Sur le sous-groupe des éléments de hauteur infinie du K_{2} d’un corps de nombres^{∗}

Jean-François Jaulent & Florence Soriano-Gafiuk

Résumé. Poursuivant l’approche logarithmique des noyaux de la K-théorie pour les corps de nombres (cf. [Ja_{1}, Ja_{2}, JS_{1}, JS_{2}]), nous déterminons ici en toute généralité les 2-rangs respectifs du noyau sauvage WK_{2}(F) et du sous-groupe K_{2}^{∞}(F) des éléments de hauteur infinie dans K_{2}(F), à l’aide des groupes de classes positives du corps F.

Le résultat principal de cette étude, qui conjugue les critères d’égalité de WK_{2}(F) et de K_{2}^{∞}(F) obtenus par K. Hutchinson (cf. [Hu_{1}, Hu_{2}, HR]) avec la description logarithmique des noyaux sauvages, permet ainsi de déterminer effectivement en termes de classes logarithmiques dans quels cas le sous-groupe K_{2}^{∞}(F) est un facteur direct du noyau sauvage WK_{2}(F).

Abstract. By using the logarithmic approach of the classical kernels for the K_{2} of number fields (cf. [Ja_{1}, Ja_{2}, JS_{1}, JS_{2}]), we compute the 2-rank of the wild kernel WK_{2}(F) and the 2-rank of the subgroup K_{2}^{∞}(F) = ∩_{n≥1} K_{2}^{n}(F) of infinite heigh elements in K_{2}(F) in terms of positive class groups for any number field F.

The main result, which connects the criterion of equality between these two groups already obtained by K. Hutchinson (cf. [Hu_{1}, Hu_{2}, HR]) and the logarithmic description of these groups, gives a simple logarithmic characterization of the number fields F for which the subgroup K_{2}^{∞}(F) is a direct factor of the wild kernel WK_{2}(F).

Introduction

On sait depuis les travaux de Tate que, pour tout corps de nombres F, le noyau WK_{2}(F) des symboles sauvages donnés par la théorie locale du corps de classes est un sous-groupe fini de K_{2}(F) dont l’arithmétique est mystérieusement reliée à celle des groupes de classes d’idèles ou d’idéaux (cf. e.g. [Ta], [Ko]).

C’est ainsi que J. Tate a montré que pour tout premier impair ℓ, la ℓ-partie de WK_{2}(F) coïncide avec celle du sous-groupe K_{2}^{∞}(F) = ∩_{n∈ℕ^{×}} K_{2}^{n}(F) des éléments de hauteur infinie dans K_{2}(F) ; et il est montré dans [JS_{1}] que le ℓ-rang commun de ces deux groupes est donné par l’isomorphisme de modules galoisiens :

ℓK_{2}^{∞}(F) = ^{ℓ}WK_{2}(F) ≃ ^{Δ}(μ_{ℓ} ⊗ C̃ℓ_{F [ζ_{ℓ}]}) = μ_{ℓ} ⊗ C̃ℓ_{F [ζ_{ℓ}]}^{eω̄},

où ^{ℓ}WK_{2}(F) = WK_{2}(F)/WK_{2}(F)^{ℓ} est le quotient d’exposant ℓ de WK_{2}(F) ; μ_{ℓ} désigne le groupe des racines ℓ-ièmes de l’unité ; F [μ_{ℓ}] est l’extension cyclotomique de F correspondante ; Δ = Gal(F [μ_{ℓ}]/F) le groupe de Galois associé ; C̃ℓ_{F [ζ_{ℓ}]} est le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps F [μ_{ℓ}] ; et Δ(μ_{ℓ} ⊗C̃ℓ_{F [ζ_{ℓ}]}) est le groupe des copoints fixes du tensorisé de C̃ℓ_{F [ζ_{ℓ}]} par μ_{ℓ}, qui s’identifie encore, comme expliqué dans [JS_{1}], au tordu par μ_{ℓ} de la composante anticyclotomique du groupe C̃ℓ_{F [ζ_{ℓ}]}. C’est la situation algorithmiquement exploitée dans [Cp_{1}] et généralisée aux noyaux étales supérieurs dans [JM].

∗Acta Arithmetica (2006)

Lorsque ℓ est égal à 2, la situation est plus complexe à double titre :

- d’abord parce que les 2-parties des deux groupes WK_{2}(F) et K_{2}^{∞}(F) ne coïncident plus nécessairement, le sous-groupe des éléments de hauteur infinie dans K_{2}(F) pouvant être contenu stictement dans le noyau sauvage WK_{2}(F) ;

- ensuite parce que les isomorphismes logarithmiques précédents peuvent être en défaut dès lors que le corps F ne contient pas les racines 4-ièmes de l’unité comme l’attestent les calculs menés dans [So_{2}] pour certains corps quadratiques.

De fait, l’examen plus attentif de la formule explicite pour le symbole sauvage (\frac{−1, x}{F_{𝔭}}) établie dans [Ja_{1}] montre qu’interviennent dans ce cas non seulement les valuations logarithmiques attachées aux places finies, mais aussi les fonctions signes attachées aux places réelles ou 2-adiques, ce qui justifie l’introduction de la notion de classes signées (cf. [So_{1}], [Ja_{4}]), qu’on peut regarder comme l’analogue logarithmique de celle classique de classes au sens restreint.

Les résultats de [JS_{2}] permettent ainsi de décrire la 2-partie du noyau sauvage à l’aide d’un quotient convenable du groupe des classes signées dit groupe des classes positives. L’isomorphisme obtenu

2WK_{2}(F) ≃ {±1} ⊗ Cℓ_{F}^{pos}

laisse cependant ouverte la question de la description du groupe K_{2}^{∞}(F) et de son quotient ^{2}K_{2}^{∞}(F). L’objet de la présente note est précisément de combler cette lacune en décrivant ce dernier groupe en termes de classes positives.

1. Rappels sur les places logarithmiquement signées ou primitives

Commençons par rappeler quelques définitions indispensables à la compréhension du Théorème principal :

Définition (cf. [Hu_{1}], [JS_{2}], [Ry], [Hu_{3}], [HR]). Soit F un corps de nombres ; pour chaque place 𝔭 de F, écrivons F_{𝔭} le complété de F en 𝔭. Cela posé :

(1) Nous disons d’une part que la place 𝔭 est : (i) signée, lorsque le corps F_{𝔭} ne contient pas les racines 4-ièmes de l’unité ; (ii) logarithmiquement signée (ou encore exceptionnelle), lorsque la ℤ_{2}-exten-

sion cyclotomique F_{𝔭}^{c} de F_{𝔭} ne contient pas les racines 4-ièmes de l’unité^{1} ;

(iii) logarithmiquement primitive, lorsqu’elle ne se décompose pas dans (le premier étage de) la ℤ_{2}-extension cyclotomique F^{c} de F.

(2) Nous disons d’autre part que le corps F est :

(i) signé, lorsqu’il ne contient pas les racines 4-ièmes de l’unité (ce qui a lieu si et seulement s’il possède au moins une place signée) ;

(ii) exceptionnel, lorsque sa ℤ_{2}-extension cyclotomique F^{c} ne contient pas les racines 4-ièmes de l’unité ;

(iii) logarithmiquement signé, lorsque sa 2-extension abélienne localement cyclotomique maximale F^{lc} ne contient pas les racines 4-ièmes de l’unité (ce qui a lieu si et seulement s’il possède au moins une place logarithmiquement signée) ;

1De sorte que ne sont logarithmiquement signées que les places réelles et certaines places paires, i.e. au-dessus de 2.

(iv) logarithmiquement primitif lorsque F possède au moins une place (nécessairement paire) qui est à la fois logarithmiquement signée et primitive ;

Remarque. Il résulte des définitions précédentes qu’un corps de nombres est logarithmiquement signé lorsqu’il est localement exceptionnel en l’une de ses places ; il est alors (globalement) exceptionnel, mais la réciproque est fausse (cf. infra). En revanche un corps de nombres est signé si et seulement s’il l’est en l’une de ses places (auquel cas il l’est en une infinité d’entre elles en vertu du théorème de Čebotarev̌).

Donnons un exemple :

Exemple. Soit F = ℚ[\sqrt{d}] (avec d ∈ ℤ, d ≠ 0 ou 1, d sans facteur carré) un corps quadratique réel ou imaginaire. On a alors les équivalences :

(i) F signé (i.e. i ∉ F) ⇔ d ≠ −1.

(ii) F exceptionnel (i.e. i ∉ F^{c}) ⇔ d ≠ −1, −2.

(iii) F logarithmiquement signé (i.e. i ∉ F^{lc}) ⇔ (d > 0, i.e. F est ∞-signé) ou (d ≢ −1 [mod 8] et d ≢ −2 [mod 16], i.e. F est 2-logarithmiquement signé ).

(iv) F logarithmiquement primitif ⇔ (d ≢ −1 [mod 8] et d ≢ ±2 [mod 16]) ou d = 2 (les places paires sont à la fois logarithmiquement signées et primitives).

Introduisons maintenant quelques notations : pour chaque place non complexe 𝔭 du corps considéré F, désignons par

R_{F_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} F_{𝔭}^{×}/F_{𝔭}^{×2^{n}}

le compactifié 2-adique du groupe multiplicatif du complété de F en 𝔭, que la théorie locale du corps de classes identifie au groupe de Galois de la pro-2-extension abélienne maximale de F_{𝔭}.

L’approche logarithmique amène à considérer deux applications définies sur le compactifié 2-adique R_{F_{𝔭}} et à valeurs respectivement dans ℤ_{2} et dans {±1} :

• la 𝔭-valuation logarithmique ṽ_{𝔭} d’une part, donnée par la formule :

ṽ_{𝔭}(·) = −\frac{Log|·|_{𝔭}}{deg 𝔭} (cf. [Ja_{2}], p. 306, déf. 1.3 (iv)),

où | · |_{𝔭} désigne la valeur absolue 2-adique à valeurs dans le groupe multiplicatif ℤ_{2}^{×} et deg 𝔭 est un facteur de normalisation choisi pour qu’on ait ṽ_{𝔭}(R_{F_{𝔭}}) = ℤ_{2} ;

• la fonction signe sg_{𝔭} d’autre part, dont une expression est : sg_{𝔭}(·) = ε(| · |_{𝔭}) (cf. [Ja_{4}], p. 457, déf. 1),

où ε désigne la projection naturelle de ℤ_{2}^{×} ≃ {±1} × (1 + 4ℤ_{2}) sur {±1}.

Le noyau Ũ_{F_{𝔭}} de la valuation ṽ_{𝔭} est, par définition, le sous-groupe des unités logarithmiques de R_{F_{𝔭}} : c’est le groupe de normes associé par la Théorie locale du corps de classes à la ℤ_{2}-extension cyclotomique F_{𝔭}^{c} de F_{𝔭} (avec la convention F_{𝔭}^{c} = F_{𝔭} aux places réelles) ; celui de la fonction signe sg_{𝔭} est le sous-groupe des éléments positifs R_{F_{𝔭}}^{+} : il correspond à l’extension F_{𝔭}[i] engendrée par les racines

4-ièmes de l’unité ; l’intersection Ũ_{F_{𝔭}}^{+} = Ũ_{F_{𝔭}} ∩ R_{F_{𝔭}}^{+}, enfin, est le sous-groupe des unités logarithmiques positives : et il correspond à l’extension composée F_{𝔭}^{c}[i], i.e. à la 2-extension cyclotomique de F_{𝔭}.

En résumé, la place 𝔭 est donc signée lorsque la fonction signe sg_{𝔭} est non triviale, auquel cas le sous-groupe positif R_{F_{𝔭}}^{+} est d’indice 2 dans R_{F_{𝔭}} ; elle est logarithmiquement signée lorsque la fonction signe sg_{𝔭} est non triviale sur le sous-groupe unité Ũ_{F_{𝔭}}, auquel cas Ũ_{F_{𝔭}}^{+} est d’indice 2 dans Ũ_{F_{𝔭}}. Et cette dernière éventualité ne se produit qu’aux places réelles et à certaines des places au-dessus de 2. Nous disons que ce sont les places paires logarithmiquement signées.

2. Compléments sur les groupes de classes positives

Introduisons maintenant les groupes de classes positives et rappelons d’abord pour cela quelques notations de la Théorie du corps de classes :

Etant donné un corps de nombres F, désignons par F^{ab} sa pro-2-extension abélienne maximale ; notons F^{c} la ℤ_{2}-extension cyclotomique de F et F^{lc} la sous-extension localement cyclotomique maximale de F^{ab}, i.e. la plus grande sous-extension de F^{ab} qui est complètement décomposée sur F^{c}

Par la Théorie 2-adique du corps de classes (cf. [Ja_{3}]), le groupe de Galois Gal(F^{ab}/F) s’identifie comme groupe topologique au quotient C_{F} = J_{F} /R_{F} du 2-adifié du groupe des idèles du corps F, défini comme le produit restreint

J_{F} = ∏_{𝔭}^{res} R_{F_{𝔭}} ,

par son sous-groupe principal R_{F} = ℤ_{2} ⊗_{ℤ} F^{×}. En d’autres termes, dans la correspondance du corps de classes, le groupe J_{F} est associé à F et le sousgroupe R_{F} à F^{ab}. Il se trouve que le groupe de normes attaché à la ℤ_{2}-extension cyclotomique F^{c}

J̃_{F} = {(x_{𝔭})_{𝔭} ∈ J_{F} | ∑_{𝔭} ṽ_{𝔭}(x_{𝔭}) deg 𝔭 = 0}

diffère (en général) de celui attaché à l’extension localement cyclotomique F^{lc}

Ũ_{F} R_{F} = ∏_{𝔭} Ũ_{F_{𝔭}}R_{F} ,

de sorte que le 2-groupe des classes logarithmiques (de degré nul)

C̃ℓ_{F} = J̃_{F} /Ũ_{F} R_{F} ≃ Gal(F^{lc}/F^{c}) ,

mesure l’écart entre les 2-extensions localement et globalement cyclotomiques F^{lc} et F^{c}. On ne sait pas encore si ces derniers groupes sont finis pour tout les corps de nombres F (ce que postule précisément une généralisation naturelle de la conjecture de Gross), mais ce point est sans importance pour les calculs numériques, puisque les groupes de classes logarithmiques se calculent essentiellement comme les groupes de classes ordinaires et que la validité de la conjecture, qui revient à affirmer la non trivialité d’un certain régulateur, se vérifie aisément en pratique dès que l’on sait calculer dans le corps étudié (cf. [Cp_{1}]).

Lorsque le corps F est exceptionnel, il faut en outre distinguer la ℤ_{2}-extension cyclotomique F^{c} de la 2-tour cyclotomique F^{c}[i]. Le groupe de normes attaché à F [i] est le noyau de la formule du produit pour les fonctions signes :

J_{F}^{∗} = {(x_{𝔭})_{𝔭} ∈ J_{F} | ∏_{𝔭} sg_{𝔭}(x_{𝔭}) = +1} ;

et coïncide avec le produit J_{F}^{+}R_{F} = ∏_{𝔭} R_{F_{𝔭}}^{+}R_{F}, d’après la caractérisation locale de l’extension quadratique E = F [i]. L’intersection

J̃_{F}^{∗} = J̃_{F} ∩ J_{F}^{∗} = {(x_{𝔭})_{𝔭} ∈ J_{F} | ∏_{𝔭} | x_{𝔭} |_{𝔭}= 1}

correspond donc au compositum E^{c} = F^{c}[i]. Et la plus grande extension localement triviale de E^{c} qui est abélienne sur F, en d’autres termes l’intersection F^{ab} ∩ E^{lc}, est ainsi associée au sous-groupe de normes :

Ũ_{F}^{+}R_{F} = ∏_{𝔭} Ũ_{F_{𝔭}}^{+}R_{F} = N_{E/F} (Ũ_{E})R_{F}.

Le quotient correspondant (cf. [Ja_{4}])

C̃ℓs_{F} = J̃_{F}^{∗}/Ũ_{F}^{+}R_{F} ≃ Gal(E^{lc} ∩ F^{ab}/E^{c})

est, par définition, le 2-groupe des classes logarithmiques signées du corps F ; c’est aussi l’image, par la norme arithmétique N_{E/F} du 2-groupe des classes logarithmiques de E, comme on le voit sur le schéma de corps :

[figure: F; F^{c}; Γ; E = F [i]; E^{c} = F^{c}[i]; Δ; Δ; E^{lc} ∩ F^{ab}; E^{c}; ^{C̃ℓ^{E}}; ^{C̃ℓs^{F}}; N_{E/F} (Cℓ_{E}); Cℓ_{E}]

Il est commode de noter

Cℓs_{F} = J_{F}^{∗}/Ũ_{F}^{+}R_{F} = N_{E/F} (Cℓ_{E})

le groupe analogue pris sans condition de degré, image par la norme arithmétique du groupe des classes logarithmiques (toujours sans condition de degré) Cℓ_{E}. Avec ces notations, le 2-groupe des classes positives Cℓ_{F}^{pos} est le quotient

Cℓ_{F}^{pos} = J_{F}^{∗}/J_{F}^{pos}R_{F}

du groupe Cℓs_{F} par l’image du sous-groupe J_{F}^{pos} = ∏_{𝔭∈P LS} R_{F_{𝔭}}^{+} ∏_{𝔭∉P LS} Ũ_{F_{𝔭}}^{+} de J_{F}^{∗} construit à partir de l’ensemble P LS des places de F logarithmiquement signées. Et le sous-groupe des classes positives de degré nul est le quotient

C̃ℓ_{F}^{pos} = J̃_{F}^{∗}/J̃_{F}^{pos}R_{F},

du groupe C̃ℓs_{F}, image dans Cℓ_{F}^{pos} du sous-groupe J̃_{F}^{∗} de J_{F}^{∗}.

Via le degré, le quotient Cℓ_{F}^{pos}/C̃ℓ_{F}^{pos} ≃ J_{F}^{∗}/J̃_{F}^{∗} ∏_{𝔭∈P LS} R_{F_{𝔭}}^{+} s’identifie à ℤ_{2} en l’absence de places paires logarithmiquement signées, auquel cas le sousgroupe de degré nul est toujours un facteur direct de Cℓ_{F}^{pos}. En revanche, en présence de places paires logarithmiquement signées, c’est un quotient fini de ℤ_{2}, et dans ce cas il peut arriver que le sous-groupe de degré nul soit ou ne soit pas facteur direct dans Cℓ_{F}^{pos} : s’il l’est, le quotient ^{2}C̃ℓ_{F}^{pos} est alors un hyperplan du 𝔽_{2}-espace vectoriel ^{2}Cℓ_{F}^{pos} ; s’il ne l’est pas, on a : ^{2}C̃ℓ_{F}^{pos} ≃ ^{2}Cℓ_{F}^{pos}.

3. Énoncé du Théorème principal

Ces notations étant données, nous pouvons maintenant énoncer le résultat principal de cette note, qui précise ceux obtenus par J.-F. Jaulent [Ja_{1}] sur le ℓ-noyau sauvage, puis par K. Hutchinson [Hu_{1}], [Hu_{2}] ou J.-F. Jaulent & F. Soriano [JS_{2}] sur le 2-noyau sauvage :

Théorème 1. Soient F un corps de nombres, WK_{2}(F) le noyau des symboles sauvages et K_{2}^{∞}(F) = ∩_{n≥1}K_{2}^{n}(F) le sous-groupe des éléments de hauteur infinie dans K_{2}(F) (qui est d’indice au plus 2 dans WK_{2}(F)). Cela posé :

(i) Si le corps F n’est pas exceptionnel (i.e. pour i ∈ F^{c}), on a directement :

K_{2}^{∞}(F)/K_{2}^{∞}(F)^{2} = WK_{2}(F)/WK_{2}(F)^{2} ≃ {±1} ⊗_{ℤ_{2}} C̃ℓ_{F},

où C̃ℓ_{F} désigne le 2-groupe des classes logarithmiques (au sens ordinaire) de F. Et, dans ce cas, on a toujours l’égalité : WK_{2}(F) = K_{2}^{∞}(F). (ii) Si le corps F est exceptionnel (i.e. pour i ∉ F^{c}), on a canoniquement :

WK_{2}(F)/WK_{2}(F)^{2} ≃ {±1} ⊗_{ℤ_{2}} Cℓ_{F}^{pos},

où Cℓ_{F}^{pos} désigne le 2-groupe des classes logarithmiques positives de F, mais :

K_{2}^{∞}(F)/K_{2}^{∞}(F)^{2} ≃ {±1} ⊗_{ℤ_{2}} C̃ℓ_{F}^{pos},

où C̃ℓ_{F}^{pos} désigne le sous-groupe de Cℓ_{F}^{pos} formé des classes de degré nul.

Et, dans ce cas, on a : WK_{2}(F) = K_{2}^{∞}(F) si et seulement si F est logarithmiquement primitif ; et (WK_{2}(F) : K_{2}^{∞}(F)) = 2 sinon. Enfin, dans cette toute dernière situation, le sous-groupe K_{2}^{∞}(F) est facteur direct du groupe WK_{2}(F) si et seulement si le sous-groupe des classes de degré nul C̃ℓ_{F}^{pos} est lui même facteur direct du groupe Cℓ_{F}^{pos} des classes positives. En d’autres termes, si F est exceptionnel et logarithmiquement imprimitif, on a :

- soit Cℓ_{F}^{pos} ≃ C̃ℓ_{F}^{pos} ⊕ ℤ/2^{s}ℤ et WK_{2}(F) ≃ K_{2}^{∞}(F)) ⊕ 𝔽_{2} ;

- soit ^{2}Cℓ_{F}^{pos} ≃ ^{2}C̃ℓ_{F}^{pos} et ^{2}WK_{2}(F) ≃ ^{2}K_{2}^{∞}(F)) (≃ ^{2}Cℓ_{F}^{pos}).

Remarque. Lorsque le corps F est exceptionnel, mais non logarithmiquement signé, i.e. lorsque l’on a i ∈ F^{lc} \ F^{c}, le groupe des idèles positifs J_{F}^{pos} défini dans [JS_{2}] coïncide avec le groupe des unités logarithmiques Ũ_{F} et le quotient J_{F} /J_{F}^{pos}R_{F} = J_{F} /Ũ_{F} R_{F} = Cℓ_{F} est alors le 2-groupe des classes logarithmiques (sans condition de degré) du corps F. En particulier, les quotients d’exposant 2 respectifs ^{2}Cℓ_{F}^{pos} et ^{2}C̃ℓ_{F} du groupe des classes positives Cℓ_{F}^{pos} = J_{F}^{∗}/J_{F}^{pos}R_{F} et du groupe des classes logarithmiques (de degré nul) C̃ℓ_{F} = J̃_{F} /Ũ_{F} R_{F} sont les hyperplans noyaux dans le 𝔽_{2}-espace vectoriel ^{2}Cℓ_{F} des formes linéaires induites respectivement par le signe sg_{F} et le degré deg_{F}. Ils sont donc (non canoniquement) isomorphes, et l’isomorphisme annoncé ^{2}WK_{2}(F) ≃ ^{2}Cℓ_{F}^{pos} redonne bien dans ce cas l’isomorphisme ^{2}WK_{2}(F) ≃ ^{2}C̃ℓ_{F} établi dans [JS_{2}].

4. Preuve du Théorème principal

Le cas où le corps considéré F n’est pas exceptionnel ne pose pas problème : nous avons alors WK_{2}(F) = K_{2}^{∞}(F) d’après [Hu_{1}] ; et^{2}WK_{2}(F) ≃ ^{2}C̃ℓ_{F} d’après [Ja_{1}] si le corps est signé, d’après [JS_{2}] s’il ne l’est pas ; d’où les isomorphismes annoncés dans ce cas.

Supposons donc le corps F exceptionnel, introduisons l’extension E = F [i] et considérons le schéma d’extensions dessiné plus haut. Dans cette dernière situation, nous avons, en vertu du Lemme 3.2 de [Hu_{2}] :

Lemme 2. L’homomorphisme de transfert T r_{E/F} de K_{2}(E) dans K_{2}(F) envoie le noyau sauvage WK_{2}(E) = K_{2}^{∞}(E) sur le sous-groupe K_{2}^{∞}(F) d’indice au plus 2 dans WK_{2}(F) formé des éléments de hauteur infinie dans K_{2}(F).

Et simultanément, comme expliqué dans la section 2 :

Lemme 3. L’opérateur norme N_{E/F} envoie le 2-groupe des classes logarithmiques C̃ℓ_{E} sur le groupe des classes signées C̃ℓs_{F} ; donc, par passage au quotient, le groupe ^{2}C̃ℓ_{E} sur l’image canonique du groupe ^{2}C̃ℓ_{F}^{pos} dans ^{2}Cℓ_{F}^{pos}.

Considérons donc le diagramme commutatif ci-dessous qui relie les isomorphismes entre les quotients d’exposant 2 respectifs des groupes de classes et des noyaux sauvages écrits en haut pour le corps E et en bas pour le corps F :

\xymatrix{^{2}C̃ℓ_{E} = ^{2}C̃ℓ_{E}^{pos} \ar@{->>}[d]_{N_{E/F}} \ar@{->>}[r]^{∼}_{β_{E}} & ^{2}WK_{2}(E) = ^{2}K_{2}^{∞}(E) \ar@{->>}[d]^{T r_{E/F}} \\ ^{2}C̃ℓs_{E} = ^{2}N_{E/F} (C̃ℓ_{E}) \ar@{->>}[d]_{π} \ar@{->>}[r]_{δ_{F}} & ^{2}K_{2}^{∞}(F) \ar@{->>}[d]^{γ} \\ _{_{2}C̃ℓ{pos \atop F}} \ar[d]_{α} \ar@{->>}[r]_{η_{F}} & K_{2}^{∞}(F)WK_{2}(F)^{2}/WK_{2}(F)^{2} \ar[d]^{ι} \\ ^{2}Cℓ_{F}^{pos} \ar@{->>}[r]_{β_{F}}^{∼} & ^{2}WK_{2}(F)}

Distinguons les deux cas :

(i) Si le corps F est logarithmiquement primitif, le groupe des classes positives Cℓ_{F}^{pos} coïncide avec son sous-groupe de degré nul C̃ℓ_{F}^{pos} comme expliqué plus haut ; ainsi α est l’identité et ι est surjectif. En particulier, il suit WK_{2}(F) = K_{2}^{∞}(F) (conformément au résultat de [Hu_{1}]) ; et nous obtenons, comme annoncé dans ce cas, les isomorphismes naturels :

K_{2}^{∞}(F)/K_{2}^{∞}(F)^{2} = WK_{2}(F)/WK_{2}(F)^{2} ≃ {±1} ⊗_{ℤ_{2}} Cℓ_{F}^{pos},

(ii) Si le corps F n’est pas logarithmiquement primitif, le sous-groupe des classes de degré nul C̃ℓ_{F}^{pos} est strictement contenu dans le groupe des classes positives Cℓ_{F}^{pos} et il peut en être ou non facteur direct :

Si C̃ℓ_{F}^{pos} est facteur direct de Cℓ_{F}^{pos}, l’application α est injective et son image est un hyperplan du 𝔽_{2}-espace vectoriel ^{2}Cℓ^{pos}. Il suit que η_{F} est elle-même injective (donc bijective) et que le sous-groupe K_{2}^{∞}(F)WK_{2}(F)^{2}/WK_{2}(F)^{2} est un hyperplan du quotient ^{2}WK_{2}(F). En particulier K_{2}^{∞}(F) est lui-même un facteur direct non trivial de WK_{2}(F), et nous avons, comme attendu :

2K_{2}^{∞}(F) ≃ {±1} ⊗_{ℤ_{2}} C̃ℓ_{F}^{pos} & ^{2}WK_{2}(F) ≃ {±1} ⊗_{ℤ_{2}} Cℓ_{F}^{pos}.

Inversement, si le sous-groupe K_{2}^{∞}(F) est un facteur direct non trivial de WK_{2}(F), l’application ι n’est pas surjective et l’application α ne l’est pas non plus ; il en résulte que C̃ℓ_{F}^{pos} est alors un facteur direct de Cℓ_{F}^{pos}.

En fin de compte, les morphismes α et ι sont simultanément surjectifs ou non ; les sous-groupes C̃ℓ_{F}^{pos} et K_{2}^{∞}(F) sont simultanément facteurs directs ou non respectivement de Cℓ_{F}^{pos}. et de WK_{2}(F). Et, bien entendu, lorsqu’ils ne le sont pas, nous avons les isomorphismes non canoniques :

2K_{2}^{∞}(F) ≃ ^{2}WK_{2}(F) ≃ {±1} ⊗_{ℤ_{2}} Cℓ_{F}^{pos} ≃ {±1} ⊗_{ℤ_{2}} C̃ℓ_{F}^{pos}.

Remarque. Il suit de là que, contrairement à ce qui est indiqué malheureusement dans [JS_{2}], l’application canonique ^{2}C̃ℓ_{F}^{pos} → ^{2}Cℓ_{F}^{pos} n’est pas, alors, bijective.

Diverses illustrations numériques sont données dans un travail en cours [Cp_{2}], qui généralise dans ce contexte signé l’approche algorithmique initiée dans [Cp_{1}].

Références

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Jean-François Jaulent  Florence Soriano-Gafiuk
Institut de Mathématiques  Département de Mathématiques
Université Bordeaux 1  Université de Metz
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