Théorie des Genres des Corps globaux^{∗}

Bruno Anglès et Jean-François Jaulent

Abstract. We establish the fundamental results of genus theory for finite (non necessary Galois) extensions of global fields by using narrow S-class groups, when S is an arbitrary finite set of places. This exposition, which involves both the number fields and the functions fields cases, generalizes most classical results on this subject.

Résumé. Nous établissons les résultats fondamentaux de la théorie des genres pour les extensions finies (quelconques) de corps globaux dans le cadre des groupes de Sclasses d’idéaux signés pour un ensemble fini arbitraire de places ; la présentation donnée vaut indifféremment pour les corps de nombres et les corps de fonctions et contient ou généralise la plupart des résultats connus.

Introduction

La Théorie des Genres pour les corps de nombres remonte aux Disquisitiones Arithmeticae. Gauss étudiait les formes quadratiques alors que le point de vue actuel met l’accent sur l’Arithmétique des extensions abéliennes. C’est seulement en 1951 que Hasse donna une interprétation du genre des corps quadratiques basée sur la Théorie du corps de classes, et en 1959 que Fröhlich donna une définition générale du corps des genres attaché à un corps de nombres arbitraire. Dans cet article, nous étendons la Théorie des genres aux cas des corps de fonctions dans le cadre des groupes de S-classes d’idéaux signés que nous introduisons en parallèle avec celui des corps de nombres (voir paragraphe 2.1).

Il existe en effet une forte analogie entre les corps de nombres et les corps de fonctions d’une variable sur les corps finis. Ainsi, si 𝔽_{q} est un corps fini et T est une indéterminée sur 𝔽_{q}, on peut voir 𝔽_{q}[T] comme l’analogue de ℤ, son corps de fractions 𝔽_{q}(T) comme l’analogue de ℚ, et \frac{1}{T} comme l’analogue de la place à l’infini de ℚ donc 𝔽_{q}((\frac{1}{T})) comme l’analogue de ℝ. C’est sous cette correspondance que nous nous plaçons dans cet article en abordant la Théorie des genres en toute caractéristique.

Dans la première section, nous poursuivons les travaux de Rosen ([11]) en introduisant le corps de classes de Hilbert au sens restreint pour les corps de fonctions. Nous sommes alors armés pour définir la notion de S-corps des genres d’un corps global en toute caractéristique (paragraphe 2.2). Le théorème 2.3.1 généralise ainsi les formules des genres obtenues par Furuta ([5]) et Goldstein ([7]). Nous terminons par l’étude du corps des S-classes centrales d’une extension séparable finie de corps globaux.

∗Manuscripta Math. 101 (2000), 513–532.

Les résultats obtenus dans cet article seront utilisés dans un travail en préparation où est étudiée la "parité" des groupe de classes d’idéaux des corps de fonctions cyclotomiques et de leurs sous-corps "totalement réels".

Enfin nous remercions tout particulièrement Georges Gras qui nous a signalé une inexactitude dans la version préliminaire de ce travail (cf. remarque 2.2.)

Notations

Soit 𝔽_{q} un corps fini à q éléments et p sa caractéristique. Si T est une indéterminée sur 𝔽_{q}, on pose Z = 𝔽_{q}[T] et Q = 𝔽_{q}(T). On désigne enfin par Q̄ une clôture algébrique de Q.

Suivant l’usage on note ℤ l’anneau des nombres relatifs, ℚ son corps des fractions et ℚ̄ le corps des nombres algébriques, c’est-à-dire la fermeture algébrique de ℚ dans ℂ.

Dans ce qui suit, toutes les extensions finies de ℚ sont réputées contenues dans ℚ̄ et toutes les extensions finies de Q contenues dans Q̄.

Soit maintenant K un corps ; nous disons que K est un corps global si c’est un corps de nombres, i.e. une extension finie de ℚ, ou si K est une extension séparable finie de 𝔽_{q}(T) = Q. En particulier, dans ce qui suit, toute extension L/K de corps globaux sera toujours réputée séparable et de degré fini.

Soit alors K un corps global ; nous notons :

– P l_{K}^{∞} l’ensemble des places à l’infini de K si K est un corps de nombres, l’ensemble des places de K au-dessus de ∞ = 1/T si K/Q est séparable finie ;

– P l_{K}^{0} l’ensemble des places finies et P l_{K} = P l_{K}^{0} ∪ P l_{K}^{∞} ;

– K_{v} le complété de K en la place v et, si v est finie, U_{v} groupe des unités de l’anneau des entiers O_{v} de K_{v} puis U_{v}^{(1)} = 1 + πO_{v} son sous-groupe principal ;

– O_{K} l’anneau des entiers de K, i.e. la fermeture intégrale de ℤ dans K si K est un corps de nombres, celle de Z = 𝔽_{q}[T] si K est un corps de fonctions;

– I_{K} le groupe des idéaux fractionnaires non nuls de O_{K};

– P_{K} le sous-groupe des idéaux fractionnaires principaux non nuls de O_{K};

– Cl_{K} le groupe des classes d’idéaux de O_{K}, i.e. le quotient Cl_{K} = I_{K}/P_{K};

– E_{K} le groupe des éléments inversibles de O_{K};

– J_{K} le groupe des idèles de K, i.e. le produit restreint des groupes multiplicatifs K_{v}^{×} des complétés K_{v} de K en ses diverses places ;

– U_{K} = Π_{v∈P l_{K}^{∞}}K_{v}^{×}Π_{v∈P l_{K}^{∘}} U_{v} le groupe des idèles unités ; – U_{k}^{+} = Π_{v∈P l_{K}^{∞}}K_{v}^{+}Π_{v∈P l_{K}^{∘}} U_{v} le sous-groupe totalement positif de U_{K} ;

– K^{+} le groupe des éléments totalement positifs dans K^{×};

– Sg_{K} = K^{×}/K^{+} le groupe des signatures de K ;

– Is_{K} = I_{K} ⊕ Sg_{K} le groupe des idéaux signés ;

– P s_{K} le sous-groupe des idéaux signés principaux ;

– Cs_{K} = Is_{K}/P s_{K} ≃ Cl_{K}^{res} le groupe des classes d’idéaux signés ;

– S_{K} = S_{K}^{∘} ∪ S_{K}^{∞} un ensemble fini de places de K ;

– U_{K}^{S} le groupe des S-unités (réputées totalement positives en dehors de S) dans J_{K} ;

– E_{K}^{S} = U_{K}^{S} ∩ K^{×} le groupe des S-unités globales (totalement positives en dehors de S) ;

– Is_{K}^{S} = Is_{K}/Is_{K}(S) le groupe des S-idéaux signés ;

– P s_{K}^{S} = P s_{K}Is_{K}(S)/Is_{K}(S) son groupe principal ;

– Cs_{K}^{S} = Is_{K}^{S}/P s_{K}^{S} le groupe des S-classes d’idéaux signés.

1. Groupe de classes d’idéaux au sens restreint Dans cette section nous introduisons les groupe de classes d’idéaux au sens

restreint et la notion corps de classes de Hilbert au sens restreint pour les corps de fonctions.

1.1. Fonctions "signe" sur les corps de fonctions Soit ℝ^{×} = ℚ_{∞}^{×} le groupe multiplicatif des nombres réels non nuls ; classique-

ment on a une fonction signe

ϕ_{∞} : ℚ_{∞}^{×} → ℤ^{×} = {−1, 1} ,

qui est définie par ϕ_{∞}(x) = 1 pour x > 0 et ϕ_{∞}(x) = −1 pour x < 0. Il est clair que ϕ_{∞} est un morphisme de groupes de noyau ℝ_{+}^{×}.

Si maintenant E/ℝ est une extension finie, avec E = ℝ ou ℂ, on pose ϕ_{E} = ϕ_{∞} ∘ N_{E/ℝ}. Alors ϕ_{E} : E^{×} → {−1, 1} est un morphisme de groupes de noyau Kerϕ_{E} = ℂ^{×} si E = ℂ, et Kerϕ_{E} = ℝ_{+}^{×} si E = ℝ.

Dans ce paragraphe nous allons introduire des fonctions analogues pour les extensions séparables finies de Q_{∞} = 𝔽_{q}((\frac{1}{T})).

Soit x ∈ Q_{∞}^{×} ; on peut écrire de manière unique :

x = (\frac{1}{T})^{n_{x}}λ_{x}ε_{x},

avec n_{x} ∈ ℤ, λ_{x} ∈ 𝔽_{q}^{×} = Z^{×} et ε_{x} ∈ U_{Q_{∞}}^{(1)}. On définit alors le "signe" de x par :

ϕ_{∞}(x) = λ_{x}.

Alors ϕ_{∞} : Q_{∞}^{×} → 𝔽_{q}^{×} est un morphisme de groupes surjectif de noyau < \frac{1}{T} > ×U_{Q_{∞}}^{(1)}. Notons que pour M ∈ Z non nul le "signe" ϕ_{∞}(M) est le coefficient dominant du polynôme M.

1.1.0. Définition. Soit K une extension séparable finie de Q_{∞} = 𝔽_{q}((\frac{1}{T})). Nous appellons signe sur K^{×} le morphisme ϕ_{K} = ϕ_{∞} ∘ N_{K/Q_{∞}} à valeurs dans 𝔽_{q}^{×}.

1.1.1. Remarque. Si E/Q_{∞} est une sous-extension de K/Q_{∞}, on a alors :

(i) ϕ_{K} = ϕ_{E} ∘ N_{K/E}; (ii) N_{K/E}(Kerϕ_{K}) ⊂ Kerϕ_{E}.

1.1.2. Théorème. Soient E/Q_{∞} une extension séparable finie et E^{mod}/Q_{∞} sa sous-extension abélienne modérément ramifiée maximale. Soient f le degré d’inertie et e l’indice de ramification de E^{mod}/Q_{∞}. Soit enfin 𝔽_{E} le sous-corps fini de E de degré [𝔽_{E} : 𝔽_{q}] = f. Alors :

(i) Il existe ζ ∈ 𝔽_{E}^{×} tel qu’on ait E^{mod} = 𝔽_{E}((^{e}\sqrt{\frac{−ζ}{T}} )) et de plus :

ϕ_{E}(E^{×}) =< (𝔽_{q}^{×})^{e}, N_{𝔽_{E}/𝔽_{q}}(ζ) > .

(ii) Si l’on a en outre \frac{1}{T} ∈ N_{E^{mod}/Q_{∞}}(E^{mod×}), il vient E^{mod} = 𝔽_{q}((^{e}\sqrt{\frac{−1}{T}} )) et

ϕ_{E}(E^{×}) = (𝔽_{q}^{×})^{e}.

Preuve. Observons tout d’abord que si E^{ab}/Q_{∞} est la sous-extension abélienne maximale de E/Q_{∞}, nous avons N_{E/Q}(E^{×}) = N_{E^{ab}/Q}(E^{ab×}) donc ϕ_{E}(E^{×}) = ϕ_{E^{ab}}(E^{ab×}), de sorte que le théorème sera établi si nous le démontrons dans le cas abélien.

Notons E^{nr} = 𝔽_{E}((\frac{1}{T})) la sous-extension (abélienne) non ramifiée maximale de E. L’extension E^{mod}/E^{nr} est alors totalement ramifiée de degré e. Si ρ est une uniformisante de E^{mod}, nous pouvons donc écrire

ρ^{e} = −ζu/T avec − ζ ∈ 𝔽_{E} et u ∈ U_{E^{mod}}^{(1)} ;

et l’hypothèse p ∤ e nous assure que u est une puissance e-ième dans U_{E^{mod}}^{(1)}, disons u = v^{e}. Quitte à remplacer ρ par ρ/v, nous pouvons donc supposer

ρ^{e} = −ζ/T, comme attendu .

Nous obtenons alors :

N_{E^{mod}/Q_{∞}}(ρ) = N_{E^{nr}/Q_{∞}} ∘ N_{E^{mod}/N^{nr}}(ρ)
= N_{E^{nr}/Q_{∞}}((−1)^{e}ζ/T ) = (−1)^{ef}N_{𝔽_{E}/𝔽_{q}}(ζ)/T^{f}

d’où

ϕ_{E^{mod}}(ρ) = (−1)^{ef}N_{𝔽_{E}/𝔽_{q}}(ζ).

Par ailleurs, nous avons immédiatement :

ϕ_{E^{mod}}(𝔽_{E}^{×}) = ϕ_{E^{nr}}(N_{E^{mod}/E^{nr}}(𝔽_{E}^{×})) = ϕ_{E^{nr}}((𝔽_{E}^{×})^{e}) = (ϕ_{E^{nr}}(𝔽_{E}^{×}))^{e} = (𝔽_{q}^{×})^{e}

En résumé il vient :

ϕ_{E^{mod}}(E^{mod×}) =< (𝔽_{q}^{×})^{e}, (−1)^{ef}N_{𝔽_{E}/𝔽_{q}}(ζ) >=< (𝔽_{q}^{×})^{e}, N_{𝔽_{E}/𝔽_{q}}(ζ) > .

Et le point (i) du théorème résulte de ce que, l’extension E^{ab}/E^{mod} ayant pour degré une puissance de p, ce dernier groupe coïncide avec ϕ_{E^{ab}}(E^{ab×}) = ϕ_{E}(E^{×}).

Enfin, l’hypothèse \frac{1}{T} ∈ N_{E^{mod}/Q_{∞}}(E^{mod×}), qui entraîne f = 1 i.e. 𝔽_{E} = 𝔽_{q}, donne aussi (−1)^{e} = N_{E^{mod}/Q_{∞}}(−1) donc ζ ∈ N_{E^{mod}/Q_{∞}} i.e. ζ ∈ (𝔽_{q}^{×})^{e}, d’où le point (ii).

1.1.3. Corollaire L’extension abélienne de Q_{∞} associée à Kerϕ_{∞} est le corps

Q′_{∞} = Q_{∞}[ \sqrt[q−1]{−1/T}] = 𝔽_{q}(( \sqrt[q−1]{−1/T}));

c’est la plus grande extension abélienne modérément ramifiée de Q_{∞} dans laquelle 1/T est norme. En particulier, si K est une extension séparable de Q_{∞}, l’extension abélienne de K associée à Kerϕ_{K} par la théorie locale du corps de classes est le compositum K′ = KQ_{∞} = K[^{q−1}\sqrt{−1/T}].

Preuve. La première assertion résulte immédiatement du théorème appliqué à l’extension abélienne E/Q_{∞} associée à Kerϕ_{∞} par la théorie locale du corps de classes, laquelle vérifie par construction l’identité normique :

N_{E/Q_{∞}}(E^{×}) = Kerϕ_{∞} = U_{Q_{∞}}(\frac{1}{T})^{ℤ}.

La seconde assertion s’ensuit puisque Kerϕ_{K} est la préimage de Kerϕ_{∞} par N_{K/Q_{∞}}.

1.1.4. Proposition. Soit K/Q_{∞} une sous-extension d’une extension séparable finie L/Q_{∞}. On a alors

(Kerϕ_{K} : N_{L/K}(Kerϕ_{L})) = [L^{ab} : L ∩ K′],

où L^{ab} est la sous-extension maximale de L qui est abélienne sur K et K′ le compositum KQ′_{∞} = K[^{q−1}\sqrt{−1/T}].

Preuve. Introduisons l’extension abélienne maximale L̄^{ab} de L et notons K̄^{ab} celle de K. Par le corollaire 1.1.3., la sous-extension abélienne de K̄^{ab} qui est fixée par N_{L/K}(Kerϕ_{L}) est l’intersection L′^{ab} = L′ ∩ K̄^{ab} qui n’est rien d’autre que le compositum L^{ab′} = L^{ab} ×K′. Cela étant, puisque Kerϕ_{K} fixe K′, il vient comme annoncé :

(Kerϕ_{K} : N_{L/K}(Kerϕ_{L})) = [L^{ab}K′ : K′] = [L^{ab} : L^{ab} ∩ K′].

Et l’ensemble de la discussion peut se résumer par le schéma de corps :

L  L′  LK̄^{ab}  L̄^{ab} L^{ab}  L′^{ab} = L^{ab′}  K̄^{ab} L ∩ K′  K′ K

1.1.5. Corollaire. Notons d′(L/K) le degré [L^{ab} : L ∩ K′] = [L′^{ab} : K′].

(i) Puisque l’extension K′/k est modérément ramifiée, d′(L/K) est un multiple de la partie sauvage de l’indice de ramification e^{ab}(L/K) de l’extension abélienne L^{ab}/K, l’égalité ayant lieu si et seulement si la sous-extension maximale L^{mod} = L ∩ K̄^{mod} de L qui est abélienne et modérée sur K est contenue dans K′. (ii) Lorsque \frac{1}{T} est norme dans l’extension L/Q_{∞} (ce qui implique en particulier que L/ℚ_{∞} soit totalement ramifiée) d′(L/K) est la plus grande puissance de p qui divise e^{ab}(L/K) si et seulement si on a l’égalité (où a ∧ b désigne le pgcd de a et de b ) :

(q − 1) ∧ [L : ℚ_{∞}] = ((q − 1) ∧ [L : K]) × ((q − 1) ∧ [K : ℚ_{∞}])

Preuve. Soit π_{L} un premier de L vérifiant N_{L/Q_{∞}}(π_{L}) = \frac{1}{T} . Posons π_{K} = N_{L/K}(π_{L}). Alors π_{K} est un premier de K de norme N_{K/Q_{∞}}(π_{K}) = \frac{1}{T}. Il vient donc :

L^{×} = < π_{L} > × 𝔽_{q}^{×} × U_{L}^{(1)} et K^{×} = < π_{K} > × 𝔽_{q}^{×} × U_{K}^{(1)}.

Posons m_{K} = [K : Q_{∞}] ∧ (q − 1) et m_{L} = [L : Q_{∞}] ∧ (q − 1). il vient :

kerϕ_{K} = < π_{K} > ×(𝔽_{q}^{×})^{\frac{q−1}{m_{K}}} × U_{K}^{(1)},
Kerϕ_{L} = < π_{L} > ×(𝔽_{q}^{×})^{\frac{q−1}{m_{L}}} × U_{L}^{(1)}.

et

N_{L/K}((𝔽_{q}^{×})^{\frac{q−1}{m_{L}}}) = (𝔽_{q}^{×})^{\frac{q−1}{m_{L}} [L:K]} = (𝔽_{q}^{×})^{\frac{q−1}{m_{L}} (m_{L}∧[L:K])} = (𝔽_{q}^{×})^{\frac{q−1}{m_{L}} ((q−1)∧[L:K])}.

Ainsi l’égalité attendue : \frac{Kerϕ_{E}}{N_{K/E}(Kerϕ_{K})} = \frac{U_{E}^{(1)}}{N_{K/E}(U_{K}^{(1)})} équivaut bien à la condition

annoncée : m_{L} = m_{K} × ((q − 1) ∧ [L : K]). ⋄ 1.2. Classes au sens restreint et corps de classes de Hilbert

Soit K un corps global. Rappelons que nous avons désigné par P l_{K}^{∞} l’ensemble des places à l’infini de K si K est un corps de nombres, des places au-dessus de ∞ = 1/T si K est un corps de fonctions. Pour v ∈ P l_{K}^{∞}, K se plonge dans K_{v}, et ϕ_{K_{v}}(x) est bien défini pour x ∈ K^{×}. On définit le sous-groupe des élements totalement "positifs" de K^{×} par :

K^{+} = {x ∈ K^{×}| ∀v ∈ P l_{K}^{∞}, ϕ_{K_{v}}(x) = 1}.

1.2.0. Définition Nous appelons groupe des "signatures" d’un corps global K le quotient fini :

Sg_{K} = K^{×}/K^{+}.

Si R est un sous-groupe de K^{×}, l’image de R dans Sg_{K} est notée sg_{K}(R). En particulier, on a donc Sg_{K} = sg_{K}(K^{×}).

1.2.1. Lemme. On a :

Sg_{K} = sg_{K}(K) ≃ ∏_{v∈P l_{K}^{∞}} ϕ_{K_{v}}(K_{v}^{×}).

Preuve. C’est une conséquence directe du théorème d’approximation forte. ⋄

On pose P_{K}^{+} = {xO_{K}|x ∈ K^{+}}. Alors le groupe de classes d’idéaux au sens restreint de O_{K} est :

Cl_{K}^{res} = I_{K}/P_{K}^{+}.

On pose de même :

U_{K} = ∏_{v∈P l_{K}^{∞}} K_{v}^{×} × ∏_{v∉P l_{K}^{∞}} U_{K_{v}},

U_{K}^{+} = ∏_{v∈P l_{K}^{∞}} Kerϕ_{K_{v}} × ∏_{v∉P l_{K}^{∞}} U_{K_{v}}.

Alors U_{K} et U_{K}^{+} sont des sous-groupes ouverts de J_{K}.

1.2.2. Proposition. Les groupes de classes d’idéaux au sens ordinaire ou restreint sont donnés par les isomorphismes canoniques :

(i) Cl_{K} ≃ J_{K}/U_{K}K^{×} ; (ii) Cl_{K}^{res} ≃ J_{K}/U_{K}^{+}K^{×}.

Preuve. C’est une conséquence immédiate de l’isomorphisme I_{K} ≃ J_{K}/U_{k}. ⋄

1.2.3. Corollaire. Classes au sens ordinaires et classes au sens restreint sont liées par la suite exacte :

1 → sg(E_{K}) → Sg_{K} → Cl_{K}^{res} → Cl_{K} → 1.

Preuve. On a immédiatement :

U_{K}/U_{K}^{+} ≃ sg(K), K^{×} ∩ U_{K} = E_{K} et K^{×} ∩ U_{K}^{+} = K^{+} ∩ E_{K} = E_{K}^{+}.

Il suffit alors d’appliquer la proposition 1.2.2. ⋄

Soit H_{K}/K l’extension abélienne de K correspondant par la théorie du corps de classes à K^{×}U_{K}. Alors H_{K} est appelé le corps de classes de Hilbert au sens ordinaire de O_{K}. C’est l’extension abélienne maximale de K qui est non ramifiée (aux places finies) dans laquelle toute place de P l_{K}^{∞} se décompose totalement. Notons que l’application d’Artin donne lieu à l’isomorphisme canonique :

Cl_{K} ≃ Gal(H_{K}/K).

Le lecteur pourra consulter [12] pour obtenir plus d’informations sur les corps de classes de Hilbert pour les corps de fonctions.

Soit H_{K}^{res}/K l’extension abélienne de K correspondant à K^{×}U_{K}^{+}. Alors H_{K}^{res} est appelé le corps de classes de Hilbert au sens restreint de O_{K}. L’application d’Artin donne lieu à l’isomorphisme :

Cl_{K}^{res} ≃ Gal(H_{K}^{res}/K).

1.2.4. Exemples.

(i) On a sg(ℚ) = sg(ℤ^{×}) = {−1, 1}. Il suit donc : H_{ℚ} = H_{ℚ}^{res} = ℚ. (ii) On a sg(Q) = sg(𝔽_{q}^{×}) = 𝔽_{q}^{×}. Ainsi H_{Q} = H_{Q}^{res} = Q. (iii) Soit n ≥ 3 et soit K = ℚ(e^{\frac{2iπ}{n}}) le n-ième corps cyclotomique. Alors, pour tout v ∈ P l_{K}^{∞}, on a K_{v} = ℂ. Et il suit H_{K} = H_{K}^{res}. (iv) Soit M ∈ Z = 𝔽_{q}[T] un polynôme unitaire de degré supérieur ou égal à 1. Soit K le M-ième corps de fonctions cyclotomique. Nous renvoyons le lecteur à [6] pour la définition de K. Alors, pour tout v ∈ P l_{K}^{∞}, on a :

K_{v} = 𝔽_{q}((^{q−1}\sqrt{\frac{−1}{T}} )).

Il suit donc Kerϕ_{K_{v}} = K_{v}^{×}. Et il en résulte : H_{K} = H_{K}^{res}.

1.2.5. Remarque. Soit L/K une extension séparable finie de corps globaux. On a alors H_{K}^{res} ⊂ H_{L}^{res}. Et si L/K est galoisienne, H_{L}^{res}/K l’est aussi.

1.2.6. Proposition. Soient K un corps global et L = H_{K}^{res}. Alors toute classe de Cl_{K}^{res} a une image triviale dans Cl_{L}^{res}.

Preuve. Ce n’est rien d’autre que la transposition au sens restreint du classique théorème d’Artin-Furtwängler pour les corps des nombres.

1.3. Idéaux signés et groupes de S-classes d’idéaux signés

Pour définir le groupe des classes d’idéaux au sens restreint par analogie avec le groupe des classes d’idéaux au sens ordinaire Cℓ_{K} = I_{K}/P_{K}, nous avons restreint, dans la section qui précède, le dénominateur au sous-groupe P_{K}^{+} des idéaux principaux engendrés par les éléments totalement positifs. Mais il est souvent commode de travailler plutôt sur le numérateur. Dans [8] est ainsi introduite pour les corps de nombres la notions de "diviseur". Mais comme le terme de diviseur a déjà un sens bien précis pour les corps de fonctions, nous préférons parler ici d’idéal signé :

1.3.0 Définition. Nous appelons groupe des idéaux signés d’un corps global K la somme directe

Is_{K} = I_{K} ⊕ Sg_{K}

du groupe I_{K} des idéaux et du groupe Sg_{K} des signatures de K. L’image P s_{K} dans Is_{K} du groupe multiplicatif K^{×} est le sous-groupe des idéaux signés principaux.

Si Kest un corps de nombres possédant exactement r places réelles, on a Sg_{K} = {±1}^{r} et l’image d’un élément x de K^{×} dans Is_{K} et le couple formé de l’idéal principal engendré par x et des r signes des plongements de x aux places réelles. Si K est un corps de fonctions, on a un résultat analogue à cela près que {±1}^{r} est remplacé par le produit ∏_{v|P l_{K}^{∞}} ϕ_{K_{v}}(K_{v}^{×}).

Soit, en effet, P une place de K ; on lui associe une valuation v_{P} comme suit :

- si P est une place ultramétrique, alors P correspond à un idéal premier de O_{K}, et v_{P} est alors la valuation P -adique usuelle sur K^{×};

- si P est réelle, K se plonge dans K_{P} = ℝ et v_{P} est alors à valeurs dans 𝔽_{2} = \frac{ℤ}{2ℤ} : on a v_{P} (x) = ¯0 pour x > 0 et v_{P} (x) = ¯1 pour x < 0 ;

- si P est complexe, v_{P} est la valuation triviale ;

- si P divise \frac{1}{T} enfin, on pose v_{P} = ϕ_{K_{P}}.

Le groupe des idéaux signés de K est alors le groupe abélien libre engendré par les valuations attachées aux places de K, chaque élément D ∈ Is_{K}, s’écrivant de manière unique sous la forme :

D = ∑_{P} n_{P} v_{P} ,

avec n_{P} ∈ ℤ si P est une place finie, n_{P} ∈ 𝔽_{2} si P est réelle, et n_{P} ∈ Imϕ_{K_{P}} si P divise \frac{1}{T}. L’application de K^{×} dans Is_{K}, est alors donnée par la formule :

x ↦ ∑ v_{P} (x)v_{P} .

1.3.1. Lemme. le groupe Cs_{K} = Is_{K}/P s_{K} des classes d’idéaux signés s’identifie canoniquement au groupe Cℓ_{K}^{res} des classes d’idéaux au sens restreint.

Preuve : C’est immédiat.

Soit maintenant S = S_{K} un ensemble fini de places de K. On note Is_{K}(S) le sous-groupe de Is_{K} engendré par les places de S :

– Si v est une place finie, elle correspond à un idéal premier non nul et le sous groupe engendré par v dans Is_{K} est le sous-groupe de I_{K} engendré par cet idéal ; – Si v est une place à l’infini, le sous-groupe qu’elle engendre est le facteur

ϕ_{K_{v}}(K_{v}^{×}) de Sg_{K} ; il est d’ordre 2 si K est un corps de nombres et v réelle, trivial si v est complexe.

1.3.2. Définition. Le groupe S-classes d’idéaux signés d’un corps global K est le quotient

Cs_{K}^{S} = Is_{K}/P s_{K}Is_{K}(S) ≃ Cs_{K}/Cs_{K}(S)

du groupe des classes d’idéaux signés par le sous groupe engendré par les classes des idéaux signés construits sur les places de S.

1.3.3. Remarques.

(i) Si S = ∅, on a déjà vu que l’on a Cs_{K}^{S} ≃ Cl_{K}^{res}. (ii) Si K est un corps de nombres et S l’ensemble des places réelles de K, alors Cs_{K}^{S} ≃ Cl_{K}. Plus généralement, si S contient les places réelles de K, notons S^{0} l’ensemble des places finies contenues dans S et O_{K}^{S} l’ensemble des éléments de K réguliers en toute place finie en dehors de S^{0}. Alors Cs_{K}^{S} s’identifie au groupe de classes d’idéaux de O_{K}^{S}.

1.3.4. Définition (Corps des S-classes de Hilbert). Considérons le groupe d’idèles

U_{K}^{S} = ∏_{v∈P l_{K}^{∞},v∉S} Kerϕ_{K_{v}} × ∏_{v∈S} K_{v}^{×} × ∏_{v∉S_{P l^{∞}_{K}} ∪S} U_{K_{v}}.

et notons H_{K}^{S} l’extension abélienne de K correspondant à K^{×}U_{K}^{S}. Il vient :

Gal(H_{K}^{S}/K) ≃ J_{K}/K^{×}U_{K}^{S} ≃ Cs_{K}^{S} ;

et on dit que H_{K}^{S} est le corps des S-classes de Hilbert (au sens restreint) de K.

1.3.5. Définition. Le groupe des S-unités du corps K est le sous-groupe

E_{K}^{S} = {x ∈ K^{×}| ∀P ∉ S v_{P} (x) = 0}.

En d’autres termes, le groupe E_{K}^{S} est caractérisé par la suite exacte :

1 → E_{K}^{S} → K^{×} → Is_{K} → Cls_{K} → 1

1.3.6. Remarques.

(i) Pour S = ∅, E_{K}^{S} est le groupe des unités "totalement positives". (ii) Si K est un corps de nombres, et S l’ensemble des places réelles E_{K}^{S} est le groupe des unités (au sens ordinaire) de l’anneau des entiers de K. Plus généralement, si S contient toutes les places réelles de K et si S^{∘} désigne l’ensemble des places finies contenues dans S, le groupe E_{K}^{S} est le groupe des unites de l’anneau O_{K}^{S} des S_{∘}-entiers de K.

2. Corps des genres et corps des classes centrales

2.1 Groupe des genres relatifs à une extension de corps globaux

Considérons une extension L/K de corps globaux (i.e. soit une extension quelconque de corps de nombres de degré fini sur ℚ, soit une extension quelconque de corps de fonctions séparables et de degré fini sur Q = 𝔽_{q}(T)), et notons S_{K} un ensemble fini de places de K puis S_{L} l’ensemble fini des places de L au-dessus des places de S_{K}. Nous écrirons souvent S pour S_{K} ou S_{L} en l’absence de toute ambiguïté.

Rappelons que nous avons désigné par H_{L}^{S_{L}}(resp. H_{K}^{S_{K}}) le corps des S-classes de Hilbert de L (resp.K) i.e. l’extension abélienne de L (resp.de K) qui est associéee par la théorie du corps de classes au groupe d’idèles U_{L}^{S_{L}} (resp. U_{K}^{S_{L}}).

2.1.0 Définition. Le corps des S-genres LH_{L/K}^{S} de l’extension L/K est le plus grand sous-corps de H_{L}^{S} qui provient, par composition avec L, d’une extension abélienne de K. En d’autres termes, H_{L/K}^{S} est la plus grande sous-extension de H_{L}^{S} qui est abélienne sur K.

Le corps des S-genres LH_{L/K}^{S} contient toujours le corps des S-classes H_{K}^{S}.

2.1.1. Exemples.

(i) Pour S = ∅, le corps des genres au sens restreint LH_{L/K}^{res} = LH_{L/K}^{ϕ} est le plus grand sous-corps de H_{L}^{res} qui provient d’une extension abélienne de K. (ii) Pour S = P l_{L}^{∞}, le corps des genres au sens ordinaire LH_{L/K} est le plus grand sous-corps de H_{L} qui provient d’une extension abélienne de K.

2.1.2. Remarque. Puisque LH_{L/K}^{S}/L est une sous-extension de H_{L}^{S}/L, l’isomorphisme Gal(H_{L}^{S}L) ≃ Cs_{L}^{S} identifie le quotient G_{L/K}^{S} = Gal(LH_{L/K}^{S}/L) à un quotient du groupe de S-classes Cs_{L}^{S}. On dit que G_{L/K}^{S} est le quotient des genres de Cs_{L}^{S} relativement à l’extension L/K.

2.1.3. Proposition. Soit L/K une extension quelconque de corps globaux.

(i) Le groupe d’idèles de K qui correspond à la sous-extension abélienne H_{L/K}^{S}/K de H_{L}^{S}K est l’image N_{L/K}(U_{L}^{S})K^{×} du groupe U_{L}^{S}L^{×} associé à H_{L}^{S} L. (ii) Le groupe d’idèles de L qui correspond à l’extension abélienne LH_{L/K}^{S}/L est le saturé pour la norme N_{L/K}^{−1}(N_{L/K}(U_{L}^{S})K^{×})L^{×} du groupe U_{L}^{S}L^{×} associé à H_{L}^{S} L.

Preuve. C’est une conséquence immédiate de la Théorie globale du corps de classes.

2.1.4. Corollaire. Lorsque l’extension L/K est cyclique, de groupe de Galois Γ =< γ >, le quotient des S-genres G_{L/K}^{S} s’identifie au plus grand quotient ΓCls_{L}^{S} du groupe Cs_{L}^{S} des S-classes de L sur lequel Γ opère trivialement :

G_{L/K}^{S} ≃ ^{Γ}Cs_{L}^{S} = Cs_{L}^{S}/Cs_{L}^{S(γ−1)} .

On retrouve ainsi, pour S = ∅ ou S = P l^{∞} les caractérisations traditionnelles du quotient des genres dans le cas cyclique. Notons par ailleurs que, le groupe Cs_{L}^{S} étant fini, il en résulte que dans le cas cyclique le quotient des genres G_{L/K}^{S} a même ordre que le sous-groupe ambige (i.e. fixé par Γ) de Cs_{L}^{S}.

Preuve. Notons, pour simplifier, N la norme arithmétique N_{L/K} et considérons un idèle x de J_{L} dont la norme tombe dans N(U_{L}^{S})K^{×}. Ecrivons donc N(x) = N(u)k, avec u ∈ U_{L}^{S} et k ∈ K^{×}. Nous obtenons k = N(x/u) ∈ K^{×} ∩ NJ_{L} et, l’extension étant suposée cyclique, le principe de Hasse nous permet d’écrire k = N(l) pour un l ∈ L^{×}. Il vient donc N(x/u) = 1, d’où, via le théorème 90 pour les idèles, x/lu = y^{γ−1} pour un y ∈ J_{L}, c’est-à-dire

x ∈ J_{L}^{γ−1}U_{L}^{S}L^{×};

et finalement : G_{L/K}^{S} ≃ J_{L}/J_{L}^{γ−1}U_{L}^{S}L^{×} ≃ Cs_{L}^{S}/Cs_{L}^{S(γ−1)} comme attendu.

2.2. Formule des S-genres et suite exacte des S-genres

Soit L/K une extension quelconque de corps globaux; pour chaque place v de K, notons K_{v} le complété correspondant de K et (L_{w)w|v} la famille des complétés de L aux places w au-dessus de v (considérés dans une même clôture algébrique de K_{v}) ; désignons enfin par (L_{w}^{ab})_{w|v} la famille des sous-extensions abéliennes maximales de K_{v} respectivement contenues dans les (L_{w})_{w|v}.

Soit alors L̂_{v}^{ab} = Π_{w|v}L_{w}^{ab} le compositum des L_{w}^{ab} et Ľ_{v}^{ab} = ∩_{w|v}L_{w}^{ab} leur intersection, puis L̃_{v}^{ab} le sous-corps de L̂_{v}^{ab} fixé par les sous-groupes d’inertie G^{∘}(L̂_{v}^{ab}/L_{w}^{ab}) attachés aux extensions abéliennes L̂_{v}^{ab}/L_{w}^{ab} lorque w décrit les places au-dessus de v.

2.2.1. Remarques. Lorsque les L_{w}^{ab} coïncident, ce qui se produit en particulier dès que l’extension L/K est galoisienne, il n’y a pas lieu de distinguer entre L̂_{v}^{ab}, Ľ_{v}^{ab} et L̃_{v}^{ab}. Nous écrivons donc dans ce cas L_{v}^{ab} sans plus de détail ; mais cette simplification n’est pas possible dans le cas général.

D’après la Théorie locale du corps de classes, L_{w}^{ab} est l’extension abélienne de K_{v} associée au groupe de normes N_{L_{w}/K_{v}}(L_{w}^{×}), que nous écrirons de façon abrégée N(L_{w}^{×}) ; il coïncide naturellement avec le groupe N(L_{w}^{ab×}) = N_{L_{w}^{ab}/K_{v}}(L_{w}^{ab×}). Le compositum L̂_{v}^{ab} des L_{w}^{ab} correspond donc à l’intersection ∩_{w|v}N(L_{w}^{×}) et leur intersection Ľ_{v}^{ab} au sous-groupe Π_{w|v}N(L_{w}^{×}) de K_{v}^{×} engendré par les N(L_{w}^{×}). Enfin , pour chaque place w_{0} au-dessus de v le groupe de Galois Gal(L̂_{v}^{ab}/L_{w_{0}}^{ab}) s’identifie au quotient N(L_{w_{0}}^{×})/Π_{w|v}N(L_{w}^{×}) et son sous-groupe d’inertie à l’image N(U_{w_{0}})(Π_{w|v}N(L_{w}^{×})) du sous-groupe U_{w_{0}} des unités de L_{w_{0}}. Et le groupe d’idèles associé au corps L̃_{v}^{ab} est ainsi le produit (Π_{w|v}N(U_{w}))( ∩_{wLv} N(L_{w}^{×})). Il vient donc :

2.2.2. Proposition et définition. Avec les notations ci-dessus :

(i) le quotient K_{v}^{×}/Π_{w|v}NL_{w}^{×} s’identifie au groupe de Galois de l’extension abélienne locale Ľ_{v}^{ab}/K_{v} ; et nous disons que D_{v}^{ab}(L/K) = Gal(Ľ_{v}^{ab}/K_{v}) est le groupe de décomposition abélianisé de la place v dans l’extension L/K ; (ii) le quotient U_{v}/Π_{w|v}NU_{w} s’identifie au groupe d’inertie de l’extension abélienne locale L̃_{v}^{ab}/K_{v} ; et nous disons que I_{v}^{ab}(L/K) = G^{∘}(L̃_{v}^{ab}/K_{v}) est le groupe d’inertie abélianisé de la place v dans l’extension L/K.

Venons-en maintenant au cas particulier des places à l’infini :

(i) Si K est un corps de nombres et v une place réelle, on a k_{v} = ℝ et L_{w} = ℝ ou ℂ pour chaque place w au-dessus de v. Dans ce cas les L_{w} sont donc abéliens sur K_{v}, leur compositum L̂_{v} est égal à ℂ dès que l’un au moins des L_{w} est complexe et leur intersection Ľ_{v} est ℝ si et seulement si l’un des L_{w} est réel. En particulier le groupe de Galois

D′_{v}(L/K) = Gal(Ľ_{v}/K_{v}) ≃ K_{v}^{×}/Π_{w|v}N_{L_{w}/K_{v}}(L_{w}^{×})

est d’ordre 1 ou 2, et trivial si et seulement si v admet un prolongement w réel.

(ii) Si K est un corps de fonctions, et v divise \frac{1}{T}, rappelons que nous avons posé K′_{v} = K_{v}[ \sqrt[q−1]{−1/T}] et L′_{w} = L_{w}[ \sqrt[q−1]{−1/T}]. Dans la correspondance du corps de classes, nous savons par (1.1.6.) que Kerϕ_{k_{v}} fixe K′_{v} et que son sous-groupe N_{L_{w}/K_{v}}(Kerϕ_{L_{w}}) fixe, lui, la sous-extension maximale L′_{w}^{ab} de L′_{w} qui est abélienne sur K_{v}. D’après la théorie locale du corps de classes, le produit Π_{w|v}N_{L_{w}/K_{v}}(Kerϕ_{L_{w}}) est donc associé à l’intersection L′v = ∩_{w|v}L′_{w}^{ab}, de sorte que le quotient K_{v}^{×}/Π_{w|v}N_{L_{w}/K_{v}}(Kerϕ_{L_{w}}) s’identifie au groupe de Galois

D′_{v}(L/K) = Gal(L′_{v}/K′_{v}).

En résumé, nous avons :

2.2.3. Proposition. Soit v une place à l’infini de K et ϕ_{K_{v}} la fonction signe associée.

(i) Si K est un corps de nombres, le quotient Kerϕ_{k_{v}}/Π_{w|v}N_{L_{w}/L_{v}}(Kerϕ_{L_{w}}) s’identifie au groupe de Galois D′_{v}(L/K) = Gal(Ľ_{v}/K_{v}) d’ordre 1 ou 2. (ii) Si K est un corps de fonctions, le quotient Kerϕ_{k_{v}}/Π_{w|v}N_{L_{w}/L_{v}}(Kerϕ_{L_{w}}) s’identifie au groupe de Galois D′_{v}(L/K) = Gal(L′_{v}/K′_{v}).

Nous sommes maintenant en mesure d’établir la formule des genres :

2.2.4. Théorème (Formule des S-genres). Soient L/K une extension quelconque de corps globaux, S_{K} un ensemble fini de places de K et S_{L} l’ensemble des places de L au-dessus de celles de S_{K}. Le nombre de S-genres relatif à l’extension L/K est alors donné par la formule :

[LH_{L/K}^{S} : L] = h_{K}^{S} \frac{Π_{v∈P l_{K}^{∞}\S_{K}^{∞}}d′_{v}(L/K) Π_{v∈P l_{K}^{0}\S_{K}^{0}} e_{v}^{ab}(L/K) Π_{v∈S_{K}} d_{v}^{ab}(L/K)}{[L^{ab} : K](E_{K}^{S} : E_{K}^{S} ∩ N_{L/K}^{S})}

Dans celle-ci, h_{K}^{S} désigne le cardinal du groupe des S-classes Cs_{K}^{S} d’idéaux signés et d′_{v}(L/K) est le degré de l’extension abélienne locale L′_{v}/K′_{v} ; d_{v}^{ab}(L/K) est l’ordre du groupe de décomposition abélianisé D_{v}^{ab}(L/K) et e_{v}^{ab}(L/K) celui du groupe d’inertie abélianisé I_{v}^{ab}(L/K) ; le corps L^{ab} est le plus grand souscorps de L qui est abélien sur K ; le groupe E_{K}^{S} est le groupe des S-unités (au sens restreint) de K ; et N_{L/K}^{S} = K^{×} ∩ N_{L/K}(U_{L}^{S}) est le groupe des S-normes locales attaché à l’extension L/K.

2.2.5. Remarque. Lorsque l’extension globale L/K est abélienne, on a évidemment L^{ab} = L ainsi que les égalités entre groupes locaux D_{v}^{ab}(L/K) = D_{v}(L/K) et I_{v}^{ab}(L/K) = I_{v}(L/K). Si elle est cyclique, on a en outre N_{L/K} = N_{L/K}(L^{×}) en vertu du principe de Hasse.

Preuve. Rappelons que nous avons désigné par H_{K}^{S} le corps des S-classes de Hilbert de K et par H_{L/K}^{S} le sous-exension maximale de H_{L}^{S} qui est abélienne sur K. Nous avons donc :

[LH_{L/K}^{S} : L] = \frac{[H_{L/K}^{S} : K]}{[L ∩ H_{L/K}^{S} : K]} = \frac{[H_{L/K}^{S} : H_{K}^{S}][H_{K}^{S} : K]}{[L^{ab} : K]},

puisque L^{ab} = L ∩ H_{L/K}^{S} est bien la sous-extension maximale de L qui est abélienne sur K. Cela étant, d’après (1.3.4.) le groupe d’idèles associé à H_{K}^{S} est U_{K}^{S}K^{×} et , d’après (2.1.3.), celui associé à H_{L/K}^{S} est N_{L/K}(U_{L}^{S})K^{×}. Il suit :

[H_{L/K}^{S} : H_{K}^{S}] = (U_{K}^{S} K^{×} : N_{L/K}(U_{L}^{S})K^{×}) = \frac{(U_{K}^{S} : N_{L/K}(U_{L}^{S}))}{(K^{×} ∩ U_{K}^{S} : K^{×} ∩ N_{L/K}(U_{L}^{S}))}.

Pour conclure, il suffit alors de remarquer que la contribution des différentes places au numérateur est donnée par (2.2.2.) et (2.2.3.) ; tandis qu’au dénominateur, on a K^{×} ∩ U_{K}^{S} = E_{K}^{S} et K^{×} ∩ N_{L/K}(U_{L}^{S}) = E_{K}^{S} ∩ N_{L/K}^{S}. Notons que lorsque l’extension L/K est galoisienne, cette dernière intersection n’est autre que E_{K}^{S} ∩ N_{L/K} où N_{L/K} = K^{×} ∩ N_{L/K}(J_{L}) est le groupe des éléments de K qui sont normes locales partout d ans l’extension L/K.

2.2.6. Corollaire. Soit L/K une extension quelconque de corps de nombres et L^{ab}/K sa sous-extension abélienne maximale.

(i) Le nombre de genres relatif à l’extension L/K est donné par la formule :

[LH_{L/K} : L] = \frac{h_{K} ∏_{v} e_{v}^{ab}(L/K)}{[L^{ab} : K] (E_{K} : E_{K} ∩ N_{L/K}(U_{L}))} ,

où h_{K} est le nombre de classes de K.

(ii) Le nombre de genres au sens restreint est donné, lui, par la formule :

[LH_{L/K}^{res} : L] = \frac{h_{K}^{res} ∏_{v∈S_{∞}(K)} d_{v}^{ab}(L/K) ∏_{v∉S_{∞}(K)} e_{v}^{ab}(L/K)}{[L^{ab} : K] (E_{K}^{+} : E_{K}^{+} ∩ N_{L/K}(U_{L}))},

où h_{K}^{res} est le cardinal de Cl_{K}^{res} et E_{K}^{+} est le groupe des unités qui sont positives aux places réelles de K.

2.2.7. Remarque. Lorsque L/K est galoisienne, la formule obtenue pour le corps des genres au sens ordinaire dans (i) nous donne la formule de Furuta ([5]). Lorsque L/K est abélienne, la formule obtenue pour le corps des genres au sens restreint dans (ii) nous donne la formule de Goldstein ([7], Théorème 2.1).

2.2.8. Corollaire. Soit L/K une extension quelconque de corps de fonctions et L^{ab}/K sa sous-extension abélienne maximale.

(i) Notons h_{K} le cardinal du groupe des classes Cl_{K}. Alors :

[LH_{L/K} : L] = \frac{h_{K} ∏_{v∈S_{∞}(K)} d_{v}^{ab}(L/K) ∏_{v∉S_{∞}(K)} e_{v}^{ab}(L/K)}{[L^{ab} : K] (E_{K} : E_{K} ∩ N_{L/K}(U_{L}))}.

(ii) On suppose que pour toute place w ∈ P l_{L}^{∞} on a : \frac{1}{T} ∈ N_{L_{w}/Q_{∞}}(L_{w}^{×}) et que [L_{w} : Q_{∞}] divise (q − 1)r_{w} où r_{w} est un entier premier à q − 1. Notons h_{K}^{res} le cardinal de Cl_{K}^{res} ; le nombre de genres au sens restreint est alors :

[LH_{L/K}^{res} : L] = \frac{h_{K}^{res} ∏_{v∈P l_{K}^{∞}(K)} p^{n_{v}} ∏_{v∉P l_{K}^{∞}(K)} e_{v}^{ab}(L/K)}{[L^{ab} : K] (E_{K}^{+} : E_{K}^{+} ∩ N_{L/K}(U_{L}))},

où E_{K}^{+} = E_{K} ∩ K^{+} est le groupe des unités totalement positives et p^{n_{v}} est la plus grande puissance de p qui divise e_{v}^{ab}(L/K) (p est la caractéristique de 𝔽_{q}).

Revenons maintenant au cas général. soit donc, comme plus haut, L/K une extension quelconque de corps globaux, S_{K} un ensemble fini de places de K et S_{l} l’ensemble des places de L au-dessus de celles de K; Rappelons que nous avons noté H_{L/K}^{S} la plus grande sous-extension de H_{L/K} qui est abélienne sur K. Cela étant, avec les notations du théorème 2.2.4, nous avons :

2.2.9. Théorème (Suite exacte des S-genres). Les symboles locaux de restes normiques donnent la suite exacte courte qui relie corps des S-genres et corps des S-classes de Hilbert, groupes de Galois locaux et groupe de Galois global :

1 → \frac{E_{K}^{S}}{E_{K}^{S} ∩ N_{L/K}^{S}} → Ram_{L/K}^{S} → Gal(H_{L/K}^{S}/H_{K}^{S}) → 1,

où le groupe médian Ram_{L/K}^{S} est la somme directe :

Ram_{L/K}^{S} = (⊕_{v∈P l_{K}^{∞}\S_{K}^{∞}}D′_{v}(L/K))⊕(⊕_{v∈P l_{K}^{0}\S_{K}^{0}} I_{v}^{ab}(L/K))⊕(⊕_{v∈S}D_{v}^{ab}(L/K)).

Preuve. C’est une conséquence immédiate de la démonstration du théorème 2.2.4. : le premier morphisme f : E_{K}^{S}/E_{K}^{S} ∩ N_{L/K} → Ram_{L/K}^{S} est induit par les symboles locaux de restes normiques (pris dans les extensions abéliennes locales correspondantes) ; et le second morphisme g : Ram_{L/K}^{S} → Gal(H_{L/K}^{S}/H_{K}^{S}) n’est autre que la formule du produit (σ_{v})_{v} → ∏ σ_{v}|_{H_{L/K}^{S}} prise dans l’extension

abélienne H_{L/K}^{S}/K, chacun des σ_{v} agissant trivialement sur le corps des Sclasses de Hilbert H_{K}^{S}. La théorie globale du corps de classes nous dit alors que les S-unités globales (i.e. les éléments de E_{K}^{S}) ont une image triviale dans Gal(H_{L/K}^{S}/K), en d’autres termes que l’on a Imf ⊂ Kerg ; et l’exactitude de la suite résulte de l’identité donnée par le théorème 2.2.4.

\frac{|Ram_{L/K}^{S}|}{(E_{K}^{S} : E_{K}^{S} ∩ N_{L/K}^{S})} = \frac{[H_{L/K}^{S} : L^{ab}][L^{ab} : K]}{[H_{K}^{S} : K]} = [H_{L/K}^{S} : H_{K}^{S}],

conformément au schéma de corps :

L  LH_{K}^{S}  LH_{L/K}^{S}  H_{L}^{S} L^{ab}  L^{ab}H_{K}^{S}  H_{L/K}^{S} L ∩ H_{K}^{S}  H_{K}^{S} K

Et, bien entendu, si l’extension L/K est abélienne, on a LH_{L/K}^{S} = H_{L/K}^{S}. ⋄

Lorsque le groupe des unités E_{K} est particulièrement simple, il est naturellement possible d’expliciter le terme normique dans la formule des genres ; ainsi :

2.2.10. Proposition. Soit K/𝔽_{q}(T) une extension séparable finie telle qu’il y ait une unique place de K au dessus de ∞. Si L/K est une extension galoisienne finie et v une place de K, on pose :

m_{v} = \frac{q_{K}^{deg_{v}} − 1}{(q_{K}^{deg_{v}} − 1) ∧ e_{v}^{ab}(L/K))} ∧ (q_{K} − 1),

où deg_{v} est le degré de la place v et q_{K} est le cardinal du corps des constantes de K. Et on note :

m_{L/K} = p.g.c.d. {m(v), v place de K}.

Alors :

(i) (E_{K} : E_{K} ∩ N_{L/K}) = (E_{K} : E_{K} ∩ N_{L/K}(U_{L})) = \frac{q_{K}−1}{m_{L/K}} , (ii) Et sous la condition q_{K} = q, il vient

(E_{K}^{+} : E_{K}^{+} ∩ N_{L/K}(U_{L}^{+})) = \frac{[K : Q] ∧ (q − 1)}{m_{L/K} ∧ [K : Q] ∧ (q − 1)}.

Preuve. Notons 𝔽_{K} le corps des constantes de K. Comme il y a une unique place de K au dessus de ∞, on a E_{K} = 𝔽_{K}^{×}. Il suit :

E_{K} ∩ N_{L/K} = ∩_{v}(𝔽_{K}^{×} ∩ N_{L_{v}^{ab}/K_{v}}(U_{L_{v}^{ab}})).

Or par [11], Proposition 2, le cardinal de 𝔽_{K}^{×} ∩ N_{L_{v}^{ab}/K_{v}}(U_{L_{v}^{ab}}) est égal à m_{v}. D’où la première assertion. Pour (ii), notons que E_{K}^{+} est un sous-groupe de 𝔽_{q}^{×} et que le cardinal de E_{K}^{+} est [K : Q] ∧ (q − 1). La Proposition suit. ⋄

2.2.11. Corollaire. Soit K = 𝔽_{q}(T) et L/𝔽_{q}(T) une extension galoisienne finie :

(i) Le nombre de genres au sens ordinaire relatif à L/Q est alors donné par la formule :

[LH_{L/Q} : L] = \frac{m(L/Q) d_{∞}^{ab}(L/Q) ∏_{v≠∞} e_{v}^{ab}(L/Q)}{(q − 1)[L^{ab} : Q]},

(ii) Si pour toute place w ∈ P l_{L}^{∞}, on a \frac{1}{T} ∈ N_{L_{w}/Q_{∞}}(L_{w}^{×}) et [L_{w} : Q_{∞}] divise (q − 1)r_{w} où r_{w} est un entier premier à q − 1, le nombre de genres au sens restreint est :

[LH_{L/Q}^{res} : L] = \frac{p^{n_{∞}} ∏_{v≠∞} e_{v}^{ab}(L/Q)}{[L^{ab} : Q]},

où p^{n_{∞}} est la plus grande puissance de p divisant e_{∞}^{ab}(L/Q) (p est la caractéristique de 𝔽_{q}).

Preuve. C’est une conséquence directe du Théorème 2.2.6. et de la Proposition 2.2.10. ⋄

2.3. Corps des classes centrales

Soient toujours L/K une extension quelconque de corps globaux, S_{K} un ensemble fini de places de K et S_{L} l’ensemble des places de L au-dessus des places dans S_{K}. Rappelons que nous avons posé :

U_{L}^{S_{L}} = ∏_{P l_{L}^{∞}\S_{L}^{∞}} Kerϕ_{L_{v}} ∏_{v∈S_{L}} L_{v}^{×} ∏_{v∈P l_{L}^{0}\S_{L}^{0}} U_{L_{v}}.

Ecrivons _{N}J_{L} le noyau de la norme N_{L/K} : J_{L} → J_{K}.

2.3.0. Définition. Le corps des S-classes centrales de l’extension L/K est l’extension abélienne C_{L/K}^{S_{L}} de L correspondant par la théorie du corps de classes au sous-groupe _{N}J_{L}U_{L}^{S_{L}}L^{×} de J_{L}.

Remarquons qu’on a la double inclusion :

L ⊂ LH_{L/K}^{S_{L}} ⊂ C_{L/K}^{S_{L}} ⊂ H_{L}^{S_{L}}.

Cela dit, l’appellation de corps des S-classes centrales se comprend comme suit :

2.3.1. Lemme. Lorsque L/K est galoisienne, le corps des S-classes centrales C_{L/K}^{S_{L}} est la plus grande extension galoisienne de K contenue dans H_{L}^{S_{L}} telle que Gal(C_{L/K}^{S_{L}}/L) soit contenu dans le centre de Gal(C_{L/K}^{S_{L}}/K).

Preuve. Posons G = Gal(L/K) et observons que le quotient J_{L}/U_{L} s’identifie au groupe des idéaux I_{L} du corps L. Pour établir la proposition, il suffit naturellement de prouver que si I_{G} est l’idéal d’augmentation de ℤ[G] on a :

NJ_{L}U_{L} = J_{L}^{I_{G}}U_{L}.

Or les idéaux de L de norme 1 sont précisement ceux contenus dans I_{L}^{I_{G}}. Il vient donc _{N}J_{L}U_{L} ⊂ J_{L}^{I_{G}}U_{L} ⊂ _{N}J_{L}U_{L}, puis _{N}J_{L}U_{L}^{S}L^{×} = J_{L}^{I_{G}}U_{L}^{S}L^{×} ; d’où le résultat. ⋄

2.3.2 Exemples.

(i) Le corps des classes centrales de l’extension L/K est l’extension abélienne C_{L/K} de L correspondant au sous-groupe _{N}J_{L}U_{L}L^{×} de J_{L}. On a :

L ⊂ LH_{L/K} ⊂ C_{L/K} ⊂ H_{L}.

(ii) Le corps des classes centrales au sens restreint est l’extension abélienne C_{L/K}^{res} L correspondant à _{N}J_{L}U_{L}^{+}L^{×}. On a :

L ⊂ LH_{L/K}^{res} ⊂ C_{L/K}^{res} ⊂ H_{L}^{res}.

2.3.3. Théorème. Soient L/K une extension galoisienne de corps globaux, S_{K} un ensemble fini de places de K et S_{L} l’ensemble des places de L au dessus des places de S_{K}. Alors corps des S-genres et corps des S-classes centrales sont liés par l’isomorphisme :

Gal(C_{L/K}^{S_{L}}/LH_{L/K}^{S_{L}}) ≃ \frac{(N_{L/K}/N_{L/K}(L^{×}))}{(E_{K}^{S_{K}} ∩ N_{L/K}/E_{K}^{S_{K}} ∩ N_{L/K}(L^{×}))}.

2.3.4. Corollaire. Sous les hypothèses du théorème, on a :

Gal(C_{L/K}/LH_{L/K}) ≃ \frac{(N_{L/K}/N_{L/K}(L^{×}))}{(E_{K} ∩ N_{L/K}/E_{K} ∩ N_{L/K}(L^{×}))},

Gal(C_{L/K}^{res}/LH_{L/K}^{res}) ≃ \frac{(N_{L/K}/N_{L/K}(L^{×}))}{(E_{K}^{+} ∩ N_{L/K}/E_{K}^{+} ∩ N_{L/K}(L^{×}))}.

Preuve. Posons

T_{1} = {α ∈ J_{L}, N_{L/K}(α) ∈ N_{L/K}(U_{L}^{S_{L}}L^{×})},

et

T_{2} = {α ∈ J_{L}, N_{L/K}(α) ∈ N_{L/K}(U_{L}^{S_{L}})K^{×}}.

Alors T_{1} et T_{2} sont des sous-groupe de J_{L} et on a T_{1} ⊂ T_{2}. De plus, C_{L/K}^{S_{L}}/L correspond à T_{1} et G_{L/K}^{S_{L}}/L correspond à T_{2}. Cela entraîne

Gal(C_{L/K}^{S_{L}}/LH_{L/K}^{S_{L}}) ≃ \frac{T_{2}}{T_{1}} .

Considérons l’application f : T_{2} → \frac{N_{L/K}}{N_{L/K}(L^{×})(E_{K}^{S_{K}} ∩N_{L/K})} définie comme suit :

Pour α ∈ T_{2}, de norme N_{L/K}(α) = N_{L/K}(β)x avec β ∈ U_{L}^{S_{L}} et x ∈ K^{×}, notons f(α) la classe de x. Montrons que f est bien définie. Supposons N_{L/K}(α) = N_{L/K}(β′)x′ avec β′ ∈ U_{L}^{S_{L}} et x′ ∈ K^{×}. Nous obtenons x(x′)^{−1} = N_{L/K}(β′β^{−1}). D’où x(x′)^{−1} ∈ E_{K}^{S_{K}} ∩ N_{L/K}, comme entendu. Notons que f est un morphisme de groupes.

Soit maintenant x ∈ N_{L/K}, disons x = N_{L/K}(α) pour un certain α ∈ J_{L}. Nous avons alors α ∈ T_{2}. Ainsi f est une surjection.

Il est clair que T_{1} est contenu dans Kerf.

Soit maintenant α ∈ Kerf. De l’égalité N_{L/K}(α) = N_{L/K}(β)N_{L/K}(y)μ avec β ∈ U_{L}^{S_{L}}, y ∈ L^{×} et μ ∈ E_{K}^{S_{K}} ∩ N_{L/K}, nous tirons μ = N_{L/K}(τ) avec τ ∈ U_{L}^{S_{L}}. Ainsi α ∈ T_{1}.

Nous avons donc obtenu :

Gal(C_{L/K}^{S_{L}}/LH_{L/K}^{S_{L}}) ≃ \frac{(N_{L/K}/N_{L/K}(L^{×}))}{(E_{K}^{S_{K}} ∩ N_{L/K}/E_{K}^{S_{K}} ∩ N_{L/K}(L^{×}))}.

Le Théorème suit. ⋄

Il est bien connu que le groupe des noeuds N_{L/K}/N_{L/K}(L^{×}) qui intervient au numérateur est un invariant purement galoisien de l’extension L/K :

2.3.5. Théorème. Soient K un corps global et L/K une extension galoisienne finie de groupe de Galois G. Pour toute place v de K, choisissons une place w de L au dessus de v et notons G_{v} le groupe de décomposition de w dans L/K. Posons N_{L/K} = K^{×} ∩ N_{L/k}(J_{L}). il vient :

(i) \frac{N_{L/K}}{N_{L/K}(L^{×})} ≃ Coker (∏_{v} Ĥ^{−3}(G_{v}, ℤ) → Ĥ^{−3}(G, ℤ)).

(ii) Supposons L/K abélienne ; alors \frac{N_{L/K}}{N_{L/K}(L^{×})} est isomorphe au conoyau de

l’application f : ∏_{v} ⋀^{2} G_{v} → ⋀^{2} G définie par f(⋯, σ_{v} ∧τ_{v}, ⋯) = ∑ σ_{v} ∧τ_{v}.

Preuve. L’assertion (i) est dans [13], page 198, et (ii) résulte de [10], Théorème 3. ⋄

2.3.6. Corollaire. Si L/K est cyclique, ou plus généralement s’il existe une place v de K telle que G_{v} = Gal(L/K), on a :

C_{L/K}^{S_{L}} = LH_{L/K}^{S_{L}}.

Réunissant 2.2.4. et 2.3.3. nous obtenons la formule des S-classes centrales :

2.3.7. Théorème (Formule des S-classes centrales). Dans une extension galoisienne L/K de corps globaux, le nombre de S-classes centrales est donné par la formule :

[C_{L/K}^{S} : L] = h_{K}^{S} \frac{Π_{v∈P l_{K}^{∞}\S_{K}^{∞}}d′_{v}(L/K) Π_{v∈P l_{K}^{0}\S_{K}^{0}} e_{v}^{ab}(L/K) Π_{v∈S_{K}} d_{v}^{ab}(L/K)}{[L^{ab} : K](E_{K}^{S} : E_{K}^{S} ∩ N_{L/K}(L^{×}))}κ_{L/K}

Dans celle-ci, h_{K}^{S} désigne le cardinal du groupe des S-classes Cs_{K}^{S} d’idéaux signés et d′_{v}(L/K) est le degré de l’extension abélienne locale L′_{v}/K′_{v} ; d_{v}^{ab}(L/K) est l’ordre du groupe de décomposition abélianisé D_{v}^{ab}(L/K) et e_{v}^{ab}(L/K) celui du groupe d’inertie abélianisé I_{v}^{ab}(L/K) ; le corps L^{ab} est le plus grand souscorps de L qui est abélien sur K ; le groupe E_{K}^{S} est le groupe des S-unités (au sens restreint) de K ; et N_{L/K}^{S} = K^{×} ∩ N_{L/K}(U_{L}^{S}) est le groupe des S-normes locales attaché à l’extension L/K ; enfin κ_{L/K} = (N_{L/K} : N_{L/K}(L^{×})) est le nombre de noeuds de l’extension L/K.

Références

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[13] J. Tate, Global Class Field Theory, in J.-W.-S. Cassels & A. Fröhlich, Algebraic Number Theory, Academic Press, London (1967), 162-203.

Bruno Anglès  Jean-François Jaulent
Université Paul Sabatier  Université Bordeaux
Laboratoire Emile Picard  Institut de Mathématiques
U.F.R. M.I.G.  351, cours de la Libération
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