Généralisation d’un théorème de Greenberg^{∗}

Jean-François Jaulent

Résumé. Nous formulons une conjecture générale sur le polynôme caractéristique des modules d’Iwasawa S-décomposés T -ramifiés au-dessus de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique d’un corps de nombres. Nous montrons qu’elle est en fait équivalente à la conjonction des conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min. Nous étendons ainsi un théorème de semi-simplicité de Greenberg et, au passage, un isomorphisme de Kuz’min.

Abstract. We formulate a general conjecture on the characteristic polynomials of S-decomposed T - ramified Iwasawa modules over the cyclotomic ℤ_{ℓ}-extension of a number field. We show that this conjecture is equivalent to the conjunctions of the classical conjectures of Leopoldt and of Gross-Kuz’min. We so extend a result of semi-simplicity of Greenberg and, by the way, an isomorphism of Kuz’min.

Introduction

Soit ℓ un nombre premier arbitraire, K un corps de nombres, K_{∞} sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique et Λ = ℤ_{ℓ}[[γ − 1]] l’algèbre d’Iwasawa du groupe Γ = Gal(K_{∞}/K) = γ_{ℓ}^{ℤ}.

Un théorème de Greenberg (cf. [3]) affirme que, si K est abélien, le polynôme caractéristique du groupe de Galois Gal(K\begin{matrix}cd \\ ∞ \end{matrix}/K_{∞}) de la plus grande pro-ℓ-extension abélienne non ramifiée et ℓ-décomposée K\begin{matrix}cd \\ ∞ \end{matrix} de K_{∞}, regardé comme Λ-module, n’est pas divisible par (γ − 1).

L’objet de cette note est d’introduire une conjecture générale, pour tout corps de nombres K et tout nombre premier ℓ, faisant intervenir deux ensembles finis disjoints S et T de places finies du corps K, qui généralise la situation considérée par Greenberg. Plus précisément, nous postulons que le groupe de Galois C_{S}^{T} = Gal(H_{S}^{T} (K_{∞})/K_{∞}) attaché à la pro-ℓ-extension abélienne maximale H_{S}^{T} (K_{∞}) de K_{∞} qui est S-décomposée et T -ramifiée (i.e. complètement décomposée aux places au-dessus de S et non-ramifiée en dehors des places au-dessus de T) est encore un Λ-module (non nécessairement de torsion) dont le polynôme caractéristique n’est pas divisible par (γ − 1) dès lors que la réunion S ∪ T contient l’ensemble P l_{ℓ} des places au-dessus de ℓ.

Sans surprise, cette conjecture contient de fait les conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min (cf. e.g. [10]), qui correspondent respectivement aux cas (S, T) = (∅, P l_{ℓ}) et (S, T) = (P l_{ℓ}, ∅), cette dernière situation étant précisément celle considérée par Greenberg. Le résultat principal de notre étude (Th. 5) est que la réciproque est vraie : si K est totalement réel, ou si K est un corps à conjugaison complexe extension quadratique totalement imaginaire d’un sous-corps totalement réel, la conjecture cyclotomique que nous avançons est vraie dès lors que K vérifie à la fois la conjecture de Leopoldt et celle de Gross-Kuz’min. En d’autres termes, la conjecture cyclotomique est équivalente à la conjonction des conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min. Elle est de ce fait satisfaite par les corps abéliens (ce qui généralise le résultat de Greenberg) et quelques autres, notamment les corps logarithmiquement principaux, dont on sait qu’ils vérifient les conjectures de Gross-Kuz’min et de Leopoldt en présence des racines 2ℓ-ièmes de l’unité (cf. e.g. [5]).

Nota. Pendant la rédaction de ce travail, nous avons eu connaissance d’une pré-publication de Lee et Seo [14] qui redémontre (sans y référer explicitement) quelques-uns des résultats de [6] et propose une conjecture voisine de la nôtre (mais de facto équivalente) dans une formulation plus compliquée en l’absence de l’hypothèse P l_{ℓ} ⊂ S ∪ T (cf. la remarque in fine de la présente note).

∗Arch. Math. 111 (2008), 569–578

1 Le ℓ-groupe des S-classes T -infinitésimales d’un corps de nombres

Rappelons succinctement quelques éléments de la Théorie ℓ-adique du corps de classes telle qu’exposée dans [8] : Le nombre premier ℓ étant supposé fixé, pour chaque place 𝔭 du corps de nombres K nous notons R_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{n}} le ℓ-adifié du groupe multiplicatif du complété K_{𝔭} de K en 𝔭; par U_{K_{𝔭}} son sous-groupe unité (au sens habituel) ; et par U_{K_{𝔭}} le groupe des unités logarithmiques, i.e. le sous-groupe de normes attaché à la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{𝔭}^{c} de K_{𝔭}.

Le ℓ-adifié du groupe des idèles du corps K est le produit restreint J (K) = ∏_{𝔭}^{res}R_{K_{𝔭}} formé des familles (x_{𝔭})_{𝔭} dont presque tous les éléments sont des unités. Son sous-groupe unité est le produit U(K) = ∏_{𝔭} U_{K_{𝔭}} ; et celui des unités logarithmiques est le produit U(K) = ∏_{𝔭} U_{K_{𝔭}}. Le sous-groupe des idèles principaux est le tensorisé R(K) = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} du groupe multiplicatif de K; il se plonge canoniquement dans J (K) et définit un quotient compact que la Théorie identifie au groupe de Galois � (K) = Gal(K^{ab}/K) de la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K.

Cela étant, pour tout couple (S, T) d’ensembles finis disjoints de places de K nous notons R_{S}(K) = ∏_{𝔭∈S} R_{K_{𝔭}} et J^{T} (K) = ∏_{𝔭∉T}^{res} R_{K_{𝔭}} ; puis U_{S}(K) = ∏_{𝔭∈S} U_{K_{𝔭}} et U^{T} (K) = ∏_{𝔭∉T} U_{K_{𝔭}}. Et la Théorie ℓ-adique du corps de classes identifie le groupe de Galois � _{S}^{T} (K) = Gal(H_{S}^{T} (K)/K) de la pro-ℓ-extension abélienne S-décomposée T -ramifiée maximale H_{S}^{T} (K) de K au quotient :

J (K)/J_{S}^{T} (K)R(K), avec J_{S}^{T} (K) = R_{S}(K) U^{T} (K) = ∏_{𝔭∈S} R_{K_{𝔭}} ∏_{𝔭∉T} U_{K_{𝔭}}. Celui-ci s’interprète alors comme groupe de classes de diviseurs de la façon suivante :

Définition 1. Soient S et T deux ensembles finis disjoints de places d’un corps de nombres K. — Le ℓ-groupe des S-diviseurs étrangers à T est le quotient D_{S}^{T} (K) = J^{T} (K)/J_{S}^{T} (K).

— Son sous-groupe principal T -infinitésimal est l’image P_{S}^{T} (K) = R^{T} (K)J_{S}^{T} (K)/J_{S}^{T} (K) du groupe des idèles principaux T -infinitésimaux R^{T} (K) = R(K) ∩ J^{T} (K).

— Et nous disons que le quotient Cℓ_{S}^{T} (K) = D_{S}^{T} (K)/P_{S}^{T} (K) ≃ � _{S}^{T} (K) est le ℓ-groupe des S-classes T -infinitésimales du corps K.

Bien entendu, c’est le théorème d’approximation simultanée qui permet de représenter chaque classe de J (K)/R(K) par un élément de J^{T} (K). On tombe alors sur la description du groupe Cℓ_{S}^{T} (K) donnée dans [6] (pp. 148–150), à l’inversion près de S et de T ; ce qui permet de le traiter comme un groupe de classes d’idéaux et donc de lui appliquer en particulier les calculs de classes invariantes à la Chevalley qui conduisent à une généralisation naturelle de la suite exacte des classes ambiges dans ce nouveau contexte (cf. [6], Th. II.2.33). En particulier, il vient :

Proposition 2. Dans une ℓ-extension cyclique N/K de corps de nombres, le quotient du ℓ-groupe des S-classes T -infinitésimales ambiges par le sous-groupe des classes des S-diviseurs ambiges étrangers à T est donné par l’isomorphisme :

Cℓ_{S}^{T} (N)^{Γ}/cl_{S}^{T} (D_{S}^{T} (N)^{Γ}) ≃ (E_{S}^{T} (K) ∩ N_{N/K}(R(N)))/N_{N/K}(E_{S}^{T} (N)).

Ici E_{S}^{T} (K) ∩ N_{N/K}(R(N)) est le pro-ℓ-groupe des S-unités T -infinitésimales du corps K qui sont normes dans N/K et N_{L/K}(E_{S}^{T} (N)) est le sous-groupe des normes de S-unités T -infinitésimales.

Preuve. Pour la commodité du lecteur, plutôt que de renvoyer aux arguments cohomologiques développés dans [6], expliquons simplement comment ce résultat s’explicite dans le cas cyclique : tout comme dans la preuve historique de Chevalley pour les classes d’idéaux prenons un générateur arbitraire γ du ℓ-groupe cyclique Γ = Gal(N/K) et partons d’une classe invariante cl_{S}^{T} (𝔄_{N}) ∈ Cℓ_{S}^{T} (N), représentée par un S-diviseur étranger à T. Par hypothèse, le S-diviseur 𝔄_{N}^{γ−1} est alors principal, engendré par un élément T -infinitésimal α_{N} ∈ R^{T} (N) défini modulo une S-unité T - infinitésimale. Sa norme ε_{K} = N_{N/K}(α_{N}) est ainsi une S-unité T -infinitésimale de K (i.e. un élément de E_{S}^{T} (K) = R^{T} (K) ∩ J_{S}^{T} (K)), définie modulo la norme d’une S-unité T -infinitésimale de N. On obtient par là un morphisme de Cℓ_{S}^{T} (N)^{Γ} vers (E_{S}^{T} (K) ∩ N_{N/K}(R(N)))/N_{N/K}(E_{S}^{T} (N)) dont le noyau est clairement cl_{S}^{T} (D_{S}^{T} (N)^{Γ}) et qui est surjectif en vertu du théorème 90 de Hilbert appliqué aux groupes des S-diviseurs étrangers à T (cf. e.g. [6], Lem. II.2.32).

2 Module d’Iwasawa S-décomposé T -ramifié d’un corps surcirculaire

Montons maintenant la ℤ_{ℓ}-tour cyclotomique (K_{n})_{n∈ℕ} au-dessus de K et considérons le corps surcirculaire K_{∞} = ⋃_{n∈ℕ} K_{n}. Désignons par S et T deux ensembles finis disjoints de places finies de K; puis, pour toute extension N de K continuons à noter (en l’absence d’ambiguïté) par S et T les ensembles respectifs de places de N au-dessus des précédentes.

Faisons choix d’un générateur topologique γ du groupe procyclique Γ = Gal(K_{∞}/K) et écrivons Λ = ℤ_{ℓ}[[γ − 1]] l’algèbre d’Iwasawa attachée à Γ.

Le groupe de Galois C_{S}^{T} (K_{∞}) = Gal(H_{S}^{T} (K_{∞})/K_{∞}) de la pro-ℓ-extension abélienne maximale H_{S}^{T} (K_{∞}) de K_{∞} qui est S-décomposée et T -ramifiée s’identifie à la limite projective

C_{S}^{T} (K_{∞}) = \underleftarrow{lim} Cℓ_{S}^{T} (K_{n})

des pro-ℓ-groupes de S-classes T -infinitésimales des corps K_{n} pour les applications normes. Il est bien connu que c’est un Λ-module noethérien, pseudo-isomorphe comme tel à la somme directe

C_{S}^{T} (K_{∞}) ∼ Λ^{ρ\begin{matrix}T \\ S \end{matrix}} ⊕ (⊕_{i=1}^{h}Λ/P_{i}Λ)

d’un Λ-module libre de dimension finie et d’un nombre fini de quotients monogènes dont les annulateurs respectifs sont engendrés par des polynômes non nuls P_{i} ordonnés par divisibilité. Chaque P_{i} s’écrit comme produit ℓ^{μ_{i}}P_{i} d’une puissance de ℓ et d’un polynôme distingué de degré λ_{i}. Le produit χ\begin{matrix}T \\ S \end{matrix} = ∏ P_{i} est le polynôme caractéristique du module d’Iwasawa C_{S}^{T} (K_{∞}) ; et les entiers naturels ρ\begin{matrix}T \\ S \end{matrix}, μ\begin{matrix}T \\ S \end{matrix} = ∑ μ_{i} = ν_{ℓ} (χ\begin{matrix}T \\ S \end{matrix}) et λ\begin{matrix}T \\ S \end{matrix} = ∑ λ_{i} = deg(χ\begin{matrix}T \\ S \end{matrix}) sont ses invariants structurels.

Le calcul de l’invariant ρ\begin{matrix}T \\ S \end{matrix} est effectué dans [11] (Th. 9). Il est conjecturé que l’invariant μ\begin{matrix}T \\ S \end{matrix} est toujours nul, ce qui revient à postuler que le polynôme caractéristique χ\begin{matrix}T \\ S \end{matrix} n’est pas divisible par ℓ. C’est effectivement le cas pour K abélien, lorsque T est vide et que S est l’ensemble P l_{ℓ} des places au-dessus de ℓ (autrement dit lorsque H_{S}^{T} (K_{∞}) est la pro-ℓ-extension abélienne non ramifiée ℓ-décomposée maximale de K_{∞}), en vertu d’un théorème de Ferrero et Washington ; et ce résultat vaut encore, sous des conditions moins restrictives sur les ensembles S et T (cf. [11], Th. 13).

Enfin, toujours pour K abélien, Greenberg [3] a montré que χ\begin{matrix}∅ \\ P l_{ℓ} \end{matrix} n’est pas non plus divisible par ω = γ − 1. Dans ce même contexte abélien, nous allons démontrer la conjecture suivante :

Conjecture cyclotomique. Soient ℓ un nombre premier arbitraire ; K un corps de nombres ; et K_{∞} = ∪_{n∈ℕ}K_{n} sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique ; soit P l_{ℓ} = S ⊔ T une partition arbitraire de l’ensemble P l_{ℓ} des places au-dessus de ℓ.

Alors le polynôme caractéristique du Λ-module C_{S}^{T} (K_{∞}) = Gal(H_{S}^{T} (K_{∞})/K_{∞}) attaché à la pro-ℓ-extension abélienne maximale H_{S}^{T} (K_{∞}) de K_{∞} qui est S-décomposée et T -ramifiée n’est pas divisible par ω = γ − 1. En d’autres termes, son sous-module des points fixes C_{S}^{T} (K_{∞})^{Γ} est fini :

C_{S}^{T} (K_{∞})^{Γ} ∼ 1.

Proposition 3. La Conjecture cyclotomique contient celles de Gross-Kuz’min et de Leopoldt.

Preuve. Prenons S = P l_{ℓ} et T = ∅. Le pro-ℓ-groupe C_{P l_{ℓ}}^{∅}(K_{∞}) n’est alors autre que le module de Kuz’min-Tate T (K_{∞}) (cf. [10], §2), i.e. le groupe de Galois Gal(K\begin{matrix}cd \\ ∞ \end{matrix}/K_{∞}) de la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K_{∞} qui est complètement décomposée en toutes les places (car la montée dans la tour cyclotomique K_{∞}/K a épuisé toute possibilité d’inertie aux places étrangères à ℓ). Cela étant, comme T (K_{∞}) est un Λ-module de torsion, la finitude de son sous-groupe invariant T (K_{∞})^{Γ} équivaut à celle de son quotient des genres ^{Γ}T (K_{∞}) = T (K_{∞})/T (K_{∞})^{γ−1}, lequel est le ℓ-groupe des classes logarithmiques Cℓ(K) dont la conjecture de Gross-Kuz’min pour K postule précisément la finitude (cf. e.g. [10], Th. 5). La Conjecture implique donc celle de Gross-Kuz’min.

Penons maintenant S = ∅ et T = P l_{ℓ}. Le pro-ℓ-groupe C_{∅}^{P l_{ℓ}}(K_{∞}) est alors le groupe de Galois X (K_{∞}) = Gal(K\begin{matrix}ℓr \\ ∞ \end{matrix}/K_{∞}) de la pro-ℓ-extension abélienne ℓ-ramifiée maximale de K_{∞}. Et il est bien connu depuis Iwasawa [4] que X (K_{∞}) est un Λ-module qui a pour dimension ρ\begin{matrix}P l_{ℓ} \\ ∅ \end{matrix} le nombre c_{K} de places complexes du corps K. La finitude du sous-groupe invariant X (K_{∞})^{Γ} s’écrit donc aussi bien ^{Γ}T (K_{∞}) ≃ ℤ_{ℓ}^{c_{K}} ⊕ T (K), pour un certain module fini T (K). Or, ^{Γ}T (K_{∞}) n’est autre que le groupe de Galois Gal(K^{ℓr}/K_{∞}) attaché à la pro-ℓ-extension abélienne ℓ-ramifiée maximale de K. La finitude de T (K) exprime donc l’existence d’exactement (c_{K} + 1) ℤ_{ℓ}-extensions de K linéairement indépendantes, ce qui est précisément la conjecture de Leopoldt (cf. e.g. [10], Th. 12).

3 Équivalence avec les conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min

Regardons d’abord le cas totalement réel (déjà étudié dans [9] §3 via la théorie des genres) :

Théorème 4. Pour K totalement réel, la Conjecture cyclotomique résulte de celle de Leopoldt.

Preuve. La conjecture de Leopoldt affirme qu’un corps totalement réel K possède une unique ℤ_{ℓ}- extension, autrement dit que sa pro-ℓ-extension abélienne ℓ-ramifiée maximale K^{ℓr} est de degré fini sur la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c} = K_{∞}. Considérons alors le quotient des genres :

ΓC_{S}^{T} (K_{∞}) = C_{S}^{T} (K_{∞})/(C_{S}^{T} (K_{∞}))^{γ−1}

du groupe C_{S}^{T} (K_{∞}). Par construction, c’est le groupe de Galois Gal(H_{S}^{T} (K_{∞}/K)/K_{∞}) de la plus grande sous-extension H_{S}^{T} (K_{∞}/K) de H_{S}^{T} (K_{∞}) qui est abélienne sur K. Or, celle-ci est T -ramifiée sur K_{∞}, donc ℓ-ramifiée sur K, i.e. contenue dans K^{ℓr}. Ainsi^{Γ}C_{S}^{T} (K_{∞}) est fini ; de même C_{S}^{T} (K_{∞})^{Γ}.

Supposons maintenant que K soit une extension quadratique totalement imaginaire d’un souscorps totalement réel K^{+}. Notons τ la conjugaison complexe et Δ = Gal(K/K^{+}) = {1, τ}.

— Si ℓ est impair, les idempotents orthogonaux e_{±} = \frac{1}{2}(1 ± τ) permettent de décomposer canoniquement chaque ℤ_{ℓ}[Δ]-module M comme somme directe de ses composantes réelle M^{+} = M^{e_{+}} et imaginaire M^{−} = M^{e_{−}}. On a ainsi : M = M^{+} ⊕ M^{−}.

— Si ℓ vaut 2 et que M est ℤ_{2}-noethérien, confondre le noyau de (1 ± τ) avec l’image de (1 ∓ τ) donne lieu à une erreur finie. On peut donc continuer à définir composantes réelle et imaginaire de M comme image et noyau respectifs de (1 + τ) et écrire à un fini près :

M ∼ M^{+} ⊕ M^{−}.

Avec ces conventions, le Théorème principal de cette note s’énonce comme suit :

Théorème 5. Soient K une extension quadratique totalement imaginaire d’un corps totalement réel K^{+} et S ⊔ T une partition de l’ensemble P l_{ℓ} des places de K^{+} au-dessus de ℓ. Décomposons C_{S}^{T} (K_{∞})^{Γ} (à un fini près pour ℓ = 2) en ses composantes réelle et imaginaire. Alors :

(i) La finitude de ( C_{S}^{T} (K_{∞})^{Γ})^{+} résulte de la conjecture de Leopoldt pour K.

(ii) La finitude de ( C_{S}^{T} (K_{∞})^{Γ})^{−} résulte de la conjecture de Gross-Kuz’min pour K. En d’autres termes, la Conjecture cyclotomique pour le corps K, i.e. la finitude de C_{S}^{T} (K_{∞})^{Γ}, est équivalente à la réunion des conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min pour ce même corps.

Preuve. Examinons successivement les deux assertions :

(i) provient directement du cas totalement réel traité ci-dessus, la composante réelle du groupe C_{S}^{T} (K_{∞})^{Γ} correspondant (à un fini près pour ℓ = 2) au même groupe C_{S}^{T} (K_{∞}^{+})^{Γ} pour le corps K^{+}.

(ii) résulte de la généralisation suivante d’un théorème de Kuz’min (cf. [13], Prop. 7.5 et [10], Th. 17) et du fait que, sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans K, la composante imaginaire du ℓ-groupe des unités logarithmiques E(K) se réduit au ℓ-groupe des racines de l’unité (cf. [7], §3) :

Théorème 6. Étant donnés deux ensembles finis disjoints S et T de places d’un corps de nombres K, si S ∪ T contient l’ensemble P l_{ℓ} des places au-dessus de ℓ, on a un isomorphisme naturel :

C_{S}^{T} (K_{∞})^{Γ} ≃ (E_{S}^{T} (K) ∩ E(K))/E_{S}^{T} (K)^{ν},

où E_{S}^{T} (K) ∩ E(K) est l’intersection du groupe E_{S}^{T} (K) des S-unités T -infinitésimales de K avec le groupe E(K) des unités logarithmiques ; et E_{S}^{T} (K)^{ν} = ⋂_{n∈ℕ} N_{K_{n}/K}(E_{S}^{T} (K_{n})) est le sous-groupe (dit universel) formé des éléments qui sont normes de S-unités T -infinitésimales à tous les étages.

Preuve. Partons de l’isomorphisme donné par la Proposition 2 et passons à la limite projective pour les applications normes. Côté diviseurs à gauche, la réunion S ∪ T contenant par hypothèse l’ensemble des places ramifiées dans la tour K_{∞}/K, les S-diviseurs ambiges et étrangers à T de chacun des corps K_{n} se réduisent aux seul diviseurs provenant de K. On a donc tout simplement :

\underleftarrow{lim} (Cℓ_{S}^{T} (K_{n})^{Γ}/cl_{S}^{T} (D_{S}^{T} (K_{n})^{Γ})) = \underleftarrow{lim} Cℓ_{S}^{T} (K_{n})^{Γ} = C_{S}^{T} (K_{∞})^{Γ}.

Côté unités à droite, l’intersection ⋂_{n∈ℕ} N_{K_{n}/K}(R(K_{n})) caractérise précisément le sous-groupe E(K) des unités logarithmiques dans R(K) (cf. [7], Prop. 3.2 ou [10], §1). D’où le résultat.

4 Conséquences du Théorème principal

Il résulte du Théorème 5 que la Conjecture cyclotomique vaut pour tous les corps K réels ou à conjugaison complexe (avec, dans ce cas, S et T stables par la conjugaison) et les premiers ℓ pour lesquels sont simultanément satisfaites les conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min. Ainsi :

Corollaire 7. La Conjecture cyclotomique est satisfaite en particulier par :

— les corps de nombres abéliens K, pour n’importe quel premier ℓ;

— les extensions quadratiques totalement imaginaires K d’un corps totalement réel qui contiennent les racines 2ℓ-ièmes de l’unité et sont ℓ-logarithmiquement principales (i.e. dont le ℓ-groupe des classes logarithmiques Cℓ(K) est trivial), pour ce même premier ℓ.

Dans chacun de ces deux cas, la Conjecture est alors vérifiée par chacun des étages finis K_{n} de la ℤ_{ℓ}-tour cyclotomique K_{∞}; et le polynôme caractéristique χ\begin{matrix}T \\ S \end{matrix} du Λ-module d’Iwasawa C_{S}^{T} (K_{∞}) n’est donc divisible par aucun des polynômes cyclotomiques ω_{n} = (γ^{ℓ^{n}} − 1)/(γ^{ℓ^{n−1}}− 1).

Preuve. Le premier cas résulte du fait que les corps abéliens satisfont les conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min pour tous les nombres premiers ℓ en vertu du théorème d’indépendance de logarithmes de nombres algébriques de Baker-Brumer. Le second cas provient du fait que les corps ℓ-logarithmiquement principaux vérifient banalement la conjecture de Gross-Kuz’min (qui postule la finitude du groupe Cℓ(K) pour le nombre premier ℓ) ; et qu’ils vérifient en outre celle de Leopoldt s’ils contiennent les racines 2ℓ-ièmes de l’unité (cf. e.g. [5] ou [8]).

Enfin, si K est abélien, tous les K_{n} le sont. Et s’il est à conjugaison complexe et ℓ-logarithmique-ment principal, tous les K_{n} le sont aussi ; d’où le résultat annoncé.

Soient maintenant S et T deux ensembles finis disjoints arbitraires de places du corps K. Notons S_{ℓ} = S∩P l_{ℓ} la partie sauvage de S et S_{∘} = S\S_{ℓ} sa partie modérée. Écrivons de même T = T_{ℓ}∪T_{∘}. Notons toujours C_{S}^{T} (K_{∞}) = Gal(H_{S}^{T} (K_{∞})/K_{∞}) le groupe de Galois de la pro-ℓ-extension abélienne maximale H_{S}^{T} (K_{∞}) de K_{∞} qui est S-décomposée et T -ramifiée.

Scolie 8. Avec ces conventions, il vient :

(i) Le groupe C_{S}^{T} (K_{∞}) est indépendant de S_{∘}; autrement dit, on a : C_{S}^{T} (K_{∞}) = C_{S_{ℓ}}^{T}(K_{∞}). (ii) Les groupes C_{S}^{T} (K_{∞}) et C_{S}^{T_{ℓ}}(K_{∞}) ont même dimension comme Λ-modules et leurs quotients

des genres sont pseudo-isomorphes : ^{Γ}C_{S}^{T} (K_{∞}) ∼ ^{Γ}C_{S}^{T_{ℓ}}(K_{∞}). Il en résulte un pseudo-isomorphisme entre sous-groupes invariants : C_{S}^{T} (K_{∞})^{Γ} ∼ C_{S_{ℓ}}^{T_{ℓ}}(K_{∞})^{Γ}. Et la Conjecture cyclotomique revient donc à postuler la finitude de C_{S}^{T} (K_{∞})^{Γ} pour P l_{ℓ} ⊂ S_{ℓ} ∪ T_{ℓ}.

Preuve. Les places modérées sont presque totalement inertes dans la ℤ_{ℓ}-tour cyclotomique K_{∞}/K.

(i) De ce fait, la montée dans la tour ayant épuisé toute possibilité d’inertie, une place modérée non-ramifiée au-dessus de K_{∞} est donc complètement décomposée. Il suit de là que H_{S}^{T} (K_{∞}) coïncide avec H_{S_{ℓ}}^{T}(K_{∞}) et C_{S}^{T} (K_{∞}) = Gal(H_{S_{ℓ}}^{T}(K_{∞})/K_{∞}) avec C_{S_{ℓ}}^{T}(K_{∞}) = Gal(H_{S_{ℓ}}^{T}(K_{∞})/K_{∞}).

(ii) Le cas de T est plus compliqué :

– D’un côté, puisque les places de T_{∘} sont finiment décomposées dans la tour cyclotomique, les groupes finis d’unités semi-locales U_{T_{∘}}(K_{n}) = ∏_{𝔭_{n}∈T_{∘}} U_{K_{𝔭n}} sont de rang borné. Pour toute pro-ℓ-extension abélienne donnée H_{∞} de K_{∞} le sous-groupe de Gal(H_{∞}/K_{∞}) engendré par les sous-groupes d’inertie attachés aux places de T_{∘} est ainsi un ℤ_{ℓ}-module de type fini et donc un Λ-module de torsion. En particulier C_{S}^{T} (K_{∞}) et C_{S}^{T_{ℓ}}(K_{∞}) ont même dimension comme Λ-modules.

– D’un autre côté, le groupe semi-local U_{T_{∘}}(K) = ∏_{𝔭∈T_{∘}} U_{K_{𝔭}} étant fini, son image dans le groupe de Galois ^{Γ}C_{S}^{T} (K_{∞}) = Gal(H_{S}^{T} (K_{∞}/K)/K_{∞}) attaché à la plus grande sous-extension H_{S}^{T} (K_{∞}/K) de H_{S}^{T} (K_{∞}) qui est abélienne sur K l’est aussi ; et les quotients ^{Γ}C_{S}^{T} (K_{∞}) et ^{Γ}C_{S}^{T_{ℓ}}(K_{∞}) sont donc pseudo-isomorphes.

– Réunissant ces résultats, on conclut que les sous-groupes invariants C_{S}^{T} (K_{∞})^{Γ} et C_{S}^{T_{ℓ}}(K_{∞})^{Γ} sont eux-mêmes pseudo-isomorphes.

Remarque. Sauf à compliquer la Conjecture (à l’instar de [14]), la condition P l_{ℓ} ⊂ S_{ℓ} ∪ T_{ℓ} reste, en revanche, incontournable : cf. e.g. [6], Th. IV.2.9, pour un contre-exemple.

Commentaires bibliographiques

Les ℓ-groupes de S-classes T -infinitésimales sont étudiés dans [6] (Ch. II, §2). On y trouve notamment la suite exacte des classes ambiges évoquée dans la section 1.

Les ℓ-groupes de classes logarithmiques ont été introduits dans [7]. Leur calcul est maintenant implanté dans pari (cf. [1]).

Les principaux résultats de la Théorie ℓ-adique du corps de classes introduite dans [6] sont présentés dans [8]. On peut aussi se reporter au livre de Gras [2].

Enfin, le calcul des invariants d’Iwasawa attachés aux ℓ-groupes de S-classes T -infinitésimales est développé dans [9, 11, 12] en liaison avec les identités de dualité de Gras.

Références

[1] K. Belabas, J.-F. Jaulent, The logarithmic class group package in PARI/GP, Pub. Math. Besançon (2016).

[2] G. Gras, Class Field Theory : from theory to practice, Springer Monographs in Mathematics (2005).

[3] R. Greenberg, On a certain ℓ-adic representation, Invent. Math. 21 (1973), 117–124.

[4] K. Iwasawa, On ℤ_{ℓ}-extensions of number fields, Ann. of Math. 98 (1973), 257–274.

[5] J.-F. Jaulent, Sur les conjectures de Leopoldt et de Gross, Actes des Journées Arithmétiques de Besançon, Astérisque 147-148 (1987), 107–120.

[6] J.-F. Jaulent, L’arithmétique des ℓ-extension (Thèse de doctorat d’État), Pub. Math. Besançon (1986) ;

   http://pmb.univ-fcomte.fr/1986.html.

[7] J.-F. Jaulent, Classes logarithmiques des corps de nombres, J. Théor. Nombres Bordeaux 6 (1994), 301–325.

[8] J.-F. Jaulent, Théorie ℓ-adique globale du corps de classes, J. Théor. Nombres Bordeaux 10 (1998), 355–397.

[9] J.-F. Jaulent, Généralisation d’un théorème d’Iwasawa, J. Théor. Nombres Bordeaux 17 (2005), 527-553 [10] J.-F. Jaulent, Sur les normes cyclotomiques et les conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min, Annales

Math. Québec 41 (2017), 119–140.

[11] J.-F. Jaulent & C. Maire, Sur les invariants d’Iwasawa des tours cyclotomiques, Canadian Math. Bull. 46 (2003), 178–190.

[12] J.-F. Jaulent, C. Maire, G. Perbet, Sur les formules asymptotiques le long des ℤ_{ℓ}-extensions, Annales Math. Québec 37 (2013), 63–78.

[13] L. V. Kuz’min, The Tate module of algebraic number fields, Izv. Akad. Nauk SSSR 36 (1972), 267-327.

[14] W. Lee & S. Seo On arithmetic of modified idele class groups, Preprint (2018).

Institut de Mathématiques de Bordeaux Université de Bordeaux & CNRS 351 cours de la libération F-33405 Talence Cedex courriel : Jean-Francois.Jaulent@math.u-bordeaux.fr

 https://www.math.u-bordeaux.fr/~jjaulent/