre asymptotique λ̃ qui peut en différer sensiblement. Nous donnons ci-dessous la forme correcte du théorème.

Notons s_{∞} = |S_{∞}| et t_{∞} = |T_{∞}| les nombres respectifs de places de K_{∞} au-dessus de S et de T, qui sont finis du fait qu’aucune place n’est totalement décomposée dans l’extension cyclotomique ; puis posons :

δ_{S} = ∑_{𝔭∈S_{ℓ}}[K_{𝔭} : ℚ_{p}] et δ_{T} = ∑_{𝔭∈T_{ℓ}}[K_{𝔭} : ℚ_{p}],

où S_{ℓ} et T_{ℓ} désignent les sous-ensembles de places ℓ-adiques de S et de T.

Avec ces notations, le Théorème du miroir s’énonce comme suit :

Théorème 11 (Jaulent, Maire, [5], théorème 6). Sous les hypothèses suivantes :

(i) Le corps K contient le groupe μ_{2ℓ} des racines 2ℓ-ièmes de l’unité, (ii) K_{∞} est la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K, (iii) S ∪ T contient l’ensemble des places au-dessus de ℓ,

les paramètres associés aux ℓ-groupes ^{ℓ^{n}}Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) de T -classes S-infinitésimales le long de la tour K_{∞}/K vérifient les identités du miroir :

(i) ρ_{T}^{S} + \frac{1}{2}δ_{T} = ρ_{S}^{T} + \frac{1}{2}δ_{S} ;

(ii) μ_{T}^{S} = μ_{S}^{T} ;

(iii) λ̃_{T}^{S} + t_{∞} = λ̃_{S}^{T} + s_{∞}

Ce résultat, qui repose sur les identités de dualité obtenues par G. Gras [1] (lesquelles peuvent être regardées comme la forme la plus aboutie du Spiegelungssatz de Leopoldt), permet d’échanger décomposition et ramification.

4.2 Minoration du paramètre lambda

Une conséquente immédiate des théorèmes de réflexions (et de l’existence des paramètres λ̃_{T}^{S}) est de donner des minorations trés simples de l’invariant λ_{T}^{S} lorsque S contient les places ℓ-adiques.

Proposition 12. Soient K un corps de nombres contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité, K_{∞} sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique, S un ensemble fini de places de K qui contient l’ensemble R de celles ramifiées dans K_{∞}/K (i.e. l’ensemble des places au-dessus de ℓ) et T un ensemble fini de places modérées disjoint de S. Alors

λ_{T}^{S} ⩾ s_{∞} − 1.

En particulier, λ_{T}^{S} est arbitrairement grand avec S.

Preuve. Les identités du miroir nous donnent pour T = ∅ :

λ^{S} + 1 = λ̃^{S} = λ̃_{S} + s_{∞} = λ_{S} + s_{∞} ⩾ s_{∞},

puisque, dans le cas spécial, λ̃^{S} = λ^{S} + 1 et que, pour le module de Λ-torsion X_{S}, le paramètre effectif coïncide avec l’invariant d’Iwasawa. La montée dans la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique ayant épuisé toute possibilité d’inertie aux places modérées, on a banalement X_{T}^{S} = X_{∅}^{S}, donc λ_{T}^{S} = λ^{S}.

4.3 Valeurs négatives du paramètre lambda

Revenons maintenant sur le contexte général du théorème des paramètres : les invariants structurels d’un Λ-module étant des entiers naturels, le théorème 5 nous donne les minorations :

Proposition 13. Le cas spécial mis à part, sous les hypothèses du Théorème des paramètres, les paramètres lambda vérifient l’inégalité :

λ̃_{T}^{S} = λ_{T}^{S} − κ_{T}^{S} ⩾ −κ_{T}^{S} ⩾ −ρ_{T}^{S} ℓ^{e}

où e est l’entier défini dans la proposition 4.

Nous allons voir que cette borne inférieure est effectivement atteinte et montrer en particulier que le paramètre λ̃_{T}^{S} peut ainsi être arbitrairement négatif.

Pour cela, nous allons nous replacer dans le contexte cyclotomique.

• Exemple 1 : ℓ=2 , K = ℚ[i]

Proposition 14. Prenons ℓ=2, e ⩾ 0 arbitraire, K = K_{0} = ℚ[i] et notons K_{∞} = ⋃_{n∈ℕ} K_{n} la ℤ_{2}-extension cyclotomique de K. Prenons S = R = {𝔩}, où 𝔩 est l’unique place de K audessus de 2, et T = {𝔭_{1}, 𝔭_{2}}, où 𝔭_{1} et 𝔭_{2} sont les deux places de K au-dessus d’un premier p ≠ 2 complètement décomposé dans K_{e}/ℚ et inerte dans K_{∞}/K_{e} (i.e. vérifiant la congruence : p ≡ 1 + 2^{e+1} mod 2^{e+2}).

Les invariants structurels et les paramètres attachés aux ℓ-groupes Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) de T -classes Sinfinitésimales sont alors :

ρ_{T}^{S} = 1,  μ_{T}^{S} = 0,  λ_{T}^{S} = 0,  λ̃_{T}^{S} = −2^{e}.

Preuve. Déterminons tout d’abord le module à l’infini X_{T}^{S}. Comme on est au-dessus de la ℤ_{2}- extension cyclotomique, on a X_{T}^{S} = X^{S} du fait que les places modérées non ramifiées sont totalement décomposées au-dessus de K_{∞}. Il est bien connu que X^{S} est Λ-libre et de rang 1 dans ce cadre (cf. e.g. [9]). Expliquons brièvement pourquoi :

— d’un côté, les théorèmes de dualité (cf. Th. 11 (i)) donnent directement :

ρ^{S} = \frac{1}{2}δ_{S} = \frac{1}{2}[K_{𝔩} : ℚ_{2}] = 1.

— d’un autre, le radical kummérien de la 2-extension 2-ramifiée 2-élémentaire maximale M de K est E′_{K}/E′_{K}^{2} ≃ (ℤ/2ℤ)^{2}, où E′_{K} désigne le groupe des p-unités de K; ainsi X^{S}/∇_{0}X^{S} ≃ Gal(M/K_{1}) est cyclique et X^{S} est Λ-monogène.

En résumé, on a donc X_{T}^{S} = X^{S} ≃ Λ et, en particulier, ρ_{T}^{S} = 1 mais μ_{T}^{S} = λ_{T}^{S} = 0.

Ce point acquis, pour tout n ⩾ e, la codescente pour Cℓ_{T}^{S} s’écrit :

Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) ≃ X_{T}^{S}/ω_{n,e}(ω_{e}X_{T}^{S} + Y_{e}) avec Cℓ_{T}^{S} (K_{e}) ≃ X_{T}^{S}/(ω_{e}X_{T}^{S} + Y_{e}).

Maintenant, la théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. [3]) nous dit que le rang essentiel du groupe Cℓ_{T}^{S} (K_{e}) est égal à celui du module U_{𝔩}(K_{e})/s_{2}(E^{T}(K_{e})), quotient du 2-groupe des unités locales attaché à l’unique place 2-adique de K_{e} par l’image canonique du ℤ_{2}-tensorisé du groupe des T -unités E^{T}(K_{e}) de K_{e}.

Or, à un fini prés, U_{𝔩}(K_{e}) définit la représentation régulière du groupe de Galois G_{e} = Gal(K_{e}/ℚ) et E^{T}(K_{e}) contient de même la représentation régulière du fait que p est totalement décomposé dans K_{e}/ℚ. La conjecture de Jaulent (cf. e.g. [3]), qui est ici vérifiée puisque G_{e} est abélien, nous assure que s_{2}(E^{T}(K_{e})) la contient encore ; ce qui montre que le groupe Cℓ_{T}^{S} (K_{e}) est fini.

Il vient donc :

(ω_{e}X_{T}^{S} + Y_{e}) ∼ X_{T}^{S} ≃ Λ et Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) ∼ X_{T}^{S}/ω_{n,e}X_{T}^{S} ≃ Λ/ω_{n,e}Λ

avec ω_{n,e} = ω_{n}/ω_{e}; ce qui donne bien : λ̃_{T}^{S} = − deg ω_{e} = −2^{e}, comme annoncé.

• Exemple 2 : ℓ premier régulier, K = ℚ[ζ_{ℓ}]

Proposition 15. Soit ℓ > 2 un nombre premier régulier, e ⩾ 0 arbitraire, K = K_{0} = ℚ[ζ_{ℓ}] le ℓ-ième corps cyclotomique et K_{∞} = ⋃_{n∈ℕ} K_{n} la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K. Prenons S = R = {𝔩}, où 𝔩 est l’unique place de K au-dessus de ℓ, et T = {𝔭_{1}, ⋯, 𝔭_{ℓ−1}}, où les 𝔭_{i} sont audessus d’un premier p complètement décomposé dans K_{e}/ℚ et inerte dans K_{∞}/K_{e} (i.e. vérifiant la congruence : p ≡ 1 + ℓ^{e} mod ℓ^{e+1}).

Les invariants structurels et les paramètres attachés aux ℓ-groupes Cℓ_{T}^{S} (K_{n}) de T -classes Sinfinitésimales sont alors :

ρ_{T}^{S} = (ℓ − 1)/2,  μ_{T}^{S} = 0,  λ_{T}^{S} = 0,  λ̃_{T}^{S} = −ℓ^{e}(ℓ − 1)/2.

Preuve. Introduisons le groupe de Galois Δ = Gal(K/ℚ) et notons Δ^{∗} le groupe des caractères ℓ-adiques de Δ. À chaque élément φ de Δ^{∗} correspond alors un idempotent primitif e_{φ} de l’algèbre de groupe ℤ_{ℓ}[Δ], ce qui permet d’écrire canoniquement tout Λ[Δ]-module comme somme directe de ses φ-composantes.

Ceci vaut en particulier pour les groupes X_{T}^{S} = X^{S} :

— Si φ est réel (i.e. si φ prend la valeur +1 sur la conjugaison complexe), l’hypothèse de régularité entraîne la trivialité de la φ-composante (X^{S})_{φ}.

— Si φ est imaginaire (i.e. si φ prend la valeur -1 sur la conjugaison complexe), il vient au contraire, comme plus haut : (X^{S})_{φ} ≃ Λe_{φ} ≃ Λ.

Les arguments développés dans l’exemple précédent appliqués mutatis mutandis aux φ-compo-santes des pro-ℓ-groupes de T -classes S-infinitésimales donnent donc :

(i) ρ = μ = λ = λ̃ = 0, pour les φ réels ;

(ii) ρ = 1 et μ = λ = 0 mais λ̃ = −ℓ^{e}, pour les φ imaginaires. D’où le résultat attendu en sommant sur les (ℓ − 1) caractères du groupe Δ.

Références

[1] G. Gras, Théorèmes de réflexion, J. Théor. Nombres de Bordeaux 10 n^{o} 2 (1998), 399–499.

[2] J.-F Jaulent, L’arithmétique des l-extensions (Thése d’État), Pub. Math. Fac. Sci. Besançon Théor. Nombres 1985–86 (1986).

[3] J.-F. Jaulent, T héorie ℓ-adique globale du corps de classes, J. Théor. Nombres Bordeaux 10 (1998), 355–397.

[4] J.-F. Jaulent, Généralisation d’un théorème d’Iwasawa, J. Théor. Nombres de Bordeaux 17 n^{o} 2 (2005), 527–553.

[5] J.-F. Jaulent et C. Maire, Sur les invariants d’Iwasawa des tours cyclotomiques, Canadian Math. Bull. 46 (2003), 178–190.

[6] J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg, Cohomology of Number Fields, GMW 323, Springer (2008).

[7] L. Salle, On maximal tamely ramified pro-2-extensions over the cyclotomic ℤ_{2}-extension of an imaginary quadratic field, Osaka Journal of Math. 47 n^{o} 4 (2010).

[8] J.-P. Serre, Classes des corps cyclotomiques (d’aprés Iwasawa), Séminaire Bourbaki, exp. n^{o} 174 (1958).

[9] L. Washington, Introduction to cyclotomic fields, second edition, Springer-Verlag (1997).

Adresses

Jean-François Jaulent, Univ. Bordeaux, Institut de Mathématiques de Bordeaux, UMR CNRS 5251, 351 Cours de la Libération, F-33405 Talence cedex

  jean-francois.jaulent@math.u-bordeaux.fr

Christian Maire^{2}, Laboratoire de Mathématiques, UMR CNRS 6623, UFR des Sciences et Techniques, 16 route de Gray, F-25030 Besançon

  christian.maire@univ-fcomte

Guillaume Perbet, Laboratoire de Mathématiques, UMR CNRS 6623, UFR Sciences et Techniques, 16 route de Gray, F-25030 Besançon

  guillaume.perbet@univ-fcomte.fr

2. Recherche partiellement financée par l’Agence Nationale de la Recherche. Projet “Algorithmique des fonctions L” (ANR-07-BLAN-0248)