Sur les invariants d’Iwasawa des tours cyclotomiques^{∗}

Jean-François Jaulent et Christian Maire

Abstract. We carry out the computation of the Iwasawa invariants ρ_{S}^{T}, μ_{S}^{T}, λ_{S}^{T} associated to abelian T -ramified S-decomposed ℓ-extensions over the finite steps K_{n} of the cyclotomic ℤ_{ℓ}-extension K_{∞}/K of a number field of CM-type.

Résumé. Nous déterminons explicitement les paramètres d’Iwasawa ρ_{S}^{T}, μ_{S}^{T}, λ_{S}^{T} des ℓ-groupes de S-classes T -infinitésimales Cℓ_{S}^{T} (K_{n}) attaché aux étages finis de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{∞}/K d’un corps de nombres à conjugaison complexe.

0. Introduction

On sait depuis les travaux de K. Iwasawa sur les corps cyclotomiques (cf. [4]) que les ordres respectifs ℓ^{x(n)} des ℓ-groupes de classes d’idéaux Cℓ(K_{n}) attachés aux divers étages K_{n} de la ℤ_{ℓ}- extension cyclotomique K_{∞} d’un corps de nombres K sont donnés pour n assez grand par une formule explicite de la forme :

x(n) = μℓ^{n} + λn + ν,

où ν est un entier relatif (éventuellement négatif) et où λ et μ sont des entiers naturels déterminés par la pseudo décomposition, comme module de torsion sur l’algèbre d’Iwasawa Λ = ℤ_{ℓ}[[γ −1]], de leur limite projective C(K_{∞}) = lim_{⟵} Cℓ(K_{n}) pour les applications normes, limite que la théorie du corps de classes interprète comme groupe de Galois de la pro-ℓ-extension abélienne non ramifiée maximale H_{∞} de K_{∞}. Il est alors commode de réécrire l’égalité précédente sous la forme :

x(n) ≈ μℓ^{n} + λn,

en convenant de tenir pour équivalentes deux suites d’entiers dont la différence est ultimement constante. Sous cette dernière forme l’identité obtenue vaut alors identiquement si l’on remplace les ℓ-groupes Cℓ(K_{n}) par leurs quotients respectifs d’exposant ℓ^{n+1}, comme expliqué dans [2].

Donnons nous maintenant deux ensembles finis disjoints S et T de places finies de K; notons S_{n} et T_{n} respectivement les ensembles de places de K_{n} au-dessus de S et de T ; et considérons le ℓ-groupe Cℓ_{S}^{T} (K_{n}) des S-classes T -infinitésimales du corps K_{n}, que la théorie ℓ-adique du corps de classes identifie au groupe de Galois de la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K_{n} qui est S-décomposée et T -ramifiée (i.e. complètement décomposée aux places de S_{n} et non ramifiée en dehors de T_{n}). Les groupes Cℓ_{S}^{T} (K_{n}) ne sont plus généralement finis (du moins dés que l’ensemble T contient suffisamment de places au-dessus de ℓ), mais leurs quotients respectifs d’exposant ℓ^{n+1} le sont encore, et il résulte des arguments de [2] qu’il existe des entiers naturels ρ_{S}^{T}, μ_{S}^{T}, λ_{S}^{T} tels que les ordres respectifs ℓ^{x_{S}^{T} (n)} des ^{ℓ^{n+1}}Cℓ_{S}^{T} (K_{n}) vérifient l’estimation asymptotique :

x_{S}^{T} (n) ≈ ρ_{S}^{T} (n + 1)ℓ^{n} + μ_{S}^{T} ℓ^{n} + λ_{S}^{T} n.

∗Canadian Math. Bull. 46 (2003), 178-190.

Ici encore les paramètres ρ_{S}^{T}, μ_{S}^{T} et λ_{S}^{T} sont donnés par la pseudo-décomposition élémentaire de la limite projective C_{T}^{S}(K_{∞}) = \underleftarrow{lim} Cℓ_{S}^{T} (K_{n}) regardée comme module noethérien sur l’algèbre d’Iwasawa Λ (avec cette seule nuance que l’invariant λ_{S}^{T} diffère d’une unité de l’invariant lambda de C_{S}^{T} (K_{∞}) lorsque l’extension K_{∞}/K est elle-même S-décomposée et T -ramifiée, ce qui a lieu lorsque S est vide et que T contient l’ensemble L des places au-dessus de ℓ).

L’objet de ce travail est de déterminer explicitement ces trois invariants pour S et T arbitraires, lorsque K est un corps de nombres contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité et admettant une conjugaison complexe (en ce sens que K est une extension quadratique totalement imaginaire d’un sous-corps totalement réel K^{+}), et ce à partir des seules données galoisiennes de l’extension cyclotomique K_{∞}/K et des invariants référents, c’est à dire des paramètres λ et μ correspondant aux cas particuliers S ∪ T = L, où le couple (S, T) constitue une partition de l’ensemble L des places au-dessus de ℓ.

Le calcul des invariants ρ_{S}^{T}, μ_{S}^{T} et λ_{S}^{T} utilise paradoxalement assez peu de théorie d’Iwasawa (essentiellement le théorème d’existence des paramètres établi dans [2]) mais repose principalement sur une utilisation fine des techniques du corps de classes ℓ-adique et, en particulier, sur un raffinement ad hoc des identités de dualité données par G. Gras dans son étude systématique sur les théorèmes de réflexion (cf. [1]),identités qui permettent de remplacer les classiques inégalités du Spiegelungssatz par des égalités.

Avant d’aborder ces questions, précisons quelques notations.

1. Principales notations

Nous utilisons dans ce qui suit les conventions suivantes : K est un corps de nombres totalement imaginaire ayant c places complexes ; K_{∞} = ⋃ K_{n} est sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique (pour un premier ℓ donné) ; K_{n} est l’unique sous-corps de K_{∞} de degré ℓ^{n} sur K (on a donc K = K_{0}) ; Γ = γ^{ℤ_{ℓ}} est le groupe de Galois Gal(K_{∞}/K) identifié à ℤ_{ℓ} par le choix d’un générateur topologique γ, et Λ = ℤ_{ℓ}[[γ − 1]] est l’algèbre d’Iwasawa associée ;

S et T désignent deux ensembles finis disjoints de places finies de K; L est l’ensemble des places ℓ-adiques (i.e. au-dessus de ℓ) ; s, t et l dénombrent respectivement les places de K_{∞} au-dessus de S, T et L; S_{ℓ} = S ∩ L est la partie sauvage de S et S_{0} = S \ S_{ℓ} la partie modérée de S; T_{ℓ} = T ∩ L est la partie sauvage de T et T_{0} = S \ T_{ℓ} la partie modérée de T ; s_{ℓ}, s_{0}, t_{ℓ} et t_{0} dénombrent les places de K_{∞} au-dessus de S_{ℓ}, S_{0}, T_{ℓ} et T_{0} ; δ^{S} = ∑_{𝔭∈S_{ℓ}}[K_{𝔭} : ℚ_{ℓ}] est le degré sauvage en S; de même δ^{T} en T.

Nous faisons usage également des notations de la théorie ℓ-adique du corps de classes. A chaque étage fini K_{n} de la tour cyclotomique, nous notons ainsi : R_{𝔭_{n}} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭_{n}}^{×}/K_{𝔭_{n}}^{×ℓ^{m}} le compactifié ℓ-adique du groupe multiplicatif K_{𝔭_{n}}^{×} du complété de K_{n}; puis U_{𝔭_{n}} le sous-groupe unité de R_{𝔭_{n}}et μ_{𝔭_{n}} son sous-groupe de torsion. Cela posé, le corps K_{n} étant sous-entendu, nous notons : J = ∏_{𝔭_{n}}^{res} R_{𝔭_{n}} le ℓ-groupe des idèles et U = ∏_{𝔭_{n}} U_{𝔭_{n}} son sous-groupe unité ; R = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{n}^{×} le ℓ-groupe des idèles principaux ou sous-groupe principal de J ; E = R ∩ U = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E le ℓ-adifié du groupe des unités globales (au sens restreint) ; D = J /U le ℓ-groupe des diviseurs et P = R/E son sous-groupe principal ; Cℓ = D/P le ℓ-groupe des classes de diviseurs (ou d’idéaux au sens restreint).

Ensuite, pour S et T finis disjoints et 𝔪 = ∏_{𝔭_{n}∈T} 𝔭_{n}^{ν_{𝔭}}, nous écrivons : R_{S} = ∏_{𝔭_{n}∈S} R_{𝔭_{n}} le semi-localisé en S et U_{S} = ∏_{𝔭_{n}∈S} U_{𝔭_{n}} son sous-groupe unité ; J^{T} = ∏_{𝔭_{n}∉T} R_{𝔭_{n}} le cofacteur de R_{T} et U^{T} = ∏_{𝔭_{n}∉T} U_{𝔭_{n}} son sous-groupe unité ; R^{T} = R ∩ J^{T} le sous-groupe principal de J^{T} et E^{T} = R ∩ U^{T} ; J_{S} = R_{S}U^{S} le ℓ-groupe des S-idèles et E_{S} = R ∩ J_{S} le ℓ-groupe des S-unités ; J_{S}^{T} = R_{S}U^{ST} = J^{T} ∩ J_{S} et E_{S}^{T} = R ∩ J_{S}^{T} le groupe des S-unités T -infinitésimales ; J^{m} = J^{T} U_{𝔪} avec U_{𝔪} = ∏_{𝔭_{n}∈T} U_{𝔭_{n}^{ν}} et U^{m} = U^{T} U_{𝔪}, R^{𝔪} = R ∩ J^{𝔪}, E^{𝔪} = E ∩ J^{𝔪}; J_{S}^{𝔪} = R_{S}U^{𝔪} = J^{𝔪} ∩ J_{S} et E_{S}^{𝔪} = R ∩ J_{S}^{𝔪} le groupe des S-unités 𝔪-congruentes ; Cℓ_{S}^{T} = J /J_{S}^{T} R le ℓ-groupe des S-classes T -infinitésimales et Cℓ_{S}^{𝔪} = J /J_{S}^{𝔪}R le ℓ-groupe des S-classes de rayon 𝔪.

Enfin, nous notons (ρ_{S}^{T}, μ_{S}^{T}, λ_{S}^{T}) les paramètres de la suite des quotients d’exposant ℓ^{n} + 1 des ℓ groupes de S-classes T -infinitésimales ^{ℓ^{n+1}}Cℓ_{S}^{T} (K_{n}), conformément à la définition (introduite dans [2]) :

Définition 1. Une suite de ℓ-groupes abéliens finis A = (A_{n})_{n∈ℕ} est dite paramétrée par les invariants (ρ, μ, λ) lorsque les cardinaux ♯A_{n} = ℓ^{a(n)} sont donnés asymptotiquement par la formule :

a(n) ≈ ρ(n + 1)ℓ^{n} + μℓ^{n} + λn,

i.e. lorsque la différence a(n) − (ρ(n + 1)ℓ^{n} + μℓ^{n} + λn) est ultimement constante.

2. Identités du miroir

Ces identités relient les invariants d’Iwasawa relatifs au couple (S, T) aux mêmes invariants relatifs au couple transposé (T, S). Elles s’obtiennent en comparant les informations données par la théorie de Kummer avec celles découlant de la théorie du corps de classes, et requièrent de ce fait que l’on dispose de suffisamment de racines de l’unité.

Nous supposons donc dans ce qui suit que K_{∞} contient toutes les racines d’ordre ℓ-primaire de l’unité (autrement dit que K_{1} contient les racines ℓ^{2}-ièmes de l’unité) et nous nous intéressons à la ℓ-extension abélienne maximale H_{S}^{T} (K_{n}) de K_{n} qui est S-décomposée, T -ramifiée et d’exposant ℓ^{n+1}. Pour décrire son radical kummérien et son groupe de Galois, nous avons besoin de quelques notations.

Fixons n assez grand pour que les places de S ∪ T ne se décomposent pas dans K_{∞}/K_{n} et plaçons nous au niveau n de la tour en omettant systématiquement l’indice n dans ce qui suit. Notons enfin J_{S}^{T} le ℓ-groupe des S-idèles T -infinitésimaux attaché à K_{n}. Cela posé, nous avons :

Lemme 2. Avec les conventions précédentes, lorsque la réunion S ∪ T contient l’ensemble L des places ℓ-adiques, le radical kummérien attaché à la ℓ-extension abélienne maximale H_{S}^{T} de K_{n} qui est S-décomposée, T -ramifiée et d’exposant ℓ^{n+1} est donné par :

Rad_{T}^{S} = {ℓ^{n+1} ⊗ x ∈ ℓ^{−(n+1)}ℤ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} ⊗ R| x ∈ J_{T}^{S}J^{ℓ^{n+1}}}.

Et le groupe de Galois de H_{S}^{T}, qui est le quotient d’exposant ℓ^{n+1} du ℓ-groupe des S-classes T - infinitésimales est donné par :

Gal_{S}^{T} = ^{ℓ^{n+1}}(J /J_{S}^{T} R) = J /J_{S}^{T} RJ^{ℓ^{n+1}}.

Ces deux modules se correspondant dans la dualité de Kummer, ils sont en particulier isomorphes comme groupes abéliens.

Preuve. Dans l’une et l’autre description (kummérienne ou galoisienne), nous avons tout simplement exprimé les conditions locales de décomposition ou de non ramification, l’hypothèse L ⊂ (S ∪ T) nous dispensant de discuter la question plus délicate de la ramification éventuelle des places ℓ-adiques.

Pour comparer plus commodément les groupes Rad_{T}^{S} et Gal_{S}^{T} avec leurs homologues Rad_{S}^{T} et Gal_{T}^{S}, il est astucieux, à l’imitation de [1], de remplacer les conditions aux places de T par une congruence ad hoc, ce qui permet de substituer des quotients finis aux groupes de S-classes T -infinitésimales. Supposons donc T non vide puis, pour chaque place 𝔭_{n} de T (en fait de T_{n}), choisissons un entier ν_{𝔭_{n}} assez grand pour que le groupe supérieur d’unités locales U_{𝔭_{n}^{ν𝔭_{n}}} soit sans torsion et contenu dans la puissance ℓ^{n+1}-ième du groupe principal U_{𝔭_{n}} ; cela fait, introduisons le diviseur de K_{n} :

𝔪 = ∏_{𝔭_{n}∈T} 𝔭_{n}^{ν_{𝔭n}} .

Il vient alors :

Lemme 3. Sous les hypothèses précédentes, le radical de Kummer Rad_{S}^{T} attaché à l’extension H_{T}^{S} et le groupe de Galois Gal_{S}^{T} attaché à l’extension H_{S}^{T} sont donnés par les isomorphismes :

Rad_{S}^{T} = Rad_{S}^{𝔪} = {ℓ^{n+1} ⊗ x ∈ ℓ^{−(n+1)}ℤ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} ⊗ R| x ∈ R^{𝔪} ∩ J_{S}J^{ℓ^{n+1}}};
Gal_{S}^{T} ≃ ^{ℓ^{n+1}}Cℓ_{S}^{𝔪} = ^{ℓ^{n+1}}(J /J_{S}^{𝔪}R) = J /J_{S}^{𝔪}RJ^{ℓ^{n+1}}.

Preuve. C’est une conséquence facile de l’inclusion U_{𝔪} ⊂ U_{T}^{ℓ^{n+1}} qui donne d’abord :

J^{𝔪} ∩ J_{S}J^{ℓ^{n+1}} = J^{T} U_{𝔪} ∩ R_{S}U^{S}J^{ℓ^{n+1}} = R_{S}U^{ST} U_{𝔪}(J^{T} ∩ U_{T} J^{ℓ^{n+1}}) = R_{S}U^{ST} U_{T}^{ℓ^{n+1}}

et d’autre part : J_{S}^{𝔪}RJ^{ℓ^{n+1}} = J_{S}^{T} U_{𝔪}RJ^{ℓ^{n+1}} = J_{S}^{T} RJ^{ℓ^{n+1}}.

Définissons maintenant le pseudo-radical de K_{n} relatif à 𝔪 et S par la formule :

ℓ^{n+1}ℜ_{S}^{𝔪} = {ℓ^{n+1} ⊗ x ∈ ℓ^{−(n+1)}ℤ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} ⊗ R^{𝔪}| x ∈ J_{S}J^{ℓ^{n+1}}} ;

et notons

ℓ^{n+1}𝔈_{S}^{𝔪} = {ℓ^{n+1} ⊗ x ∈ ℓ^{−(n+1)}ℤ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} ⊗ R^{𝔪}| x ∈ E_{S}^{𝔪}} ≃ ^{ℓ^{n+1}}E_{S}^{𝔪}

son sous-groupe construit sur les S-unités congrues à 1 modulo 𝔪. Le groupe_{ℓ^{n+1}}ℜ_{S}^{𝔪} est susceptible d’une double interprétation, kummérienne et galoisienne, qui est la clef des identités du miroir :

Théorème 4. Le pseudo-radical satisfait les suites exactes courtes de dualité :

1 ⟶ _{ℓ^{n+1}}(R/R^{𝔪})/_{ℓ^{n+1}}μ ⟶ _{ℓ^{n+1}}ℜ_{S}^{𝔪} ⟶^{ϕ} _{ℓ^{n+1}}Rad_{S}^{𝔪} ⟶ 1
∥
1 ⟶  _{ℓ^{n+1}}𝔈_{S}^{𝔪}  ⟶ _{ℓ^{n+1}}ℜ_{S}^{𝔪} ⟶^{ψ} _{ℓ^{n+1}}Cℓ_{S}^{𝔪} ⟶ 1 ,

où _{ℓ^{n+1}}μ désigne ici le ℓ-groupe des racines ℓ^{n+1}-ièmes de l’unité dans K_{n}.

Preuve. L’application ϕ est la surjection naturelle de _{ℓ^{n+1}}ℜ_{S}^{𝔪} dans Rad_{S}^{𝔪}; son noyau est constitué des tenseurs ℓ^{n+1} ⊗ x de ℜ_{S}^{𝔪} pour lesquels x est la puissance ℓ^{n+1}-ième d’un élément y de R qui est défini à une racine ℓ^{n+1}-ième de l’unité près. L’application ψ s’obtient comme suit : Soit ℓ^{−(n+1)} ⊗ x dans ℓ^{−(n+1)}ℤ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} ⊗ R^{𝔪}, disons x = 𝔵_{S} 𝔶^{ℓ^{n+1}} avec 𝔵_{S} ∈ J_{S} et 𝔶 ∈ J ; le théorème d’approximation simultanée nous permet d’écrire 𝔶 = y 𝔵 pour un y de R et un 𝔵 de J^{𝔪}; l’image de ℓ^{−(n+1)} ⊗ x par ψ est alors la classe de 𝔵 dans Cℓ_{S}^{𝔪} = J /J_{S}^{𝔪}R ≃ J^{𝔪}/J_{S}^{𝔪}R^{𝔪}. Elle est parfaitement définie et le noyau de ψ est exactement _{ℓ^{n+1}}𝔈_{S}^{𝔪}.

Évaluons maintenant les paramètres des groupes extrêmes :

Proposition 5. Dans les suites exactes de dualité, les groupes intervenant à droite comme à gauche sont paramétrés ; il en est donc de même pour les termes médians.

(i) Les éléments de la racine de R^{𝔪} dans R étant des unités en T, le théorème d’approximation simultanée donne immédiatement :

ℓ^{n+1}(R/R^{𝔪}) ≃ _{ℓ^{n+1}}(U_{T} /U_{𝔪}) ≃ ^{ℓ^{n+1}}(U_{T} /U_{𝔪}) = ^{ℓ^{n+1}}U_{T} ;

et ces derniers modules étant paramétrés par (δ^{T} , 0, t), les quotients _{ℓ^{n+1}}(R/R^{𝔪})/_{ℓ^{n+1}}μ le sont par (δ^{T} , 0, t − 1).

(ii) Les éléments de 𝔈_{S}^{𝔪} étant construits sur les S-unités de R^{𝔪}, il vient :

ℓ^{n+1}𝔈_{S}^{𝔪} ≃ ^{ℓ^{n+1}}E_{S}^{𝔪} ≃ ^{ℓ^{n+1}}(E_{S}/E_{S}^{tor}) ,

où E_{S}^{tor} est le ℓ-groupe des racines de l’unité dans K_{n}; et le théorème de Dirichlet pour les S-unités donne pour paramètres (c, 0, s − 1).

(iii) Les groupes de S-classes de rayon 𝔪 étant finis, il vient de même :

ℓ^{n+1}Cℓ_{S}^{𝔪} ≃ ^{ℓ^{n+1}}Cℓ_{S}^{𝔪} = ^{ℓ^{n+1}}Cℓ_{S}^{T} ,

dont les paramètres sont précisément (ρ_{S}^{T} , μ_{S}^{T} , λ_{S}^{T}). (iv) Enfin, la dualité entre radical kummérien et groupe de Galois nous donne :

Rad_{S}^{𝔪} = Rad_{S}^{T} ≃ Gal_{T}^{S} ≃ ^{ℓ^{n+1}}Cℓ_{T}^{S} ,

ce qui fait apparaître les paramètres conjugués (ρ_{T}^{S} , μ_{T}^{S} , λ_{T}^{S}).

Preuve. C’est clair.

Comparant alors les paramètres des pseudo-radicaux _{ℓ^{n+1}}ℜ_{S}^{𝔪} donnés par les suites exactes de dualité, et observant que l’hypothèse L ⊂ S ∪ T se traduit en particulier par l’égalité entre degrés

δ^{S} + δ^{T} = 2c ,

nous obtenons les identités attendues :

Théorème 6. Lorsque le corps de nombres K contient les racines 2ℓ-ièmes de l’unité et si la réunion S ∪ T contient l’ensemble L des places ℓ-adiques, les paramètres d’Iwasawa des ℓ-groupes ℓ^{n+1}Cℓ_{S}^{T} (K_{n}) vérifient les identités du miroir :

(i) ρ_{S}^{T} + \frac{1}{2}δ^{S} = ρ_{T}^{S} + \frac{1}{2}δ^{T} ; (ii) μ_{S}^{T} = μ_{T}^{S} ; (iii) λ_{S}^{T} + s = λ_{T}^{S} + t.

Prenant par exemple T = L et S = ∅, nous retrouvons le résultat bien connu :

Corollaire 7. Sous les mêmes hypothèses, les invariants paramétrant la suite (^{ℓ^{n+1}}Cℓ^{L}(K_{n}))_{n∈ℕ} des quotients d’exposant ℓ^{n+1} des ℓ-groupes de classes infinitésimales des corps K_{n} sont donnés, à partir de μ_{L} et λ_{L}, par les formules :

ρ^{L} = \frac{1}{2} δ^{L} = c ,  μ^{L} = μ_{L} ,  λ^{L} = λ_{L} + l .

Remarque. En termes de Λ-modules, cela revient à dire que les invariants d’Iwasawa de la limite projective C^{L} = \underleftarrow{lim} Cℓ^{L}(K_{n}) (que la théorie du corps de classes identifie au groupe de Galois de la pro-ℓ-extension abélienne ℓ-ramifiée maximale de K_{∞}) sont respectivement c, μ_{L} et λ_{L} + l − 1, puisqu’il faut alors tenir compte du fait que la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{∞}/K est elle-même ℓ-ramifiée.

3. Détermination du paramètre ρ_{S}^{T}

Comme nous allons le voir, le calcul de l’invariant ρ_{S}^{T} est totalement indépendant des conjectures ℓ-adiques standard (i.e. de Leopoldt et Gross-Kuz’min). Ce phénomène peut être même regardé comme emblématique de l’esprit de la théorie d’Iwasawa : les groupes de défaut de ces conjectures étant bornés lorsqu’on monte la tour cyclotomique, elles sont de ce fait sans incidence sur les paramètres de type ρ ou μ. En d’autres termes les anomalies diophantiennes se décantent le long de la tour pour laisser apparaître l’infrastructure plus simple.

Cela ne veut pas dire cependant que la détermination pratique du paramètre ρ soit pour autant triviale. Nous nous plaçons donc pour ce faire dans le cas, techniquement plus facile, où les corps considérés admettent une conjugaison complexe. Autrement dit, nous supposons dans ce qui suit que K est une extension quadratique totalement imaginaire d’un sous-corps K^{+} totalement réel.

Introduisons une définition :

Définition 8. Supposons que le corps K admette une conjugaison complexe τ (fixant un souscorps K^{+} totalement réel). Pour chaque ensemble S = S_{ℓ} de places ℓ-adiques, de complémentaire S̄ = L \ S, nous écrivons Ŝ = S ∪ S^{τ} le saturé de S pour la conjugaison et Š = S ∩ S^{τ} = L \ ˆ S̄ son cosaturé.

Cela posé, nous avons :

Théorème 9. Si K admet une conjugaison complexe, l’invariant ρ_{S}^{T} est donné pour S et T finis disjoints quelconques par la formule :

ρ_{S}^{T} = \frac{1}{2} δŤ_{ℓ}.

En particulier, il est indépendant de S comme de la partie modérée T_{0} de T.

Pour établir ce résultat, nous allons relier l’invariant ρ_{S}^{T} à la ℤ_{ℓ}-dimension du ℓ-groupe des T - unités S-infinitésimales. Supposons provisoirement L ⊂ (S ∪ T) et introduisons le pseudo-radical S-décomposé et T -infinitésimal (cf. [3]) :

ℓ^{n+1}ℜ_{T}^{S} (K_{n}) = {ℓ^{n+1} ⊗ x ∈ ℓ^{−(n+1)}ℤ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} ⊗ R^{S}(K_{n}) | x ∈ J_{T} (K_{n})J (K_{n})^{ℓ^{n+1}}}.

Analoguement au Théorème 4, nous avons :

Proposition 10. Sous la condition L ⊂ (S ∪ T), les suites exactes de dualité pour les pseudoradicaux S-décomposés et T -infinitésimaux s’écrivent :

1 ⟶ _{ℓ^{n+1}}U_{T} ⟶ _{ℓ^{n+1}}ℜ_{S}^{T} ⟶ _{ℓ^{n+1}}Rad_{S}^{T} ⟶ 1
∥
1 ⟶ _{ℓ^{n+1}}𝔈_{S}^{T} ⟶ _{ℓ^{n+1}}ℜ_{S}^{T} ⟶ _{ℓ^{n+1}}Cℓ_{S}^{T} ⟶ 1.

Dans celles-ci les sous-groupes de ℓ^{n+1}-torsion des groupes d’unités semi-locales U_{T} ont pour paramètres (0, 0, t) ; tandis que ceux des ℓ-groupes de S-classes T -infinitésimales Cℓ_{S}^{T} ont pour paramètres (0, μ_{S}^{T} , λ_{S}^{T} − ε_{S}^{T}), où ε_{S}^{T} mesure le degré des facteurs cyclotomiques dans le polynôme caractéristique du sous-module de Λ-torsion de leur limite projective C_{S}^{T} = \underleftarrow{lim} Cℓ_{S}^{T} (K_{n}).

En particulier les sous-groupes _{ℓ^{n+1}}𝔈_{S}^{T} = ^{ℓ^{n+1}}E_{S}^{T} des _{ℓ^{n+1}}ℜ_{S}^{T} construits sur les S-unités T - infinitésimales sont paramétrés par (ρ_{T}^{S} , 0, s + ε_{S}^{T}).

Preuve. Le seul point délicat est le dénombrement des éléments de ℓ^{n+1}-torsion dans Cℓ_{S}^{T}. On peut d’abord remarquer que les facteurs de type ρ, qui correspondent à la partie Λ-pseudo-libre de la limite projective C_{S}^{T}, ne donnent pas de ℤ_{ℓ}-torsion, donc n’interviennent pas dans _{ℓ^{n+1}}Cℓ_{S}^{T} (K_{n}). De même les facteurs cyclotomiques de C_{S}^{T} (i.e. les pseudo-composantes élémentaires du type Λ/(f) , où f divise un ω_{n} = γ^{ℓ^{n}} −1) donnent des facteurs ℤ_{ℓ}-libres dans Cℓ_{S}^{T} et viennent donc en déduction du paramètre λ_{S}^{T} de C_{S}^{T} dans l’évaluation de la ℓ^{n+1}-torsion de Cℓ_{S}^{T}. Ce point est d’ailleurs de peu d’importance ici où seul nous intéresse le paramètre ρ. En fin de compte, nous obtenons ainsi pour ℓ^{n+1}𝔈_{S}^{T} (K_{n}) le paramétrage annoncé, compte tenu des identités du miroir établies plus haut.

Corollaire 11. L’invariant ρ_{S}^{T} est donné pour S et T finis disjoints quelconques par la formule asymptotique :

ρ_{S}^{T} ℓ^{n} ≈ dim_{ℤ_{ℓ}} E^{\overline{T}^{ℓ}}(K_{n}).

Preuve. Observons d’abord que la Proposition entraîne le Corollaire sous la restriction L ⊂ (S∪T), puisque nous avons alors d’après ce qui précède :

ρ_{S}^{T} ℓ^{n} ≈ dim_{ℤ_{ℓ}} E_{T}^{S}(K_{n}) = dim_{ℤ_{ℓ}} E^{S_{ℓ}}(K_{n}) = dim_{ℤ_{ℓ}} E^{\overline{T}^{ℓ}}(K_{n}),

car S_{0} (en exposant) et T (en indice) n’ont qu’une incidence bornée sur le ℤ_{ℓ}-rang. Il reste à voir que cette condition est superflue, par exemple en constatant que la quantité ρ_{S}^{T} est indépendante de S. Or cela est clair puisque les sous-groupes de décomposition attachés aux places de S dans H^{T} (K_{∞})/K_{∞} engendrent un sous-module de ℤ_{ℓ}-rang au plus s du groupe de Galois C^{T}, de sorte qu’on a banalement ρ_{S}^{T} = ρ^{T}.

Preuve du Théorème. Il s’agit d’évaluer, à une quantité bornée près, la dimension du ℓ-module des unités \overline{T}_{ℓ}-infinitésimales. Passons donc aux tensorisés ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} E^{\overline{T}^{ℓ}} et observons que nous pouvons remplacer \overline{T}_{ℓ} par son saturé ˆ T̄_{ℓ}, puisque toute unité 𝔭_{n}-infinitésimale est banalement 𝔭_{n}^{τ}- infinitésimale. Cela fait, comme E et UˆT̄_{ℓ} sont stables par τ, nous pouvons spécialiser aux compo-

santes réelles l’application de localisation LocˆT̄_{ℓ} | ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} E ↦ ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} UˆT̄_{ℓ} de sorte que ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} E^{\overline{T}^{ℓ}} apparaît comme le noyau du morphisme naturel Loc+ ; ˆT̄_{ℓ} | ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} E ↦ (ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} UˆT̄_{ℓ})^{+}. Maintenant,

puisque le défaut de la conjecture de Leopoldt reste borné dans la tour cyclotomique K_{∞}/K, l’image naturelle de ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} E est de codimension bornée dans

(ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} U_{L})^{+} = (ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} UˆT̄_{ℓ})^{+} ⊕ (ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} UŤ_{ℓ})^{+} .

En particulier, noyau et conoyau du morphisme de localisation Loc+ ; ˆT̄_{ℓ} sont ainsi des ℚ_{ℓ}-espaces de dimension stationnaire et il vient donc finalement :

ρ_{S}^{T} ℓ^{n} ≈ dim_{ℤ_{ℓ}} E^{\overline{T}^{ℓ}} = dim_{ℚ_{ℓ}} ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} E ˆT̄_{ℓ} ≈ dim_{ℚ_{ℓ}}(ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} UŤ_{ℓ})^{+} = \frac{1}{2} δŤ_{ℓ} ℓ^{n} ;

ce qui donne bien l’égalité annoncée :

ρ_{S}^{T} = \frac{1}{2} δŤ_{ℓ} .

Remarque. Lorsque les ensembles de places S et T sont stables par conjugaison complexe, il est possible (de façon canonique si ℓ est impair, à un groupe d’ordre au plus 2 près si ℓ vaut 2) de décomposer les ℓ-groupes Cℓ_{S}^{T} en une composante réelle Cℓ_{S}^{T +} et une composante imaginaire Cℓ_{S}^{T −}, donc en particulier d’écrire :

ρ_{S}^{T} = ρ_{S}^{T +} + ρ_{S}^{T −} .

Les considérations qui précédent montrent alors que l’on a :

ρ_{S}^{T +} = 0 , i.e. ρ_{S}^{T} = ρ_{S}^{T −} = \frac{1}{2} δŤ_{ℓ} .

4. Application au paramètre μ_{S}^{T}

Considérons maintenant les paramètres μ_{S}^{T}. La proposition qui suit permet d’en ramener l’étude au seul cas où S ∪ T est une partition de L :

Théorème 12. L’invariant μ_{S}^{T} ne dépend que de la partie sauvage T_{ℓ} de l’ensemble T. Plus précisément, pour tous S et T finis et disjoints, on a :

μ_{S}^{T} = μ^{T_{ℓ}} = μ_{\overline{T}_{ℓ}}^{T_{ℓ}} = μ_{T_{ℓ}}^{\overline{T}_{ℓ}} = μ^{\overline{T}^{ℓ}} .

Preuve. Le paramètre μ_{S}^{T} n’est autre, en effet, que l’invariant mu d’Iwasawa associé à la limite projective C_{S}^{T} = \underleftarrow{lim} Cl_{S}^{T} (K_{n}) des ℓ-groupes de S-classes T -infinitésimales, limite que la théorie du corps de classes interprète comme groupe de Galois de la pro-ℓ-extension abélienne H_{S}^{T} (K_{∞}) de K_{∞} qui est S-décomposée et T -ramifiée. En particulier, C_{S}^{T} étant le quotient de C^{T} par le ℤ_{ℓ}-module de rang fini engendré par les sous-groupes de décomposition des places de S dans l’extension abélienne H^{T} (K_{∞})/K_{∞}, les deux Λ-modules C_{S}^{T} et C^{T} ont même invariant mu, ce qui nous donne :

μ_{S}^{T} = μ^{T} .

De façon semblable, C^{T_{ℓ}} est le quotient de C^{T} par le ℤ_{ℓ}-module de rang fini engendré par les sousgroupes d’inertie des places de T_{0} dans l’extension abélienne H^{T} (K_{∞})/K_{∞}, de sorte que nous avons également :

μ^{T} = μ^{T_{ℓ}} .

L’identité obtenue μ_{S}^{T} = μ^{T_{ℓ}}, appliquée avec S = \overline{T}_{ℓ}, nous donne alors :

μ^{T} = μ_{\overline{T}_{ℓ}}^{T_{ℓ}} ;

et le Théorème en résulte via les identités du miroir.

Théorème 13. Pour toute partie T_{ℓ} de L stable par la conjugaison complexe, l’invariant μ^{T_{ℓ}} vérifie l’inégalité :

μ^{T_{ℓ}} ≤ μ = μ_{L} .

En particulier, la conjecture d’Iwasawa μ = 0 entraîne μ^{T_{ℓ}} = 0 pour tout sous-ensemble saturé T_{ℓ} de L, donc finalement μ_{S}^{T} = 0 pour tous S et T finis disjoints dès que T_{ℓ} est saturé.

Pour établir ce résultat, prenons d’abord une partie quelconque T = T_{ℓ} dans L de complémentaire \overline{T}_{ℓ} = L \ T_{ℓ}. Pour chaque entier naturel n, notons H_{T_{ℓ}}^{\overline{T}_{ℓ}} la ℓ-extension abélienne maximale de K_{n} qui est \overline{T}_{ℓ}-ramifiée T_{ℓ}-décomposée et d’exposant ℓ^{n+1}. Écrivons de même H_{\overline{T}_{ℓ}}^{T_{ℓ}} celle qui est

T_{ℓ}-ramifiée \overline{T}_{ℓ}-décomposée et d’exposant ℓ^{n+1}. Le compositum H_{\overline{T}_{ℓ}}^{T_{ℓ}}H_{T_{ℓ}}^{\overline{T}_{ℓ}} est alors contenu dans la

ℓ-extension H^{L} abélienne ℓ-ramifiée d’exposant ℓ^{n+1}, tandis que l’intersection H_{\overline{T}_{ℓ}}^{T_{ℓ}} ∩ H_{T_{ℓ}}^{\overline{T}_{ℓ}} est la ℓ-extension H_{L} abélienne non ramifiée et ℓ-décomposée d’exposant ℓ^{n+1} ; d’où le schéma de corps :

[figure: H^{L}; H_{T_{ℓ}}^{\overline{T}_{ℓ}}H_{\overline{T}_{ℓ}}^{T_{ℓ}}; H_{T_{ℓ}}^{\overline{T}_{ℓ}}; H_{\overline{T}_{ℓ}}^{T_{ℓ}}; H_{L}; K_{n}]

Nous en déduisons en particulier l’égalité entre degrés :

[H^{L} : H_{T_{ℓ}}^{\overline{T}_{ℓ}}H_{\overline{T}_{ℓ}}^{T_{ℓ}}] = \frac{[H^{L} : K_{n}] [H_{L} : K_{n}]}{[H_{T_{ℓ}}^{\overline{T}_{ℓ}} : K_{n}][H_{\overline{T}_{ℓ}}^{T_{ℓ}} : K_{n}]} .

Et dans la fraction à droite, tous les facteurs sont paramétrés. Compte tenu des résultats obtenus plus haut, nous en concluons immédiatement :

Lemme 14. La suite de ℓ-groupes abéliens Gal(H^{L}(K_{n})/H_{T_{ℓ}}^{\overline{T}_{ℓ}}(K_{n})H_{\overline{T}_{ℓ}}^{T_{ℓ}}(K_{n})) a pour paramètres :

(i) ρ^{L} + ρ_{L} − ρ_{T_{ℓ}}^{\overline{T}_{ℓ}} − ρ_{\overline{T}_{ℓ}}^{T_{ℓ}} = c − \frac{1}{2}(δ^{ˇT̄_{ℓ}} + δŤ_{ℓ}) ;

(ii) μ^{L} + μ_{L} − μ_{T_{ℓ}}^{\overline{T}_{ℓ}} − μ_{\overline{T}_{ℓ}}^{T_{ℓ}} = 2 (μ − μ^{\overline{T}^{ℓ}}) ;

(iii) λ^{L} + λ_{L} − λ_{T_{ℓ}}^{\overline{T}_{ℓ}} − λ_{\overline{T}_{ℓ}}^{T_{ℓ}} = 2 (λ_{L} + t_{ℓ} − λ_{\overline{T}_{ℓ}}^{T_{ℓ}}).

Preuve. C’est une conséquence facile du calcul du paramètre ρ_{S}^{T} déjà effectué et des identités du miroir.

Preuve du Théorème. Sous la condition de saturation T_{ℓ} = Ť_{ℓ}, qui entraîne \overline{T}_{ℓ} = ˇ T̄_{ℓ}, la différence c − \frac{1}{2}(δ^{ˇT̄_{ℓ}} + δŤ_{ℓ}) est nulle. Le terme dominant dans la formule de paramétrage devant être positif, nous en déduisons l’inégalité attendue.

Les arguments précédents ne permettant pas de conclure lorsque l’ensemble T_{ℓ} n’est pas stable par conjugaison, disons un mot du cas resté ouvert. Partons d’une partie insaturée T_{ℓ} de L et écrivons la :

T_{ℓ} = Ť_{ℓ} ∪ S_{ℓ},

avec Š_{ℓ} = ∅. Pour chaque entier naturel n, considérons maintenant la ℓ-extension abélienne maximale H^{T_{ℓ}}(K_{n}) de K_{n} qui est T_{ℓ}-ramifiée et d’exposant ℓ^{n+1} et comparons la à sa sous-extension Ť_{ℓ}-ramifiée HŤ_{ℓ}(K_{n}). D’après le Théorème 9, nous avons :

ρ^{T_{ℓ}} = \frac{1}{2} δŤ_{ℓ} = ρŤ_{ℓ} ;

d’où l’inégalité entre les paramètres dominants :

Proposition 15. Pour toute partie finie T_{ℓ} de L, on a l’inégalité :

μ^{T_{ℓ}} ≥ μŤ_{ℓ} .

Exemple. Si T est une partie de L qui est stable par la conjugaison complexe τ et 𝔭 une place de K qui est décomposée par cette même conjugaison, il vient ainsi :

μ^{T ∪{𝔭}} = μ^{T ∪{𝔭^{τ} }} ≥ μ^{T} .

Remarque. Nous nous sommes limités dans cette section à l’étude des paramètres μ. Il est possible naturellement de raffiner les arguments avancés pour dénombrer dans chacun des Λ-modules étudiés C_{S}^{T} les pseudo-composantes élémentaires de la forme Λ/ℓ^{k}Λ pour chaque entier naturel k (par exemple, en considérant les quotients d’exposant ℓ^{k} des ℓ-groupes de S-classes T -infinitésimales). On obtiendrait de cette façon des inégalités en tous points analogues à celles données ici.

5. Etude du paramètre λ_{S}^{T}

Venons en enfin aux paramètres λ_{S}^{T}. Une conséquence facile des identités du miroir est l’égalité :

Théorème 16. Soient S et T deux ensembles finis disjoints de places (finies) de K. On a alors :

λ_{S}^{T} = λ_{S_{ℓ}}^{T_{ℓ}} + t_{0} ,

où t_{0} est le cardinal de T_{0} = T \ T_{ℓ}, sauf dans le cas spécial L ⊂ T & S = S_{0} ≠ ∅, où l’on a :

λ_{S}^{T} = λ^{L} + t_{0} − 1 = λ + t_{0} + l − 1 .

Pour établir ce résultat, observons d’abord que les places modérées de S n’interviennent qu’exceptionnellement dans l’invariant λ_{S}^{T} : en effet, la montée dans la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique ayant épuisé toute possibilité d’inertie aux places modérées, il revient au même de leur demander d’être non ramifiées dans une ℓ-extension donnée de K_{∞} ou d’y être complètement décomposées ; en particulier les groupes C_{S}^{T} et C_{S_{ℓ}}^{T} coïncident et ils ont de ce fait les mêmes invariants. Or ces invariants sont essentiellement aussi ceux qui paramètrent les groupes Cℓ_{S}^{T} (K_{n}) et Cℓ_{S_{ℓ}}^{T}(K_{n}). Plus précisément :

Lemme 17. Soient S et T comme précédemment. On a λ(C_{S}^{T}) = λ(C_{S_{ℓ}}^{T}) et :

(i) λ_{S}^{T} = λ(C_{S}^{T}), sauf pour S = ∅ & L ⊂ T où l’on a λ_{S}^{T} = λ(C_{S}^{T}) + 1 ; (ii) λ_{S_{ℓ}}^{T} = λ(C_{S_{ℓ}}^{T}), sauf pour S = ∅ & L ⊂ T où l’on a λ_{S_{ℓ}}^{T} = λ(C_{S_{ℓ}}^{T}) + 1.

Preuve du Théorème. Plaçons nous en dehors du cas spécial et supposons d’abord que nous ayons L ⊂ (T ∪ S). Sous cette hypothèse, les identités du miroir nous donnent successivement :

λ_{S}^{T} = λ_{S_{ℓ}}^{T} = λ_{T}^{S_{ℓ}} + t − s_{ℓ} = λ_{T_{ℓ}}^{S_{ℓ}} + t − s_{ℓ} = (λ_{S_{ℓ}}^{T_{ℓ}} + s_{ℓ} − t_{ℓ}) + t − s_{ℓ} = λ_{S_{ℓ}}^{T_{ℓ}} + t_{0} ,

comme attendu. En termes de théorie d’Iwasawa, cette égalité exprime que les sous-groupes d’inertie des places de T_{0} engendrent un sous-module de ℤ_{ℓ}-rang t_{0} du Λ-module C_{S}^{T} regardé comme groupe de Galois de la ℓ-extension abélienne T -ramifiée S-décomposée H_{S}^{T} (K_{∞}) de K_{∞}. En d’autres termes, puisque chacun de ces sous-groupes est procyclique et qu’il y en a t_{0}, cela signifie que les groupes d’inertie des places de T_{0} sont en somme directe, autrement dit que la ramification modérée est déployée dans H_{S}^{T} (K_{∞})/K_{∞}.

Remplaçons maintenant S par une de ses parties S′. Puisque le groupe C_{S}^{T} est un quotient de C_{S′}^{T}, la même propriété est a fortiori vraie dans l’extension H_{S′}^{T}(K_{∞})/K_{∞}. Et l’identité annoncée vaut donc indépendamment de l’hypothèse L ⊂ (T ∪ S).

Scolie 18. Pour S et T finis disjoints (quelconques), on a toujours l’égalité :

λ(C_{S}^{T}) = λ(C_{S_{ℓ}}^{T_{ℓ}}) + t_{0} .

Références

[1] G. Gras, Théorèmes de réflexion, J. Thçor. Nombres Bordeaux 10 (1998), 399–499.

[2] J.-F. Jaulent, L’arithmétique des ℓ-extensions (Thèse d’État), Pub. Math. Fac. Sci. Besançon Théor. Nombres 1985-86, (1986).

[3] J.-F. Jaulent, La Théorie de Kummer et le K_{2} des corps de nombres , J. Théor. Nombres Bordeaux 2 (1990 ), 377-411.

[4] J.-P. Serre , Classes des corps cyclotomiques (d’après Iwasawa), Séminaire Bourbaki, exp. 174 (1958).

Jean-François Jaulent  Christian Maire
Université Bordeaux 1  Université Bordeaux 1
Institut de Mathématiques  Institut de Mathématiques
351, cours de la Libération  351, cours de la Libération
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